Estadística Inferencial

ESTIMACIÓN

Dr. Ronald Mayhuasca Salgado

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ODONTOLOGÍA

ESTADÍSTICA 2014 - II

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Parámetro Estadístico

POBLACIÓN

MUESTRA

deducir

inducir

Representativa y probabilística

Estimar (calcular) un parámetro a partir de un

estadístico.

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Inferencia es un proceso lógico de naturaleza deductiva o inductiva que permite sacar una conclusión

a partir de una premisa

Procedimiento que permite realizar afirmaciones de naturaleza probabilística respecto a una población, en base a los resultados obtenidos en una muestra seleccionada de esa población.

Como las poblaciones son descritas por medidas numéricas descriptivas llamadas parámetros, se puede hacer

inferencias acerca de la población haciendo inferencias respecto a sus parámetros

ÁREAS DE LA INFERENCIA ESTADÍSTICA

INFERENCIA ESTADÍSTICA

Estimación de parámetros

Prueba de hipótesis

Por punto

Por intervalos Calcular un valor que corresponde a una

característica de la población

De orden cuantitativo. Establece conclusiones sobre alguna afirmación o supuesto

(hipótesis)

Establece un rango donde se supone está el parámetro

Margen de error

EXISTE

ESTIMACIÓN

Efectuar una estimación es usar las medidas calculadas en una muestra (estimadores) para predecir el valor de uno o más parámetros de la población.

Un estimador a menudo es expresado en términos de una fórmula matemática que da la estimación como una función de las medidas muestrales.

1. Estimación por punto

Se usan las medidas de la muestra para calcular un único valor numérico que es la estimación puntual del parámetro poblacional

Las medidas de la muestra pueden también usarse para calcular

dos valores numéricos que definen un intervalo el cual, con un cierto nivel de confianza, se considera que incluye al parámetro

2. Estimación por intervalo

1. Estimación por punto

Se usan las medidas de la muestra para calcular un único valor numérico que es la estimación puntual del parámetro poblacional

En un estudio la media y la desviación estándar de las edades de una muestra de pacientes fueron (33±5 años). Entonces 33 años es la estimación puntual de la edad promedio poblacional. Pregunta: ¿cuál es la estimación puntual de la desviación estándar y de la varianza de la población de pacientes?

Ejemplo:

Las medidas de la muestra pueden también usarse para calcular

dos valores numéricos que definen un intervalo el cual, con un cierto nivel de confianza, se considera que incluye al parámetro

2. Estimación por intervalo

Límite inferior

Límite superior

A veces el parámetro no se halla en el intervalo cuando la muestra no es representativa

Una muestra debe incluir al parámetro

La probabilidad de que una estimación por intervalo incluya el parámetro se denomina nivel de confianza

El modelo general de estimación por intervalo de un parámetro cualquiera, es:

Al restar el producto del estimador se obtiene el límite inferior del intervalo (LI) y al sumar se obtiene el límite superior (LS). La expresión final de la estimación de un parámetro cualquiera es:

IC 95% [LI;LS]

PARÁMETRO = ESTIMADOR ± COEFICIENTE DE CONFIANZA x ERROR ESTÁNDAR DEL ESTIMADOR

El margen de error es grande cuando la

muestra es pequeña

A este producto se llama MARGEN DE ERROR O PRECISIÓN

2. Estimación por intervalo

Parámetro = estimador ± precisión del estimador

1. Estimación de la media poblacional

μ = 𝑥 ± tn-1. 𝑆

√𝑛

Media aritmética (promedio) poblacional

Media aritmética (promedio) muestral

Coeficiente de confiabilidad: Distribución T

Desviación estándar muestral

Límite superior

Límite inferior

Parámetro = estimador ± precisión del estimador

Donde tn-1 es el coeficiente de confiabilidad, su valor se obtiene

de la tabla «t» de Student con [n-1] grados de libertad para el nivel de confianza o de significación deseado.

1. Estimación de la media poblacional

μ = 𝑥 ± tn-1. 𝑆

√𝑛

Límite superior

Límite inferior

Características de la distribución «t» de Student:

• Conformada por una familia de curvas simétricas respecto a la perpendicular en el punto t=0

• Cada curva es diferente de otra en base a los grados de libertad • A medida que n aumenta, «t» se aproxima a la normal estándar Z.

Distribución «t» de Student:

• Conformada por una familia de curvas simétricas respecto a la perpendicular en el punto t=0

• Cada curva es diferente de otra en base a los grados de libertad • A medida que n aumenta, «t» se aproxima a la normal estándar Z.

Niv.sig. 1 cola

Se desea estimar el tiempo promedio de espera de una clínica privada. En una muestra de 61 usuarios se obtuvo una 𝑋 = 18,7 y S=6,8 minutos. Estimar μ con 95% de confianza.

EJEMPLO

Estimación de la media poblacional (μ)

Solución

Como no se conoce σ (desviación estándar poblacional), el error

estándar de la media muestral se obtiene con S. Entonces: Supuestos: aleatoriedad y

normalidad

μ = 𝑥 ± tn-1. 𝑆

√𝑛

μ = 18,7± t61-1. 6,8

√61

Se desea estimar el tiempo promedio de espera de una clínica privada. En una muestra de 61 usuarios se obtuvo una 𝑋 = 18,7 y S=6,8 minutos. Estimar μ con 95% de confianza.

EJEMPLO

Estimación de la media poblacional (μ)

En este caso, para 60 grados de libertad y un nivel de

significación bilateral de 0,05

(α = 0,05), se tiene t60=2,00,

luego:

μ = 18,7± t61-1. 6,8

√61 μ = 18,7± t60.

6,8

√61

μ = 18,7± (2,00). 6,8

√61

μ = 18,7± 1,74 20,4min

17,0min

Se desea estimar el tiempo promedio de espera de una clínica privada. En una muestra de 61 usuarios se obtuvo una 𝑋 = 18,7 y S=6,8 minutos. Estimar μ con 95% de confianza.

EJEMPLO

Estimación de la media poblacional (μ)

μ = 18,7± 1,74 20,4min

17,0min

Nota: la cantidad ± 1,74 recibe el

nombre de precisión de la estimación o margen de error

Interpretación

El tiempo promedio de espera, para la atención médica en la población de pacientes que acude a la clínica , se encuentra entre 17,0 y 20,4 minutos, con un nivel de confianza de 95%.

Expresión en informe:

IC 95% [17,0;20,4] minutos

2. Estimación de una proporción poblacional (π)

π = p ± Z. √ 𝑝𝑞

𝑛

Proporción poblacional

Proporción muestral

Coeficiente de confiabilidad: Distribución Z

p: proporción esperada de individuos con la variable de interés

Límite superior

Límite inferior

Precisión del estimador (margen de error)

Error estándar

PARÁMETRO

ESTIMADOR

Parámetro = estimador ± precisión del estimador

q =1-p

Para estimar la prevalencia d obesidad en una población de pacientes de sexo femenino se tomó una muestra de 120 individuos de esa población y se encontró que 54 presentaban obesidad. Estimar la prevalencia poblacional con 95% de confianza.

EJEMPLO

Solución

Supuestos: muestra probabilística y n > 30

2. Estimación de una proporción poblacional (π)

π = p ± Z. √ 𝑝𝑞

𝑛

p = 54/120 = 0,45 q = 1- 0,45 n = 120 α= 1-0,95= 0,05

π = 0,45 ± Z1-0,95. √ 0,45 (0,55)

120

π = 0,45 ± Z0,05. √ 0,45 (0,55)

120

π = 0,45 ± 1,96. √ (0,2475)

120 Z(1-α) : Valor correspondiente

en la distribución Z para un nivel de confianza α=…

90%: 1,64 95%: 1,96 99%: 2,58 99,9%: 3,29

Para estimar la prevalencia d obesidad en una población de pacientes de sexo femenino se tomó una muestra de 120 individuos de esa población y se encontró que 54 presentaban obesidad. Estimar la prevalencia poblacional con 95% de confianza.

EJEMPLO

2. Estimación de una proporción poblacional (π)

p = 54/120 = 0,45 q = 1- 0,45 n = 120 α= 1-0,95= 0,05

π = 0,45 ± 1,96. √ (0,2475)

120

π = 0,45 ± 0,089 0,539

0,361

Expresión en informe:

IC 95% [0,361;0,539] IC 95% [36,1;53,9] %

La prevalencia de obesidad en la población de pacientes de sexo femenino se encuentra entre 36,1 y 53,9%, con 95% de confianza.

Respuesta:

PRÁCTICA ESTIMACIÓN