UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA AMAZONIA PERUANA

Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

TRABAJO PRÁCTICO

TEMA : EJERCICIOS DE TÓPICOS DE CALCULO (Máximo Mitacc-Luis Toro)

CATEDRÁTICO : Lic. MANUEL TUESTA MORENO

INTEGRANTES :

ROJAS GONZALES MIGUEL ANGEL.

HERNANDEZ JAUYA PAUL MARTÍN

NIVEL : II

CICLO : III

IQUITOS –JULIO DEL 2009-PERÚ

EL PRESENTE TRABAJO PRÁCTICO ES UNA COLECCIÓN DE PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS, EXTRAIDAS DEL LIBRO: “TOPICOS DE CALCULO (VOL.II)” DE MAXIMO MITACC-LUIS

TORO, CON SUS RESPECTIVAS SOLUCIONES DESARROLLADOS POR LOS ALUMNOS A CARGO.

Ejercicios Pág. 83

------------------- -----------------------------------------|SOLUCIONARIO|-------------------------------------------------------

1.∫ 4 x2+6x3+3 x

dx

¿∫ 4 x2+6x3+3 x

dx

∙1

x ( x2+1 )= A

x+

B (2 x )+C

x2+3

¿∫ 4 x2

x (x2+3)dx+∫ 6

x (x2+3)dx

1=A ( x2+3 )+(2Bx+C) x

¿4∫ x

( x2+3 )dx+6∫ dx

x ( x2+3 ) 1=A x2+3 A+2B x2+Cx

¿4∫ x

( x2+3 )dx+6[ 1

3∫dxx

−13∫

x

( x2+3 )dx ] 1=x2 ( A+2B )+xC+3 A

¿4∫ x

( x2+3 )dx+2∫ dx

x−2∫ x

( x2+3 )dx A=1

3;C=0 ;B=−1

6

¿2∫ dxx

+2∫ x

( x2+3 )dx x2+3=u

¿2 ln|x|+2∫ xu ( du

2 x ) 2 xdx=du⇒ dx= du2 x

¿ ln|x|2+ ln|u|

¿ ln ( x )2+ln ( x2+3 )

¿ ln [ x2 ( x2+3 ) ]+C

Pág. 84

5.∫ x2+x−1x3−x2−x+1

dx

¿∫ x ( x+1 )−1

(x−1 )2 ( x+1 )dx

¿∫ x ( x+1 )(x−1 )2 ( x+1 )

dx+∫ dx

( x−1 )2 ( x+1 )

∙1

( x−1 )2 ( x+1 )= A

( x−1 )+ B

(x−1 )2+ C

( x+1 )

∙ 1=A ( x−1 ) ( x+1 )+B ( x−1 )+C ( x−1 )2 ∙ 1=A x2−A+Bx+B+C x2−2 Cx+C ∙ 1=x2 ( A+C )+x (B−2C )+(−A+B+C )

A=−14

;B=12

;C=14

¿∫ x

( X−1 )2dx−[−1

4 ∫ dx(x−1 )

+12∫

dx

( X−1 )2+

14∫

dx( x+1 ) ]

¿∫ x

( X−1 )2dx+ 1

4∫dx

( x−1 )−1

2∫dx

( X−1 )2−1

4∫dx

( x+1 ) x−1=u ; x+1=v

x=u+1 dx=dv

¿∫ u+1

u2du+ 1

4∫duu

−12∫

du

u2−1

4∫dvv

dx=du

¿∫ u

u2 du+∫ du

u2 +14

ln|x−1|−12 ( −1

( x−1 ) )−14

ln|x+1|

¿ ln|x−1|− 1( x−1 )

+ 14

ln|x−1|+ 12 ( x−1 )

−14

ln|x+1|

¿− 12 ( x−1 )

+ 54

ln|x−1|−14

ln|x+1|+C

9.∫ 2 x2−3 x−3(x−1 )(x2−2 x+5)

dx=I

∙ x2−2 x+5=(x−1)2+4

I=∫ x2− x−8+x2−2 x+5(x−1 )(x2−2 x+5)

dx

I=∫ x (x−1)( x−1 )(x2−2 x+5)

−8∫ dx(x−1 )(x2−2 x+5)

+∫ (x2−2 x+5)( x−1 )(x2−2 x+5)

dx

I=∫ xdx

x2−2 x+5−8∫ dx

( x−1 )[ ( x−1 )2+4 ]+∫ dx

(x−1)

∙ x−1=u → x=u+1

∙ dx=du

I=∫ (u+1)u2+4

du−8∫ dxu (u2+4 )

+∫ duu

I=∫ u du

u2+4+∫ du

u2+4−8∫ du

u (u2+4)+∫ du

u

1

u(u2+4 )= A

u+

B (2u )+c

u2+4

∙ 1=A (u2+4 )+(2 Bu+c )u 4 A=1→ A=14

∙ 1=A u2+4 A+2 B u2+uC C=0

∙ 1=u2 ( A+2B )+uC+4 A A+2 b=0 → B=−18

I=∫ u du

u2+4+∫ du

u2+4−8[ 1

4∫duu

−14∫

u du

u2+4]+∫ du

u

I=∫ u du

u2+4+∫ du

u2+4−2∫ du

u−2∫ udu

u2+4¿¿+∫ du

u

I=3∫ u du

u2+4−∫ du

u+∫ du

u2+4

∙ u2+4=t → t=u2+4=(x−1)2+4=x2−2 x+5

∙ 2udu=dt ∙ u=(x−1)

∙ du= dt2 u

I=3∫ ut( du

2 u)−∫ du

u+∫ du

u2+4

I=32

ln|t|−ln|u|+ 12

arctg( u2 )+c

I=32

ln|x2−2 x+5|−ln|x−1|+ 12

arctg ( x−12 )+c

Pág.85-------------------------------------

13.∫ 2 x

x4+x2+1dx=I

I=2∫ 4 xdx

4 ( x4+x2+1 )

I=2∫ 4 x dx

4 x4+4 x2+1+3

I=2∫ 4 x dx

(2 x2+1)2+3

u=2 x2+1

du=4 xdu

dx= du4 x

I=2∫ 4 xdu

(u2+3 ) 4 x

I=2∫ du

u2+3=2∫ du

u2+(√3)2 =2( 1

√3arctg( u

√3 ))+c

I= 2√3

arctg ( 2x2+1√3 )+c

17.∫ dx

x8+x6=I

I=∫ dxx6( x2+1)

=∫ x6+1−x6

x6( x2+1)=∫ (x6+1)dx

x6(x2+1)−∫ x6 dx

x6(x2+1)

I=∫ ( x2+1 ) (x4−x2+1)dx

x6(x2+1)−∫ dx

(x2+1)

I=∫ dx

x2−∫ dx

x4+∫ dx

x6−∫ dx

x2+1

I=−1x

+ 1

3 x3− 1

5 x5−arctg x+c

21 .∫dx

x ( x9+1 )3 ⋅ x9+1=t → x9=t−1 ⇒ 9x8 .dx=dt → dx=

dt

9 x8

I=∫dt9x8

x . t3 ⇒ I=

19∫ dt

x9 t3 ⇒ I==

19∫dt

( t−1 )t3

¿ 1=At

+B

t2+C

t3+D( t−1 )

1=At2( t−1)+Bt ( t−1 )+C (t−1 )+Dt3

1=At3−At2+Bt2−Bt+Ct−C+Dt3

1=t3 ( A+D)+t2( B−A )+t (C−B )+(−C )

A+D=0 B−A=0 C−B=0 −C=1−1+D=0 B=A C=B C=−1D=1 A=−1 B=−1

I=19 [−∫ dt

t−∫ dt

t2−∫dt

t3+∫ dt

t−1 ]I=1

9 [−ln|x9+1|+1

( x9+1 )+1

2( x9+1 )2+ ln|x9|]

I=9 ln|x|9

−19

ln|x9+1|+19( x9+1)

+118 (x9+1)2

I=ln|x|−19

ln|x9+1|+1

9( x9+1)+1

18( x9+1)2+C

Pág.86

25 .∫ x4 √Senx+√Senx+Cosx( x4+1) . Cosx

. dx=I

I=∫ ( x4+1)(√Senx )+Cosx

( x4+1) .Cosx.dx ⇒ I=∫ ( x4+1)(√Senx )

( x4+1) .Cosx. dx +∫Cosx

( x4+1 ).Cosx. dx

I=∫√SenxCosx

.dx+∫ dxx 4+1

⇓ ⇓ I1 I2

I 1=∫ √SenxCosx

. dx ⇒ I1=∫ √Senx .Cosx1−Sen2 x

. dx ⋅ u2=Senx → Cosx .dx=2u . du

I 1=√u2 . 2u

1−u4.du ⇒ I1=∫2u2

1-u 4. du ⇒ I1=∫ 2u2

(1-u2)(1+u2)du

¿ Aplicar una identidad :

2u

a2 -u2= 1

a-u− 1

a+u

I 1=∫ [ 1

1−u2−

1

1+u2 ] .du ⇒ I1=∫ du

1-u2−∫du

1+u2 ⇒ I1=

12

Ln|u+1u−1

|−arctgu

I 1=12

Ln| √Senx+1√Senx−1

|−arctg (√Senx )

I 2=∫ dx

x 4+1 ⇒ ⋅ x4+1=x 4+2x2+1-2x2=(x2+1)2−(√2 x )2

=(x2+1−√2 x )( x2+1+√2 x )

I 2=∫ dx

( x2+1−√2 x )( x2+1+√2 x )

⋅ 1x4+1

=A (2x+√2 )+B

( x2+√2 x+1 )+

C(2x−√2 )+ D

( x2−√2x+1)

1

x 4+1=

[ A (2x+√2)+B ] [ x2−√2x+1 ]+[C (2x−√2 )+D ] [x2+√2 x+1 ]( x2+√2 x+1 )( x2−√2 x+1)

1=[ A (2x+√2)+B ] [x2−√2 x +1 ]+[C (2x−√2 )+ D ] [x2+√2 x+1 ]1=x3(2A+2C)+x2(2√2C−2√2 A+√2 A−√2C+B+ D )+x (2A+2C−2A−2C−√2 B+√2 D )+( √2 A+B−√2C+ D ) ⇓ ⇓ ⇓ ⇓

2A+2C=0 √2(C−A )+B+D=0 √2(D−B )=0 √2( A−C )+B+ D=1

⋅ A=√28

, B=14

, C=−√28

y D=14

I 2=√28∫ 2 x+√2

x2+√2x+1. dx+ 1

4∫ dx

x2+√2 x+1−√2

8∫ 2x−√2

x2−√2x+1+ 1

4∫ dx

x2−√2 x+1

I 2=√28

Ln| x2+√2 x+1x2−√2 x+1

|+ √24

arctg (√2 x+1 )−√24

arctg(√2x−1)

Rpta ⇒ I= I1 + I2

I =12

Ln|√Senx+1

√Senx−1|−arctg( √Senx )+√2

8Ln|x

2+√2 x+1

x2−√2 x+1|+√2

4arctg (√2 x+1)

−√24

arctg( √2 x−1)+C

Pág. 101

2 . ∫ √ x dx

x + x4

5

=∫ x1

2 dx

x ( x−1

5 + 1) Fracciones :

12

,-15

. M.C . M=(2, 5 )=10

=∫ ( t10)

12 .10 t 9 dt

t 10 [( t 10)−1

5 + 1 ]

x=t10

dx= 10t9 dt

=10∫ t5 . t9dtt10( t -2+1)

=10∫ t14 dt

t10( 1

t2 +1 )

=10∫ t14 dt

t10( 1+t2

t2 )

=10∫ t14 dtt8 (1+t2)

= 10∫ t6 dt1+ t2

= 10∫( t4− t4

1+t2)dt

= 10∫ t4dt − 10∫ t4

1+ t2dt =10∫ t4 dt − 10∫( t2− t2

1 + t2)dt

= 10∫ t4 dt − 10∫ t2 dt + 10∫ t2 dt1 + t 2

=10∫ t4 dt−10∫ t2 dt + 10∫(1 − 1

1 + t2)dt

= 10∫ t4dt − 10∫ t2 dt + 10∫ dt − 10∫dt

1 + t2 =2 t5−103

t3+ 10t − 10[ 1

1arctg . t

1]+ C

Rpta = 2x1

2−103

x3

10+10 x1

10−10 arctgx1

10+C

6 . ¿∫dx

(x+1 )3

4− (x+1 )5

4

⋅ M.C .M=( 34

,54 )=4 ¿ x+1=t 4 ⇒ 4t3 dt=dx ¿¿∫ ¿

I=∫4t 3 dtt3−t5

⇒ I=∫ 4 t3 dtt3(1−t2 )

⇒ I=4∫dt1−t2

I=4ln|t +1t−1

| ⇒ I=4ln|4√ x+1+14√ x+1−1

|+C

Pág. 102

1 8.∫ dx

x2√ x2−2 x+4=I

¿ x=1t

→ t=1x

¿dx=−dtt2

I=∫−dtt2

(1t )2√(1t )

2

−2(1t )+4

=−∫dtt2

1t2 √1

t2−2

t+4

=−∫ dt

√1t2

−2t

+4

=−∫ tdt

t √1t2

−2t

+4

I=−∫ tdt

√ t2

t2−2t2

t+4 t2

=−∫ tdt

√1−2 t+4 t2

¿u=1−2 t+4 t2→du=(−2+8 t )dt

I=−18∫ (−2+8 t+2 ) dt

√1−2t +4 t2=−1

8∫ (−2+8 t ) dt

√1−2t +4 t2⏟I1

−14∫dt

√1−2 t+4 t 2⏟I2

I 1 =∫ (−2+8 t ) dt

√1−2t +4 t2=∫du

√u=2√u=2√1−2t +4 t 2

I 2 =∫ dt

√1−2t +4 t2=∫ dt

√(2t−12 )

2

+(√34 )

2=ln (2t−

12

+√1−2t +4 t2)

⇒ I=−18

(2√1−2 t+4 t2 )−14 (ln(2t−

12

+√1−2t +4 t2))⇒ I=−

14 √1−2(1x )+4(1

x )2

−14

ln(2(1x )−1

2+√1−2(1x )+4 (1x )

2)∴ I=−1

4 √1−2x

+4x2 −1

4ln (2

x−1

2+√1−2

x+4

x2 )+c

22 . ∫ dx

( x−2 )√ x2−4 x+1=I

¿ x=1t

→ x=1t

+2→t=1x−2

¿dx=−dtt2

I=−∫dtt2

1t √(1t +2)

2

−4 (1t +2)+1

=−∫ dt

t √1t2

+4t

+4−4t

−8+1

I=−∫dt

t √1

t2−3

=−∫ dt

√t2(1t2−3)

=−∫ dt

√1−3 t2=−∫dt

√3(13 −t2)=−1

√3∫ dt

√√13

2

−t2

I=−1√3

arcSen(t1√3 )=−1√3

arcSen(1x−21√3

)=−1√3

arcSen(√3x−2 )

∴ I=−1

√3arcSen (√3

x−2 )+c

34 . ∫ ( 3√ x+1 )1/2

3√xdx=I

I=∫ x−1/3 (1+x1/3)1 /2dx

¿1+x1/3=t2→13

x−2/3 dx=2 tdt→dx=6 t

x−2/3dt

I=∫ x−1/3 (t2)1/26 t

x−2/3dt=6∫ x−1/3 t2dt=6∫ ( t2−1 ) t2dt=6∫ t4dt−6∫ t2dt

I=65

t5−63

t3

∴ I=65

(1+x1/3 )5/2−2 (1+x1/3)3/2

+c

Pág. 105

38.∫ dx

x2 ( 1+x2 )32

¿∫ x−2 ( 1+ x2 )−32 dx 1+x2=t 2 x2⇒ t=

(1+x2 )12

x

¿−∫ (t 2−1 ) ( t2 x2)−32 tdt

x−3t 2=x−2+1⇒ dx=−tdt

x−3

¿−∫ (t 2−1 ) t−3 t dt

¿−∫ (1−t−2 ) dt

¿−(∫dt−∫ t−2 )

¿−t+(−1t )

¿−(1+x2 )

12

x− x

(1+ x2 )12

+C

42.∫ √1+x13

x23

dx

¿∫ x−23 (1+x

13 )

12dx 1+x

13=t 2⇒ t=( 1+ 3√x )

12

¿∫ x−23 ( t2 )

12 6 tdt

x−23

13

x−23 dx=2 tdt⇒ dx=6 tdt

x−2

3

¿6∫ t 2dt

¿6( t 3

3 )¿2 t3=2[(1+ 3√x )

12 ]

3

=2 (1+ 3√ x )32+C

46.∫ x5+2 x2

(1+x3 )3/2 dx=I

I=∫ x5+2 x2

(1+x3 )−3

2

I=∫ x5(1+x3 )−3

2 dx+2∫ x2 (1+x3 )−3

2dx 1+x3=t2 ⇒ t=√1+x3⇒ x3=t2−1

I=∫ x5( t2 )−3

22 tdt3 x2

+2∫ x2( t2 )−3

22 tdt3 x2

3 x2dx=2 tdt ⇒dx=2tdt3 x2

I=23∫ x3 t−2dt+2(2

3)∫ t−2 dt

I=23 ∫( t2−1) t−2dt+

43 ∫ t−2 dt

I=23∫dt−2

3∫ t−2dt +4

3∫ t−2 dt

I=23

t+23∫ t−2 dt

I=23

√1+x3−2

3√1+x3+C

Pág. 110

3.∫ dx2+senx

=I

z=tg( x2 )dx= 2dz

1+z2

senx= 2 z

1+ z2

I=∫2 dz

1+ z2

2+ 2 z1+z2

I=∫2 dz

1+z2

2+2 z2+2 z1+z2

=∫ 2dz2 z2+2 z+2

=∫ dzz2+z+1

I=∫ dz

(z+ 12)

2

−( 12 )

2

+1

=∫ dz

(z+ 12)

2

+√ 34

2

I=1

√ 34

arctg ( z+12

√ 34

)= 2

√3arctg ( 2 z+1

√3 )= 2

√3arctg( 2 tg( x

2 )+1

√3)+c

7.∫ dx

sen2 4 x+tg2 4 x=I

t=tg4x ⇒4x=arctg t

4dx=dt1+t2

⇒ dx=dt4(1+t2 )

sen4x=t

√1+t2

cos4x=1

√1+t2

I=14∫

dt

1+t2

( t

√1+t2 )2

+( t

√1+ t2 )2

( 1

√1+ t2 )2

I=14∫

dt

1+ t2

t2

1+t2+

t2

1+t2

11+t2

= 14∫dt

t2+t2+t4= 1

4∫dt

t4+2t2

I=14∫

dt

t 2 (2+t 2)

1

t2 (2+ t2 )= A

t+ B

t2+ Ct+D

2+t2=

A [t ( 2+ t2 ) ]+B (2+t2)+t2 (Ct+D )

t2 (2+t2)

1=A [ t (2+t2 )]+B (2+t2)+t2 (Ct+ D)

1=2 At+ At 3+Bt 2+2 B+Ct 3+Dt 2

1=t3 ( A+C )+t2 (B+ D)+t (2 A )+2B

A+C=0 ⇒ C=0B+D=0 ⇒ D=−1/22 A=0 ⇒ A=02B=1 ⇒ B=1/2

I=14∫ [ 0

t+

12

t2+

0 t−12

2+t2 ] dt

I=14∫ [ 1

2

t2+

−12

2+t2 ]dt

I=18∫

dt

t2−1

8∫dt

2+t2=1

8∫ t−2 dt−18∫

dt

t2+√22

I=18 [ t−1

−1 ]−18 [ 1

√2arctg( t

√2 )]I=− 1

8 t− 1

8√2arctg ( t

√2 )I=−

18 [1

t−

1

√2arctg ( t

√2 )]I=−

18 [ctg 4 x+

1

√2arctg( tg 4 x

√2 )]+c

11.∫ 1+tgx1−tgx

dx

tgx=t ;dx= dt

1+t 2

I=∫( 1+t1−t )( dt

1+t 2 )=∫ (1+t)(1−t )(1+t 2)

I= 1+t(1−t )(1+t2)

= A1+t

+ Bt+C

1+ t2

⟹ A+ A t2+Bt+C−B t2−Ct(1−t )(1+ t2)

A+B=1; B−C=1 ; A−B=0 A−C=1 A+C=1 𝐴=1; 𝐵=1; 𝐶=0I=∫ dt

1−t+∫ tdt

1+ t2⟹u=t−1⟹du=dt parael primer caso∫ dt

1−t

Para el segundo caso: u=t2⟹du=2 tdt y como v=u+1⟹dv=du

I=−∫ duu

+12∫

du1+u

⟹ I=−∫ duu

+ 12∫

dvv

I=− ln|u|+12

ln|v|+c

I=− ln|tgx+1|+ln|tg2+1|+c

Pág. 112

14 . ∫ x2dx

√1+x3+√(1+x3 )2=I

I=∫ x2 dx

√1+x3+√(1+ x3 )2

1+x3=t2→2t . dt=3 x2 dx

dx=2t . dt

3x2

I=∫x2 2t . dt

3 x2

√t2+( t2 )3

2

=23∫ t . dt

√ t2 +t3=2

3∫ t . dt

√t 2(1+ t )

23∫

t .dtt √1+ t

=23∫

dt

√1+t

Z=1+t →dz=dt

I=23∫

dz

√z=2

3[2√z ]= 4

3√z=4

3√1+t

I=43

√1+√1+x3+C

Pág. 113

19.∫ x−3√ x−2

x2−3√ ( x−2 )2

dx=I

I=∫ (x−3√ x−2 )(x−3√ x−2 ) (x+ 3√ x−2 )

dx

I=∫ dx

x+ 3√x−2

x−2=t3 → dx=3 t2 . dt

x=t 3+2→ t=3√ x−2

I=∫ 3 t 2 dt

(t3+2 )+ 3√t 3=∫ 3t 2 dt

t 3+t+2

u=t3+t +2

u=(t3+1 ) dx

I=∫ (3 t2+1−1 ) dt

t3+t +2=∫ (3 t2+1 ) dt

t 3+ t+2−∫ dt

t 3+t+2

I 1=∫( 3t 2+1 ) dt

t3+t +2=∫ du

u=ln|u|=ln|t 3+ t+2|

I 2=∫ dt

t 3+t+2=∫ dt

(t 3+1 )+(t+1 )

t 3+1=(t+1 ) (t 2−t +1 )

I 2=∫ dt

(t +1 ) (t2−t+1 )+ ( t+1 )=∫ dt

( t+1 ) (t 2−t+2 )

1

( t+1 ) (t 2−t+2 )= A

( t +1 )+ Bt+C

t 2−t+2=

A (t 2−t +2 )+( t+1 ) ( Bt+C )(t+1 ) (t 2−t +2 )

1=A (t 2−t +2 )+(t +1 ) (Bt+C )

1=A t 2−At+ A+B t 2+Ct+bt+c

1=t 2 ( A+B )+ t (−A+B+C )+(2 A+c )

→ A+B=0……… …….. ( ¿ )

→−A+B+C=0………¿

→ 2 A+C=1…… ………(¿∗¿)

( ¿ )+ (¿∗¿ )

A+B=02 A+C=1

3 A+B+C=1……………(1)

(1 ) y¿

3 A+B+C=1−(−A+B+C)=0

4 A=1

A=14

∎Hallo B :

A+B=0→ B=−14

∎HalloC :

2 A+C=1→C=1−12

→ C=12

I 2=∫ dt

(t +1 ) (t2−t+2 )=∫ [ 1

4( t +1 )

+

−14

t+ 12

t 2−t+2 ] dt

I 2=∫ [ 14

(t+1 )+

−14

t

t2−t +2+

12

t 2−t+2 ]dt

I 2=14∫

dtt +1

−14∫

tdt

t 2−t+2+ 1

2∫dt

t2−t+2

a=∫ dtt+1

=ln|t +1|

b=∫ tdt

t 2−t +2=1

2∫(2 t−1+1 )

t 2−t+2dt=1

2∫(2 t−1 )t 2−t+2⏟

b1

+ 12∫

dt

t2−t +2⏟b2

b1=∫ (2 t−1 )t 2−t +2

dt=ln|t2−t +2|+c

b2=∫ dt

t 2−t +2=∫ dt

(t−12 )

2

+√ 74

2=1

√ 74

arc tan( t−12

√ 74

)b2=

2

√7arc tan( 2t−1

√7 )b=

12

ln|t 2−t+2|+12 [ 2

√7arc tan [2 t−1

√7 ]]b=1

2ln|t 2−t+2|+ 1

√7arc tan [ 2 t−1

√7 ]

c=∫ dt

t 2−t+2=∫ dt

( t−12 )

2

+√ 74

2 =1

√ 74

act tan( t−12

√ 74

)c= 2

√7arc tan( 2 t−1

√7 )→I 2=

14

ln|t+1|−14 [1

2ln|t 2−t+1|+ 1

√7arc tan( 2t−1

√7 )]+ 12 [ 2

√7arc tan( 2t−1

√7 )]→ I 2=

14

ln|t+1|−18

ln|t 2−t +2|− 14 √7

arc tan( 2 t−1

√7 )+ 1

√7arc tan( 2t−1

√7 )→ I=ln|t3+t +2|− 1

4ln|t+1|+ 1

8ln|t2−t +2|+ 1

4 √7arc tan( 2 t−1

√7 )− 1

√7arc tan( 2 t−1

√7 )→ I= ln|t3+ t+2|−1

4ln|t +1|+1

8ln|t2−t+2|+1

4 √7arc tan(2t−1

√7 )−1

√7arc tan(2t−1

√7 )+c

I=ln|x−2+ 3√x−2+2|−14

ln|3√x−2+1|+18

ln|( x−2 )2/3−( x−2)1/3+2|

+14 √7

arc tan(2 3√x−2−1√7 )−1

√7arctan (2 3√x−2−1

√7 )+c

I=ln|x+ 3√ x−2|−14

ln|3√x−2+1|+18

ln|(x−2 )2/3−( x−2)1 /3+2|+14√7

arc tan(2 3√x−2−1√7 )

−1

√7arctan (2 3√x−2−1

√7 )+c

23.∫ √ xx−a

dx=I

I=∫ x

√x−a√xdx=∫ x . dx

√x2−ax

u=x2−ax

du=(2x−a)dx

I=12∫

[2 x−a+a ] dx

√x2−ax=1

2∫(2 x−a )dx

√x2−ax⏟I1

+ a2∫

dx

√ x2−ax⏟I2

I 1=∫ (2 x−a)dx

√x2−ax=∫ du

√u=[2√u ]=2√x2−ax

I 2=∫ dx

√x2−ax=∫ dx

√(x−a2)

2

−( a2)

2

u2=x−a2

d u2=dx

I 2=∫ du

√u22−( a

2)

2=ln|u2+√u2

2−( a2)

2|=ln|x−a2+√ x2−ax|

I=12

(2√ x2−ax )+ a2

ln|x−a2+√x2−ax|

∴∫√ xx−a

dx=√ x2−ax+ a2

ln|x−a2+√x2−ax|+c

27 .∫ arcSen√2 x√1−2 x

dx

¿u=arcSen√2 x

du=

12(2 x )−1/2. 2 . dx

√1−(√2 x )2=

dx

√2 x √1−2 x

¿dv= dx

√1−2 x ⇒ v=∫ dx

√1−2 x⏟I 1

⇒ I 1=∫ dx

√1−2 x

¿1−2 x=u1→du1=−2dx→dx1=du−2

I 1=∫du−2

√u=−

12∫

du

√u=−

12

[2√u ]=−√1−2 x → v=−√1−2x

⇒∫ arcSen√2 x√1−2 x

dx=arcSen√2 x . [−√1−2 x ]−∫ [−√1−2 x dx ]√2 x .√1−2 x

=arcSen√2 x .√1−2 x+∫ dx

√2 x⏟I 2

I 2=∫ dx

√2 x

¿2 x=u2→du2=2 dx→dx=du2

2

I 2 =∫du2

√u2

=12∫

du

√u2

=12 [2√u2 ]=√u2=√2 x

⇒∫ arcSen√2 x√1−2 x

dx=−arcSen√2 x .√1−2 x+√2 x+c

Pág. 114

31.∫ sen2 xdxa+b cos2 x

=I

t=tgx → x=arctg (t)

dx=−dt

t 2

senx= t

√1+t 2;cosx= 1

√1+t 2

I=∫ sen2 x .dxa+bcos2 x

I=∫t2

1+t 2 (–dtt 2 )

a+ b1+ t2

=−∫t2 dt

t2 (1+t2 )(1+t 2) a+b

1+t2

=−∫ dt

( 1+ t2 ) a+b

I=−∫ dt

a t 2+a+b=−∫ dt

(√a t )2+√a+b2

z=√a t⟶dz=√a dt

⟹ I=−1√a

∫ √a dt

(√a t )2+√a+b2=

−1√a

∫ dz

( z )2+√a+b2

⟹ I=−1

√a [ 1

√a+barctg( z

√a+b )]= −1

√a2b+abarctg( √a t

√a+b )⟹ I= −1

√a2b+abarctg(√a tgx

√a+b )+c

Pág. 115

39 .∫ √ 4−x2+x

dx=I

I=∫ 4−x

√2+x √4−xdx

I=∫ 4−x(2+x )( 4−x )

dx=∫ 4−x

√8−2 x+4 x− x2dx

I=∫ 4−x

√8+2 x−x2

¿8+2 x−x2=−[ x2−2 x−8 ]=[ (x−1 )2−1−8 ]=[ (x−1 )2−9 ]=9−( x−1 )2=32−( x−1 )2

I=4∫ dx

√32−( x−1 )2⏟I1

−∫ xdx

√8+2 x−x2⏟I2

I 1=∫ dx

√32−( x−1 )2 → u1=x−1→du1=dx

I 1=∫ dx

√32−u12

=arcSenu1

3=arcSen( x−1

3 )

I 2=∫ xdx

√8+2 x−x2 → u2=8+2 x−x2→du2= (2−2 x )dx

I 2=−12∫

(2−2 x−2 ) dx

√8+2 x−x2=−1

2∫(2−2 x )dx

√8+2x−x2⏟a

+ 22∫

dx

√8+2x− x2⏟b

a=∫ (2−2 x ) dx

√8+2 x−x2=∫ du

√u2

=2√u2=2√8+2 x−x2

b=∫ dx

√8+2x−x2=∫ dx

√32−( x−1 )2=arcSen( x−1

3 )I 2=−1

2(2√8+2x−x2 )+arcSen( x−1

3 )

=−√8+2x−x2+arcSen( x−1

3 )⇒ I=4arcSen( x−1

3 )−[−√8+2 x−x2+arcSen( x−13 )]

⇒ I=4arcSen( x−13 )+√8+2x−x2−arcSen( x−1

3 )I=3arcSen( x−1

2 )+√8+2 x−x2+c

43.∫ e2 x

3√1+exdx=I

¿1+ex=u ⇒ ex=u−1 ⇒ ex dx=du → dx=du

ex

I=∫ e2x

u1

3

.duex ⇒ I=∫ ex

u1

3

. du ⇒ I=∫ u−1

u1

3

. du ⇒ I=∫ u

u1

3

.du−∫ du

u1

3

I=∫u2

3 du−∫u−1

3 du ⇒ I=35

u5

3−32

u2

3 ⇒ I= 310

u2

3 (2u−5 ) ⇒ I= 310

(2 u−5 )(u )2

3

I= 310

(2(1+ex)−5 ) (1+e x )2

3

I= 310

(2ex−3 ) (1+e x )2

3+C

Pág. 116

47.∫ dx

x4+a2 x2+a4=I

x4+a2x2+a4=( x2+ax+a2) ( x2−ax+a2 ) → identidad de Argand

1

x4+a2 x2+a4= Ax+B

x2+ax+a2+ Cx+D

x2−ax+a2

=

( Ax+B ) ( x2−ax+a2 )+(Cx+D ) ( x2+ax+a2)( x2+ax+a2 ) ( x2−ax+a2)

1=Ax3 aAx2+a2 Ax+Bx2−aBx−a2B+Cx3+aCx2+a2Cx+Dx2−aDx+a2 D

1=x3 ( A+C )+x2 (−aA+B+aC+D )+x (−aB+a2C+aD )+(−a2 B+a2 D )

A+C=0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(1 )−aA+B+(aC+D )=0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(2 )−aB+a2 C+aD=0→−B+ (aC+D )=0→ (aC+D )=B−−−−(3 )

−a2B+a2 D=1→(−B+D )=1

a2−−−−−−−−−−−−−−−−−(4 )

−aA+B+B=−aA+2 B=0→2 B=aA−−−(2 ) y (3 )

HALLO C :reemplazo ( 4 ) en (3 )(−B+D )+aC=01a2

=−aC

¿C=−1a3

HALLO A : reemplazo C en (1 )A+C=0A=−C

¿ A=1

a3

HALLO B : reemplazo A en ((2) y (3))2 B=aA

2 B=a1a3

2 B=1a2

¿ B=12 a2

HALLO D : reemplazo B en ( 4 )

−B+D=1

a2

D=1

a2+1

2a2

D=2+1

2a2

¿ D=3

2a3

I=∫ [ 1

a3x+

1

2a2

x2+ax+a2+

−1

a3x+

3

2a3

x2−ax+a2 ]I= 1

a3∫x

x2+ax+a2+ 1

2 a3∫dx

x2+ax+a2− 1

a3∫xdx

x2−ax+a2+ 3

2 a3∫dx

x2+ax+a2

I=1

a3 [ 12∫

(2 x+a−a )dx

x2+ax+a2−

12∫

(2 x−a+a )dx

x2−ax+a2 ]⏟I¿

+[ 1

2 a2∫dx

x2 +ax+a2 +3

2 a3∫dx

x2−ax+a2 ]⏟I**

I (¿ )=1

2 a3 [∫ 2 x+a

x2+ax+a2−a∫ dx

x2+ax+a2−∫ (2 x−a ) dx

x2−ax−a2−a∫ dx

x2−ax+a2 ]¿ x2+ax+a2=(x+ a

2 )2

+√ 3 a2

4

2

=(x+ a2 )

2

+(√3 a2 )

2

¿ x2−ax+a2=( x−a2 )

2

+(√3 a2 )

2

I (¿ )=1

2a3 [ ln|x2+ax+a2|−a1

(√3 a2 )

arctg( x+ a2

√3 a2

)−ln|x2−ax+a2|− a√3 a

2

arctg ( x−a2

√3a2

)]I∗¿= 1

2a2 [ 1√32

aarctg ( x+ a

2√3 a

2)]+ 3

2a3 [ 1√3a

2

arctg ( x−a2

√3 a2

)]I=I(¿)+ I ¿ ¿

I= 1

2 a3ln|x2−ax+a2|− 1

√3 a3arctg( 2 x+a

√3 a ) −1

2 a3ln|x2−ax+a2|− 1

√3 a3arctg( 2 x−a

√3 a ) +1

√3 a3arctg ( x+a

√3 a )+ 3

√3 a4arctg( x−a

√3 a )+c

51. ∫√1−cos xdx=I

I=∫√1−Cosx dx ⋅ 2Sen2( x2 )=1−cos x ⇒ cos( x

2 )=√ 1−cos x2

I=∫√2Sen2( x2 )dx ⇒ I=∫√2 Sen( x

2 )dx ⇒ I=√2∫Sen ( x2 )dx

¿ x2=u ⇒

dx2

=du ⇒ dx=2 du

I=√2∫2Senu . du ⇒ I=2√2∫Senu . du ⇒ I=2√2 (−cosu )

I=2√2(−cos ( x2 )) ⇒ I=−2√2(√ 1−cos x

2 ) ⇒ I=−2√2(√1−cos x√2 )

∴ I=−2√1−cos x+C

55.∫ x eax dx(1+ax )2

=I

Integracion por partes¿u=xeax→du=( eax+axeax ) dx=eax (1+ax )dx

dv=dx

(1+ax )2→∫ dv=∫dx

(1+ax )2→v=−1

a (1+ax )

I =−xeax

a (1+ax )−∫ [−1

a (1+ax ) ] [eax (1+ax ) ]dx

I =−xeax

a (1+ax )+∫eax

adx

⏟I1

→ I1 =∫eax

adx

¿u1=ax→du1 =adx→dx=du1

a

→ I1 =∫eu1

a¿

du1

a=∫ e

u1

a2du1 =

1

a2 ∫ eu1 du1 =

eu1

a2=eax

a2

⇒ I=−xeax

a (1+ax )+

eax

a2

⇒ I=eax(−xa (1+ax )

+1a2 )=eax (−a2 x+a+a2 x

a3 (1+ax ) )=eax (aa3 (1+ax ) )=eax

a2 (1+ax )

∴ I=eax

a2 (1+ax )+c

59.∫ ctgh−1( xa )dx=I

I=∫ctgh−1(xa )dx

¿u=arcCtgh(xa )→du=−dx

a(x2

a2−1)

¿dv=dx→v=x

I=∫ctgh−1(xa )dx=xarcCtg( x

a)+∫ xdx

a (x2

a2−1)

=xarcCtg( xa

)+a∫ xdx

( x2−a2)⏟I 1

I 1 =∫ xdx( x2−a2)

u1 =x2−a2→du1 =2 xdx

=12∫

2 xdx

( x2−a2 )=1

2∫du1

u1

=12

ln (u1 )=12

ln|x2−a2|

⇒ I=x . arcCtgh( xa

)+a2

ln|x2−a2|+c

∴∫ ctgh−1(xa )dx=x . ctgh−1( x

a)+a

2ln|x2−a2|+c

Pág. 118

71.∫ 3√ sen2 x

cos14 xdx=I

t=tgx→dx=dt

1+ t2

senx=t

√1+t2, cos x=1

1+t2

I=∫ 3√ t2

1+t2

1

(1+t2)7⋅dt

1+t2=3√ t2

11

(1+t2)6⋅dt

1+t2=

3√ t2 (1+t2)6

1+t2dt

I=(1+t2)2 3√t2

(1+t2)dt=∫ (1+t2 )t2/3dt=∫ t2/3dt +∫ t8/3

I=35

t5/3+311

t11/3=355

t5 /3 (5 t2+11)

I=355

3√ tg5 x (5 tg2 x+11)+c

75.∫ e x ( x2−8 )( x−2 )2

dx=I

u=ex ( x2−8 )

du=( x2−8 ) ex+ex(2 x )

du=ex (x2−8+2 x )

du=ex [(x+1)2−32 ]=ex [ ( x−2 )(x+4)]

dv= dx

(x−2)2

v= −1(x−2)

I=−ex ( x2−8 )

(x−2)−∫ [ −1

x−2 ] [ex (x−2)(x+4)]

I=−ex ( x2−8 )

( x−2 )−∫ex ( x+4 )⏟

I1

I 1=u= (x+4 )

du=dx

dv=ex dx

v=ex

I=−ex ( x2−8 )

( x−2 )+( x+4 )e x−∫ ex dx

I=−ex ( x2−8 )

( x−2 )+( x+4 )e x−ex

I=ex (−( x2+8 )

x−2+x+4−1)

I=ex ¿

I=ex (−x2+8+x2+3x−2x−6(x−2)

)

I=ex ( x2+2 )(x−2)

+c

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------