Assalamualaikum Wr. Wb.

Kita akan mempresentasikan tentang....ELIPS

Nama Kelompok :1.Dewi Ulul Azmi (01)

2.Ernita Khusnalia (03)3.Fransiska Anggraini (06)4.M. Febrian Bachtiar (13)5.Mawaddatul Hikmawati

(16)6.Moh. Prima T. (18)7.Rizky Ari S.P. (30)8.Upik Nurhalizah (33)9.Windri Ayu Atika Suri (36)

APA ITU “ELIPS”?

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan).

Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api (F1 dan

F2), jarak F1 dan F2 adalah

2c, dan jumlah jarak tetap

adalah 2a (a > 0).

• Perhatikan gambar berikut!

A1 (-a, 0)

PA2 (a, 0)

(- c, 0) (c, 0)

(0, b)

(0, - b)

F2 F1

E L

KT

D

B2

B1

Keterangan :1. (F1 dan F2) disebut fokus. Jika T adalah

sembarang titik pada elips maka TF1 + TF2 = 2a. F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c

2. A1A2 merupakan sumbu panjang (sumbu mayor) yang panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b.

3. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) panjang lactus rectum DE = KL =

4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor

5. Titik puncak elips yaitu A1 ,A2 ,B1 , dan B2

F1 F2A B

D

C

F1 dan F2 disebut titik-titik api atau fokusTitik- titik A , B, disebut puncak-puncak ellips

Menggambar Elips

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

JARAK TITIK

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya A2, maka :

A2F1 + A2F2 = 2a

(a + c) + (a – c) = 2a

2a = 2a

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O

b

c

a

A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

Jika titiknya B1, maka :

222

22

22

2222

2111

22

2

2

acb

acb

acb

acbcb

aFBFB

a

a2 = b2 + c2

b2 = a2 - c2

c2 = a2 - b2

Phytagoras dalam Elips

F1(-c,0)A1(-a,0) F2(c,0)O A2(a, 0)

B1(0, b)

B2(0, -b)

P(x, y)

(x, 0)

(y, 0)

Persamaan Elips dengan pusat O (0,0)

Karena

Persamaan Elips (horizontal)

Pusat O (0,0)

12

2

2

2

by

ax

O

F1(0,-c)

F2(0,c)P(x, y)

x

y

x2

b2y2

a21

a

b

(0,-a)

(0,a)

Elips Vertikal dengan pusat O (0,0)

elips horizontal elips vertikal

Persamaan Elips

Fokus (-c,0) , (c,0) (0,-c) , (0, c)

Puncak (-a,0) , (a,0) (0 ,-a) , (0,a)

Sumbu mayor Sumbu x Sumbu y

Sumbu minor Sumbu y Sumbu x

12

2

2

2

by

ax 12

2

2

2

bx

ay

Perbedaan Persamaan Ellips (0,0)

Selidiki dan buat sketsa grafik dari persamaan

225259 22 yx

Contoh soal

225259 22 yx

1225

252259 22

yx

1925

22

yx

252 a5a

92 b3b

222 bac

9252 c4c

x

y

(0,3)

(0,-3)

(0,5)(0,-5)

(0,4)(0,-4)

pembahasan

Diketahui elips dengan persamaan

.Tentukan fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor dan panjang lactus rectumnya !

Contoh soal

Diketahui persamaan elips = 81 ⇔ a = 9 = 25 ⇔ b = 5

= = ⇔ c =

Fokus (0, - ) dan (0, )Titik puncak (0, -9) dan (0, 9)Panjang sumbu mayor ⇔ 2a = 18Panjang sumbu minor ⇔ 2b = 10Panjang lactus rectum (LR) ⇔

pembahasan

O’ = S(g,h)

y

xO (0,0)

y’(x=g)

x’(y=h)

P 1''2

2

2

2

by

ax

1)()(2

2

2

2

bhy

agx

a

b

Persamaan Ellips dengan pusat S (g,h)

O’ = S (g,h)

y

xO (0,0)

y’(x=g)

x’ ( y=h)

P

1''2

2

2

2

ay

bx

1)()(2

2

2

2

ahy

bgxa

b

Ellips Vertikal dengan pusat S (g,h)

elips horizontal elips vertikal

Persamaan Elips

Fokus ((g-c),h) , ((g+c),h) (g,(h-c)) , (g,(h+c))

Puncak ((g-a),h) , ((g+a),h) (g,(h-a)) , (g,(h+a))

Sumbu mayor x’ atau y=h y’ atau x=g

Sumbu minor y’ atau x=g x’ atau y=h

1)()(2

2

2

2

bhy

agx

1)()(2

2

2

2

bgx

ahy

Perbandingan Persamaan Ellips (g,h)

Gambarlah ellips yang mempunyai persamaan

(x – 2)236

(y + 5)216+ =

1

Contoh soal

x

y

a2 = 36a = ±6

b2 = 16b = ±4

(x – 2)2

36(y + 5)2

16+ = 1

pusat = (2,-5)

(8,-5) (-4,-5)

(2,-1) (2,-9)

pembahasan

Gambarlah ellips yang mempunyai persamaan

(x – 2)2

36(y + 5)2

16+ = 1

Contoh soal

x

y

a2 = 25a = ±5

b2 = 81b = ±9

(x + 3)2

25

(y + 1)2

81+ = 1

Titik pusat = (-3,-1)

Titik puncak : (-3,8) (-3,-10)

(-8,-1) (2,-1)

pembahasan

Bentuk Umum Persamaan ElipsPersamaan elips memiliki bentuk umum:

i. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Elips

Persamaan Garis singgung ellips

ii. Persamaan Garis Singgung dengan gradien p

Persamaan elipsPersamaan garis singgung

Melalui titik ( Dengan gradien p

Persamaan garis singgung elips dititik P(

Persamaan garis singgung elips dititik P(m, n)

Persamaan elipsPersamaan garis singgung

Melalui titik ( Dengan gradien p

Tentukan persamaan garis singgung elips

, pada titik (5, -3)

Contoh soal

Diketahui : Pusat (m, n) ⇔ (1, -2) (5, -3) ⇔ =5 dan = -3Persamaan garis singgung :⇔ ⇔⇔⇔ ⇔ 2(x – 1) - (y + 2) = 9⇔ 2x – y = 13

pembahasan

Tentukan persamaan garis singgung elips

, dengan gradien 2

Contoh soal

Diketahui :⇔ m = -3, n = 4, = 15, = 4, dan p = 2Persamaan garis singgung :

⇔⇔⇔y =2x + 6 8 +4⇔ y = 2x + 18 dan y = 2x + 2

pembahasan