Estándares matematicas 8vo

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Matemáticas

Mapas Curriculares8vo Grado

Área de contenido: MatemáticasDuración: 5 semanas

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8.1 Números y operaciones

Etapa 1 Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad, los estudiantes aprenderán a describir los números reales como el grupo de todos losnúmeros decimales. Ellos usarán notación científica, estimación y propiedades para representar yresolver problemas que envuelven números reales.

Estándares de contenido y expectativasN.SN.8.1.1 Describe los números reales como el conjunto de todos los posibles números decimales.N.SN.8.1.2 Reconoce que representaciones como y otros números irracionales son decimalesinfinitos, no-periódicos.N.SN.8.1.4 Reconoce, relaciona y aplica las propiedades de los números reales (asociativa,conmutativa, identidad, inverso, distributiva, clausura) para resolver problemas.N.SN.8.1.5 Distingue entre números racionales e irracionales.N.SN.8.1.6 Utiliza las leyes de exponentes para simplificar expresiones.N.SN.8.1.7 Utiliza técnicas de estimación para decidir si la respuesta es razonable.A.RE.8.7.1 Halla las potencias enteras de números racionales; evalúa el significado de potenciasenteras de variables en las expresiones y aplica las leyes básicas de los exponentes.am n = am+n; (am)n = amn; (ab)n = anbn; 0 = 1; am/an = am-n

Ideas grandes/Comprensión duradera:Las propiedades de los números realespueden ser utilizadas para resolverproblemas del mundo real.Los números reales pueden ser racionales oirracionales.Las estrategias de estimación sonherramientas útiles para resolver problemas.

Preguntas esenciales:¿Cómo nos ayudan las propiedades de losnúmeros reales a resolver problemas delmundo real?¿Qué son los números reales?¿En qué radica la utilidad de la estimacióncomo herramienta para resolver problemas?

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)Los números reales son el grupo de númerosracionales e irracionales.La notación científica usa las leyes de losexponentes.

otros números racionales son infinitos y noperiódicos.

Vocabulario de contenidoNúmeros realesNúmeros racionalesNúmeros irracionalesLeyes exponencialesAsociativaConmutativaIdentidadInversaDistributivaClausura

Destrezas (Los estudiantes podrDado un número, determinar si es racional oirracional.Dada una expresión, simplificarla usando lasleyes de los exponentes.Encontrar las potencias enteras de los númerosracionales.Dada una respuesta para un problema, usar laestimación para determinar si es razonable.Dado un problema, estimar la solución.Resolver problemas usando las propiedades delos números reales.


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Números-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

NúmerosEtapa 2 Evidencia de avalúo

Tareas de desempeño:Organizadores gráficos (parejas)Pida a los estudiantes que creen su propioorganizador gráfico para ilustrar lar relacionesentre los subconjuntos del sistema de númerosreales. Esta tarea se realiza mejor después de lalección de los diagramas de Venn, ya que losestudiantes entienden el propósito de unorganizador gráfico. Los estudiantes debenincluir:

Al menos 10 números en su organizadorgráfico.Los subconjuntos deben estar identificados.

Los organizadores gráficos deben estar enpósters.

Cuando los organizadores estén completados,deben exhibirlos en el salón de clases para quelos estudiantes puedan caminar alrededor delsalón para ver los proyectos y hacerlespreguntas a los creadores.Los maestros pueden evaluar el proyecto segúncomo los estudiantes sigan las directrices y laexactitud de la información matemática en elpóster.Propiedades (parejas o individual)Dé a los estudiantes el conjunto cerrado { 1, 0,1}. Haga la siguiente pregunta: ¿Cuál de laspropiedades de los números reales sonverdaderas para el conjunto? Hágalos queprovean su trabajo y explicaciones escritas parasustentar sus ideas. Los maestros puedenevaluar a los estudiantes en relación a cuán bienjustifican las propiedades que sostienen.

Otra evidencia:Preguntas de ejemplo para tarea o prueba corta

¿Cuál es un ejemplo de la propiedadconmutativa de la suma?A. 3 + 5m = 3 + (1 + 4)mB. 3 + 5m = 5m + 3C. 3 + 5m = (3 + 5)mD. 3 + 5m = 3m + 5¿Cuál propiedad de los números reales justificael siguiente enunciado?

4x(y + 2) 3y es equivalente a 4x(y) + 4x(2) 3yA. La propiedad asociativa de la multiplicaciónB. La propiedad conmutativa de la

multiplicaciónC. La propiedad distributiva de la

multiplicación sobre la sumaD. La propiedad de clausura de multiplicación

Diario de matemáticas (algunos ejemplos)Explica en palabras la diferencia entre unnúmero racional e irracional.Da un ejemplo de una situación donde usasestimación.

irracional?Demuestra por qué (52)(52) es lo mismo que52+2.

Papelito de entrada (ejemplos rápidos)Use la información para orientar la clase del día encurso.

Explica una idea que recuerdes de la claseanterior.Nombra una idea que no comprendiste de latarea para hoy.Explica que fue difícil (o fácil) de la tareaasignada para hoy.

Papelito de salida (ejemplos rápidos)En la clase de hoy aprendí ______________.Hoy estuve confundido con _________.


Junio 2011 820Adaptado de Understanding By Design de Grant Wiggins & Jay McTighe


Etapa 3 Plan de aprendizajeActividades de aprendizaje

Acertijo de vocabulario de matemática: Prepare un set de cartas con una palabra de vocabulariopor carta. Divide la clase en dos grupos. Una persona del primer grupo selecciona al azar una carta

estudiante puede tomar una pieza de papel y romperla en dos y retener sólo un pedazo. Losestudiantes pueden ser muy creativos. Cuenten el número de segundos que le toma al grupoadivinar la palabra. Luego el segundo grupo trata con otra carta. Continúe hasta que todas lascartas se hayan usado. El equipo con el número menor de segundos en total gana.Permita a los estudiantes que trabajen en parejas para descubrir algunas de las leyes deexponentes dándoles diferentes ejemplos para encontrar respuestas y luego déjeles generalizarcualquier patrón que noten. Discuta con los estudiantes respuestas en grupo. (Ver Anejo: 8.1Actividad de aprendizaje Exponentes).

Lecciones de prácticaEn esta lección, los estudiantes manipulan números en el diagrama de Venn para mostrar larelación entre subconjuntos del sistema de números reales. (Ver Anejo: 8.1 Lección de prácticaOrganizando números)En esta lección descubren algunas de las leyes básicas de los exponentes (Ver Anejo: 8.1 Lección depráctica Hablando científicamente)En esta lección los estudiantes practican el identificar las propiedades de los números realesmientras juegan un juego de misterio (Ver Anejo: 8.1 Lección de práctica Un misterio queresolver)

Recursos adicionaleshttp://figurethis.org/espanol.htmhttp://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.htmlhttp://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/

Conexiones a la literaturaNúmeros reales, potencia y radicales de Ismael Sousa MartinNúmeros decimales y enteros de Félix NietoTrocitos y pedacitos 1: Para comprender los números racionales de Manuel del AlumnoTrocitos y pedacitos 2: Para usar los números racionales de Manuel del Alumno


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8.2 Ecuaciones lineales

Etapa 1 Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad los estudiantes aplicarán terminología apropiada al discutir situaciones algebraicas. Losestudiantes representarán situaciones algebraicas como ecuaciones, tablas, representaciones verbalesy gráficas. Los estudiantes aprenderán a resolver una variedad de ecuaciones lineales en diferentesformas. Ellos resolverán inecuaciones y ecuaciones con valores absolutos y explicarán el razonamientodetrás de cada etapa de solución.Estándares de contenido y expectativasA.RE.8.2.3 Describe las características de funciones lineales por pedazos, incluyendo valor absoluto ysituaciones donde surjan.A.RE.8.2.4 Aplica la terminología y los símbolos asociados con expresiones, funciones y ecuacioneslineales, incluyendo notación de funciones, entradas, salidas, dominio, alcance, pendiente, interceptos,variable dependiente e independiente.A.RE.8.3.1* Representa patrones lineales por medio de tablas, gráficas, sucesiones, expresiones

= ax + b.A.RE.8.3.2 Describe el significado de las expresiones simbólicas de la forma ax + b en palabras, einterpreta los cambios en los parámetros a y b.A.RE.8.3.3 Desarrolla expresiones algebraicas, ecuaciones e inecuaciones equivalentes usando laspropiedades conmutativa, asociativa, inverso, identidad y distributiva.A.RE.8.3.4 Identifica y traduce entre representaciones equivalentes de expresiones lineales,ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones, por medio de representaciones verbales, tablas,gráficas y símbolos.A.RE.8.3.5 Escribe, interpreta y traduce entre formas equivalentes de ecuaciones y funciones lineales,incluyendo: punto-pendiente, pendiente-intercepto, y la forma general, reconociendo que las formasequivalentes de las relaciones lineales revelan información de una situación dada.A.RE.8.4.1 Describe y distingue entre los diferentes usos de las variables: como símbolos paracantidades que varían (como 7x); como símbolos para un valor fijo y posiblemente desconocido en unaecuación (como 2x + 7 = 4); como símbolos para todos los números en propiedades (x + x = 2x); comosímbolos en fórmulas (como A = bh) y como símbolos para parámetros (como m es la pendiente en y =mx + b).A.RE.8.4.2 Identifica los términos variables y constante en una expresión lineal, en ecuaciones einecuaciones y en sistemas de ecuaciones e inecuaciones.A.RE.8.4.3 Identifica y distingue entre parámetros en la variable dependiente e independiente en unarelación lineal (para y = mx + b, x y y son variables respectivamente, m, b son los parámetros.A.RE.8.4.4 Describe y distingue entre los tipos de ecuaciones que pueden construirse al igualarseexpresiones lineales, incluyendo identidades (x + x = 2x), ecuaciones sin soluciones (x + 1 = x + 2)fórmulas (c =(y = 3x + 7).A.MO.8.5.1 Construye una ecuación o inecuación lineal para modelar una situación del mundo real,usando una variedad de métodos y representaciones.A.RE.8.5.2 Analiza y explica el razonamiento utilizado para resolver ecuaciones e inecuaciones lineales.A.RE.8.5.3 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales usando símbolos, gráficas, tablas y tecnología.A.RE.8.5.4 Resuelve ecuaciones e inecuaciones lineales con valor absoluto.A.CA.8.8.2 Analiza situaciones matemáticas y del mundo real, determina si puede describirse por unmodelo lineal, y determina la razón de cambio constante y desarrolla e interpreta la función lineal quemodela la situación.


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A.CA.8.8.1 Generaliza patrones lineales o sucesiones aritméticas utilizando reglas verbales yexpresiones simbólicas tales como ak y ax + b.*Edición técnica hecha por edCount, LLCIdeas grandes/Comprensión duradera:

Las ecuaciones algebraicas pueden modelareventos del mundo.Las ecuaciones algebraicas puedenrepresentarse de diferentes maneras.Las funciones describen las relaciones ypermiten predecir resultados futuros.

Preguntas esenciales:¿Cómo ayuda el álgebra a resolver losproblemas del mundo?¿Cuáles son las diferentes representaciones delas ecuaciones algebraicas?¿Qué es un valor desconocido?¿Por qué usamos variables?

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)Formas equivalentes de relaciones linealesrevelan información de una situacióndeterminadaLas variables tienen roles diferentes: comosímbolos de cantidades que varían (como7x); cómo símbolos de un valor fijo yposiblemente desconocido en una ecuación(como en 2x+7=4); como símbolos enfórmulas (como A=bh) y como símbolos paraparámetros (como en m en la pendiente eny=mx+b)El uso apropiado de términos algebraicos ynotación simbólica

Vocabulario de contenidoFunciónValor absolutoEntradaSalidaDominioAlcancePendienteInterceptoVariable dependienteVariable independienteVariableConstante

Destrezas (Los estudiantes podResolver una ecuación lineal de valor absolutoResolver una inecuación de valor absolutoResolver una ecuación lineal usando tablas,gráficas y símbolosDada una ecuación lineal con los pasos desolución, justificar cada paso por escritonombrando la propiedad usadaModelar una situación usando una ecuaciónlineal escrita en función de la formaDada una ecuación en la forma y=mx+b,identificar las variables dependientes eindependientesDada una ecuación, identificar las(s) variable(s)y constante(s)Dada una inecuación, identificar la(s) variable(s)y constante(s)Dada una ecuación lineal en su forma general,expresar la ecuación en las formas de punto-pendiente y pendiente-interceptoDada una ecuación lineal en su formasimbólica, expresar la relación en surepresentación verbal, tabla, gráfica y funciónde la formaDada una ecuación lineal, crear una ecuaciónequivalente usando la propiedad conmutativaDada una ecuación lineal, crear una equivalenteusando la propiedad asociativaDada una ecuación lineal, crear una ecuaciónequivalente usando la propiedad de identidadDada una ecuación lineal, crear una ecuaciónequivalente usando la propiedad inversaDada una ecuación lineal, crear una ecuaciónequivalente usando la propiedad distributivaDada una ecuación en la forma y=mx+b,


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identificar por escrito el significado de m y bUsar la función de notación cuando serepresenta una ecuación lineal en formasimbólicaGeneralizar un patrón lineal o secuenciaaritmética usando reglas verbales y expresionessimbólicas tales como ax + b

Etapa 2 Evidencia de avalúoTareas de desempeño:Representaciones (individual)Dé a los estudiantes la ecuación f(x) = 10x + 15.Pídales que hagan lo siguiente:1. Escribe una representación verbal (historia)

para representar esta ecuación.2. Representa la ecuación gráficamente.3. Representa la ecuación en forma de tabla.Evalúe a los estudiantes según la precisión desus representaciones.Pósters dependiente/independiente (parejas)Una manera fácil de introducir esta idea eshablar sobre las relaciones de causa y efecto. Asu nivel más básico, las variables independientesson la causa y las variables dependientes elefecto. Se pueden hacer muchas conexiones ycomparaciones que los estudiantes encontraránfáciles:

Independiente DependienteCausa EfectoAntes DespuésEntrada SalidaLo que haces Lo que pasa

La idea de este proyecto en particular es que losestudiantes usen dos imágenes (dibujadas oprestadas) para ilustrar la relación de lasvariables dependientes e independientes. Lasinstrucciones del proyecto contienen numerososejemplos, pero la premisa es tener una imagende una cosa que afecte otra directamente,identificarlas apropiadamente y escribir unenunciado simple que explique la relación. Losestudiantes tendrán la libertad de usarcualquiera de los ejemplos incluidos o crear lossuyos propios.Usa el siguiente criterio para evaluar:

Otra evidencia:Diario de matemáticas (algunos ejemplos)

Explica la diferencia entre variablesdependientes e independientesPara la ecuación y = 3x + 4, identifica el dominioy el alcancePara la ecuación y = 5x + 10, escribe unarepresentación verbal







1. Siguiendo direcciones: ¿Incluyeron todos loselementos requeridos (imágenes/dibujos,explicaciones, etiquetas)?

2. Claridad: ¿Hacen sentido los ejemplos y sonfáciles de entender para los otrosestudiantes?

3. Esfuerzo: ¿Hizo el estudiante el proyecto atiempo y se esforzó en hacer un póstercolorido, que capturara la atención y quefuese fácil de ver desde lejos?

Enfatice que el proyecto del mini-póster tieneque considerar a los otros estudiantes quemirarán el póster en la pared y que tienen queesforzarse por ser claros para que se entiendanlos conceptos, por lo que tiene que ser fácil decomprender por cualquier persona. (Ver Anejo:8.2 Tarea de desempeño Hoja de trabajo:Pósters dependiente/independiente)


En este juego de pendientes y cuadrados, los estudiantes trabajarán con ecuaciones equivalentes(Ver Anejo: 8.2 Actividad de aprendizaje Juego de los cuadrados)En estos juegos los estudiantes resuelven ecuaciones e inecuaciones y combinan soluciones deecuaciones y inecuaciones (Ver Anejo: 8.2 Actividad de aprendizaje Ecuaciones lineales)En este juego, el estudiante combina diferentes formas de ecuaciones (Ver Anejo: 8.2 Actividad deaprendizaje Ecuaciones lineales)

Lecciones de prácticaEn esta lección los estudiantes aprenden sobre funciones, dominio y alcance (Ver Anejo: 8.2Lección de práctica Variación directa)Esta lección sobre dominio y alcance debe seguir la lección anterior (Ver Anejo: 8.2 Lección depráctica Patio cuadrado)


Conexiones a la literaturaEcuaciones y funciones de segundo grado de Ismael Sousa MartinAlgebra sin dolor: Painless Algebra de Lynette LongMatrices, vectores y sistemas de ecuaciones lineales de Antonio Montes LozanoDiez lecciones de cálculo numérico de Jesús Sanz Serna2000 Problemas de algebra lineal de Proskuriakov I. V.

Area de contenido: MatemáticasDuración: 8 semanas

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8.3 Ecuaciones no lineales

Etapa 1 Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad, los estudiantes aprenderán a distinguir representaciones lineales y no lineales, yestudiarán tipos de funciones no lineales y sus representaciones. Ellos resolverán ecuacionescuadráticas y usarán cuadráticas para resolver problemas del mundo real. También estudiaránfunciones exponenciales y las formas generales de las ecuaciones y aprenderán cómo multiplicarecuaciones lineales y factores cuadráticos.Estándares de contenido y expectativasA.PR.8.2.1 Determina si una relación es una función a partir de su gráfica y su descripción verbal.A.PR.8.2.2 Determina si una relación es lineal o no lineal basándose en si tiene o no razón de cambioconstante, su descripción verbal, su tabla de valores, su representación gráfica o su forma simbólica.A.RE.8.6.1* Identifica relaciones no lineales (exponencial, cuadráticas, y de la forma y=k/x) enrepresentaciones gráficas o tablas a través del examen de las diferencias sucesivas, las razones, lasformas simbólicas o las propiedades de la gráfica.A.RE.8.6.2 Identifica los términos de una sucesión geométrica (exponencial) usando expresionesverbales y simbólicas.A.RE.8.6.3 Multiplica un par de expresiones lineales e interpreta el resultado de la operaciónnuméricamente por evaluación, por medio de una tabla de valores y gráficamente.

Reconoce que al multiplicar factores lineales produce relaciones no lineales.A.RE.8.7.2 Reconoce las funciones exponenciales a partir de sus descripciones verbales, sus tablas, susgráficas o sus representaciones simbólicas, y traduce entre estas representaciones.A.RE.8.7.3 Describe los efectos de los cambios en el coeficiente, la base y el exponente en elcomportamiento de una función exponencial.A.RE.8.7.4 Distingue entre las representaciones generales para ecuaciones exponenciales (y = bx,y=a(bx) y ecuaciones cuadráticas (y = -x2; y=x2; y=ax2; y=x2 +c; y = ax2+ c) y describe cómo los valoresa,b,c afectan su gráfica.A.RE.8.7.5 Desarrolla y describe las múltiples representaciones de las soluciones de las ecuacionescuadráticas y exponenciales utilizando manipulativos, tablas, gráficas, expresiones simbólicas y latecnología.

Representa funciones cuadráticas simples utilizando descripciones verbales, tabla de valores,gráficas y fórmulas.

A.RE.8.7.6 Factoriza expresiones cuadráticas simples (factor común, trinomio cuadrático perfecto,diferencia de cuadrados y cuadráticas de la forma x2 + bc + c que factorizan sobre los enteros) y aplicala propiedad del producto igual a 0 para determinar las soluciones de una ecuación.A.RE.8.7.7 Soluciona ecuaciones cuadráticas, con y sin la tecnología, e interpreta estas soluciones entérminos del contexto del problema original.*Edición técnica hecha por edCount, LLC

Ideas grandes/Comprensión duradera:Las relaciones del mundo real pueden sermodeladas por ecuaciones no lineales.Las relaciones no lineales pueden expresarsede varias maneras.Las funciones describen las relaciones y tepermiten predecir resultados futuros.

Preguntas esenciales:¿Cómo sabes si una relación es lineal o no-lineal?¿Cómo pueden ser expresadas las relaciones nolineales?¿Cómo puedes reconocer la gráfica de unafunción no lineal?


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Contenido (Los estudiantes comprenderán...)

La multiplicación de factores linealesproduce relaciones no lineales.El comportamiento de una funciónexponencial cambia de manera predeciblecuando cambian la base, el exponente o elcoeficiente.La gráfica de una función cuadrática tieneuna forma geométrica distintiva llamadaparábola, que exhibe simetría geométrica ytiene un punto mínimo o máximo.Es necesario aprender las diferentes formasde una misma función porque cada forma seusa para analizar diferentes característicasde una función.

Vocabulario de contenido

Ecuación no-linealFunción exponencialEcuación cuadráticaCoeficienteBaseExponenteFactorSecuencia geométricaSecuencia aritméticaCeros o raíces de una ecuaciónVérticeParábola

Destrezas (Los estudiantes pod

Determinar si la relación es una función por sugráfica o descripción verbalDada una ecuación, gráfica o tabla, determinarsi la relación es lineal o no-linealDadas dos expresiones lineales, multiplicar yexpresar el producto con una tabla o gráficaDada una secuencia geométrica de al menos 5términos, escribir una expresión verbal pararepresentar la secuenciaDada una secuencia geométrica de al menos 5términos, escribir una expresión simbólica pararepresente la secuenciaDado un set de gráficas, identificar la relaciónexponencialDada una función exponencial en unarepresenta la función utilizando otras formas(verbal, gráfica, simbólica, tabla de valores)Dada una ecuación en su forma general,determinar si es lineal, exponencial ocuadráticaDada una ecuación cuadrática simple,factorizarlaDeterminar la solución de una ecuacióncuadrática aplicando la propiedad del productoigual a 0Dado un problema del mundo real, resolverlousando una ecuación cuadrática

Etapa 2 Evidencia de avalúoTareas de desempeño:El problema de los conejos y qüimos (parejas)Una banda de 45 conejos se estrelló de noche enel Parque Nacional. Esto suena como unproblema pequeño, pero la población va a crecera un promedio rápido de 22% por año. Escribeuna ecuación para describir la población encualquier año. También crea una tabla quemuestre la población cada 5 años hasta el 2050.1. Coincidentemente, una banda de güimos se

estrelló cerca de los conejos. Los güimostienen un modelo de crecimientopoblacional de A = 105(0.91)t, donde A es lapoblación en cualquier momento, t, dada en


¿Cómo sabes si la ecuación es lineal o no lineal?Compara una ecuación algebraica seasemejante al proceso de factorizar 36Da un ejemplo del mundo real de una relaciónque sea exponencial.


Explica una idea que recuerdes de la claseanterior.Nombra una idea que no comprendiste de latarea para hoy.


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años. ¿Crecerá la población? ¿Decrecerá?¿Se estancará? Explica tu razonamiento.

Los maestros deben evaluar la corrección de losestudiantes en las matemáticas y en laexplicación del razonamiento usado.El cohete (parejas)El camino de un cohete modelo puede serdescrito por su función cuadrática y = -x2 - 12x,donde el punto (x, y) representa la altura (y) delcohete (en metros) a tiempo x segundos despuésdel despegue. Identifica la altura máxima delcohete, y determina el momento en el que elcohete alcanza su altura máxima. (Ver Anejo: 8.3Tarea de desempeño El cohete)

Explica que fue difícil (o fácil) de la tareaasignada para hoy.



cuadráticas. (Ver Anejo: 8.3 Actividad de aprendizaje Juego del cuadrado: Factorizando)El siguiente experimento está diseñado para estimular la frecuencia natural y darles a losestudiantes experiencia con una situación del mundo real que es exponencial. Puedes necesitar

1. a debajo ala derecha de lanzamiento #0 (Ver Anejo: 8.3 Actividad de aprendizaje Tablas de M&M ), ycorta papel en cuartos para darle a cada estudiante una tabla para ir marcando sus datos)

2. emueve y deja a un ladoaquellos que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla ala derecha de lanzamiento #1. Pon estos dulces de vuelta al vasito.

3. Mueve el vaso, vira los dulces. Remueve y deja a un lado aquellos que cayeron mostrando la m.Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla. Repite este procedimiento hasta queno aparezcan m.

4. Haz una gráfica en papel de gráfica con los datos colectados.5. ¿Qué notas? ¿Es esto una función lineal o no lineal? ¿De qué tipo? ¿Cómo lo sabes?

Lecciones de prácticaEn esta lección, los estudiantes combinarán una gráfica y una tala con ecuaciones cuadráticasapropiadas. El maestro necesitará cortar las gráficas, tablas, ecuaciones y pegarlas a cada tarjeta.Necesitará un set por grupo de estudiantes. Después los estudiantes completarán la tarea yexplicarán en una gran discusión de grupo cómo sabían cuál era correcta. (Ver Anejo: 8.3 Lecciónde práctica Recolectando datos y ecuaciones de regresión)En esta lección, los estudiantes practicarán resolver ecuaciones cuadráticas (Ver Anejo 8.3 Lecciónde práctica Resolviendo cuadráticas)En esta lección, los estudiantes usarán ecuaciones cuadráticas para resolver problemas del mundo(Ver Anejo 8.3 Lección de práctica Aplicaciones cuadráticas)

Recursos adicionaleshttp://figurethis.org/espanol.htmhttp://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html




http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/Conexiones a la literatura

Ecuaciones diferenciales/Differential Equations II: Ecuaciones no lineales de Carlos FernándezPérez y José M. MontanerSistemas de ecuaciones de Félix NietoLa función cuadrática/The Quadratic Function: Enfoque de resolución de problemas/Problem-Solving Approach de Luz Manuel Santos TrigoEstructuras algebraicas VI: Formas cuadráticas de Francisco M. Piscoya H.


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8.4 Geometría y medición

Etapa 1 Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad, los estudiantes usan lo que han aprendido en años anteriores y comienzan a formularargumentos. Ellos aprenden la diferencia entre argumentos inductivos y deductivos; y lo aplican acongruencia, semejanza y el Teorema de Pitágoras. Los estudiantes exploran sistemas axiomáticos y loscomponentes incluyendo axiomas, postulados y teoremas. También podrán comparar esto entresistemas euclidianos y sistemas no euclidianos, especialmente el postulado de la línea paralela. Enmedición, los estudiantes se concentrarán en el nivel de precisión de una situación dada y explorarán loque les pasa a las medidas como la de volumen cuando cambian la escala y las dimensiones.

Estándares de contenido y expectativasG.MG.8.9.1 Identifica y construye elementos básicos de figuras geométricas (alturas, bisectriz deángulos, bisectriz perpendicular, radios u otros) usando compás, transportador u otras herramientastecnológicas.G.MG.8.9.2 Construye patrones bidimensionales (redes) para modelos tridimensionales como (prisma,rectas, pirámides, cilindros y conos)G.MG.8.9.3 Utiliza representaciones algebraicas y coordenadas (distancia, punto medio, pendiente)para describir y definir figuras.G.MG.8.9.4 Utiliza redes, dibujos, modelos e imágenes creadas con la tecnología para representarfiguras geométricas y analizar las relaciones entre ellas.G.FG.8.10.1 Describe la estructura y relaciones dentro de un sistema axiomático (términos sin definir,términos definidos, axiomas, postulados, razonamiento y teoremas).G.FG.8.10.2 Examina argumentos deductivos e inductivos concernientes a conceptos y relacionesgeométricas como la congruencia, semejanza y la relación pitagórica.G.FG.8.10.3 Reconoce defectos o discrepancias en el razonamiento que sostienen un argumento.G.FG.8.10.4 Desarrolla y prueba conjeturas sobre ángulos, líneas, bisectrices, polígonos (especialmentetriángulos y cuadriláteros) círculos, y figuras tridimensionales.G.FG.8.10.5* Justifica enunciados sobre ángulos formados por líneas perpendiculares y transversalesde líneas paralelas.G.FG.8.11.1 Investiga las representaciones geométricas y las propiedades que no se encuentran en lageometría plana (por ejemplo, relaciones en la geometría de una esfera).G.FG.8.11.2 Interpreta el rol del postulado de las rectas paralelas como un postulado clave en laformulación de la geometría euclidiana, e ilustra su contraparte en otras geometrías (geometría de laesfera).M.UM.8.12.1 Selecciona y aplica técnicas e instrumentos para determinar medidas con un gradoapropiado de precisión.M.UM.8.12.2 Determina cómo las medidas son afectadas por cambios en la escala y sus dimensiones.*Edición técnica de la numeración hecha por edCount, LLC

Ideas grandes/Comprensión duradera:La geometría nos ayuda a describir el mundoa nuestro alrededor.Las figuras tridimensionales pueden serrepresentadas con figuras bidimensionales.El álgebra y la geometría estáninterrelacionadas.Hay diferentes tipos de geometría.

Preguntas esenciales:¿Cómo se relacionan las figurasbidimensionales y tridimensionales?¿Cómo se relacionan el álgebra y la geometría?¿Qué elementos geométricos nos ayudan adescribir el mundo a nuestro alrededor?¿Qué diferencia hay entre los tipos degeometría?


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Contenido (Los estudiantes comprenderán...)Dos líneas paralelas cortadas por unatransversal crean varios pares de ánguloscon las mismas medidasLa notación correcta de las medidas de unángulo es por ejemplo, m<A= 98Hay propiedades que existen en otrasgeometrías que no existen en la geometríaeuclidianaEn la geometría euclidiana los axiomas,postulados, teoremas y razonamientos estánrelacionados

Vocabulario de contenidoPrismaConoRedBisectrizBisector PerpendicularRadioCompásTransportadorFórmula del punto medioFórmula de distanciaAxiomaPostuladoTeoremaGeometría euclidianaGeometría no-euclidianaEscalaTransversalLíneas paralelasArgumento inductivoArgumento deductivoCongruenciaSemejanzaRelación pitagórica

Destrezas (Los estudiantes podDado un ángulo, construir una línea que bisecael ángulo usando un compás u otraherramienta tecnológicaDada una figura tridimensional (prisma,pirámide, cilindro, cono) construir una red parala figuraUsar representaciones algebraicas ycoordenadas (distancia, punto medio ypendiente) para describir y definir figurasDadas dos figuras geométricas, usar redes,dibujos, modelos e imágenes creadas portecnología para escribir un análisis breve de larelación entre dos figurasDado un argumento defectuoso, identificar eldefecto en el razonamientoDado un diagrama de dos líneas paralelascortadas por una transversal, justificar larelación entre los ángulos verticalesDado un ángulo, usar un transportador paraencontrar su medida para el grado más cercanoCalcular y después comparar el volumen de unprisma rectangular, con el volumen de unprisma rectangular con un atributo distinto(longitud, ancho, alto)Dada una medida y una situación, decidir si elnivel de precisión de la medida es apropiadopara la situaciónDesarrollar y probar supuestos sobre ángulos,líneas, bisectrices, polígonos (especialmentetriángulos y cuadriláteros), círculos y figurastridimensionalesIlustrar la contraparte del postulado de la líneaparalela de la geometría de Euclides en otrasgeometrías (ej. geometría de la esfera)

Etapa 2 Evidencia de avalúoTareas de desempeño:Redes para cubos (parejas)Dé a los estudiantes varias hojas de papelcuadriculado y tijeras. Dígales que hay 11 redespara un cubo y tienen que encontrar todas lasposibilidades. Ellos pueden experimentarcortando las redes y doblándolas para crear los


Compara y contrasta un rectángulo a un prismarectangular.Por escrito, explica la diferencia entre unrazonamiento inductivo y uno deductivousando un ejemplo.


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cubos. Cuando crean que han encontrado todaslas redes, pídales que entreguen las redeshechas en el papel. Los maestros pueden evaluarfijándose en la precisión de las 11 redes. (VerAnejo: 8.4 Tarea de desempeño 11 Redes)Usando el teorema de Pitágoras (individuales)Dibuja un triángulo recto en la pizarra concuadrados en la hipotenusa y extremidades, yobserva el hecho de que el cuadrado en lahipotenusa tiene un área más grande quecualquiera de los otros dos.

Luegopregúntalea la clase,

que haytres

cuadrados hechos de oro, y les ofrecieron elgrande o los dos pequeños. ¿Cuál escogerían?Escriban una carta explicando su respuesta yjustificando tu respuesta como la que contiene

studiantes en el uso delteorema de Pitágoras y sus argumentosinductivos o deductivos.

Explica qué le pasa al volumen de un prismarectangular cuando las dimensiones de unprisma se duplican.




Ejemplo de prueba cortaEsta prueba corta verifica la comprensión delestudiante aplicada a problemas. Cubre la relaciónde ángulos formados por dos líneas paralelascortadas por una transversal en una situación delmundo real. También incluye las preguntas derepaso usando el teorema de Pitágoras y los tiposde ángulos. Además hay una pregunta enreferencia a los puntos medios. (Ver Anejo: 8.4 Otraevidencia Prueba corta)


Pide a los estudiantes que se paren y hagan el siguiente experimento para demostrar que lageometría en la superficie de un esfera en un plano es diferente a la geometría euclidiana quesuelen usar:o Forma un puño con los dedos de la mano derecha, pero deja el dedo pulgar estirado afuera.o Cuelga tu brazo derecho con el dedo pulgar apuntando hacia adelante.o Deja tu brazo estirado, y nunca vires la muñeca innecesariamente.o Mece tu brazo hacia arriba y hacia fuera de lado (el dedo pulgar seguirá señalando hacia

adelante)o Luego mece el brazo hacia adelante, hasta que apunte hacia adelante (como recordaste no

girar el puño, ahora el pulgar apunta hacia la izquierda)




o Finalmente, mece tu brazo hacia abajo, hasta que se quede a tu lado nuevamente.o Note que el pulgar ahora apunta hacia la izquierda. El brazo está de vuelta al lugar original y

nunca giraste tu muñeca, pero tu pulgar terminado virado por 90o.o En este experimento, tu mano es un punto moviéndose alrededor de una esfera. Como el

brazo permanece derecho, tu mano esta siempre a una distancia fija de tu hombro. Tu pulgarsiempre apunto perpendicular a tu brazo. Como tu pulgar apunta en una dirección posible paraque tu mano se mueva, con la esfera, se le llama un vector tangente a la esfera.

o Este experimento demuestra que cuando transportamos un vector tangente alrededor de unatrayectoria cerrada o esfera, regresará volteado. Esto pasa incluso cuando localmente nuncagiramos la muñeca en particular, si nos movemos sobre una trayectoria recta (un geodésico ogran círculo en la esfera) mantenemos el vector tangente en un ángulo constante en relacióncon nuestro movimiento de dirección). Al giro que terminamos haciendo se le llama holonomíae ilustra que la superficie de una esfera es curva y, sin embargo, mide exactamente la curvaturade la región que siga nuestra trayectoria.

Lecciones de prácticaEsta es una lección de introducción a la comprensión y definición de argumentos deductivos einductivos (Ver Anejo: 8.4 Lección de práctica Razonamiento inductivo y deductivo)Esta lección permite a las parejas de estudiante seguir instrucciones escritas para practicarconstrucciones. Camine alrededor del salón durante la lección para ofrecer asistencia a losestudiantes si la necesitan (Ver Anejo: 8.4 Lección de práctica Construcciones)En esta lección los estudiantes explorarán/probarán argumentos sobre los conceptos relacionadoscon el Teorema de Pitágoras. (Ver Anejo: 8.4 lección de práctica Plano de puntos)


Conexiones a la literaturaLíneas y ángulos/ Lines and Angles de Ismael Sousa MartinFiguras geométricas/Geometric Figures: Cálculo de Áreas de Ismael Sousa MartinGeometría plana y del espacio y trigonometría/ Geometry and Trigonometry de J. Aurelio BaldorTeorema de Pitágoras de José Jiménez LozanoFiguras geométricas/Geometric Figures: Cálculo de Áreas de Ismael Sousa MartinSemejanza & Teorema de Tales & trigonometría/Similarity & Theorem Tales & Trigonometry deIsmael Sousa Martin


Junio 2011 833

8.5 Estadísticas

Etapa 1 Resultados esperadosResumen de la unidadEn esta unidad, los estudiantes aprenderán sobre los métodos para hacer muestras poblacionales yestudiar las muestras aleatorias con profundidad. Ellos harán encuestas, cuestionarios y conduciránanálisis estadísticos de una pregunta que envuelva la selección de una muestra aleatoria, incluyendo lacolección de datos, la organización y el análisis de datos. Los estudiantes también examinarán losresultados de la encuesta presentados en los medios de comunicación para explorar los sesgos de lasmuestras, y comparar las medidas de tendencia central y dispersión con respecto al método de datosrecolectados (muestra o censo).Estándares de contenido y expectativasE.RD.8.13.1 Formula una pregunta de interés y define los componentes claves que pueden atenderse através de una encuesta.E.RD.8.13.2 Define la población, las variables que se medirán, y cómo se medirán e identifica losfactores que pueden influir en los resultados de la encuesta.E.RD.8.13.3 Diseña cuestionarios.E.AD.8.13.4 Describe las técnicas para obtener muestras aleatorias simples de los miembros de unapoblación.E.PR.8.13.5 Identifica situaciones donde un muestreo aleatorio estratificado de una población seríapreferible a un muestreo aleatorio simple.E.PR.8.13.6 Identifica y describe las diferencias entre una muestra y un censo, y explica las ventajas ydesventajas de cada uno.E.PR.8.13.7 Diseña e implementa la selección de una muestra aleatoria simple de una población,recolecta y organiza los datos; representa los datos en tablas y gráficas y resume los datos por mediode medidas de tendencia central y dispersión (incluyendo desviación absoluta media).E.RD.8.13.8 Describe cómo el método de seleccionar los sujetos para una muestra y los métodos demedición de los resultados afectan los resultados de la encuesta. Explica cómo pueden surgir sesgos delos errores de muestreo y errores de medición.E.AD.8.13.9 Examina los resultados de las encuestas presentadas en los medios de comunicación,discutiendo y evaluando cómo la muestra fue seleccionada de la población y los métodos utilizadospara medirla, recolectarla y representarla. Identifica las fuentes de sesgos que pueden afectar losresultados de la encuesta.E.AD.8.14.1 Compara las medidas de tendencia central y dispersión obtenidos de los datos de lamuestra de una población (estadística) con las medidas de centro y dispersión obtenidos de los datosde un censo de la población (parámetros). Observa que los medios de la muestra tienden a acercarse ala media de la población a medida que le tamaño de la muestra aumente.E.AD.8.14.2 Reconoce que las medidas de tendencia central y dispersión obtenidas de muestrasaleatorias pueden diferir de muestra a muestra aún si se obtienen de la misma población y tienen elmismo número de observaciones.E.AD.8.14.3 Distingue entre métodos de muestreo aleatorio y no aleatorio. Compara los resultados demuestras aleatorias y no aleatorias simples de la misma población; discute cómo y por qué losresultados pueden diferir debido a fuentes potenciales de sesgos en las muestras.Ideas grandes/Comprensión duradera:

Las estadísticas nos permiten contestarpreguntas sobre el mundo.El sesgo es un problema en la recolección de

Preguntas esenciales:¿Cómo nos pueden ayudar las estadísticas aresolver problemas del mundo real?¿Cómo se expresa un sesgo en un reporte de


Junio 2011 834

8.5 Estadísticas

datos estadísticos.Hay ventajas y desventajas para diferentesmétodos de muestreo usados enestadísticas.

datos en los medios de comunicación?¿Cuáles son las ventajas y las desventajas dediferentes métodos de muestreo usados en lasestadísticas?

Contenido (Los estudiantes comprenderán...)La media de una muestra es similar a lamedia de una población según aumenta eltamaño de la muestraLa tendencia central y la medida dedispersión obtenidas de una pruebaaleatoria puede diferir entre muestras,incluso cuando estas se obtienen de lamisma población y tienen el mismo númerode observacionesLos resultados de las encuestas soninfluenciados por los métodos de selecciónde los participantes para una muestra (errorde muestreo) y por los métodos de medición(error de medición)Los factores que pueden afectar losresultados de una encuestaResultados de muestras aleatorias y noaleatorias de la misma población puedendiferir debido al poder de las fuentes sesesgo en el proceso de muestreoVentajas y desventajas para usar muestrasde población para recolectar datos

Vocabulario de contenidoEncuestaCuestionariosMuestra aleatoriaMuestra no aleatoriaPoblaciónMuestreo aleatorio estratificadoCensoMedidas de tendencia centralMedidas de dispersiónDesviación media absolutaError de muestraSesgoParámetros

Destrezas (Los estudiantes podránFormular una pregunta que pueda serabordada con una encuestaDada una pregunta, identificar loscomponentes claves que puedan ser abordadosen una encuestaDada una pregunta, identificar la poblaciónapropiada para la muestraIdentificar por escrito los factores que puedenafectar el resultado de una encuestaDada una pregunta, diseñar un cuestionarioque pueda usarse para recolectar los datos paracontestar la preguntaDada una situación, identificar si seríapreferible un muestreo aleatorio estratificadode una población o una simple muestraaleatoria y explicar por quéDada una situación con la población definida,describir una técnica que pueda usarse paraencuestar una muestra simple de una poblaciónComparar y contrastar una muestra y un censoComparar y contrastar métodos de muestraaleatorios y no aleatoriosDiseñar e implementar un estudio estadístico(identificar el método de muestreo, colectardatos, presentar hallazgos en una tabla ográfica y resumir los datos usando tendenciacentral y medidas de dispersión, incluyendo ladesviación absoluta media)Dado un set de datos, calcular la desviaciónmedia absolutaDada una situación, identificar las fuentes delerror de muestreoDados los resultados de una encuestapresentada en los medios de comunicación,evaluar cómo la muestra fue seleccionada de lapoblaciónDado un ejemplo de un método usado paratomar una muestra poblacional, identificarlacomo aleatoria o no


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8.5 Estadísticas

Etapa 2 Evidencia de avalúoTareas de desempeño:Diseñando una encuesta (parejas)Dígales a los estudiantes que estarán entrandoen un concurso para hacer experimentosestadísticos totalmente subvencionados. Paraentrar, tienen que describir la propuesta deinvestigación por escrito. La carta a la compañíadebe incluir la siguiente información:

Identificar una pregunta de interés;Definir la población;Definir las variables y cómo se medirán;Diseñar el cuestionario para la recolecciónde datos;Describir la técnica que usarán para obteneruna muestra aleatoria de una poblacióndefinida.Las cartas pueden ser evaluados en relacióna si la propuesta del experimento estáconectada lógicamente paso a paso: ¿Pareceapropiada la población? ¿Está libre de sesgola técnica de muestreo? ¿Llega elcuestionario al corazón de la pregunta?

Sesgo mediático (grupos pequeños)Tenga periódicos disponibles para que los gruposlos examinen y encuentren una encuestacompleta. Pida a los estudiantes que escribanuna carta a la compañía (u organización, etc.)que conduce la investigación proveyendo unanálisis de su estudio. Las cartas deben incluir:

Una descripción y una evaluación de cómo lamuestra de la población fue seleccionadaUna descripción de los métodos demedición, recolección y representación dedatosUna Identificación de cualquier fuentepotencial de sesgos que pueden haberinfluido en los resultados de la encuesta

Evalúe a los estudiantes en relación a cuán bienidentificaron los conceptos claves en el estudio yjustificaron sus hallazgos.


Describir por escrito la diferencia entre unamuestra aleatoria y una muestra aleatoriaestratificada.Da un ejemplo de un error muestral.Compara y contrasta muestras aleatorias y noaleatorias.





Junio 2011 836

8.5 Estadísticas


Revise las medidas de tendencia central con los estudiantes usando un actividad del mundo real(Ver Anejo: 8.5 Actividad de aprendizaje Medidas de tendencia central)Actividad de encuesta en la cafetería: Benita y Gerardo encuestaron a algunos estudiantes en sussalones de octavo grado para determinar si prefieren el pollo o las hamburguesas en un picnic. Lashojas de la encuesta se muestran abajo (los maestros deben escoger si quieren duplicar los datosde la encuesta con tiza en la pizarra o en papel de tabla, o crear una hoja con los datos de laencuesta).

Encuesta de Benita Encuesta de GerardoSalón hogar: 8 A Salón hogar: 8 BNúmero de estudiantes en el salón: 23 Número de estudiantes en el salón: 20

Estudiante EstudianteEncuestado Pollo Hamburguesa Encuestado Pollo Hamburguesa

Adán x Vicky xCarolina x Tanya xNancy x José xHugo x Benito x

Abigail xLinda x

Marian xJan x

Chris xTina x

Natanael xDariel x

Benita reportó que 100 por ciento de los encuestados querían pollo. Gerardo reportó que 75 porciento de los encuestados querían hamburguesas. ¿Cuál de las encuestas, la de Benita o la deGerardo, sería probablemente mejor a la hora de tomar la decisión de qué servir? Pida a losestudiantes que expliquen por qué esa encuesta sería mejor.

Lecciones de prácticaLos estudiantes practican haciendo encuestas y discutiendo cómo hacer una muestra de estacionesde radio para recolectar datos para una firma de mercadeo (Ver Anejo: 8.5 Lección de prácticaMercadeando con diagramas de dispersión)Lección de práctica de sesgo muestral (Ver Anejo: 8.5 Lección de práctica Sesgo muestral).


Conexiones a la literaturaEstadística I. Tablas y gráficos de Ismael Sousa MartinEstadística II. Medidas de dispersión de Ismael Sousa MartinMuestras y poblaciones: Datos y estadísticas de Manuel del Alumno



8.5 Estadísticas

Datos acerca de nosotros: Estadística de Manuel del AlumnoUn cuestionario demográfico básico: Recolección de datos y análisis en encuestas por muestreo deInternational Program of Laboratories for Population Statistics

838

Matemáticas

Anejos8vo Grado

Área de Contenido: Matemáticas

Fuente: edCount, LLC 839

8.1 Actividad de aprendizajeExponentes

Nombre: _______________________________________________

Escribe la forma expandida para cada par.

Ejemplo: a) 54= (5)(5)(5)(5)b) (52)(52)= (5)(5)(5)(5)= 54

a. 35 = ___________________b. (32)(33) = _____________ = ______________

a. 47 = _____________________b. (44)(43) = ____________________ = _____________

a. 69 = __________________________b. (62)(67) = ____________________ = _______________

a. 76 = _____________________________b. (73)(73) =________________________ = ______________

¿Qué notaste de la forma expandida de (a) y (b) en cada par?______________________________________________________

Escribe los exponentes que faltan encontrando el valor de x:

a. 8x = (8)(8)(8)(8)b. (82)(8x) = (8)(8)(8)(8)

a. 4x = (4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)b. (43)(4x) = (4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)

a. 5x = (5)(5)(5)(5)(5)b. (53)(5x) = (5)(5)(5)(5)(5)(5)

¿Cómo determinas el valor de x en cada par?

_____________________________________________________________________________

Escribe una regla que provea la relación entre los exponentes en los ejemplos de (a) en comparación alos ejemplos de (b)._____________________________________________________________________________

Área de contenido: Matemáticas

840

8.1 Lección de prácticaHablando científicamente

Hablando científicamente

Materiales requeridosUna computadora para cada grupo de estudiantes o una computadora con proyector.

Actividad instructiva 11. Haga que los estudiantes vayan a la página de Internet Foro de Matemáticas (patrocinada por la

Universidad Drexel) en la dirección electrónica http://mathforum.org.2.

Matemáticas responde a las preguntas de cualquier persona.3.

http://mathforum.org/library/drmath/view/58207.html.4. Pídales también que lean y tomen notas de los siguientes artículos:

a.b.

http://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/scinot.html5. La notación científica es un ejemplo del uso de exponentes; es una aplicación de estos. Todas las

leyes de los exponentes aplican a la notación científica.

Actividad instructiva 2Multiplicación extremaMultiplicar a mano números extremadamente largos y cortos juntos, no requiere de demasiados pasosnecesariamente. Busca atajos mientras trabajas en los siguientes problemas. No uses calculadora pararesolver estos problemas.Los primeros números no son ni demasiado largos ni demasiado cortos, pero deben ayudarte a resolverlos siguientes problemas.

1. a. 223 × 100 =b. 223 × 10,000 =c. 223 × 0.01 =d. 223 × 0.00001 =

2. a. 223 × 400 =b. 223 × 40,000 =c. 223 × 0.04 =d. 223 × 0.00004 =

3. a. 2.23 × 100 × 400 =b. 2.23 × 100 × 40,000 =c. 2.23 × 100 × 0.04 =d. 2.23 × 100 × 0.00004 =


841Fuente: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml

8.1 Lección de prácticaHablando científicamente

Compara cada una de tus respuestas con las que diste a los problemas anteriores ¿Son lasrespuestas similares? ¿Por qué?

4. Rescribe los problemas 3a, 3b, 3c, y 3d en la forma 2.23 × 10 × 4 × 10 =.5. Rescribe las respuestas a los problemas 3a, 3b, 3c, y 3d en la forma en notación científica.6. Compara los problemas 3 al 5. Encuentra los atajos para multiplicar dos números escritos en

notación científica y explica porqué es que los atajos funcionan.7. Considera 3.23 × 1,012 × 4 × 10 3 =.

a. Usa tus atajos para encontrar el producto.b. Escribe el producto en notación científica, si acaso es necesario.c. Si el producto no estaba en notación científica después de que usaste tu atajo, ¿por qué nolo estuvo?

8. Encuentra los siguientes productos y escribe tu respuesta en notación científica:a. 39,200,000 × 720,000 =b. 3.92 × 105 × 0.0072 =c. 3.92 × 10 33 × 7.2 × 10 23 = (Ten un poco de cuidado en ésta)d. 7.2 × 1014 × 3.92 × 1032 =


842

8.1 Lección de prácticaOrganizando números

Númerosracionales

Enteros

Enteros positivos Númerosnaturales

Organizando números

Materiales requeridos

UnaTijerasPega o cinta adhesiva

Actividad instructiva1. Haga que los estudiantes trabajen en pares. Reparta una copia de

par, y pídales que corten los números.2. Haga que los estudiantes ordenen los números en conjuntos no especificados. Camine alrededor de

los grupos y pídales que expliquen el proceso que usaron para ordenar los números3. Dirija una discusión de clase acerca de los atributos de cada conjunto de números.4. Reparta una copia de la ho istema de números r

estudiantes que corten los subconjuntos y los coloquen en cualquier orden.5. Pida a los estudiantes que ordenen los números en los diferentes subconjuntos. Debe darse una

discusión en torno a los números que pueden pertenecer a más de un subconjunto.6. Haga una discusión con la clase acerca de las propiedades de cada subconjunto. Después pida a los

estudiantes que organicen los números como racionales e irracionales.7. Pida a los estudiantes que organicen los números en números

racionales, enteros, enteros positivos y/o números naturales. Estopuede hacerse arreglando los nombres de los subconjuntos como semuestra a la derecha. Los números pueden colocarse en más de unode los subconjuntos.

8. Reparta una copia de la hoja iagrama de Venn del sistema denúmeros reale

9. Haga que los estudiantes acomoden los nombres de los subconjuntos en la cajas apropiadas deldiagrama de Venn. Después pídales que acomoden los números en el subconjunto apropiado.

10. Camine entre los estudiantes. Cuando el grupo haya completado el diagrama correctamente, pídalesque peguen (ya sea con pega o cinta adhesiva) los nombres y números al papel.

11. Haga que los estudiantes añadan más de un número por escrito a cada subconjunto del sistema denúmeros reales en el diagrama.

Ejemplo de avalúoCamine entre los estudiantes mientas organizan los números en los subconjuntos. Evalúe losdiagramas completos de cada grupo. Pida a los estudiantes que escriban un resumen de la relaciónentre los subconjuntos del sistema de números reales.


843


Números reales

012 0.7 1

3 0.9

4.2675

17 14.8 8


Fuente: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml844


Subconjuntos del sistema de números reales

Números racionales Números irracionales

Números enteros Números enteros positivos

Números naturales




Diagrama de Venn del sistema de números reales



8.1 Lección de prácticaUn misterio que resolver

Un misterio que resolver

Actividad instructiva1. Esta tabla muestra cómo una operación, *, funciona con el conjunto de números {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

* 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 62 2 3 4 5 6 13 3 4 1 6 2 54 4 5 6 1 3 25 5 6 2 3 1 46 6 1 5 2 4 3

2. ¿Hay una identidad en el conjunto para esta operación? Si es así, ¿cuál es y cómo determinaste queera un elemento de identidad?

3. ¿Hay algún número en el conjunto que tenga un inverso para esta operación? Si es así, identifica elinverso para cada número que lo tenga. ¿Cómo determinaste si un número tiene o no un inverso?

4. Usa la tabla para resolver la ecuación 3 * x = 5. Revisa tu solución encontrando 3 * x para tu x.5. Esteban intentó lo siguiente:

3 * x = 53 * 3 * x = 3 * 5x = 2Explica lo que hizo Esteban en cada paso. Revisa su solución ¿Es correcta? ¿Qué sucedió?

Ejemplo de avalúoDiscusión de grupo

Tarea¿El set { 1, 0, 1} es cercano con relación a la suma? ¿Multiplicación? Demuestra tu trabajo yexplicaciones escritas para apoyar tu respuesta.


847

8.2 Actividad de aprendizajeEcuaciones lineales

Ecuaciones lineales

Materiales requeridoss

Actividad instructiva.


848


Juego cuadrados 1: ¿Cuál es la ecuación lineal si1. Recorta los cuadrados.2. Relaciona cada ecuación a su solución correspondiente.3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

x = 5 y = 2/3x + 9 y = 4x + 7 y = 2/3x 9

m = 4 b = 7 m = 3 ( 3,1) y = 7 m = 1 (5, 2)

y = 2x 4 y = ¾x 7 y = x + 3 y = 4x + 7

( 4,0) (3,3) m = 2 (1,4) m = 4 (0,7) ( 2,1) (2,3)

y = 3/2x + 9 y = 3x + 10 y = ½x + 2 y = 2x + 6

m = 2/3 (6,5) (0, 4) (2,0) (5,0) (10, 2)m es indefinido

(5,8)

y = ½x + 4 y = 8 y = 1/3x + 10 y = 2/3x + 5

m = 0 (5,8) (3,7) (0,5) m = ½ (4,6) (7,1) (7,6)


849


Juego Cuadrados 2: Encontrar la pendiente y el intercepto en y1. Recorta los cuadrados.2. Relaciona cada ecuación con sus pendientes y su intercepto en y.3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

y = 3/4x + 5 m = 1 b = 0 3x + 4y + 20 y 8 + 2x

x y = 6 2x y = 7 y = 4 2x 2y = 7x + 10

m = 1 b = 6 m = 2 b = 7 m = 2 b = 4 m = 7/2 b = 5

2x + y = 4 y = x + 6 7x y = 14 y = 2x + 7

m = 2 b = 4 m = 1 b = 6 m = 7 b = 14 m = 2 b = 7

3x 2y = 6 x 5y = 15 3x + 4y = 24 2x + y = 2

m = 3/2 b = 3 m = 1/5 b = 3 m = 3/4 b = 6 m = 2 b = 2

2x y = 8 y = 4x 1 m = 6/5 b = 2 4x y = 1




Juego de cuadrados 3: Econtrando el intercepto en x ó y1. Recorta los cuadrados.2. Relaciona expresiones o enunciados equivalentes.3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

2y = 7x + 10 y = 3 x = 1/6 x + 2y = 8

y = 1/3 x + 5y = 15 x + 5y = 11 x = 4/5

y = 3 y = 1 5x y = 6 2x y = 4

y = ½ y = 1 y = 12/5 x = 8

3x + 5y = 12 x = 4/3 y = 4 2x x = 8

y = 5 x = 2/3 x = 8 x = 21

x = 1 x = 2 x = 15 x + 4y = 4

4x 2y = 8 y = 4 2x y = 7 x = 6



8.2 Actividad de aprendizajeJuego de los cuadrados

Juego de los cuadrados: Resolviendo inecuaciones1. Recorta los cuadrados.2. Relaciona las expresiones o enunciados equivalentes.3. Debes terminar con un nuevo cuadrado cuatro-por-cuatro.

x 2 x < 10 x > 15 5 2x 3x 15

5x < 35 x > 5 x 2 x > 5

2x < 10 x < 21 x > 5 x + 1 < 8

x 6 x 3 < 12 4x < 24 1 x < 1

2/3 x < 12 x 4 < 6 x 4 4 2x 8

5x 8 < 2 x < 23 x + 4 < 9 x < 4

x < 15 x 1 11 2x 3x + 16 x 1

2/5x 6 6 x > 3 x 6 3/4x 9


852

8.2 Lección de prácticaPatio cuadrado

Patio cuadradoMateriales requeridos

Calculadoras gráficasMateriales para construir modelos de patios cuadrados:

Esquinas: malvaviscosEstabilizadores de los bordes: palillos de coloresMarcos: palillos de maderaLosetas: cuadrados cortados a la medida de los palillos de madera

Actividad instructiva1. Pida a los estudiantes que construyan patios cuadrados y registren sus datos en la tabla de la hoja

2. Pregunte a los estudiantes si pueden identificar algún patrón y si pueden predecir los patrones paralos tamaños que todavía no construyen en sus modelos.

3. Trabaje los problemas y asegúrese que los estudiantes sean capaces de escribir una expresión delnúmero de losetas necesarias para cualquier dimensión dada (n).

4. Haga que los estudiantes investiguen la relación entre el número de estabilizadores de los bordes yel número de esquinas o el tamaño del patio. Asegúrese de que sean capaces de representar larelación algebraicamente.

5. Hable de la relación entre el número de esquinas y el número de marcos; después, de la relaciónentre el tamaño del patio y el número de marcos. Finalmente, hable de la relación entre el tamañodel patio y el número de esquinas.

6. Ayude a los estudiantes a poner precios para las losetas, las esquinas, los estabilizadores de losbordes y los marcos. Pídales que establezcan matrices para determinar el costo de construir un



8.2 Lección de prácticaPatio cuadrado

Patio cuadrado

Dimensión delPatio

Losetasrequeridas

Marcosrequeridos

Esquinasrequeridas

Estabilizadores del losbordes requeridos

1-por-12-por-23-por-34-por-45-por-56-por-67-por-78-por-8

1. Construye patios cuadrados y registra tus datos en la tabla de arriba.2. ¿Puedes identificar algún patrón y predecir los patrones para tamaños que no has construido en tus

modelos?3. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de 10-por-10?4. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de 20-por-20?5. ¿Cuántas losetas necesitarías para un patio de n-por-n?6. Escribe una expresión para los números de las losetas requeridas para cualquier dimensión dada (n).7. ¿El número de estabilizadores de los bordes depende del número de esquinas o del tamaño del

patio?8. ¿Cuál es el patrón que describe la relación entre el tamaño del patio y el número de estabilizadores

de los bordes requeridos?9. ¿Cuál sería la regla (o fórmula) para esa relación?10. ¿Consideras razonable que el número de esquinas y el número de marcos también dependan del

tamaño del patio? ¿Por qué?11. ¿Puedes encontrar la relación entre el tamaño del patio y el número de marcos? (Pista: te serviría

considerar el número de losetas).12. ¿Puedes encontrar la relación entre el tamaño del patio y el número de esquinas?

Loseta

Marco

Esquinas

Estabilizadores de los bordes



8.2 Lección de prácticaVariación directa

Variación directa

Actividad instructiva

1. Una regadera de ducha usa 2.5 galones de agua por minuto. Crea una tabla de valores (en minutos)para el tiempo gastado en la ducha y la cantidad de agua usada.

Tiempo

(en minutos)

Agua usada

(en galones)

1

2

3

4

5

6

7

8

2. ¿Cuál es la cantidad de agua usada en el tiempo cero? ¿Cómo se relaciona esto con el conceptointercepto en y de la gráfica de esta función?

3. Escribe una ecuación que describa esta relación.4. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Cuál es la variable independiente?5. Traduce tu ecuación a x y y. ¿Cuál es la pendiente? ¿Cuál es el intercepto en y?6. ¿Cuál es el coeficiente de x?7. Este es un ejemplo de variación directa. La ecuación de cualquier variación directa puede escribirse

como:8. y = kx. ¿Cuál es la pendiente, y cuál es el intercepto en y de esta ecuación?


855Fuente: https://docs.google.com/Doc?id=dfwg6ffr_27fs49rv

8.2 Tarea de desempeño.Hoja de trabajo: Posters

Dependiente/Independiente

Proyecto de póster: Variables independientes vs. dependientes

¿QUIÉN?: Tú (y todos los demás).

¿Qué?: Haz un póster (8.5" por 11" o más grande) en el que uses imágenes para mostrar la diferenciaentre las variables dependientes e independientes.

¿CÓMO?: Encuentra o piensa en un ejemplo de una variable dependiente e independiente (usa la listadada abajo para empezar). Tus pósters deben tener: dos imágenes, una para ilustrar cada variable(dibuja, corta de un periódico o revista, o imprime la imagen de Internet), un título, etiquetas para

______________________ depende de_______________________.tu variable dependiente tu variable independiente

¿DÓNDE?:

¿POR QUÉ?:

¿DÓNDE?:

EJEMPLOS:

DEPENDIENTE INDEPENDIENTE

Cuenta de teléfono celular Minutos usados

¿Qué tan lejos puedes manejar? La cantidad de gasolina que tienes

Tú evaluación de seis semanas El número de tareas que entregaste

¿Cuánto dinero ganas? Las horas que trabajas

El costo de una multa por alta velocidad ¿Por cuántas millas excediste el límite de velocidad

El tiempo que toma manejar a algún lugar ¿Qué tan rápido manejas?

El resultado de un juego de baloncesto ¿Quién anota más puntos?

Cuando llueve Gente usa paraguas

Total de calorías y grasa Número de hamburguesas que consumes

Oportunidades de trabajos bien pagados ¿Cuánta educación tienes?



8.3 Actividad de aprendizajeEl juego del cuadrado: Factorizando

El juego del cuadrado: Factorizando1. Corta los cuadrados.2. Parea cada ecuación con la solución correspondiente.3. Debes conseguir un cuadrado cuatro-por-cuatro.

(x 2)(x + 2) (4x 1)2 (6x + 1)(x 2) (x + 1)(x 1)

x2 + 6x + 9 x2 10x + 24 25x2 16 6x2 + 41x + 30

(x + 3)2 (x 4)(x 6) (5x 4)(5x + 4) (x + 6)(6x + 5)

4x2 25 x2 9 16x2 1 x2 7x + 12

(2x + 5)(2x 5) (x + 3)(x 3) (4x 1)(4x + 1) (x 4)(x 3)

x2 + 4x + 3 7x2 19x + 10 9x2 4 x2 8x + 16

(x + 3)(x + 1) (7x 5)(x 2) (3x 2)(3x + 2) (x 4)2

25x2 + 20x + 4 x2 + 9 x2 + 3x 10 x2 15


857Fuente: edCount, LLC

8.3 Actividad de aprendizajeTablas de M&M

No. dejugada

No.restante

0123456789

1011121314

No. dejugada

No.restante

0123456789

1011121314

No. dejugada

No.restante

0123456789

1011121314

No. dejugada

No.restante

0123456789

1011121314


858

8.3 Lección de prácticaAplicaciones cuadráticas

Aplicaciones cuadráticas

Trabaja con los miembros de tu grupo para completar los siguientes problemas, pero anota tu trabajoen tu propia hoja. Asegúrate de entender cada parte de tu solución. Cuando la clase discuta losproblemas, cualquiera puede ser seleccionado para explicar el problema.

Problema 1Supón que estás parado en un precipicio de 110m sobre el nivel del mar. Tiras una piedra verticalmentehacia arriba 17 m/s. Después de alcanzar su altura máxima, la piedra cae a la playa, pasando el precipiciodurante la caída. La altura de la piedra está dada por la ecuación: H = 4.9T2 + 17T + 110, donde H es laaltura en metros de la piedra sobre la playa y T es el tiempo transcurrido en segundos. En la tierra lafuerza de gravedad es 9.8 m/s2 (nota que la mitad de la cantidad se traslada en el coeficiente principalde esta cuadrática)1. Haz la gráfica2. ¿Qué coeficiente en la ecuación es la velocidad inicial de la piedra?3. ¿Cómo cambiarían la gráfica y la ecuación si la velocidad inicial fuera 22 m/s? 32 m/s? 12 m/s?4. ¿Qué coeficiente es la altura del precipicio?5. ¿Cómo cambiarían la gráfica y la ecuación si la altura del precipicio fuera 120 m? 140 m?

100 m? 80 m?6. ¿Cuánto le toma a la piedra llegar a la playa?7. ¿Cuándo alcanza la piedra su altura máxima?8. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra?

Supón que puedes lanzar una roca hacia arriba 17 m/s de un precipicio de 110m en los cuerpos celestes listados en la tabla a la derecha.1. Da la ecuación para encontrar H para cada lugar.2. ¿Cómo cambiaría la gráfica de este problema si usaras estos valores?3. Determina la altura máxima de la piedra en la luna, el tiempo para

alcanzar la altura, y el tiempo que necesita para pegar en el suelo.

Problema 2Una compañía de tránsito transporta a 80,000 personas por día a una tarifade $1.25. Una encuesta indica que si aumenta la tarifa, el número deusuarios disminuiría a 360 por cada centavo de aumento.1. Define la variable y escribe la ecuación para el ingreso R en dólares para los boletos vendidos.2. Expande la ecuación de #1 en forma cuadrática.3. Calcula la tarifa de aumento que resultaría en el mayor ingreso para la compañía.4. Calcula la tarifa de aumento que resultaría en un 5% de aumento en los ingresos.5. Explica por qué hay dos respuestas para la #4.

Cuerpo celesteGravedad

m/s2

Sol 273.0

Luna 1.6

Mercurio 3.5

Venus 8.9

Tierra 9.8


859


Problema 3

Una mujer salvavidas tiene 250 m de cuerda para hacer un área de nadar rectangular para los niños enla costa de una playa. Ella puede hacer esto de muchas maneras, dejando el largo de 250 m, pero el áreacercada puede variar.1. Verifica que el área cercada sí varía, bosquejando tres posibilidades que muestren las dimensiones

y el área de la región rectangular.2. Deja que X metros representen la longitud de la cuerda perpendicular a la costa. Escribe una

ecuación para el área A(X) cercada.3. Calcula las dimensiones de un rectángulo que cerca 6,000 m2 de agua.4. Calcula el área máxima de agua posible que puede ser cercada.5. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que cerca el área máxima?

Trabaja los siguientes problemas como tarea por tu cuenta. Puedes usar una calculadora gráfica paraverificar los resultados y defender tus respuestas.

Problema 1Un pelotero llamado Pepe le pega a una bola que pasa sobre la base a 3.5 pies sobre el suelo. La bolaviaja hacia el jardín en una ruta descrita por la ecuación H(T) = .005X2 + 2X + 3.5, donde X es la distanciaen pies de la bola desde la base y H es la altura en pies de la bola a cualquier instante.1. Bosqueja el vuelo de este golpe.2. ¿Cuándo esta la bola a 8 pies de altura?3. Un lanzador está parado en un montículo a 60 pies del plato. ¿Cuán alta está la bola cuando está

directamente sobre su cabeza? (No prestes atención a la altura del montículo para este cálculo)4. ¿Cuándo el pelotazo de Pepe alcanzará una altura de 100 pies?5. ¿Cuán lejos del plato estará la bola cuando pegue en el piso?6. Crea y responde a una pregunta adicional sobre el bolazo de Pepe. (¡Se creativo!)




Problema 2

Una malabarista lanza las pelotas de su mano a una altura de 1 m con una velocidad de ascenso inicialde 10 m/s.1. Escribe una ecuación que describa la altura de la bola sobre el tiempo.2. ¿Cuán alta estará la bola a 1 segundo? ¿Después de 2 segundos?3. Bosqueja la ruta de esta bola.4. ¿Cuán alto llegará la bola?5.6. ¿Cuándo llegará la bola al suelo, si la malabarista falla su tirada?7. Crea y responde a una pregunta adicional sobre la tirada de la malabarista.


861

8.3 Lección de prácticaRecolectando datos y

ecuaciones de regresión

Recolectando datos y ecuaciones de regresión

Materiales requeridosRegiones circulares con radios variados (1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, etc.) cortados de papelcartulinaPapel cuadriculado a un centímetroCalculadoras gráficasUna copa grande por equipoUna bolsa grande de ® por equipoServilletas o toallas de papel para cubrir los escritoriosUna copia de cada uno de los cinco folletos para cada estudiante

Actividad instructiva 1Nota: Mientras más regiones circulares tengan que medir los estudiantes, mejor se verá la gráfica depuntos. Esta actividad también puede realizarse con estudiantes más jóvenes. En lugar de encontrar laecuación de regresión para los datos, los estudiantes pueden encontrar el área promedio como sedetermine por los estudiantes en clase.1.2. Permita que los estudiantes trabajen solos o en pares.

Actividad instructiva 2Nota:mientras que en otros momentos toma diferentes formas. Esto puede usarse como una introducción alcálculo lineal.1.2. Permita que los estudiantes trabajen solos o en pares.

Actividad instructiva 31. Divida la clase en grupos de no más de tres estudiantes.2. Distribuya copas, y el folleto Actividad 3 ®

3.proceso manufacturero. Si el número fuese cero, este punto de datos necesita ser anotado como0.01

TareaPida a los estudiantes que cofolleto.


862



Actividad 1: Recolectando datos y ecuaciones de regresión

1. Coloca las regiones circulares provistas por el maestro en el papel cuadriculado en centímetros ytrázalas.

2. Cuente el número de centímetros cuadrados en el área de una región circular y anote la medida enla tabla:

Radio delcírculo

No. de centímetroscuadrados

123456

3. Anota el radio de cada círculo en L1 en la calculadora y el área de la región circular en L2.4. Usa la calculadora para generar una gráfica de dispersión.5. Examina la gráfica de dispersión con detenimiento y decide en qué familia de funciones puede ir la

gráfica.6. Usando las capacidades de las ecuaciones de regresión en la calculadora y tu conocimiento de la

funciones de las familias, encuentra la ecuación de regresión que crees que va mejor con los datos yhaz una gráfica de la curva a través de los puntos de los datos.

7. Usando la ecuación de curva, predice el área de la región circular con el radio de 12 cm.8. ¿Cuál sería el radio de la región circular que cubre 450cm cuadrados? (Pista: Trabaja al revés para

encontrar la respuesta).


863



Actividad 2: Recolectando datos y ecuaciones de regresión

Año Matrimonios Divorcios1960 1,523,000 393,0001962 1,557,000 413,0001964 1,725,000 450,0001966 1,857,000 499,0001968 2,069,258 584,0001970 2,158,802 708,0001972 2,282,154 845,0001974 2,229,667 977,0001976 2,154,807 1,083,0001978 2,282,272 1,130,0001980 2,406,708 1,182,0001982 2,495,000 1,180,0001984 2,487,000 1,155,0001986 2,400,000 1,159,0001988 2,389,000 1,183,0001990 2,448,000 1,175,0001992 2,362,000 1,215,000

1. Usando los datos que representan el número de matrimonios y divorcios en los Estados Unidos del1960 al 1992, entra el año en la Lista 1, el número total de matrimonios en la Lista 2, y el número dedivorcios en la Lista 3.

2. Calcule el índice de divorcios y ponga los datos en la Lista 4.3. ¿Qué tipo de regresión va mejor con los datos de 1960 a 1976?4. Si el patrón continúa de esta manera, ¿cuál sería el índice de divorcio predicho para 1994?5. ¿Qué tipo de regresión va mejor con los datos de 1978 a 1992?6. Basándote en los datos, ¿cuál sería el índice de divorcio predicho para 1995?

Extensión1. ¿Cuál es la explicación posible para las diferentes regresiones en los índices de matrimonios y

divorcios?2. ¿Encu





Actividad 3

El siguiente experimento está diseñado para estimular la frecuencia natural y darles a los estudiantesexperiencia con una situación del mundo real que es exponencial. Usted tendrá una bolsa de dulces M &

1. Cuenta los M&Mderecha de lanzamiento #0.

2.que cayeron mostrando la m. Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla a la derecha delanzamiento #1. Pon estos dulces de vuelta al vasito.

3. Mueve el vaso, vira los dulces. Remueve y deja a un lado aquellos que cayeron mostrando la m.Cuenta los que sobren y anota este número en la tabla.

4. Repite este procedimiento hasta que no aparezcan m.5. Haz una gráfica en papel de gráfica con los datos colectados.6. ¿Qué notas? ¿Es esto una función lineal o no lineal? ¿De qué tipo? ¿Cómo lo sabes?

Número delsortero

Númerorestante

0123456789

1011121314



8.3 Lección de prácticaResolviendo cuadráticas

Resolviendo cuadráticas

Resuelve las siguientes cuadráticas. Muestra todos los pasos.

1. 2x2 + 4x + 15 = 0

2. 5x2 = 2x 8

3. 6x2 x + 24 = 0

4. 15x2 + 2x + 1 = 0

5. 9x2 + 3x + 4 = 0

6. 3x2 2x + 4 = 0

7. 3x2 2x + 1 = 0

8. 2x2 + 3x = 8

9. 3x2 + 4x = 2

10. 2x2 3x + 5 = 0

11. 3x(x + 1) = x 5

12. 2x2 + 8 = x

13. 7x 13 = x2

14. x2 + 3x + 5 = 0

15. x2 + 4 = 2x


Fuente: http://www.learner.org/workshops/algebra/workshop4/teaching2.html866

8.3 Tarea de desempeñoEl cohete

Tarea de desempeñoEl camino al modelo de un cohete puede describirse por su función cuadrática y = -x2 - 12x, donde elpunto (x, y) representa la altura (y) del cohete (en metros) a tiempo x segundos después del despegue.Identifica la altura máxima del cohete, y determina el momento en el que el cohete alcanza su alturamáxima.

Nivel Descripción Características

4

Hay evidencia clara y convincenteque sugiere que el estudiantetiene un conocimiento amplio delas ideas matemáticas claves en elproblema.

El estudiante hace una gráfica de la parábola, conviertela ecuación en la forma de vértice, genera una tabla depuntos o identifica correctamente el vértice como (6,36). Además, el estudiante indica que la altura máximadel cohete, 36 metros, ocurre 6 segundos después deldespegue.

3

Hay evidencia que sugiere que elestudiante comprende casicompletamente las ideasmatemáticas claves del problema.

El estudiante intenta resolver el problema usando unmétodo correcto, pero alguna omisión menor nopermite una solución correcta.

2

Hay evidencia que sugiere que elestudiante tiene un conocimientoparcial de las ideas matemáticasclaves del problema.

El estudiante intenta resolver el problema usando unmétodo correcto, pero con varios errores menores uomisiones que no permiten una solución correcta o elvértice no está identificado, o los resultados soninterpretados incorrectamente.

1

Hay evidencia que sugiere que elestudiante tiene un conocimientolimitado de las ideas matemáticasclaves del problema.

El estudiante intenta resolver el problema usando unmétodo correcto, pero la solución es incompleta oerrores mayores u omisiones no permiten una solucióncorrecta.

0 Insuficiente. No hay evidencia suficiente presentada para juzgar el conocimiento de lamatemática envuelta en la tarea.


867

8.4 Lección de prácticaConstrucciones

Construcciones

Materiales requeridos

ReglaCompás

Actividad instructivaHaga que los estudiantes completen las hojas de actividades. Trabajar en parejas puede ayudarles.

Ejemplo de avalúoHaga que los estudiantes trabajen en pares para evaluar las estrategias.Use las hojas de actividades para valorar la comprensión de los estudiantes.Haga que los estudiantes completen una entrada del diario resumiendo los pasos para cadaconstrucción.

Seguimiento/ExtensiónHaga que los estudiantes investiguen problemas prácticos que involucren construcciones.Haga que los estudiantes completen diagramas creativos usando construcciones combinadas.


868


Hoja de Actividades 1: Construcciones

Construyendo una perpendicular a una línea dada desde un punto que no estáen la líneaLínea dada l y punto A no en l,

Desde punto A, dibuja un arco que interseque línea l en dos puntos. Llama a estos puntosX y Y.

Desde X, dibuja un arco que sea de más de la mitad de la longitud al punto Y. Usando lamisma longitud de arco, dibuja otro arco desde Y que interseque con el primer arco.

Dibuja una línea recta a través de los puntos A y Z.


869


Línea AZ es a línea l.


870


Construyendo los bisectores de un ángulo dadoDado ABC,

Desde X, dibuja un arco que sea lo suficientemente largo para alcanzar y pasar B. Usandola misma apertura de compás y Y como el centro del círculo, dibuja otro arco queinterseque con el primer arco.

Desde B, dibuja un arco que interseque con BA en X y con BC en Y.

Dibuja la raya desde B hacia Z. La raya BZ es el ángulo bisector de ABC.

BZ biseca ABC.


871


Hoja de actividades 2: Construcciones

Construye un segmento de línea congruente con cada segmento de línea dado.

1. 2. 3.

Construye un ángulo congruente con cada ángulo dado.

4. 5. 6.

Construye una línea perpendicular a cada línea dada a través de un punto dado en la línea.

7. 8. 9.

Construye una línea perpendicular a cada línea dada a través de un punto dado que no está en la línea.

10. 11. 12.

Construye el ángulo bisector de cada ángulo dado.

13. 14. 15.


872


Ejemplo de avalúo

Como se muestra, un diseño hecho con líneas paralelas se coseal bolsillo de una camisa. ¿Cuál es el valor de x?A 50B 80C 100D 130

Como se muestra en la figura, un avión sale de la pista dedespegue con dirección al este y luego gira 35 a laderecha. ¿Cuánto más tiene que girar para ir en direcciónal sur?A 10B 45C 55 _D 65

Un jardinero recarga su pala sobre una pared. La palahace un ángulo de 50 con el suelo, como se muestra enel diagrama. ¿Qué representa el suplemento al ángulode 50 ?F wG xH yJ z _

El pentágono regular ABCDE está formado por las uniones de lospuntos medios de los lados del pentágono regular PQRST ¿Cuál es lamedida de PAB?F 30G 36 _H 60J 72

El polígono en el dibujo de la derecha es un octágono

Pared




rectangular con O como su centro ¿Cuál es el valor de x?A 30B 45 _C 60D 72

La línea l es paralela a la línea m cuando el valorde x esF 3G 12H 30 _J 38

El dibujo en la derecha muestra un aparato diseñado paradesviar rayos de luz alrededor de un obstáculo. Las líneas ay b son paralelas, y los ángulos 2 y 4 cada uno miden 32 . Silas líneas l y m fueran paralelas, ¿cuál sería el valor de x?F 32G 64H 116J 148

El diagrama de la derecha muestra una mesa enconstrucción. Si cada pata forma un ángulo de 70 conrespecto a la parte alta de la mesa, ¿cuál debe ser el valorde x para que la parte alta de la mesa sea paralela al suelo?A 40B 70C 90D 110


874

8.4 Lección de prácticaPlano de puntos

Exploración de la relación pitagórica en un plano de puntos

Materiales que se necesitanPlanos de puntos de 11 puntas o papel de puntosTransparencia de plano de puntosUna copia de las hojas de actividad 1, 2 y 3 para cada estudiante

Actividad instructiva1. Haga que los estudiantes completen la hoja de actividad en un grupo pequeño y anoten sus

hallazgos.2. Haga que los estudiantes discutan sus hallazgos.3. Discuta los hallazgos con la clase completa.4. En una transparencia de plano de puntos sobre el proyector, construye un triángulo recto en el que

uno de los extremos es horizontal y otro vertical.5. Pida a un estudiante que construya un cuadrado en cada extremo y luego en la hipotenusa del

triángulo.6. Pida a los estudiantes que encuentren en el área de cada cuadrado. Puede ser difícil para algunos

estudiantes reconocer una manera de encontrar el área de la hipotenusa, por lo cual usted puedeayudarlos.

7. el plano de

8. Haga a los estudiantes trabajar para encontrar varios ejemplos y anótelos en la tabla.9. Haga a los estudiantes que presenten sus hallazgos a toda la clase.10. Haga a los estudiantes completar el resto de la hoja de actividad en grupos pequeños y discutan los

hallazgos en conjunto.

Ejemplo de avalúoHaga a cada grupo presentar sus hallazgos a la clase.Haga a los estudiantes completar la entrada del diario resumiendo la actividad.

Seguimiento/extensiónHaga a los estudiantes investigar los triples pitagóricos y hacer generalizaciones sobre la longitud.Haga a los estudiantes encontrar prueba del teorema pitagórico además de las investigadas aquí.Hágalos presentar la prueba a la clase y/o escribir una entrada en el diario.


875


Papel de puntos


876


Hoja de actividad 1: Exploración de triángulos rectos en plano de puntos

Haz un triángulo recto en un gran plano de puntos o papel. Construye un cuadrado en cada lado deltriángulo. Identifica el lado más pequeño como lado a; el mediano, lado b, y el más largo, lado c.Completa la tabla.

Largo delado a

Largo delado b

Largo delado c

Área delcuadradoen lado a

Área delcuadradoen lado b

Área delcuadradoen lado c a2 + b2

1. ¿Al otro lado de qué ángulo siempre encuentras c, el lado más largo?

2. ¿Qué otros patrones ves?

3. ¿Puedes plantear la relación en palabras? ¿Usando las letras a, b y c?

4. ¿Cuando crees que esto sería cierto? ¿Por qué?

Un acercamiento algebraico al Teorema de PitágorasCompleta las expresiones para cada área indicada.1. Área del cuadrado grande WXYZ = (a + b)2 =

(a + b)(a + b) = ________________

2. Área del cuadrado grande WXYZ =área del cuadrado STUV + 4(área del triángulo XST) =__________________ + __________________

3. Establece las expresiones de #1 y #2 una igual a la otra ysimplifique. ¿Dónde has visto esto antes? Sombrea untriángulo recto en el dibujo para el cual la relación seaverdadera.

W Z

X Y

T

S

U

V

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c


877


Hoja de actividad 2: Exploración de la relación pitagórica en plano de puntos

Usando un plano de puntos, dibuja diferentes tipos de triángulos. Usa una regla para medir, de sernecesario. Completa la tabla.

Largo hdel

lado a

Largo hdel

lado b

Largo hdel

lado cBosquejo de triángulo c2 a2 b2

<c2 = a2 + b2

>

Tipo de triángulo:Agudo, recto u

obtuso

5. ¿Qué patrones ves emerger?

6. ¿Puedes plantear la relación en palabras? ¿Usando las letras a, b y c?

7. ¿Qué generalizaciones puedes hacer?

8. Decide si los siguientes números pueden representar el largo de los lados del triángulo. Si puedes,clasifica el triángulo como agudo, recto y obtuso.a. 20, 99, 101b. 21, 28, 35c. 2, 10, 12d. 2.2, 5, 5.5e. 10, 11, 14


878Fuentes: http://www.doe.virginia.gov/testing/sol/standards_docs/mathematics/index.shtml

http://mathbits.com/mathbits/studentresources/graphpaper/graphpaper.htm


Hoja de actividad 3: Derivando la fórmula de distancia, usando el teorema de Pitágoras

1. Encuentre el largo del segmento AB, como sigue:a. Señala el punto B as (x1, y1) y señale el punto A as (x2, y2).b. Construye un cuadrado en cada extremos y luego en la hipotenusa del triángulo.c. Encuentra el área de cada cuadrado.d. Usa el teorema pitagórico para establecer la expresión algebraica.e. Calcula el largo de la hipotenusa.

2. ¿Cuál es la expresión con la que terminaste?3. ¿Cuál es el nombre de esta fórmula?4. ¿Cuando usamos esta fórmula?5. Encuentra la longitud del segmento pedido, usando la fórmula que encontraste.

a. AB, si A(3, 2) y B(2, 1)b. CD, si C( 1, 3) y D(9, 5)

A

B C


879

8.4 Lección de prácticaRazonamiento inductivo y

deductivo

Razonamiento inductivo y deductivo

Actividad instructiva1. Revise el vocabulario básico que se incluye en las hojas de actividades.2. Haga que los estudiantes trabajen en pares o en grupos pequeños para completar las hojas de

actividades.3. Use las propiedades algebraicas de igualdad (incluidas en la Hoja de Actividad 3) para relacionar,

concentrar o mencionar los pasos de una prueba además de escribirla.

Seguimiento/ExtensiónHaga que los estudiantes investiguen problemas prácticos que involucren razonamiento inductivo odeductivo.Haga que los estudiantes creen sus propias conjeturas para probar o refutar.

Ejemplo de avalúoHaga que los estudiantes trabajen en pares para evaluar estrategias.Use las hojas de actividades para evaluar la comprensión de los estudiantes.Haga que los estudiantes completen una entrada de diario comparando y contrastando estrategiasde razonamiento inductivo y deductivo.


880


deductivo

Hoja de Actividad 1: Razonamiento inductivo y deductivo

Ejemplo de razonamiento deductivo Ejemplo de razonamiento inductivoTomás sabe que si se pierde el entrenamientoel día anterior a un juego, entonces no serátitular en ese juego.Tomás se perdió el entrenamiento del martesConclusión: Tomás no será titular en el juegodel miércoles.

Observación: Mia llegó tarde a clase estamañana.Observación: El cabello de Mia estabadespeinado.Experiencia anterior: Mia es muy cuidadosacon su cabello.Conclusión: Mia durmió de más esta mañana.

Completa las siguientes conjeturas basándote en el patrón que observas encasos específicos:

Conjetura: La suma dos números impares, cualesquiera que estos sean, es ________.Conjetura: El producto de dos números impares, cualesquiera que estos sean, es________.Conjetura: El producto de un número (n 1) y de un número (n + 1) siempre es igual a________.

Comprueba o refuta la siguiente conjetura:Conjetura: Para todos los números reales x, la expresión x2 es mayor o igual a x.

RazonamientoinductivoPatrón

Verificar/Modificar

Conjetura

El razonamiento inductivo va de lasobservaciones más particulares a lasmás grandes generalizaciones.

El razonamiento deductivo va de lo másgeneral a lo más particular.

Razonamientodeductivo

Hechos PropiedadesDefiniciones

Argumento lógico

1 + 1 = 2 7 + 11 = 18

1 + 3 = 4 13 + 19 = 32


881


deductivo

Hoja de Actividades 2: Razonamiento inductivo y deductivo

1. Juan siempre escucha su estación favorita de radio, una estación de música clásica, cuando conducesu auto. Cada mañana escucha el radio de camino al trabajo. El lunes prende el radio de su auto y seescucha música salsa. Haz una lista de conjeturas válidas para explicar porqué se escucha unamúsica distinta en su radio ese día.

2. M es obtuso. Has una lista de conjeturas con base en esta información.

3. Con base en la tabla de la derecha, Marina concluye que cuando uno de losdos sumandos es negativo, la suma siempre será negativa. Escribe uncontraejemplo a la conjetura de Marina.

Las propiedades algebraicas de igualdad, incluidas en laHoja de actividades 3, pueden usarse para resolver 5x18 = 3x + 2 y escribir una razón para cada paso, como semuestra en la tabla de la izquierda.

Usando una tabla como la anterior, resuelve cada una de las siguientes ecuaciones y escribe la razónpara cada paso.4. 2( w + 3) = 155. p 1 = 66. 2r 7 = 97. 3(2t + 9) = 308. Dado 3(4v 1) 8v = 17, comprueba v = 5.

Relaciona cada uno de los siguientes enunciados condicionales con una propiedad:A. Propiedad de multiplicación F. Propiedad identidadB. Propiedad de sustitución G. Propiedad distributivaC. Propiedad transitiva H. Propiedad de sustracciónD. Propiedad conmutativa I. Propiedad de divisiónE. Propiedad inverso

9. Si JK = PQ entonces PQ = ST, entonces JK = ST. _____10. Si m S = 30 , entonces 5 + m S = 35 . _____11. Si ST = 2 y SU = ST + 3, entonces SU = 5. _____12. Si m K = 45 , entonces 3(m K) = 135 . _____13. Si m P = m Q, entonces m Q = m P. _____

Sumandos Suma8 10 18

17 5 2215 23 826 22 4

Expresión Razón5x 18 = 3x + 2 Expresión dada2x 18 = 2 Propiedad de sustracción2x = 20 Propiedad conmutativax = 10 Propiedad de división




deductivo

Hoja de actividad 3: Propiedades algebraicas de la Igualdada, b, y c son números reales

Propiedad conmutativa Si a = b, entonces a + c = b + c

Propiedad de sustracción Si a = b, entonces a c = b c

Propiedad de multiplicación Si a = b, entonces ac = bc

Propiedad de división Si a = b y c 0, entoncesa c = b c

Propiedad identidad a = a

Propiedad inverso Si a = b, y b = a

Propiedad transitiva Si a = b y b = c, entonces a = c

Propiedad de sustitución Si a = b, entonces a puede ser sustituidapor b en cualquier ecuación o expresión.

Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac


883

8.4 Otra evidenciaPrueba corta

1. Usa tu compás y tu escalímetro para construir una línea que sea perpendicular a ST y que pase por elpunto O. ¿Qué otro punto está en estaperpendicular?A. W _B. XC. YD. Z

2. Usa tu compás y escalímetro para construir el bisector de

QRS, que se muestra a la izquierda ¿Qué punto estásobre este bisector?

A. WB. XC. YD. Z

SESSION: 3 PAGE: 10 10/16/100 11:22 LOGIN IS PATH:@sun1/xydisk2/C



8.4 Otra evidenciaPrueba corta

3. El dibujo de la derecha muestra la construcción con un compás y un escalímetro deA. el segmento de una línea congruente con un segmento de líneaB. el bisector de un segmento de líneaC. el bisector de un ángulo dadoD. un ángulo congruente con un ángulo dado

4. ¿Cuál es la pendiente de una línea entre ( 2, 3) y (1, 1)?

A.3

2

B.2

3

C.12

D. 2

5. El hexágono en el dibujo tiene una línea desimetría a través deA. ( 1, 3) y (2, 1)B. (1, 1) y (1, 3)C. (2, 3) y (2, 3)D. ( 2, 1) y (3, 1)

6. ¿Qué triángulo es una rotación de 180sobre el origen del triángulo ABC?A. DEFB. GHIC. JKLD. MNO


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8.4 Tarea de desempeño11 Redes

Las 11 redes de un cubo


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Hoja de rompecabezas: Redes de un cubo

Colorea las redes de un cubo en esta página.


Fuente: http://www.numeracycd.com/contents/activities/nets/nets.htm887


Hoja de rompecabezas: Redes de un cubo Solución

Las formas sombreadas son las 11 redes de un cubo.


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8.5 Actividad de aprendizajeMedidas de tendencia central

Medidas de tendencia central

Materiales que se necesitan

Actividad instructiva1. Distribuya la hoja a los estudiantes.2. Asigne un número de objetos para vender en una venta de garaje. (Nota: Como usted puede asignar

cualquier número de objetos para la venta, esta actividad puede repetirse varias veces distintos connúmeros de objetos).

3. Haga que los estudiantes trabajen solos o en parejas. Cerciórese de que reconozcan la necesidad detrabajar hacia atrás en el proceso de resolver el problema para medidas de tendencia central.

4. Dé a cada par de estudiantes un escenario diferente, y reúna al grupo al final de la clase para discutircada escenario; o distribuya el salón de clases en estaciones y deje que roten los estudiantes através de los escenarios.

Ejemplo de avalúoPida a los estudiantes que escriban una entrada del diario sobre la actividad.Compare y contraste los tres escenarios describiendo el rol de la media, mediana y moda y/o laamplitud de los datos en un determinado conjunto de precios que cuadre con el escenario.

Seguimiento/extensiónHaga que los estudiantes consideren uno de los escenarios. Si el número de objetos disponibles enla venta de garaje se duplican, ¿cómo se afectarían el conjunto de precios que dispone el escenario?

TareaPida a los estudiantes que consideren otros dos escenarios. Si el número de objetos disponibles enla venta de garaje se duplican ¿cómo se afectarían el conjunto de precios que dispone el escenario?Luego hágalos considerar la situación en la cual alguien dona un objeto sofisticado (o de bajacalidad). ¿Cómo se afectaría el conjunto de precios?



8.5 Actividad de aprendizajeMedidas de tendencia central

Medidas de tendencia central

Escenario 1: Has recibido el dudoso honor de compartir la venta de garaje anual del CMS. Una de tusobligaciones es promocionar la actividad en el periódico La estrella independiente. El anuncio lee:

Venta de Garaje CMSEl precio de los objetos va de 20 centavos a

$4.80.La mediana de los precios es de $2.10.

La media de los precios es de $2.10.

1. Explique que quiere decir esto para un consumidor potencial.2. Dé un ejemplo de un conjunto de precios que cuadre con el escenario.













8.5 Lección de prácticaMercadeando con diagramas de

dispersión

Mercadeando con diagramas de dispersión

Materiales que se necesitanCopias de encuestas creadas por los estudiantesPapel de gráficaTransparencias o papel para tablas

Actividad instructiva1. Dígales a los estudiantes que tienen que pretender que trabajan para una firma de mercadeo. Sus

clientes son una tienda de mascotas, una tienda de ropa a la moda para hombres y mujeres, unainstalación de pérdida de peso y ejercicio, y una juguetería. Los estudiantes deben determinar enqué estación de radio sus clientes deben promocionarse.

2. Pida a los estudiantes que diseñen una encuesta para recolectar los datos de varias estaciones deradio para determinar en que estación de radio deben promocionarse.

3. Recuérdeles a los estudiantes que necesitarán algún tipo de datos cuantitativos para crear undiagrama de dispersión. Discuta con la clase cuáles dos conjuntos de datos que serán los másrelevantes para determinar en qué estación promocionarse. Los más comunes serán probablementeedad y número de radioyentes por día/semana.

4. Como clase, pónganse de acuerdo en las preguntas para la encuesta que todos usarán. Especifique alos estudiantes el número de estaciones de radio de la encuesta. Discuta una muestra de estacionesde radio y las maneras en las que una encuesta pueda estar sesgada si la muestra no representa lapoblación completa.

5. Haga que los estudiantes encuesten la muestra de estaciones de radio. Cuando los estudiantestraigan sus encuestas a clase, clasifique las encuestas según las estaciones de radio. Agrupe losestudiantes y dé a cada grupo las encuestas de una estación.

6. Pida a los estudiantes en cada grupo que trabajen juntos para crear un diagrama de dispersión delos datos y desarrollen una presentación que convenza a los clientes sobre en cual estación de radiodeberían mercadearse. ¿Cuál es la relación entre los dos conjuntos de datos positivos, negativos oninguno? Haga que los alumnos presenten sus hallazgos en clase.

Ejemplo de avalúoLa presentación debe incluir el método de organización de los datos, una exposición apropiada, unenunciado que resuma el análisis de los datos y que envuelva medidas críticas (tendencia central,amplitud), e inferencias/conjeturas/predicciones basadas en los datos.

Seguimiento/ExtensiónPida a los estudiantes que escriban una carta a sus clientes explicando su decisión y el pensamientomatemático envuelto en tomar la decisión.


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8.5 Lección de prácticaSesgo muestral

IntroducciónEn esta lección, los estudiantes conducirán una encuesta para juntar información sobre las horas detarea y estudiar los sesgos muestrales.

Para ayudar a los estudiantes a que se involucren en el concepto de sesgo muestral, puede darle un giroa la clase hacia algo divertido. Por ejemplo, dígales a los estudiantes que tienen que pretender queusted es un periodista de un periódico. Usted ha venido a la clase para averiguar qué comida prefierenlos estudiantes. Escoja los tipos de comida (algunos ejemplos son tacos, pizzas y arroz con habichuelas,por ejemplo) y pregunte a los estudiantes qué comida les gusta más.

Cuente los votos todos juntos para identificar la comida que recibió más votos. (Imaginemos que fuepizza). Ahora hable con ellos sobre cómo pien

que usted acaba de tomar.Puede preguntar:

noticia?¿Todo el mundo votó por pizza?¿Qué pasó con los votos de tacos y arroz con habichuelas?¿Cómo estas selecciones en la encuesta afectaron el resultado?

InstruccionesAhora les toca el turno a los estudiantes de ser periodistas. Estos conducirán una encuesta sobre cuántatarea es apropiada para ellos. Los estudiantes trabajarán en tres grupos para conducir la encuesta: ungrupo entrevistará a los estudiantes, otro los padres y otro los maestros.

Antes de que los estudiantes comiencen su encuesta, dirija una discusión de clase sobre cómo se colectala información.

Considere estas preguntas con la clase:

¿Por qué puede ser importante entrevistar a estudiantes, padres y maestros sobre el horario detarea?¿Crees que cada grupo contestará las preguntas de la misma manera?¿Por qué no entrevistar sólo a uno de los grupos?¿Qué efecto tiene entrevistar a tres grupos de personas?Si tú fueras el principal de la escuela y estuvieras haciendo la decisión final sobre cuánto tarea debeser asignada a tu clase, ¿deberías entrevistar solo a los maestros? ¿Por qué sí o por qué no?

La meta de esta lección es hacer que los estudiantes piensen sobre cómo el sesgo está relacionado a lasencuestas y estudios.También es importante llevar una discusión sobre el rol que juega la encuesta en la recolección de lainformación. Seleccionar un conjunto de preguntas sobre otras, afecta el tipo de información que unopuede solicitar en una encuesta o estudio. También, rete a los estudiantes a que consideren por qué essignificativo hacer las mismas preguntas a los encuestados mientras se realiza la encuesta o el estudio.Puede darles a los estudiantes un ejemplo rápido para ayudarlos a pensar sobre cómo las preguntasestán ligadas a las respuestas. (Por ejemplo, ¿por qué se hacen las mismas preguntas en los exámenes?)Otras preguntas podrían ser:


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Si estuvieras trabajando con un equipo y todos fueran a preguntarles a la gente sobre el tiempo detarea, ¿te gustaría que todos hicieran las mismas preguntas o diferentes? ¿por qué?¿Qué pasaría con tu información si todos hicieran diferentes preguntas?¿Qué podrías aprender si todos hicieran las mismas preguntas?

Cuando los estudiantes hayan entendido la importancia de qué tipo de preguntas deben hacer parala

votar para determinar cuáles preguntas se harán. Usted puede motivarlos a que discutan las fortalezas ydebilidades de cada pregunta propuesta. Cuando ellos determinen las preguntas finales, puedenescribirlas en sus hojas de anotaciones, dejando espacio para que los entrevistados las contesten.

Ahora hágalos trabajar en tres grupos para entrevistar a los estudiantes, padres y maestros. Cadaestudiante debe completar su tarea por su cuenta para que todos tengan la oportunidad de entrevistar yser entrevistado.

Cuando los estudiantes hayan terminado con sus encuestas, hágalos regresar a los grupos pequeños(divididos por estudiantes, padres o maestros). Hágalos trabajar juntos en el desarrollo del reporte parael principal de la escuela.

Avalúo

Haga que cada grupo lea la carta al principal en clase. Cuando todos hayan tenido su turno, puedefacilitar una discusión sobre estos reportes que ayude a los estudiantes a reflexionar sobre cómo loshallazgos fueron diferentes entre los grupos.Puede preguntar:

¿Qué notan sobre los reportes?¿Qué es similar?¿Qué es diferente?Cada uno hizo las mismas preguntas pero obtuvieron distintas respuestas. ¿Por qué?Cada reporte hizo una recomendación al principal. ¿Qué pasaría si el principal recibe solo uno de losreportes?¿Deberá saber el principal cuántos estudiantes y maestros tomaron la encuesta y validar solo lainformación del grupo más grande?¿Qué harían para que su reporte al principal refleje más opiniones?¿Cómo cambiaría su carta a una más representativa de la información recolectada?

Recuerde que la idea principal es que consideren que la información puede estar sesgada cuando soloun tipo de personas participan en la encuesta.


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Encuesta de la tareaUstedes son reporteros, y el principal de la escuela los ha contratado para investigar el tiempo dedicadoa la tarea. El principal quiere saber cuánto tiempo los estudiantes deben dedicarle a hacer la tarea. Sutrabajo es conducir una encuesta para encontrar los resultados sobre qué piensan los estudiantes,padres y maestros al respecto.

1. Quieres saber cuál es su opinión acerca del tiempo dedicado a la tarea. Pregunta de la clase:

2. Quieres saber por qué piensan esto. Pregunta de la clase:

3. Quieres saber qué piensan los estudiantes sobre cuál debería ser la decisión del principal. Preguntade la clase:

4. (Para cuando comiencen el trabajo en grupos pequeños) ¿A quién estás entrevistando: estudiantes,padres o maestros?


Fuente: www.sciencenetlinks.com 894


Reporte para el principal

Ahora que has terminado tu encuesta y recolectado los datos, el principal te ha pedido tu reporte.Escribe una carta al principal que describa con exactitud la información que recopilaste.

Estimado Principal,

Como usted nos solicitó, nosotros conducimos una encuesta sobre el tiempo dedicado a la tarea.Hicimos un trabajo minucioso e hicimos preguntas investigativas. Las respuestas que recopilamosdefinitivamente lo ayudarán a tomar una buena decisión. Nosotros entrevistamos alos_____________________________, y esto fue lo que hallamos:

Nuestra recomendación oficial es que usted:

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Estándares matematicas 8vo