HKV TEXVictor Solano Mora

1Tema: Cálculo

Encuentra la función f tal que:

∫ f(x)dx =ln ∣ ln (x)∣

x+C

Solución:

Diferenciando respecto a x en cada lado de la igualdad se obtiene:

d ∫ f(x)dx

dx=

d ln ∣ ln (x)∣x +C

dx

Por el teorema fundamental del cálculo y la propiedad que la derivada de una suma es la suma de lasderivadas:

f(x) =d ln ∣ ln (x)∣

x

dx+

dC

dx

La derivada de una constante C es 0, y la derivada de un cociente se regi por la regladu(x)

v(x)

dx=

u′(x) ⋅ v(x) − u(x) ⋅ v′(x)

v2(x)

, se obtiene:

f(x) =d ln ∣ ln (x)∣

dx ⋅ x − ln ∣ ln (x)∣ ⋅ dxdx

x2

Separando la resta de fracciones y simplificando se obtiene:

f(x) =d ln ∣ ln (x)∣

dx

x−

ln ∣ ln (x)∣x2

Ahora solo hace falta calcular la derivada del numerador de la primer fracción para hallar el criterio de lafunción f buscada, para ello se debe aplicar la regla de la cadena y la derivada del logaritmo neperianoln(u)

dx=

1u⋅

du

dxy tomando u = ln(x) se obtiene:

d ln ∣ln (x)∣dx

=

1ln(x) ⋅

dln(x)dx

Ahora se debe hallar la derivada que apareció en el resultado anterior, entonces al calcularla se obtiene:

dln(x)dx

=

1x⋅

dx

dx

Entonces la función f corresponde a la expresión:

f(x) =

1x ln(x)

x−

ln ∣ ln (x)∣x2 =

1x2 ln(x) −

ln ∣ ln (x)∣x2