Estrutura de Dados - Grafos

# Pesquisa e Ordenação #Aula Apoio - Grafos

Prof. Leinylson Fontinele Pereira

17:20 2

TEOREMA

Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos

17:20 3

Um grafo conexo G é um grafo de Euler se e somente se todos os seus

vértices são de grau par.


17:20 4

Grafos?


Grafo Não é Algo Recente

17:20

Quem se lembra das aulas de estrutura de dados? Vetores (arrays);

Fila;

Pilha;

Árvores;

Grafos...


O Mundo Não Gira Apenas no Banco Relacional

17:20

Muita gente ainda está viciadanos RDBMs, quando pensa em umnovo projeto, já começa imaginar aestrutura de tabelas;

Um arquiteto precisa pensar namelhor solução para cada caso esaber que o mundo da persistêncianão tem apenas os RDBMs.


Pensar Fora da Caixa

17:20Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos

Ser Eficiente

17:20

Usar a tecnologia certa no momento certo vai tornar seu trabalhoabsurdamente eficiente!


Grafos?

17:20

Leonhard Euler Inventor da teoria de grafos (1736)

Qual a possibilidade de atravessar todas aspontes da cidade sem repetir nenhuma?

Grafo EulerianoPesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos

Exemplo Clássico: Rede Social


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Isso é um Grafo?


Exemplos de Grafos


Grafo Regular


Grafo Regular


Multigrafo


Subgrafo


Grafos Estrela


Teoria dos Grafos

17:20

A teoria dos grafos é um ramo da matemática que estudaas relações entre os objetos de um determinado conjunto.Para tal são empregadas estruturas chamadas de grafos,G(V,A), onde V é um conjunto não vazio de objetosdenominados vértices e A é um conjunto de pares nãoordenados de V, chamado arestas.


Representação de Grafos


Para que usar Grafos?

17:20

Sistemas de recomendação

Catálogo de produtos

Filtragem colaborativa

Redes sociais (o clássico)

Sistemas geoespaciais

e muito mais...


Quais as Opções para usar Grafos?


Neo4J

17:20

Persistência apenas em Grafos;

Implementação em Java;

É o banco mais popular em Grafos;

GPL;

Cypher Query LanguagePesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos

Neo4J

17:20

MATCH (keanu:Person { name:'Keanu Reeves' })-[:ACTED_IN]-(movie:Movie)

RETURN movie


ArangoDB

17:20

Multi Modelagem: Grafos Documentos

Query Language poderosa (AQL); Desenvolvido em C++ Interface REST HTTP; FOXX → Framework que auxilia desenvolvimento web; Drivers nativos para quase todas as linguagens; Livre, mas possui suporte comercial.


ArangoShell

17:20

arangosh> var graph_module = require("org/arangodb/general-graph");

arangosh> var graph = graph_module._create("myGraph");

arangosh> graph;

[ Graph myGraph EdgeDefinitions: [ ] VertexCollections: [ ] ]

arangosh> graph._addVertexCollection("shop");

arangosh> graph._addVertexCollection("customer");

arangosh> graph._addVertexCollection("pet");

arangosh> graph

arangosh> var rel = graph_module._directedRelation("isCustomer", ["shop"], ["customer"]);

arangosh> graph._extendEdgeDefinitions(rel);

arangosh> graph;

[ Graph myGraph EdgeDefinitions: [

"isCustomer: [shop] -> [customer]"

] VertexCollections: [ ] ]


OrientDB

17:20

Assim como ArangoDB, é multi-modelagem:DocumentoGrafos

Desenvolvido em Java; Suporta transações ACID; Possui linguagem semelhante a SQL; Livre, mas possui suporte comercial também.


Query Language - Exemplos

17:20

orientdb> insert into V set name = 'Jay'create record with RID #9:0

orientdb> create vertex V set name = 'Jay'create vertex with RID #9:1

orientdb> create edge Eat from (select from Person where name ='Luca') to (select from Restaurant where name = 'Dante')


Definição

17:20

Como representar um conjunto de objetos e as suas relações?


Diversos tipos de aplicações necessitam disso

Um grafo é um modelo matemático querepresenta as relações entre objetos de umdeterminado conjunto.

Definição

17:20

Grafos em computação


Forma de solucionar problemas computáveis

Buscam o desenvolvimento de algoritmos maiseficientes Qual a melhor rota da minha casa até o

restaurante?

Duas pessoas tem amigos em comum?

Definição

17:20

Um grafo G(V,A) é definido por dois conjuntos


Conjunto V de vértices (não vazio) Itens representados em um grafo;

Conjunto A de arestas Utilizadas para conectar pares de vértices, usando

um critério previamente estabelecido.

Definição


Conceitos Básicos

17:20

Vértice é cada um dos itens representados no grafo.


O seu significado depende da naturezado problema modelado

Pessoas, uma tarefa em um projeto,lugares em um mapa, etc.

Conceitos Básicos

17:20

Aresta liga dois vértices


Diz qual a relação entre eles

Dois vértices são adjacentes se existiruma aresta ligando eles. Pessoas (parentesco entre elas ou amizade), tarefas

de um projeto (pré-requisito entre as tarefas),lugares de um mapa (estradas que existem ligandoos lugares), etc.

Conceitos Básicos

17:20

Praticamente qualquer objeto pode serrepresentado como um grafo.


Conceitos Básicos

17:20

Praticamente qualquer objeto pode serrepresentado como um grafo.


Conceitos Básicos

17:20

As arestas podem ou não ter direção


Conceitos Básicos

17:20

As arestas podem ou não ter direção


Conceitos Básicos

17:20

Grau Indica o número de arestas que conectam um vértice do

grafo a outros vértices• número de vizinhos que aquele vértice possui no grafo

No caso dos dígrafos, temos dois tipos de grau:• grau de entrada: número de arestas que chegam ao vértice;• grau de saída: número de arestas que partem do vértice


Conceitos Básicos


Conceitos Básicos


Conceitos Básicos

17:20

Laço Uma aresta é chamada de laço

se seu vértice de partida é omesmo que o de chegada


Conceitos Básicos

17:20

Caminho Um caminho entre dois vértices é uma sequência de vértices onde cada

vértice está conectado ao vértice seguinte por meio de uma aresta.


Conceitos Básicos

17:20

Ciclo Caminho onde o vértice inicial e o final são o mesmo vértice.


Tipos de Grafos

17:20

Grafo trivial

Possui um único vértice e nenhuma aresta

Grafo simples

Grafo não direcionado, sem laços e sem arestasparalelas


Tipos de Grafos


Tipos de Grafos

17:20

Grafo completo

Grafo simples onde cada vértice se conecta a todos osoutros vértices do grafo.


Tipos de Grafos

17:20

Grafo regular

Grafo onde todos os seus vértices possuem o mesmo grau


Tipos de Grafos

17:20

Subgrafo Gs(Vs, As) é um subgrafo deG(V, A) se o conjunto de vértices Vs for um subconjunto

deV, Vs ⊆ V, e se o conjunto de arestas As for um subconjunto de A,As ⊆ A.


Tipos de Grafos

17:20

Grafo conexo e desconexo

Grafo conexo: existe um caminho ligando quaisquer dois vértices.


Tipos de Grafos

17:20

Grafos isomorfosDois grafos, G1(V1, A1) e G2(V2, A2),

são ditos isomorfos se existe uma função quefaça o mapeamento de vértices e arestas demodo que os dois grafos se tornem coincidentes.


Tipos de Grafos

17:20

Grafos isomorfos


Tipos de Grafos

17:20

Grafo ponderado É um grafo que possui pesos associados a cada uma de suas arestas.


Tipos de Grafos

17:20

Grafo Euleriano

Grafo que possui um ciclo que visita todas as suas arestas apenas

uma vez, iniciando e terminando no mesmo vértice.


Tipos de Grafos

17:20

Grafo Semi-Euleriano

Grafo que possui um caminho aberto que visita todas assuas arestas apenas uma vez.


Tipos de Grafos

17:20

Grafo HamiltonianoGrafo que possui um caminho que visita todos os seus

vértices apenas uma vez.


Tipos de Representação

17:20

Como representar um grafo no computador?

Matriz de Adjacência

Lista de Adjacência

Qual a representação que deve ser utilizada?

Depende da aplicação!



17:20

Matriz de adjacência Utiliza uma matriz N x N para armazenar o grafo, ondeN é o número de vértices• Alto custo computacional, O(N2)

Uma aresta é representada por uma marca na posição(i , j) da matriz• Aresta liga o vértice i ao j



17:20

Matriz de adjacência



17:20

Lista de adjacência Utiliza uma lista de vértices para descrever as relações entre

os vértices.•Um grafo contendo N vértices utiliza um array de ponteiros de

tamanhoN para armazenar os vértices do grafo•Para cada vértice é criada uma lista de arestas, onde cada

posição da lista armazena o índice do vértice a qual aquelevértice se conecta



17:20

Lista de adjacência



17:20

Qual representação utilizar?Lista de adjacência é mais indicada para um grafo que

possui muitos vértices mas poucas arestas ligando-os.

A medida que o número de arestas cresce e não havendonenhuma outra informação associada a aresta, o uso deuma matriz de adjacência se torna mais eficiente


Material: https://sites.google.com/site/leinylsonuespi

17:20

Material baseado nas aulas de:

Christiano Anderson, Grafos - Uma abordagem divertida

Matemática com o Google Earth, Professor Fernando Brito

Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes


17:20 76

Desafio!Pesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos

Desafio Matematicamente Impossível!!


Do que Trata o Desafio?


Explicação do Desafio


17:20 80

AtividadePesquisa e Ordenação - Aula Apoio - Grafos

17:20 81

Konigsberg Bridges


Situação-problema


Por muito tempo os moradores da cidade de Königsberg(atualmente Kaliningrado, na Rússia) perguntavam-se se erapossível fazer um passeio na cidade cruzando todas as setepontes que cortavam o rio Pregel.

Passando apenas uma vez por cada ponte, retornando aoponto de partida, ou seja, percorrendo um caminho fechado.

Mapa de Königsberg de 1652


Konigsberg Bridges


Muitos tentaram fazer um percurso,mas as tentativas foram semprefalhas.

Até que o matemático suíçoLeonhard Euler (1707 − 1783),usando argumentos muito simples,provou em 1736 que não erapossível realizar tal feito.

Konigsberg Bridges


Ele usou um diagrama, chamado de grafo2, para reproduzir os principaiselementos do mapa, onde desenhou pontos (vértices) representando as porções deterra e linhas (arestas) representando os percursos pelas sete pontes.

Konigsberg Bridges


Daí Euler percebeu que só seria possível fazer o trajetopassando uma única vez em cada ponte e retornando ao pontode partida, se houvesse, partindo de cada vértice, um númeropar de arestas

Isto é, todos os vértices deveriam ser de grau par.

Assim, esse famoso problema matemático tornou-se ponto departida para o desenvolvimento da Teoria dos Grafos.

Konigsberg Bridges


Da mesma forma, outras situações reais podem serrepresentadas por grafos como, por exemplo: Esquemas de circuitos integrados; rotas otimizadas para empresas de transporte

sistemas de engenharia de tráfego;

Distribuição de serviços de energia, água, e telefone.

Além disso, também é possível modelar relações dehierarquia, amizade e trabalho.

Konigsberg Bridges


Konigsberg Bridges – Várias Abstrações


Modelo do Problema


𝑉 = { 𝑚 | 𝑚 é 𝑢𝑚𝑎 𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑜𝑢 𝑢𝑚𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 }𝐴 = { (𝑚1,𝑚2, 𝑝} | 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑝 𝑢𝑛𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑠/𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑚1 𝑒 𝑚2 }

𝑉 = { 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 }𝐴 = { (𝐴, 𝐶, 𝑐), (𝐴, 𝐶, 𝑑), (𝐴, 𝐵, 𝑎), (𝐴, 𝐵, 𝑏), (𝐴, 𝐷, 𝑒), (𝐵, 𝐷, 𝑓), (𝐶, 𝐷, 𝑔) }

Kaliningrado - Federação Russa (Atualmente)


Konigsberg Bridges (Atualmente)


Relação do Desafio com Konigsberg Bridges


Teoria dos Grafos


Um Caminho Euleriano é um caminho em umgrafo que visita cada aresta apenas uma vez.

Com caso especial, um Circuito Euleriano é umcaminho Euleriano que começa e termina nomesmo vértice.

Grafo de Königsberg


Teoria dos Grafos


Pela análise do grafo modelo G para o problema das pontesde Königsberg, observa-se que Para Todo v E V, gr(v) é ímpar.Logo, o grafo G não é um grafo de Euler.

Isso significa que o problema não possui solução. Note quenão é necessário que tenhamos Para Todo v E V, gr(v) é impar ,basta que Exista Pelo Menos Um v E V | gr(v) é impar paraconcluirmos que o grafo em questão não é um grafo de Euler.

Grafo Euleriano


Caminho Hamiltoniano


Um caminho hamiltoniano é um caminho que permite passarpor todos os vértices de um grafo G, não repetindo nenhum, ou,seja, passar por todos uma e uma só vez por cada.

Caminho Hamiltoniano


Matriz de Adjacência


Uma matriz de adjacência é uma das formas de se representar um grafo.

Dado um grafo G com n vértices, podemos representá-lo em uma matriz 𝑛 𝑥 𝑛𝐴(𝐺) = [𝑎𝑖𝑗] (ou simplesmente𝐴).

Lista de Adjacência


Problema do Caixeiro-Viajante – (PCV)


É um problema que tenta determinar a menor rota parapercorrer uma série de cidades (visitando uma única vez cadauma delas), retornando à cidade de origem.

Trata-se de um problema de otimização inspirado nanecessidade dos vendedores em realizar entregas em diversoslocais (as cidades) percorrendo o menor caminho possível,reduzindo o tempo necessário para a viagem e os possíveiscustos com transporte e combustível.

Problema do Caixeiro-Viajante – (PCV)


Algoritmo ACO (Ant Colony Optimization)


Nos algoritmos ACO, as formigas são simples agentes que, no casodo PCV, constroem circuitos através do movimento entre cidadesno grafo do problema.

A solução construída pelas formigas é elaborada por trilhos deferomonas (artificiais) e pela disponibilidade de informaçãoheurística, à priori.

Quando o algoritmo ACO é aplicado, é associada uma força daferomona, onde 𝜏𝑖𝑗(𝑡) é uma informação numérica que émodificada durante o algoritmo, e t é o contador das iterações





Teorema das Quatro Cores






17:20 110

Agora é sua vez!


Atividade com o Google Maps


As Sete Pontes de Königsberb

Construa o grafo no quadro (indicando as coordenadas) edetermine um percurso optimizado do trecho descrito a seguir:

Partindo da sua residência, trace o menor percurso para chegar àFaculdade Maurício de NASSAU. Seu trajeto deve incluir uma visita àCatedral de N. S. das Graças, Rodoviária de Municipal e ParnaíbaShopping, retornando à sua residência, sem repetir nenhuma rua ouponte, não necessariamente nesta ordem.





Alguma Dúvida?

17:20

Até a prova!

[email protected]

Prática

17:20 115

As aulas práticas foram baseadas no material de

Linguagem C Descomplicada , Dr. André R. Backes.

Disponível em: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/

Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos

Lista Estática Sequencial

17:20

ListaSequencial.h

Os protótipos das funções

O tipo de dado armazenado na lista

O ponteiro lista

Tamanho do vetor usado na lista


Lista Estática Sequencial

17:20

ListaSequencial.c

O tipo de dados lista

Implementar as suas funções


17:20 118

Definindo o Grafo


Definindo o Grafo: TAD Grafo

17:20Estrutura de Dados - Aula Apoio - Grafos

17:20 120

Criando o Grafo


Criando o Grafo


Criando o Grafo


17:20 123

Destruindo o Grafo


Destruindo o Grafo


Destruindo o Grafo


17:20 126

Inserindo uma Aresta no Grafo






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Estrutura de Dados - Grafos