Estatística Descritiva - parte 2 (ISMT)

Os quartis são os valores da variável que dividem a distribuição de frequências em quatro partes iguais.

Os decis em dez.

...

...

www.joaoleal.net Professor: João José Leal 57

Os percentis em cem.

...

...0 0,25 0,5 0,75 1,00 cum fi

Q1 Q2 Q3 Xi

Quartis

Conforme se viu anteriormente, a mediana é o

valor que divide a distribuição em duas partes iguais.


valor que divide a distribuição em duas partes iguais.

Os quartis são os valores que dividem a

distribuição em quatro partes iguais.

Tamanho dos sapatos

Xi

N.º de pares vendidos

ni

cum ni fi (%) cum fi (%)

35 30 30 0,65 0,6535,5 40 70 0,87 1,5236 50 120 1,08 2,60

36,5 150 270 3,25 5,8637 300 570 6,51 12,37

Exemplo 11:


37 300 570 6,51 12,37Q1 37,5 600 1170 13,02 25,38

38 950 2120 20,61 46,00Q2 38,5 820 2940 17,79 63,79Q3 39 750 3690 16,27 80,06

39,5 440 4130 9,55 89,6140 250 4380 5,42 95,03

40,5 150 4530 3,25 98,2941 40 4570 0,87 99,15

41,5 39 4609 0,85 100,00

4.609 100,00

Diagrama de Extremos e Quartis

Utiliza-se para representar a mediana, a dispersão

inter-quartil, as observações máximas e mínimas e os

outliers.


55% 65% 55% 70% 72%

Exercícios:

1. As classificações obtidas pelo Vítor no teste de Matemática foram:

1.1 Qual foi a classificação média?

1.2 Qual é a moda?


1.2 Qual é a moda?

1.3 Qual é a mediana?

1.4 O Vítor fez um 6º teste e obteve a classificação de 80%.

a) Qual é a média dos seis testes?

b) Qual é a classificação mediana dos seis testes?

MedidasMedidas dede DispersãoDispersão

As medidas de localização não caracterizam a dispersão ou

a variabilidade dos dados. É então necessário considerar medidas de

estatísticas que descrevam tal dispersão, pois ela desempenha um


estatísticas que descrevam tal dispersão, pois ela desempenha um

papel importante na explicação de um fenómeno ou acontecimento.

A amplitude, a variância e o desvio padrão são

normalmente conhecidos como medidas de dispersão.

Amplitude totalAmplitude total

Num conjunto de dados chama-se amplitude total ou apenas

amplitude à diferença entre o maior e o menor valor da variável.


amplitude à diferença entre o maior e o menor valor da variável.

Se os dados estão agrupados em classes, a amplitude é a

diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior

da primeira classe.

10 16 18 8

Exemplos:

1. As notas do João nas disciplinas de português, Filosofia,Matemática e Inglês foram:O maior destes valores é 18 e o menor é 8. Deste modo, a amplitudedo conjunto de dados é:

A = 18 - 8 = 10


Classes fi

[50, 100[ 25

[100, 150[ 55

[150, 200[ 92

[200, 250[ 71

[250, 300[ 57

Total 300

2. Considerando o exemplo do levantamento da área total dasdivisões de cada uma das casas de uma aldeia e os resultados formaos seguintes:

300 50 250A

Amplitude interquartis é a diferença entre o 3º e o 1º quartis e

representa-se por:

AQx = Q3 – Q1

Esta medida é mais útil do que a amplitude, pois dá-nos informação


Esta medida é mais útil do que a amplitude, pois dá-nos informação

sobre a amplitude do intervalo em que se encontram 50 % das

observações centrais

Propriedades:


A medida de dispersão mais utilizada é o desvio- padrão. No entanto,

para obter o desvio- padrão temos de determinar primeiro a variância.

Variância: Sendo x1, x2, ..., xn os n valores de um variável

VariânciaVariância


x 2

2

2 1

n

ii

x x

n

2

2 1

n

i ii

f x x

n

Variância: Sendo x1, x2, ..., xn os n valores de um variável

quantitativa e a média, chama-se variância, e representa-se por

ao valor dado pela fórmula:

Para dados não classificados:

Para dados classificados:

ExemploExemplo::

Observe o conjunto de dados correspondentes às classificações

obtidas no 9º ano, em cinco testes, por dois irmãos: o José e a Maria.


Vamos calcular, para cada um dos conjuntos de dados, a variância.

Começa-se por calcular a média:

1 2 3 4 53

5x

2 2 2 2 2

2 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3

5

José:

2 3 3 3 43

5x

2 2 2 2 2

2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 3

5

Maria:


2 2 2 2 2

5

2 1 0 1 22

5

2 2 2 2 2

5

1 0 0 0 10,4

5

xi fi

2 1 2-3 = -1

3 3 3-3 = 0

4 1 4-3 = 1

ix x 2

ix x 2

i if x x

21 1 1 1 1

20 0 3 0 0 21 1 1 1 1

Ou, relativamente às notas da Maria nós tínhamos:


4 1 4-3 = 1

Total 5

1 1 1 1 1 2

2i if x x

2 20,4

5

Assim,

2n

ix x

Desvio-padrão: O desvio-padrão, que se representa por , é igual

à raiz quadrada positiva da variância, ou seja:

• Para dados não classificados:


1

ii

x x

n

2

1

n

i ii

f x x

n

• Para dados classificados:

ExemploExemplo::

Considerando as notas do José e da Maria, o desvio-padrão

seria, respectivamente:


2 1,4 1 . e 0,4 0,6 1 .c d c d

PropriedadesPropriedades dodo desviodesvio--padrãopadrão

•O desvio-padrão é sempre não negativo.

•Quanto maior for o desvio-padrão maior será a dispersão dos dados


•Quanto maior for o desvio-padrão maior será a dispersão dos dados

em relação à média.

•Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não existe variabilidade,

isto é, os dados são todos iguais.

DistribuiçõesDistribuições bidimensionaisbidimensionais

No estudo da estatística, até agora desenvolvido,

estudámos variáveis estatísticas isoladamente, isto é, a


estudámos variáveis estatísticas isoladamente, isto é, a

cada observação correspondia um registo e depois eram

trabalhados esses registos. A variável estatística era

unidimensional.

Assim,

Definição de distribuição unidimensional: É aquela em que a

observação é apenas feita atendendo a uma variável.


Porém, o que se pretende estudar da população não é só

essa variável, mas sim averiguar se há alguma relação entre duas

ou mais características da população.

Definição de distribuição bidimensional: Quando a população é

estudada relativamente a duas variáveis.


Nota: Quando se pretende estudar duas características ao mesmo tempo, a

cada observação correspondem dois valores.

Assim, os valores aparecem como pares ordenados (x, y).

Exemplos deste tipo de situações:

Averiguar se há uma relação entre:

1) o peso e a altura dos alunos de uma determinada turma;


1) o peso e a altura dos alunos de uma determinada turma;

2) as alturas dos progenitores e dos seus filhos adultos.

Relação funcional: É quando existe uma relação exacta entre duas

variáveis, isto é, é possível determinar com precisão a relação

existente entre duas variáveis.

Exemplo:


Exemplo:

A área de um quadrado e o comprimento do seu lado.

Estas duas variáveis estão relacionadas, a relação que as liga é bem definida,

invariável e pode ser traduzida pela expressão matemática: A=l2, representando A a

área e l o lado.

Podemos, assim dizer que esta relação permite determinar, com a precisão desejada,

a área de um quadrado a partir do comprimento do seu lado ou vice-versa.

Relação estatística: É quando a relação é menos precisa, mais

vaga, e sujeita a mais variações.

Exemplo:


Exemplo:

As idades dos cônjuges na data do casamento.

A idade do marido, não pode ser determinada com exactidão a partir da idade da

mulher. Pois, o que se pode dizer é que em média quanto mais velho é o marido mais

velha será também a mulher. No entanto, em alguns casos, o marido pode ser mais

novo ou ter a mesma idade da mulher.

Assim, perante dois fenómenos quaisquer, pode-se afirmar

que ou estão ligados através de uma relação funcional ou de uma

relação estatística, ou não estão ligados através de qualquer relação.


relação estatística, ou não estão ligados através de qualquer relação.

No caso da ausência de qualquer relação entre dois

fenómenos, estes dizem-se independentes.

Diagrama de dispersão

Definição: Chama-se diagrama de dispersão a uma nuvem

de pontos obtidos após a representação num sistema de eixos dos

pontos correspondentes aos pares ordenados (x, y) [as duas


variáveis].

x

y

Correlação linear ou Coeficiente de correlação

Quando se observa um diagrama de dispersão, intuitivamente

é-se levado a afirmar que existe ou não existe a possibilidade de

qualquer relação entre as variáveis.


qualquer relação entre as variáveis.

Se os pontos se concentrarem à volta de uma linha recta é

porque existe uma relação entre as variáveis (correlação linear).

Definição de correlação: A correlação é a teoria que estuda a

intensidade da relação ou a dependência entre as duas variáveis

de uma distribuição bidimensional.

Observem-se alguns tipos de correlação:


A intensidade da relação existente entre as

variáveis x e y pode ser quantificada. Para quantificar

essa relação Pearson propôs o coeficiente de


essa relação Pearson propôs o coeficiente de

correlação linear de Pearson.

1

2 2

n

i ii

n n

x x y yr

x x y y

O coeficiente de correlação é um número do intervalo [-1, 1] e

é representado por r ou rxy e definido por:


1 1

i ii i

x x y y

x

y

sendo xi valores das observações de uma das variáveis, yi os

valores das observações correspondentes da outra variável, é a

média das observações de xi e é a média das observações de yi.

Conhecido o valor de r avalia-se a intensidade da correlação

de acordo com a seguinte escala.


Ou graficamente,



Recta de regressão.

Considerem-se os seguintes diagramas de dispersão:

Figura 1: Todos os pontos do diagrama de

dispersão estão sobre uma recta, o que significa

que existe um ajustamento perfeito entre os pontos


que existe um ajustamento perfeito entre os pontos

da recta. Esta situação representa graficamente

uma relação funcional.

Figura 2: Verifica-se que os pontos se situam em

torno de uma recta imaginária que passa através da

nuvem de pontos.


nuvem de pontos.

Figura 3: A linha que se ajusta à nuvem é uma

parábola.


parábola.

Figura 4: As variáveis não estão relacionadas. A

dispersão dos pontos é muito irregular.


y ax b

Notas:

1. A recta de regressão pode ser definida por uma equação ( ).

2. Vantagem do conhecimento da recta de regressão:

Permite determinar uma estimativa do valor de uma das

variáveis conhecido o valor da outra variável.


variáveis conhecido o valor da outra variável.

( , )x y x y3. A recta de regressão contém o ponto , sendo e as

médias das variáveis x e y, respectivamente. Este conhecimento

permite construir a recta com um menor erro.


Medidas de assimetriaMedidas de assimetriaAssimetria

O método mais simples de reconhecer a assimetria de umadistribuição consiste na observação das posições relativas da média,mediana e moda e na comparação dos seus valores.


= Me = Mo Mo < Me < < Me < Mo

simetria assimetria positiva assimetria negativa

x x x

x – Mo = 0 x – Mo > 0 x – Mo < 0

Exercícios:

1. A temperatura média anual e a latitude das capitais dos países da

EU aproximadamente a seguinte:

Capitais Temperatura (ºC)

Latitude (º)

Lisboa 19 39Madrid 19 40


Madrid 19 40Paris 15 49

Londres 14 53Amesterdão 13 54

Bruxelas 14 52Luxemburgo 14 50

Bona 13 52Roma 22 42Atenas 24 37Dublin 13 53

Copenhaga 11 54

1.1 Calcule a média das variáveis temperatura e latitude.

1.2 Desenhe o diagrama de dispersão e a recta de regressão

passando no ponto ,x y Capitais Temperatura (ºC)

Latitude (º)

Lisboa 19 39Madrid 19 40


Madrid 19 40Paris 15 49

Londres 14 53Amesterdão 13 54

Bruxelas 14 52Luxemburgo 14 50

Bona 13 52Roma 22 42Atenas 24 37Dublin 13 53

Copenhaga 11 54

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