Estrategias didácticas de problemas multiplicativos con énfasis en división

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS DE PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

CON ÉNFASIS EN DIVISIÓN ASESORÍA TÉCNICO PEDAGÓGICA EN PENSAMIENTO MATEMATICO

COORDINADOR: GERARDO RODRIGUEZ VEGA

ACÁMBARO GUANAJUATO FEBRERO DE 2016

PROPÓSITO GENERAL• Que los docentes participantes conozcan y diseñen estrategias didácticas para

su aplicación en el aula, permitiéndoles desarrollar el pensamiento lógico matemático en sus alumnos y elevar, con ello, el aprovechamiento escolar de su grupo.

• PROPÓSITOS ESPECÍFICOS: Que los participantes:• Reflexionen sobre los procesos que se desarrollan en sus alumnos para el

aprendizaje de la división como una herramienta para la resolución de problemas.• Vivencien actividades que les permitan comprender la necesidad de diseñar

estrategias acordes a los procesos de desarrollo del pensamiento lógico de los niños

• Diseñen material didáctico concreto acorde al nivel de desarrollo de sus alumnos• Trabajen colaborativamente en el diseño de estrategias didácticas para la

adecuada resolución de los problemas de multiplicación y de división.

PRIMERA SESIÓNActividad 1: Nuestras Ideas Previas Tiempo Estimado: 20 minutos• Demos lectura a la Presentación y propósitos del taller.• De manera individual demos respuesta a las siguientes preguntas:• ¿Cómo enfrentan los alumnos de educación Primaria los problemas de

División? ______________________________________________• ¿Es fácil o difícil el aprendizaje de la multiplicación y división para nuestros

alumnos?_____ ¿Por qué? ________________________________• ¿Qué tipo de material didáctico usamos para que los niños desarrollen los

procesos de la multiplicación y la división en nuestras aulas? _____________• ¿Cuáles juegos han favorecido el desarrollo de estrategias adecuadas para

resolver problemas que implican usar las multiplicaciones o las divisiones en nuestros salones de clase __________________________________________

• En plenaria comentemos las respuestas

• Actividad 2: Analizando Problemas Tiempo Estimado: 30 minutos1. Resuelvan en su cuaderno los siguientes Problemas:a) Se van a llenar 15 costales con 20 melones cada uno. ¿Cuántos melones se

necesitan?b) Se tienen 300 melones y se quieren poner 20 melones en cada costal.

¿Cuántos costales se necesitan?c) Se tienen 300 melones y se quieren distribuir en 15 costales de tal manera

que en cada costal haya la misma cantidad. ¿Cuántos melones contendrá cada costal?

d) Alejandra quiere regalar 4 chocolates a cada uno de sus 7 amigos ¿Cuántos chocolates necesita?

e) Alejandra tiene 28 chocolates y quiere dar 4 a cada uno de sus amigos ¿A cuántos amigos les puede dar chocolates?

f) Alejandra tiene 28 chocolates y los quiere repartir equitativamente a sus 7 amigos ¿Cuántos chocolates le dará a cada amigo?

2. En equipos comenten y anoten • ¿Qué tienen en común los problemas con los incisos a) y d)? __________________• ¿Los incisos b), c), e) y f)? _____________________________________________• ¿Los Incisos b) y e)? __________________________________________________• ¿Los Incisos c) y f)? ___________________________________________________

3. Leamos y comentemos el siguiente texto.“Aunque los problemas b), c), e) y f) se pueden resolver con una división, difieren en la relación que se establece entre los datos. En los problemas b) y e) se relacionan dos magnitudes del mismo tipo y se trata de ver cuántas veces cabe una en la otra… Esta relación entre los datos suele llamarse de agrupamiento o tasativa.En los problemas c) y f) se relacionan magnitudes de distinto tipo y puede decirse que se trata de repartir una en la otra… Esta relación entre los datos suele llamarse de reparto. Como veremos más adelante, en el proceso de aprender a resolver problemas de división, los niños son muy sensibles a estas diferencias. (1)

4. Cada uno de los tres datos que se dan a continuación se puede calcular a partir de los otros dos. En equipo redacten tres problemas cambiando el dato que se debe calcular. Uno será de multiplicación, otro de división tipo tasativo y otro de división tipo reparto.

• Dato 1: hay 600 kg frijol Dato 2: Se venden cada día Dato 3: El frijol se agota 40 Kg de Frijol en 15 días

5. Comentemos nuestras estrategias de redacción de los problemas con los otros equipos.

6. Leamos y comentemos el siguiente textoNo es necesario que los niños aprendan a distinguir la estructura de los problemas, ni mucho menos que se aprendan los nombres de esas estructuras. Es con la experiencia en la resolución de problemas que ellos van construyendo poco a poco las relaciones necesarias para saber que corresponde a determinada operación. (2)

• Actividad 3: completando Tiempo estimado: 15 Minutos

1. Completemos las siguientes expresiones:

a) ________ ÷ 7 = 1 y sobran __________• ¿Cuántas soluciones hay?

_____________________________________________

b) ________ ÷ 3 = ___________ y sobra 1 • ¿Cuántas soluciones hay?

_____________________________________________ 2. Comentemos nuestros descubrimientos con el grupo.

• Actividad 4: EL SIGNIFICADO DEL RESIDUO Tiempo estimado: 45 minutos1. En equipo resolvamos los siguientes problemas

a) Una agencia requiere transportar 14 autos. En cada flete solo se pueden transportar tres autos. ¿Cuántos fletes se pueden hacer? ______________________________________

b) 3 niñas se reparten 7 barras de chocolate en partes iguales y no quieren que sobre chocolate. ¿Cuánto le toca a cada niña? ________________________________________

c) Fabiola hará unos vestidos. Para ello tiene 25 metros de tela y en cada vestido usa 4 metros. ¿Para cuántos vestidos le alcanza? ___________________________________________

2. Sugiera que conviene hacer con el residuo en cada uno de los casos anteriores. d) ________________________________________________________________________ e) ________________________________________________________________________ f) ________________________________________________________________________ 3. Compartamos nuestros procedimientos y reflexiones en plenaria

4. Leamos y comentemos el siguiente texto

• El significado de los problemas de división influye en el significado que tiene el residuo, visto como una magnitud y no como un número aislado. En el primer caso sobran 2 autos, pero se necesitan transportar todos, por lo que se requiere un flete más. En el segundo caso se especifica que no se quiere que sobre chocolate, lo que nos invita a pensar que se fraccionará el que sobró. En el último caso se obtiene un residuo de un metro de tela, y éste no alcanza para otro vestido. (3)

5. En equipos resolvamos e siguiente problema:

a) ¿Cuántas vueltas dará al reloj la manecilla pequeña para marcar 200 horas transcurridas? _________________ si se empieza a contabilizar desde las cero horas, ¿en qué número llegará a las 200 horas? ___________

b) Ahora respondamos a las mismas preguntas pero en las 315, 408 y 600 horas 315: ________ vueltas al circuito y llegó a las ______ horas408: ________ vueltas al circuito y llegó a las ______ horas600: ________ vueltas al circuito y llegó a las ______ horas

c) ¿Qué tiene que ver este problema con el residuo de la división? ________________________________________

¿Cuántas horas debe de recorrer la manecilla pequeña para llegar al número 3? Anoten por lo menos 10 respuestas _____________________________________________________ ________________¿Cuántas horas debe de recorrer la manecilla pequeña para llegar al número 4? ______________________¿Cuántas horas debe de recorrer la manecilla pequeña para llegar al número 5? ______________________

6. En grupo argumentemos nuestros procedimientos de resolución y nuestras reflexiones.

• Actividad 5: Reflexiones de la sesión Tiempo estimado: 10 min

• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión.

• Escribamos nuestras conclusiones sobre la clasificación de las divisiones en tasativas y de agrupamiento, y el significado del residuo _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

• Comentemos nuestras conclusiones en grupo y modifiquemos nuestro escrito en caso de ser necesario.

Segunda Sesión• Actividad 6: PROCEDIMIENTOS PARA DIVIDIR (4) Tiempo estimado: 30 minutos

• Materiales: Fichas de Foamy y Material del participante1. Leamos el siguiente problema comentemos los procedimientos que los niños emplean para resolverlos.

Fernando tiene 9 canicas, Julio tiene 8 y Pedro tiene 16. Deciden juntarlas y repartirlas entre los tres en partes iguales.• ¿Cuántas canicas hay en total? _________• ¿Cuántas canicas corresponden a cada uno? _______• ¿Quién de los tres tenía más canicas? ___________________• ¿Quién salió ganando después del reparto? ____________________2 Comentemos los procedimientos que los niños emplean para resolverlos. 3. Leamos el siguiente texto y comentemos si hay semejanza con los procedimientos que emplean nuestros alumnos para resolver problemas de Reparto.

I. Probablemente los alumnos comiencen a repartir de uno en uno hasta agotar la cantidad que se tiene por repartir.

II. Hacer agrupaciones en 3 colecciones, para posteriormente verificar si se hizo un reparto equitativo realizando los ajustes, con la finalidad de igualar las cantidades en cada colección

III. Asignar cantidades mayores a uno hasta que se agote la cantidad a repartir. (Ejemplo: primero 5, después otros 5 y finaliza con 1 para, cada persona.)

• IV. Descomponer el total en cantidades como decenas y unidades y distribuirlas en forma equitativa ( 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1)



9+ 8

16 33

33 = 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1

101010

11 1

V. Realizar una resta iterada considerando al número de personas, a quienes se reparten las canicas, como número base para ir sustrayendo continuamente (33–3 =30; 30–3=27; 27–3=24; 24–3=21… 3–3=0; hasta que se obtenga un número que ya no se puede repartir; contabilizando al final el número de restas realizadas, para determinar el número que representa el reparto equitativo.)

33- 3 30

30- 3 27

27- 3 24

24- 3 21

21- 3 18

18- 3 15

15- 3 12

12- 3 9

9- 3 6

6- 3 3

3- 3 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

VI. Buscar un número que multiplicado por 3 obtengamos como resultado el número 33.

__?_ X 3 = 33

3 X 1 = 33 X 2 = 63 X 3 = 93 X 4 = 123 X 5 = 153 X 6 = 183 X 7 = 213 X 8 = 243 X 9 = 273 X 10 = 303 X 11 = 33

• Actividad 7: Tablas como recurso para dividir Tiempo estimado: 30 mins

1. Analicemos el desafío y comentemos en plenaria las estrategias de solución de los niños.(5)

El día de su cumpleaños, Marcela compró 48 globos para repartirlos equitativamente entre 6 amigos.

a) ¿Cuántos globos le toca a cada uno de sus amigos?

b) ¿Y si compra 57 globos?

2. Comparen los procedimientos que los alumnos de tercer grado usan con los propuestos en la siguiente situación. Analicen qué hacen Mariela y Juan para resolver el problema anterior

2. En equipos respondamos las siguientes preguntas: a) ¿Algunos de nuestros alumnos se auxilian de las tablas para para

encontrar la solución a los problemas de reparto y de agrupación? ¿Podríamos describir la mecánica que desarrollan par auxiliarse de ellas?

b) ¿Cómo induciríamos a nuestros alumnos para que utilicen estos instrumentos en la resolución de sus problemas de Reparto y agrupación?

c) ¿De qué manera el uso continuo y sistemático de estos instrumentos nos lleva al desarrollo de cálculo mental?

3. En plenaria comentemos las respuestas de los equipos.

Actividad 8: Buscando lo perdido Tiempo estimado 30 minutos

1. En parejas, construyamos la siguiente tabla de multiplicación.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2. En plenaria comentemos las estrategias que seguimos para encontrar los resultados.

3. Comentemos si existen regularidades en las secuencias numéricas que nos hacen más fácil su construcción.

4. En parejas, y auxiliándonos de la tabla o de la calculadora completemos el siguiente cuadro:

X 3 9

13 39 91

17 119 153

57 133

5. En parejas busquemos el número que falta en las multiplicaciones.

a) 5 X _____ = 75

b) ._____ X 3 = 54

c) _____ X _____ = 60

d) 30 X _____ = 0

e) ______ X _____ = 19

• Compartamos nuestros procedimientos en plenaria y comentemos nuestras estrategias.

7. Leamos y comentemos el siguiente texto:“En estas actividades con nuestros alumnos de tercer grado, es probable que para encontrar los números que faltan, tanto en la tabla como en los espacios, los alumnos usen la multiplicación, quizá con algunas dificultades.Cuando se trata de encontrar dos números, puede haber varias soluciones correctas, esto le permite reflexionar sobre la coincidencia de varios factores para un mismo producto.Para la conceptuación de la multiplicación por cero es necesario apoyarnos en la idea de la multiplicación como "tantas veces", pudiendo justificar que 30 veces cero es igual a cero. El asunto medular de este desafío es que los alumnos sepan que para resolver expresiones en las que se conoce un factor y el resultado, existe una nueva operación que se llama división… y que se escribe (por Ejemplo): 24 ÷ 6 =; así, el resultado es precisamente el elemento que hace falta en la multiplicación donde le falta un factor. Ahora bien, en tercer grado, aunque no conocen esta operación, se les debe explicar y decirles que el primer término se llama dividendo; el segundo, divisor; y el resultado, cociente… Después de lo anterior, se les puede pedir que escriban como divisiones las multiplicaciones que han resuelto.La intención de este tipo de desafíos es que los alumnos reconozcan la división como una nueva operación y que empiecen a representarla como tal. En los grados anteriores (2°) y en éste, se plantean una gran variedad de problemas que la involucran, con la finalidad de darle sentido y de que empiecen a usarla. (6)

• Actividad 9: Asociando la multiplicación para la comprensión de la división. (7) Tiempo: 20 mins• Materiales y Recursos: Papel Bond, marcadores, Cinta adhesiva y calculadora

1. En equipos, inventen un problema que se pueda resolver con cada una de las siguientes operaciones.a) 18 + 6 =

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) 18 X 6 = __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

c) 18 ÷ 6 = __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d) 18 – 6 = __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Presentemos nuestros problemas al grupo y hagamos un ejercicio de valoración para determinar si los problemas se pueden solucionar con la información, son claros y representan un reto.

3. Leamos el siguiente Texto y comentemos“Para que los alumnos construyan el significado de las operaciones, no sólo es necesario que resuelvan una gran variedad de problemas, sino que ellos mismos los elaboren. Se debe tener en cuenta que se trata de una actividad compleja y que entre los aspectos que hacen que un problema sea bueno están, por ejemplo, que sea claro, que se pueda solucionar con la información disponible y que represente un reto.En la actividad, se usan a propósito los mismos números para cuatro operaciones distintas, con la idea de que los alumnos centren la atención en el significado de éstas… se les puede cuestionar con preguntas como: ¿son iguales los resultados? ¿Es lo mismo multiplicar que dividir? ¿Hay diferencias entre multiplicar y dividir? ¿Cómo cuáles? ¿Qué necesitamos saber para poder realizar una división?A partir de estas respuestas, vale la pena reflexionar con ellos acerca de que de los tres términos de una multiplicación se pueden hacer dos divisiones; por ejemplo: Multiplicación: 9 × 7 = 63: Divisiones: 63 ÷ 9 = 7 y 63 ÷ 7 = 9

• Actividad 10: Reflexiones de la sesión Tiempo Estimado: 10 minutos• Materiales y Recursos: Material del participante

1. Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión. • Escribamos nuestras conclusiones sobre los procedimientos más comunes para

dividir usados por los alumnos y la importancia del uso de las tablas como recurso para resolver problemas o desafíos que implican una división como herramienta para su resolución. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


TERCERA SESIÓN• Actividad 11: Elementos que intervienen en la división (8) Tiempo estimado 30 minutos

1. Identifiquemos los elementos de la división en los siguientes problemas.a) A una comunidad de Tapachula, Chiapas, llegó una brigada de 48

trabajadores de la Secretaría de Salud, para realizar una campaña de fumigación y descacharrización para prevenir enfermedades, como el dengue. ¿Cuántas brigadas de 4 trabajadores se podrán formar? ______________________________________________________________________________________________________________________

______ ÷ _____ = _____ y sobran _____

b) A una reunión llegan 74 personas que van a ocupar habitaciones triples en el hotel (3 personas en cada una). ¿Cuántas habitaciones son necesarias para alojarlas a todas?

Para trabajar, se organizarán en equipos de 7 personas. ¿Cuántos equipos se podrán formar? En el restaurante, las mesas son para 4 personas. ¿Cuántas mesas se

necesitarán? _______________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________ ______ ÷ _____ = _____ y sobran ___________ ÷ _____ = _____ y sobran _____ ______ ÷ _____ = _____ y sobran _____

c) En un barco viajan 99 personas. Por su tamaño, no puede llegar hasta el muelle, por lo que los pasajeros se trasladarán en lanchas para 8 personas. _________________________________________________________________________________________________ ÷ _____ = _____ y sobran _____

2. Leamos el texto y comentemos • Los alumnos ya han resuelto problemas de división mediante procedimientos personales (cálculo mental, sumas,

restas, multiplicaciones); ahora se trata de empezar a construir un algoritmo para realizarlas entre un dígito.• Para empezar a construir el algoritmo de la división, es necesario escribir la operación con la galera; Se debe

hace notar que el dividendo va dentro de la galera, el divisor afuera, arriba el cociente y abajo el residuo. Uno de los errores más frecuentes consiste en invertir el dividendo y el divisor, lo cual tiene lógica porque usualmente leemos y escribimos de izquierda a derecha, mientras que con la división es de manera inversa.

• En la construcción del algoritmo, se debe utilizar un recurso intermedio entre el algoritmo usual y los métodos personales que se han empleado. Consiste en tomar el dividendo completo, sin fragmentarlo en unidades, decenas, centenas, etcétera. En el caso anterior, se preguntará, por ejemplo, ¿se podrán formar 10 equipos? Esto lleva a pensar en la multiplicación 10 × 4 = 40; por tanto, sí se pueden constituir los 10 porque se necesitarían 40 personas y hay 48, entonces, sobran 8. La operación quedaría como se muestra enseguida.

104 | 48 - 40 8

Con las 8 personas que sobran se pueden formar otros 2 equipos de 4; esto se indica en el cociente, pues se hace la multiplicación 2 × 4 = 8, se resta y se obtiene el residuo final, que en este caso es cero.

10 + 2 4 | 48

− 40 8 - 8 0

Esta forma de dividir tiene varias ventajas: la primera es que el dividendo no se descompone, sino que se divide todo lo que se tiene; la segunda es que, para obtener el cociente, conviene utilizar múltiplos de 10, que facilitan las multiplicaciones; y la tercera es que permite, en poco tiempo, el uso de números de varias cifras, tanto en el dividendo como en el divisor, porque el empleo de la multiplicación y de la resta como operaciones auxiliares es más transparente que en el algoritmo usual.Este procedimiento puede usarse y consolidarse durante tercero y cuarto grados, antes de emplear el algoritmo usual en quinto. Además de la construcción del algoritmo, es necesario atender al significado del residuo de la división, no sólo como parte del resultado sino porque en algunos problemas ambos productos no coinciden.

Actividad 12: ¿Habrá otro? (9) Tiempo estimado 45 Minutos

Materiales y Recursos: Fichas de colores y tablero de división1. En equipos, realicen lo que se pide.• Los equipos de Luis, Felipe y Rosa solucionaron el siguiente problema usando

los procedimientos que se indican. Coméntenlos y en seguida respondan las preguntas.

• “Hay 354 losetas para cubrir el piso de un salón de la escuela. Después de hacer algunos cálculos, los trabajadores se dieron cuenta de que les conviene acomodarlas en filas de nueve losetas.

• ¿Cuántas filas podrán colocar?, ¿sobrarán losetas?”

Equipo de Luis Equipo de Rosa Equipo de Felipe 20 + 10 + 5 + 49 | 3 5 4 - 1 8 0 1 7 4 - 9 0 8 4 -4 5 3 9 -3 6 3

10 + 10 + 10 + 2 + 2 + 5 9 | 3 5 4 -9 0 2 6 4 -9 0 1 7 4 -9 0 8 4 -1 8 6 6 -1 8 4 8 -4 5 3

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 10 + 10 + 10 + 4 9 | 3 5 4 -9 3 4 5 -9 3 3 6 -9 3 2 7 -9 3 1 8 -9 3 0 9 -9 0 2 1 9 -9 0 1 2 9 -9 0 3 9 -3 6 3

Respuesta del equipo de Luis:Alcanza para 39 filas y sobrantres losetas

Respuesta del equipo de Rosa:Se van a acomodar 39 filasy van a sobrar tres losetas

Respuesta del equipo de Felipe:Los trabajadores pueden colocar

39 filas y sobran 3 losetas.

a) ¿Qué diferencias observan entre los cálculos que hicieron los equipos de Rosa y de Felipe?

b) ¿Cuál de los tres cálculos consideran que es el más rápido? ¿Por qué?

c) ¿Podrían hacer un cálculo aún más corto que el del equipo de Luis?

¿Por qué?

2. Veamos una animación para el uso de material concreto en una resolución y comentemos

• PLANTEAMIENTO 354 ÷ 9

• Nos damos cuenta que no se pueden asignar, por lo menos una amarilla a cada quien y transformamos las amarillas en rojas.

• Ahora si se puede asignar por lo menos una roja a cada uno (nos damos cuenta que a cada uno le tocan 3 rojas) y se sustraen los grupos que se formaron

30 .9 | 3 5 4 - 27 0 8 4

Nos quedaron 8 rojas y 5 azules sin repartir

Simbólicamente se pone en la parte superior de la galera la cantidad de fichas que le corresponden a cada uno

• Nos damos cuenta que ya no alcanzan las rojas para asignarle por lo menos una a cada quien entonces cambiamos las rojas por azules y las juntamos con las 4 que tenemos

30 .9 | 3 5 4 - 27 0 8 4

• Ahora si podemos asignar por lo menos una azul a cada uno (nos damos cuenta de que tocan 9 azules a cada quien) y se sustraen los grupos que se formaron

30 + 9 .9 | 3 5 4 - 27 0 8 4 - 81 3

Nos quedaron 3 azules sin repartir

Simbólicamente se pone en la parte superior de la galera la cantidad de fichas que le corresponden a cada uno

• Actividad 13: ¡Mucho ojo! (10) Tiempo estimado: 30 minutos• En parejas, revisen estas divisiones. Si encuentran que en alguna hay

errores, tratemos de concluir como lograríamos que los alumnos los superaran.

100 + 40 + 3 6 | 7 6 3 -6 0 0 2 6 3 -2 4 0 0 2 3 -1 8 1 1

10 + 9 21 | 414 -210 204 -189 15

. 50 . 18 | 963 -960 3

40 + 4 16 | 919 -640 079 -64 15

100 + 20 8 | 954 -800 154 -80 74

40 + 9 20 | 985 -800 180 -180 0

2. Leamos el siguiente texto y comentemos.

…los alumnos se enfrentan a un reto diferente… el dominio de multiplicar rápidamente por 10, 100 y sus múltiplos…en estas divisiones los cocientes ya no se presentan como la suma de cinco o hasta seis términos; ahora son más breves debido a que en cada orden decimal se consideró el mayor número posible de grupos.

• Actividad 14: Reflexiones de la sesión Tiempo estimado: 15 minutos

1. Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la sesión.2. Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de ir desarrollando el algoritmo de la división mediante la asignación de cantidades y sustracción de lo asignado en cada ocasión. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3. Comentemos nuestras conclusiones en grupo y modifiquemos nuestro escrito en caso de ser necesario.

Cuarta SesiónActividad 15: ¿Cuántas cifras tiene el resultado? (11) Tiempo estimado: 20 Minutos

1. En equipos, determinen el número de cifras del cociente de las siguientes divisiones, sin hacer las operaciones. Argumenten sus resultados.

2. Ahora, estimen los resultados de las siguientes divisiones; aproxímenlos a la decena más cercana, sin realizar las divisiones. Argumenten sus resultados.

DIVISIÓN NÚMERO DE CIFRAS DEL RESULTADO837 ÷ 93 10500 ÷ 250 17625 ÷ 75 328320 ÷ 380 8599400 ÷ 950

DIVISIÓN ESTIMACIÓN DE RESULTADO3380 ÷ 65 3026 ÷ 34 16800 ÷ 150 213280 ÷ 869

1. Leamos y comentemos el siguiente texto

“Una herramienta útil para obtener el número de cifras del cociente de una división con números naturales es la multiplicación del divisor por potencias de 10. Por ejemplo, el resultado de la división 17 625 ÷ 75 tiene tres cifras, porque 75 100 = 7 500 y 75 1 000 = 75 000, así que el cociente es mayor ✕ ✕que 100 pero menor que 1 000; por lo tanto tendrá tres cifras. Para estimar los cocientes, además de determinar el número de cifras es necesario aplicar propiedades de las operaciones estudiadas en otros grados; por ejemplo, el cociente de la división 3 380 ÷ 65 tiene dos cifras, porque 65 ✕10 = 650 y 65 100 = 6 500, de manera que el cociente es mayor que 10 pero ✕menor que 100. Además, puede advertirse que si 6 500 se reduce a la mitad, se obtiene 3 250, valor muy aproximado al dividendo; por lo tanto, el cociente es un valor muy cercano a 50, lo cual es resultado de reducir a la mitad también el factor 100.

• Actividad 16: Un algoritmo de la multiplicación poco utilizado TE: 30 min1 Analicemos los siguientes ejemplos de resolución de multiplicaciones.a) MULTIPLICAR 317 X 214

X 3 1 72

6

2

1 4

1 3

1

7

4 1 2

4

2 8

6 7 7 13 8

X 3 1 72

6

2

1 4

1 3

1

7

4 1 2

4

2 8

6 7 8 3 8

b) MULTIPLICAR 25 X 12

X 2 51 2 52 4 1 0

2 10 0

X 2 51 2 52 4 1 0

3 0 0

• En parejas describamos como explicaríamos el algoritmo a alguien que se interesara por conocerlo, y escribamos los pasos en nuestro cuaderno.

• En plenaria comentemos nuestras descripciones y veamos si existe similitud en nuestras apreciaciones.

• Observemos en la presentación como se haría con material concreto y comentemos en plenaria la posibilidad de desarrollarlo en el grupo.

• Multiplicar 25 X 12 X 2 51

2

• Multiplicar 25 X 12 X 2 51

2

• Actividad 17: Decenas, centenas y millares como divisores tiempo estimado 30 minutos

1. En parejas resolvamos el siguiente problema con el procedimiento que se desarrolló en la actividad 12.• Los maestros del taller de matemáticas encargaron a don Chava imprimir

para cada uno, un documento digital del libro de estrategias didácticas de la división que consta de 225 páginas. Si al final de la última impresión el contador de copiado marcó la cantidad de 4500, ¿Cuántas copias del libro imprimió don Chava? _____________

2. En plenaria compartamos nuestras estrategias de solución.3. Comentemos la posibilidad de hacer este procedimiento más ilustrativo con material concreto4. Veamos la presentación de la división con fichas de colores y comentemos en plenaria este procedimiento

• Dividir 4500 ÷ 225 .225 | 4 5 0 0

• Se observa muy complejo asignar miles o cienes a cada uno, por lo que se puede pensar en asignar 10 a cada uno

10 .225 | 4 5 0 0 - 2 2 5 0 2 2 5 0

• Para sustraerlo necesitamos cambiar cien por diez decenas

• Al dar 10 a cada uno se ocupan (225X10= 2250) y lo sustraeríamos del total

• Nos damos cuenta que nos sobró una cantidad parecida a la anterior y se puede deducir que se le puede asignar 10 a cada uno nuevamente.

10 + 10 .225 | 4 5 0 0 - 2 2 5 0 2 2 5 0 - 2 2 5 0 0 0 0 0

• Al dar 10 a cada uno se ocupan (225X10= 2250) y lo sustraeríamos del total

• Actividad 18: Tablero de división Tiempo estimado: 30 minutos

1. Leamos el siguiente problema y pensemos en resolverlo con las fichas de colores.a) A los alumnos del grupo de quinto grado le asignaron la tarea de

forrar 345 libros de la biblioteca Escolar. Si son 23 alumnos, y se quiere que cada uno de ellos forre el mismo número de libros ¿Cuántos Forrará cada niño?

b) En plenaria compartamos nuestras ideas para resolverlo auxiliándonos con las fichas de colores.

c) Veamos las tablas y reflexionemos sobre la división como operación inversa a la multiplicación

X 2 3??

3 4 5

÷2

3

3

4

5

El ordenamiento toma formato diagonal para el desarrollo de las transformaciones.

÷ 1

2

3

2

4

5

Repartimos las centenas a los elementos del divisor comenzando por el orden mayor (decenas)3 centenas ÷ 2 decenas = 1 centena y sobra 1.

1

÷ 1

2

3

2

14

5

Ahora es necesario asignar la misma cantidad al orden menor (Unidades) por lo que se cambiará la centena que sobró por 10 decenas y se juntan con las 4 que ya teníamos

÷ 1

2

3

2 11

5

Se asignan a cada unidad del divisor una decena para satisfacer el cociente y las restantes se ubicarán en el nivel de las decenas del divisor

3

÷ 1 5

2

3

2 10

5

Repartimos las decenas a los elementos del divisor comenzando por el orden mayor (decenas)11decenas ÷ 2 decenas = 5 decenas y sobra 1.

3

1

÷ 1 5

2

3

2 10

15

Ahora es necesario asignar la misma cantidad (5) al orden menor (Unidades) por lo que se cambiará la decena que sobró por 10 Unidades y se juntan con las 5 que ya teníamos para repartir 15 entre 3 y ubicarlos en el nivel de las unidades del divisor.

d) Veamos la presentación de la división con fichas de colores y comentemos en plenaria este procedimiento

3

DIVIDIR 345 ÷ 23

Se asigna una amarilla a cada rojas y se pone simbólicamente una roja sobre el tablero porque son 200 repartidos a 20 elementos

. 1 ´ 23 | 345 -200 145

Como las azules son de un orden inferior, la amarilla se transforma para asignar una roja también a los elementos azules

´ 1 ´ 23 | 3 4 5 -2 0 0 1 4 5

Se asigna una roja a cada azul y las restantes se ubican en el nivel de las rojas

´ 1 ´ 23 | 3 4 5 -2 0 0 1 4 5

´ 10 ´ 23 | 3 4 5 -2 0 0 1 4 5 - 3 0 1 1 5

Se asignan 5 rojas a las rojas del divisor y simbólicamente se ponen 5 azules en el cociente Porque serían 100 repartidos a 20

´ 1 5 ´ 23 | 3 4 5 -2 0 0 1 4 5 - 3 0 1 1 5 -1 0 0 1 5

Transformamos la roja restante en azules para asignar 5 a cada elemento azul del divisor

´ 1 5 ´ 23 | 3 4 5 -2 0 0 1 4 5 - 3 0 1 1 5 -1 0 0 1 5

Se asignan 5 azules a cada elemento azul del divisor y se sustraen del dividendo

´ 1 5 ´ 23 | 3 4 5 -2 0 0 1 4 5 - 3 0 1 1 5 -1 0 0 1 5 - 1 5 0

• Actividad 19: Reflexiones de la sesión Tiempo estimado: 10 minutos• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la

sesión.

• Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia de conocer procedimientos diversos para resolver problemas que implican usar una división como herramienta de resolución. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


QUINTA SESIÓN• Actividad 20: ¡¡Lotería!! Tiempo estimado 45 minutos1. Jugaremos a la lotería para desarrollar el cálculo mental.a) En media hoja de máquina elaboremos un tablero de 3 x 3 para obtener 9 casillas.b) Escojamos 9 números entre el 1 y el 15 y escribámoslos en cada una de las casillas.c) Preparemos nuestros tableros para ir retirando la ficha cada vez que el coordinador diga una

división cuyo resultado sea el número de la casilla.d) Gana el jugador que retire primero de su tablero todas las fichas.2. Jugaremos primero una ronda donde el coordinador dice la división mostrándola y los jugadores dicen en coro el resultado. 3. Ahora jugaremos una ronda donde solamente el coordinador dice y muestra la división y los jugadores solamente retiran las fichas. 4. En una tercera ronda, El coordinador solamente muestra la división sin decirla. 5. En plenaria comentemos sobre nuestra participación en la actividad y la viabilidad de implementar esta estrategia didáctica con nuestros alumnos con un nivel de complejidad menor. • Materiales y Recursos: Hojas de máquina, reglas marcadores y fichas de colores

Primera Ronda

150 ÷ 50 =

45 ÷ 45 =

300 ÷ 20 = 200 ÷ 25 =

39 ÷ 3 =

180 ÷ 30 =

125 ÷ 25 = 900 ÷ 90 =

180 ÷ 15 =

70 ÷ 35 =

360 ÷ 40 = 490 ÷ 70 =

320 ÷ 80 =

840 ÷ 60 =

132 ÷ 12 =

360 ÷ 30 =

140 ÷ 70 =

180 ÷ 20 = 245 ÷ 35 =

160 ÷ 40 =

420 ÷ 30 =

66 ÷ 6 =

Segunda Ronda

75 ÷ 25 =

87 ÷ 87 =

150 ÷ 10 = 400 ÷ 50 =

65 ÷ 5 =

90 ÷ 15 =

250 ÷ 50 = 450 ÷ 45 =

Tercera Ronda

15 ÷ 5 =

30 ÷ 2 = 32 ÷ 4 =

13 ÷ 1 =

25 ÷ 5 =

100 ÷ 50 =

110 ÷ 10 =

84 ÷ 6 =

36 ÷ 3 =

36 ÷ 4 = 49 ÷ 7 =

32 ÷ 8 =

18 ÷ 3 =

90 ÷ 9 =

99 ÷ 99 =

• Actividad 21: Adivinanzas (12) Tiempo estimado 30 minutos 1. En parejas, analicen los siguientes casos; posteriormente, hagan lo que se pide.• José y Carla juegan a adivinar números.Caso A:Carla: Piensa un número, pero no me lo digas. Multiplícalo por 2. Al resultado súmale 5. ¿Qué número obtuviste?José: 29.Carla: El número que pensaste es 12.José: Correcto. Caso B:José: Piensa un número. Divídelo entre 2. Al resultado réstale 4. ¿Qué número obtuviste?Carla: 11.José: El número que pensaste es 30.Carla: Correcto.a) ¿Cómo descubrieron Carla y José el número que el otro había pensado? Explíquenlo en cada caso.Carla: ______________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________José: ______________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________

Caso C: Carla: Piensa un número. Multiplícalo por 12. ¿Qué número obtuviste? José: 180.Carla: Divídelo entre 3.José: Me quedó 60.Carla: ¿El número que pensaste era el 15?José: ¡Sí!Caso D:José: Piensa un número y divídelo entre 4. ¿Qué número obtuviste?Carla: 14.José: Multiplícalo por 12.Carla: Son 168.José: ¿Pensaste el 56?Carla: ¡Así es! b) ¿Cuál fue el truco que siguió Carla para adivinar el número de José? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ c) ¿El truco de Carla fue el mismo que usó José? ¿Por qué? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Leamos el siguiente textos y comentemos en plenariaEl propósito de estas actividades es que los alumnos analicen cómo es que cada niño logró saber el número que eligió el otro, con la finalidad de descubrir qué propiedades o regularidades de las operaciones planteadas se ponen en juego al hacer el truco. Se espera que los alumnos adviertan que para conocer el número de partida, Carla y José realizaron procedimientos inversos a los que iban mencionando. Es decir, en cada caso, la operación u operaciones inversas permiten encontrar los números pensados.Las operaciones inversas son aquellas que deshacen o dejan sin efecto a las que se realizaron con anterioridad. Por ejemplo:Si a 7 se le resta 4 y luego se le suma 4, se tiene nuevamente 7. Entonces, 7 – 4 + 4 = 7, ya que la suma y la resta son operaciones inversas.Si 12 se multiplica por 2 y después se divide entre 2, se tiene otra vez 12 (12 2 ÷ 2 = 12), ya que ✕la multiplicación y la división son operaciones inversas…Probablemente algunos alumnos respondan que Carla y José no realizaron el mismo truco, al considerar que el orden en que hicieron las operaciones es diferente. Sin embargo, se espera que adviertan que se trata del mismo procedimiento: descomponer en factores un número y operar con cada uno. Una vez que los alumnos descubran el truco en cada caso, es conveniente pedirles que inventen algunos “trucos” para adivinar números pensados por otras parejas; deben verificar que el truco funciona y comentar en qué consiste.

Actividad 22: Corrección de errores (13) Tiempo estimado: 30 minutos

1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas:• Problema 1En una calculadora se tecleó 35 100, pero se cometió un error ya que se ✕quería multiplicar por 50. ¿Cómo se corrige sin borrar lo que ya está? • Problema 2En otra calculadora se tecleó 325 500, pero se quería multiplicar por 125. ✕¿Cómo se corrige sin borrar? • Problema 3En otra se tecleó 35 600, pero se quería multiplicar por 30. ¿Cómo se corrige ✕esta vez?

• Problema 4Sabiendo que 28 16 = 448, determinen, a partir de esta operación, los ✕resultados de las siguientes multiplicaciones.28 4 = _________ 56 16 =___________ ✕ ✕ 28 80 = _________ ✕7 16 = _________ 140 160 = _____________ ✕ ✕Expliquen el “por qué” de los resultados • Problema 5Sabiendo que 324 ÷ 12 = 27, determinen los resultados de las siguientes divisiones.972 ÷ 12 = ________ 324 ÷ 3 = _________ 81 ÷ 12 = ________108 ÷ 12 = _______ 3 240 ÷ 120 = ____________Expliquen el “por qué” de los resultados

2. Leamos y comentemos el siguiente texto.

Tener dominio de las operaciones implica saber también cómo se relacionan entre sí y qué atajos permiten mayor eficacia en su resolución. Los problemas 1, 2 y 3 exigen que los alumnos adviertan que un factor y el producto varían proporcionalmente, es decir, si uno aumenta al triple, el otro también aumenta al triple; si uno se reduce a la mitad, el otro disminuye a la mitad, etc.;… Seguramente encontrarán diferentes procedimientos en el grupo, por ello es importante analizar las respuestas de los alumnos y discutirlas ampliamente, de tal forma que queden claras las propiedades o relaciones identificadas y utilizadas.

• Actividad 23: Reflexiones de la sesión Tiempo estimado: 15 minutos• Comentemos en grupo lo que hemos desarrollado en las actividades de la

sesión.• Escribamos nuestras conclusiones sobre la importancia del cálculo mental

como actividad permanente en el desarrollo de las herramientas para resolver los diversos problemas matemáticos. ._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Referencias BibliográficasSEP Programa de Actualización Permanente. (1995). La enseñanza de las Matemáticas en la Escuela Primaria. México: CONALITEG.•Pp 123 •Pp 124•Pp 125SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Segundo grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG •Pp 177 – 180 (adaptación de los desafíos)SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Tercer grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG •Pp 63 (adaptación de los desafíos)•Pp 186•Pp 189 – 191 (Adaptación de los desafíos)•Pp 234 – 237 SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Cuarto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG •Pp 235 – 238 (adaptación de los desafíos)•Pp 242 – 243 (adaptación del desafío)SEP. DGDC. Desafíos Matemáticos Quinto grado, Libro para el maestro, 2ª Edición. México. 2014. CONALITEG •Pp 15 – 16 •Pp 202 – 204 •Pp 205 – 209 Oteyza Elena de. La división maya, Especialidad de matemáticas, Material de estudio. CIMAT. México 2012

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Estrategias didácticas de problemas multiplicativos con énfasis en división