Capitulo II

Matemática II

Objetivo 6. Efectuar problemas que involucren las operaciones definidas

con matrices o la acción de ciertas matrices 2x2 como transformaciones

geométricas del plano 2ℝ .

Ejercicio 1

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C,

en los tamaños grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías

grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B,

y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16

tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes,

en cualquiera de los tres modelos.

a. Representar esta información en dos matrices.

b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes

necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-

tamaño de estantería.

Solución

Justificación: Si las filas de la matriz representan a los tres modelos de

estanterías: A, B y C y las columnas a los tamaños grande y pequeño,

entonces la matriz que representa la información es:

1000 8000

8000 6000

4000 6000

M

=

De igual modo, si las filas de la matriz representan a los tamaños grande

y pequeño y las columnas a los tornillos y soportes, entonces la matriz que

representa la información es:

16 6

12 4N

=

La matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada

modelo de estantería es:

1000 8000 1000 8000 1000 8000

8000 6000 8000 6000 8000

. . . .

. . . . . .

. .

6000

4000 6000 4000 6000 4000

16 12 6 416 6

16 12 6 412 4

16 1 6000. .

16000 96000 6000 32000

128

2

000 72000 4800

6 4

P M N

+ + = = =

+ + + +

+

+

+

112000 38000

0 24000 200000 72000

64000 72000 24000 24000 136000 48000

+ = + +

Respuesta:

a) La representación de la información en 2 matrices es:

1000 800016 6

8000 6000 y 12 4

4000 6000

M N

= =

b) La producción diaria de estanterías es:

112000 38000

200000 72000

136000 48000

P

=

Ejercicio 2

Dada la matriz 1 1

2 1A

− =

Hallar x e y , reales, para que se verifique que: 2 . .A x A y I= + ,

siendo I la matriz identidad de orden 2.

Solución

Justificación: En este caso debemos calcular las matrices: 2A , .x A y

.y I , para luego plantear la igualdad, entonces:

( )( )

2

2

1 2 1 11 1

1 2 1 1

1 1 1 1. . . .1 1

2. .

. . . .

1 2 1 1 1 2

1 2 12 2

2 2 2 1

1

1 4

1A A A

A

= = =

−−+ +

− − − − − = = + − +

− −− −

−

Luego:

( )1 1 .1 . 1. .

2 1 2.2 .1

x xx

x

x xx A

xx x

− − − = = =

y

1 0

0 1

0. .

0I

yy

yy

= =

Ahora sustituimos en la igualdad planteada en la pregunta:

2 .2

1 2 0

01.

4

x xx

x xy I

yA A

y = + → = +

− −

−

−

De esta igualdad tenemos:

0

0

1 2

4 1 22

x x

x x

y x y x

y x x y

− + + + −− − −

= = + + +

Ahora igualamos los elementos correspondientes de las dos

matrices, así:

14 2 4

2

1

1 2

2

1

x y

x

x

x

y

x x x

x

y

y

= → − + − =

− = +− − − −

=+

+

= −

De lo anterior observamos que obtenemos un sistema de 2

ecuaciones con 2 incógnitas, por lo tanto:

4

2 2

22

1

4

1

2x x

x

x

x

x

y

y

−

= ∴

−− == − ∴

=

= +

=

+=

Obsérvese como el valor de equis se obtiene de cualquiera de las

2 ecuaciones en la cual despejé equis, por lo tanto ya sabemos que

2x =

Ahora falta conseguir “ y ”, y esto se logra de la igualdad:

1 2 1 2 3y y− = + ∴ = − − = −

Respuesta:

2x = e 3y = −

Ejercicio 3

Sea

0 3 4

1 4 5

1 3 4

A

= − − −

. Calcular:

a) 3A

b) Demuestre que 33 0A I+ =

c) Teniendo en cuenta el apartado anterior, calcule 10A

Solución

Justificación:

a) Para obtener 3A , procedemos así: 3 2.A A A=

Pero: 2 .A A A=

Así:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

. .

. . . . .

0 3 4

1 4 5

1 3 4

0 1 1 3 4 3 4 5 4. . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . .

0 3 4

1 4 5

1 3 4

0 3 4 0 3 4 0 3 4

1 4 5

.

0 1 1 3 4 3 4 5 4

0 1

1 4 5 1 4 5

1 3 4 1 3 4 1 31 3 4 3 4 5 4 4.

A A A

A

= = =

+ + + + + += + + + + + +

+ + + +

− −−

− − − − − −− − −

− −−

− − −− − −

− +−+−

2

3 4 12 12 15 16 1 0 1

4 5 3 16 15 4 20 20 1 4 4

3 4 3 12 12 4 15 16 1 3 3

A

− − + − + − = − + + − + − = − − − + − − + − − −

Ahora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3

23

0 3 4

1 4 5

1 3 4

0 1 1 3 4 3 4 5 4

0 1 1 3 4 3 4 5 4

0 1 1

1 0 1

1 4 4

1 3 3

1 0 1 1 0 1 1 0 1

1 4 4 1 4 4 1 4

. .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

3

4

1 3 3 1 4 3 43. . . . . 3 .1 3. .

A

A

AA

−

− − −

− −

= = = − −

−

+ + + + +− − −− − −

− −

−

− − −

+= + + + + + +

+ + − − − − + −+ + ( ) ( )

3

.

1 3 3 4 4 1 0 0

4 4 3 16 12 4 20 16 0 1 0

3 3 3 12 9 4 15 12

3

0 1

5 4

0

A

+

− − + − + − = − − + − + = − − + − + − − + − −

−

−

b) Ahora demostraremos que 33 0A I+ =

33

1 0 0 1 01 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0

0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 10

0 0 0

0 0 0

0 01

0

0

IA

+ + + + = → + = + + + = + + +

− − − − − −

c) Para calcular 10A conociendo los parámetros anteriores procedemos

así:

( )310 9 3. .A A A A A= =

pero de 3 33 30A I A I+ = → = −

Entonces:

( ) ( )3 310 9 33. . . .A A A A A I A I A A= = = − = − = −

Así, se tiene:

10

0 3 4 0 3 4

1 4 5 1 4 5

1 3 4 1 3 4

A A

− − = − = − − − = − − − −

Respuesta:

a) 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

− = − −

b) 33

0 0 0

0 0 0

0 0 0

IA

+ =

c) 10

0 3 4

1 4 5

1 3 4

A

− − = − − −

Ejercicio 4

Hallar una matriz B , sabiendo que su primera fila es ( )1,0 , y que

verifica:

1 0.

1 0A B

=

, siendo 1 2 2

2 1 0A

− =

Solución

Justificación: Primero debemos aplicar el requisito fundamental para

poder multiplicar matrices, a saber: el número de columnas de la primera, debe

ser igual al número de filas de la segunda, además, el resultado es una matriza

cuyo orden es del número de filas de la primera y número de columnas de la

segunda, es decir,

Del esquema anterior (que siempre se cumple para la multiplicación de

matrices) se deduce claramente que en número de filas de la matriz B es 3,

mientras que su número de columnas es 2, por lo tanto la matriz B tiene

dimensión 3 2x , por lo tanto la matriz B tiene la estructura:

c d

B x y

z w

=

Pero ya nos indican su primera fila, en el enunciado del problema, por lo

tanto:

1 0

B x y

z w

=

Solo falta conseguir los valores de , , y x y z w , para ello efectuamos el

producto dado, es decir:

1 2 2

2 1 0

1 2

1 0

1 0

1 0

1 0 1 0. .

1 0 1 0

. . . . . . 1 2 2 2 2 1 0

. . .

2 1 2 2

2 1 0 2 1. . 0. 2 1 0

B x y

z w

x z y w

x z

x z y w

x

A

y yw

= → =

+ + + + − + + + = = = + + + + +

−

−

−

Como se conoce el resultado de dicho producto, de la igualdad de las

últimas 2 matrices, se tiene:

2 2 0 2 2 0 (2

0

0

1 2 2 1 (1)

1 2

2 1 2 1

(4)

2

3

1 )

( )x

x z

x z w

y x

y

y y w

+ +

= → + + =

− + + =− + +

==

Obtenemos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas muy sencillo

de resolver, así:

De (4) se tiene directamente que 0y = , sustituyendo éste valor en la

ecuación (2) se obtiene:

( )2 2 0 2 0 2 0 2 0 0y w w w w+ = → + = → = ∴ =

De la ecuación (3) se tiene:

2 1 1 2 1x x+ = → = − = −

Y finalmente de la ecuación (1) se obtiene:

( )1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1

43 2 1 2 1 3 2 4 2

2

x z z z

z z z z

− + + = → − + − + = → − − + =

→ − + = → = + → = ∴ = =

Por lo tanto la matriz B buscada, que cumple con las condiciones

dadas, es:

Respuesta:

2

1 0

0

0

1B

=

−

Ejercicio 5

Verifica que la siguiente matriz es invertible:

2 3 1

3 2 3

0 2 2

A

=

Solución

Justificación: Para que una matriz sea invertible, es necesario y

suficiente que se cumpla lo siguiente:

EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERTIBLE ES DIFERENTE DE

CERO.

Por lo tanto nuestro problema se reduce a conseguir el determinante de

la matriz dada y verificar que es diferente de cero.

Para conseguir el determinante de una matriz puedes hacer uso de la

regla de Sarrus, del método de la lluvia o del método de los mínimos

cuadrados, yo conseguiré el valor del determinante por esos tres caminos y tu

amiga y amigo estudiante seleccionas el que más se ajuste a ti, es decir, el que

sea más sencillo para ti.

Para denotar el determinante de la matriz dada se usan dos rectas, en

este caso las destaque en azul, así:

Regla de Sarrus

Como el determinante de la matriz no tiene como resultado cero, sino

16− , se concluye que la matriz dada ES INVERTIBLE.

Método de la lluvia

Método de los mínimos cuadrados

Este método consiste en reducir el determinante de 3x3 a 2x2, para ello,

se procede de la siguiente manera:

PASO 1: Se selecciona una fila o una columna, la que usted desee, por

lo general se toma aquella que tenga ceros y unos, o números pequeños, ya

que con estos valores los cálculos serán más sencillos, por ejemplo en nuestro

caso tomaré la fila 3 porque contiene el cero, la destacaré en rojo:

2 3 1

det 3

2 2

2 3

0

A =

Ahora se procede a multiplicar por cero el primer mínimo, éste mínimo

se obtiene tapando la fila 3 y columna 1, porque allí esta el cero, es decir:

Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el

determinante con los números azules, es decir:

3 1

2 3

Al calcular este determinante se obtiene:

3 13.3 2.1 9 2 7

2 3− = − ==

Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por 1− elevado a

la suma del número de fila y columna donde esta el cero, en este caso la fila 3

y columna 1, es decir:

( ) ( )3 1 4. 1 . 7 77 7 1 .1

+− = − = =

Finalmente se multiplica por cero este mínimo obtenido, es decir:

1 7.0 0Valor = =

PASO 2: Se repite el paso anterior, recuerda que en nuestro caso tomé

la fila 3, que destaqué en rojo:

2 3 1

det 3

2 2

2 3

0

A =

Ahora se procede a multiplicar por dos el segundo mínimo, éste mínimo

se obtiene tapando la fila 3 y columna 2, porque allí esta el dos, es decir:

Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el

determinante con los números azules, es decir:

2 1

3 3

Al calcular este determinante se obtiene:

2 13.2 3.1 6 3 3

3 3− = − ==

Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por 1− elevado a

la suma del número de fila y columna donde esta el dos, en este caso la fila 3 y

columna 2, es decir:

( ) ( ) ( )3 2 53 3. 1 . 131 . 3

+− = − = − = −

Finalmente se multiplica por dos este mínimo obtenido, es decir:

2 3.2 6Valor = − = −

PASO 3: Se repite el paso anterior, recuerda que en nuestro caso tomé

la fila 3, que destaqué en rojo:

2 3 1

det 3

2 2

2 3

0

A =

Ahora se procede a multiplicar por dos el segundo mínimo, éste mínimo

se obtiene tapando la fila 3 y columna 3, porque allí esta el dos, es decir:

Obsérvese que al tapar la fila y columna señalada se obtiene el

determinante con los números azules, es decir:

2 3

3 2

Al calcular este determinante se obtiene:

2 32.2 3.3 4 9 5

3 2− = − = −=

Luego se multiplica el valor del determinante obtenido por 1− elevado a

la suma del número de fila y columna donde esta el dos, en este caso la fila 3 y

columna 3, es decir:

( ) ( ) ( )3 3 6. 1 .5 1 . 15 55

+− = − =− − = −−

Finalmente se multiplica por dos este mínimo obtenido, es decir:

3 5.2 10Valor = − = −

Ahora el valor del determinante original dado, es la suma de los tres

valores obtenidos, es decir:

1 2 3

2 3 1

det 3 2 3 0 6 10 1

2

6

0 2

A valor valor valor= = + + = − − = −

Respuesta: La matriz es invertible porque su determinante no es nulo.

Ejercicio 6

Verifica que la siguiente matriz es invertible:

1 11

3 21 1 3

3 2 21

0 22

A

=

Solución

Justificación: Para que una matriz sea invertible, es necesario y

suficiente que se cumpla lo siguiente:

EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ INVERTIBLE ES DIFERENTE DE

CERO.

Por lo tanto nuestro problema se reduce a conseguir el determinante de

la matriz dada y verificar que es diferente de cero.

Puedes usar cualquier método dado en el ejercicio anterior sobre cálculo

de determinante, yo utilizaré el método de Sarros, pero en forma directa, ya

que en el ejercicio anterior lo explique detalladamente. Te invito a que

desarrolles este ejercicio con el mismo detalle y c on los 3 métodos

anteriores, para que practiques y te identifiques m ás con alguno de ellos.

1 11

3 21 1 3

det 23 2 2

10 2

2

A = = 1.

2

3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1.1 . .0 . . 0. . 1. . 2. .

2 3 2 3 2 2 2 2 2 3 3

1 3 2 1 3 2 det 1 0 0 1

12 4 9 12 4 9A

+ + − − −

= + + − − − = + − −

Calculando el mínimo común denominador, que no es más que el

mínimo común múltiplo de los denominadores, se tiene:

. . (12,4,9) 2.2.3.3 4.9 36m c m = = = , por lo tanto:

1 3 2 36 3 27 8 39 35 4 2 1det 1

12 4 9 36 36 36 18 9A

+ − − −= + − − = = = = =

Respuesta: Se verifica que la matriz dada es invertible, porque su

determinante es diferente de cero.

Ejercicio 7

Determina, si es posible, una matriz a b c

Ax y z

=

tal que:

1 1 0 1 2

1 0 1 0 1A

= −

Solución

Justificación: En este caso sustituimos en la multiplicación planteada la matriz

A , así:

1 1 0 1 2.

1 0 1 0 1

a b c

x y z

= −

Ahora procedemos a efectuar la multiplicación:

1 1.

1 0

a b c a x b y c z

x y z a b c

+ + + =

Ahora igualamos este resultado, con el dado en el enunciado:

0 1 2

1 0 1

a x b y c z

a b c

+ + + = −

Finalmente igualamos cada componente correspondientemente y

resolvemos el sistema de ecuaciones, así:

(1)

(2)

2 2

0

0

(3)

(4)

(5)

(

1

1

1

1 1

6)

0

0

1

a ab

b y

c z c

a x

a x b

c

y

b

z

c

++ + = = →

+ =+

=

=

+− = −

=

Este sistema de ecuaciones es sencillo, de hecho las últimas 3

ecuaciones (4), (5) y (6) tienen resultados directos, es decir:

, 01 1 y ba c=− ==

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (1), (2) y (3), se obtiene:

0 1

1

1

2

0

y

x

z

+ =

− ++ =

=

Resolviendo este sistema, se tiene:

0 1 1

1 1

0

2 2

1 1

1

y y

z

x x

z

+

+ == → = − =

→ =− + → =

=

Por lo tanto la matriz buscada es:

1 0 1

1 1 1

a b cA

x y z

− = =

Respuesta: La matriz es: 1 0 1

1 1 1A

− =

Ejercicio 8

Dadas las matrices:

1 2

3 4

5 6

A

=

3 2

1 5

4 3

B

− − = −

Hallar:

p q

D r s

t u

=

De manera que A B D+ − sea la matriz nula.

Solución

Justificación: En este caso nos plantean que 0A B D+ − = , es decir:

01 2

3 4

5 6

0

0 0 0

0 0

3 2

1 5

4 3

p q

D r s

t u

BA

− −

−

+

− = → + − =

Se observa que se pueden efectuar las sumas y restas, ya que todas las

matrices son del mismo orden ó de la misma dimensión, así:

0 0 0 0

0 0 0 0

1

0 0 0 0

2 0

2 0 0

4 1 0 0

9 9

3 2 3 2

1 5 1 5

4 3 4

2 1 2

3 4 3 4

5 6 5

0 0

6 3

p q p q

r s r s

t u t u

p p

p q

r s Igualando

t u

− − − − − + − +

+ − = → = →

− − = ∴ = −

− − − − − − = →

− − − −

− −

− −

+

2

0 0

4 0 4

1 0 1

9 0 9

9 0 9

q q

r r

s s

t t

u u

− = ∴ = − = ∴ = − − = ∴ = − − = ∴ =

− = ∴ =

Por lo tanto la Matriz D , buscada es:

Respuesta:

2 0

4 1

9 9

D

− = −

Ejercicio 9

Resolver la siguiente ecuación matricial:

1 2 4 23

0 1 1 10X

− − + =

Solución

Justificación: Para poder sumar y restar matrices, todas deben tener el

mismo tamaño, es decir, la misma dimensión u orden, por lo tanto la matriz

incógnita será de la forma:

a bX

c d

=

Sustituyendo en nuestra ecuación matricial, se tendría:

1 2 4 2 3 3 4 23

0 1 1 10 3 3 1 10

3 3 4 2 3 3 4 2

3 3 1

1 2

0 1

1 2 1 2

0 1 10 3 3 11 10

a b a b

c d c d

a b a b

c d c d

− − − + = → + = →

−

− − = → = →

+ −

++ +

−+

Igualando las últimas matrices, se tiene:

33 1 4 3 4 1 3 1

30

3 2 2 3 2 2 0 03 1 3 2 4 2 3

3 3 1 1 10 13 1

39

3 1 10 3 10 1 9 33

a a a

b b ba b

c dc c

d d d

+ = ∴ = − = ∴ = = − = − ∴ = − = ∴ = =+ − − = → + = ∴ = + = ∴ = − = ∴ = =

Por lo tanto la matriz incógnita es:

Respuesta:

1 0

13

3

a bX

c d

= =

Ejercicio 10

Dadas

−−

=301

012A y

−−−

−=

0204

1312

1041

B . Suponga que jic ,

representa el elemento de la i ésima fila y la j ésima columna de la matriz

producto ( ),. i jA B c= . Hallar 2 , 3c y 1 , 4c .

Solución

Justificación: En este caso nos presentan el producto de la fila por la

columna que debemos obtener, es decir, cuando nos piden 2 , 3c , debemos

multiplicar la segunda fila de la primera matriz ( A ) por la tercera columna de la

segunda matriz ( B ), así:

( ) ( ) ( )2 , 3 2 3( ) ( ) 3 3 2 0 0 6 60 3

0

31 00

2

1c F A C B

= × = − × = + + − × − = + + = ×× −

Con el mismo razonamiento, obtenemos:

( ) ( ) ( )1 , 4 1 4

1

( ) ( ) 0 0 0 2 1 0 3

0

1 1 2 1 12 1c F A C B

= × = × = + + × = + + =

× −×− − −

Respuesta:

2 , 3 6c = y 1 , 4 3c =

A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,

¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu

eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.

Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo

saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en

mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el

estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente

editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o

escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta

a la brevedad posible.

Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,

justificación y respuesta , ya que en los exámenes de desarrollo deberás

justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante

que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre

dando justificación y luego la respuesta .

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 1

Determina el valor de α para que la matriz 1

3 2C

αα

= +

sea invertible y

exhibe un ejemplo de tales matrices.

Ejercicio 2

Sea ( )2 2A M∈ ×ℝ

, la matriz definida por 1 0

0 2A

− =

y considere los siguientes

vectores: 0

xu

=

; 0

vy

=

y x

wy

=

. Determine el efecto geométrico que

ejerce la matriz A sobre los vectores , y u v w respectivamente.

Ejercicio 3

Hallar un vector de 3ℝ de la forma ( ),1,x z de longitud 2 y que forme un

ángulo de 58,052º ( ) 7cos 58,052º

5

≈

con el vector ( )1,3,2− . Dar todas las

soluciones posibles. NOTA: Tomar 3 decimales.

Ejercicio 4

Calcula , , y x y z t para que se cumpla: 2 1 5 1

0 1 0 2

x y

z t

− =

.

Ejercicio 5

Hallar un vector ( ),a b tal que sea unitario y forme un ángulo de 60º con el

vector ( )3,1− . Dar las 2 soluciones posibles.

Ejercicio 6

Sean , y a b c números reales y consideremos las matrices:

1 2

0 8

aA

b

= −

0

1 2

0 1

c

B

= −

2

0 4

c aC

= −

3 5 4

6 0

cD

− =

Determine si existen números reales , y a b c , tales que se verifique la igualdad

.A B C D= − .

Ejercicio 7

Dadas

2 1

1 0

3 4

A

− = −

y 1 2 5

3 4 0B

− − =

. Efectuar . y .A B B A .

Ejercicio 8

Dadas

1 0 1

1 2 0

3 2 1

A

= − −

y

0 1 1

2 1 0

0 2 2

B

= − −

. Compruebe si es verdad que

( ). .t t tA B B A= , es decir, que la transpuesta de A por B es igual al producto de

la transpuesta de B por la transpuesta de A .

Ejercicio 9

Sea 1 2

3 1A

=

. Verifique que 222 5 0A A I− + = y determine explícitamente una

matriz B tal que 2.A B I= .

Ejercicio 10

Sea

1 0 1

1 2 0

3 2 1

A

= − −

. Verifica que ( )232 2A A A A I− = −