COLEGIO RETAMAR 1º DE Bachillerato. Matemáticas

EXAMEN Nº 09 ACUMULATIVO

Alumno: Nº Grupo: 1º Hoja 1. Fecha: 13 de abril, 2016

1ª Evaluación: Ejercicio 1; 2ª Evaluación: Ejercicios 2-4; 3ª Evaluación: Ejercicio 5. Recuerda que hay 1 p. por una redacción y expresión correcta de las soluciones.

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss. (1,5 p.)

−𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −1𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 32𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 4

Vamos a resolver este sistema poniéndolo primero en forma matricial

�−1 2 −1 −11 −1 2 32 −1 1 4

� = (𝐹𝐹2 → 𝐹𝐹2 + 𝐹𝐹1) = �−1 2 −1 −10 1 1 22 −1 1 4

� = (𝐹𝐹3 → 2𝐹𝐹1 + 𝐹𝐹3) =

= �−1 2 −1 −10 1 1 20 3 −1 2

� = (𝐹𝐹3 → 3𝐹𝐹2 − 𝐹𝐹3) = �−1 2 −1 −10 1 1 20 0 4 4

� ⇒

⇒ 4𝑧𝑧 = 4 ⇒ 𝑧𝑧 = 1 Por lo tanto,

𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2 ⇒ 𝑦𝑦 + 1 = 2 ⇒ 𝑦𝑦 = 1 y, finalmente,

−𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = −1 ⇒ −𝑥𝑥 + 2 − 1 = −1 ⇒ 𝑥𝑥 = 2 Es decir, (𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = (2,1,1)

2. Razona adecuadamente la veracidad o falsedad de la siguiente frase (1 p.):

Sabiendo que 𝑷𝑷(𝒙𝒙) y 𝑸𝑸(𝒙𝒙) son dos funciones continuas, tales que

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝟏𝟏

𝑷𝑷(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎 𝐲𝐲 𝐪𝐪𝐪𝐪𝐪𝐪 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝟏𝟏

𝑸𝑸(𝒙𝒙) = ∞

Entonces,

𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒙𝒙→𝟏𝟏

𝑷𝑷(𝒙𝒙)𝑸𝑸(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎 𝐲𝐲 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

𝒙𝒙→𝟏𝟏𝑷𝑷(𝒙𝒙)𝑸𝑸(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎

Es falso, puesto que, aunque sea el primer resultado sea cierto, el segundo no lo es, ya que depende de lo “rápido” que tienda 𝑄𝑄(𝑥𝑥) a infinito. Un ejemplo muy claro de esto es: 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 y 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑒𝑒𝑥𝑥.

Nota

3. Representa, razonadamente, la gráfica de 𝒇𝒇(𝒙𝒙) (0,5 p.), haciendo un estudio de: a. Su dominio (0,25 p.) b. Puntos de corte (0,25 p.) c. Asíntotas (0,5 p.) d. Máximos y mínimos (1 p.).

𝒇𝒇(𝒙𝒙) =𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒

El dominio de la función viene limitado por los puntos donde se anula el denominador:

𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ℝ− {±2} Los puntos de corte son: Con el eje Y, 𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑓𝑓(0) = −2 ⇒ (0,−2) Con el eje X no corta, puesto que, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ Sólo tiene un único punto de corte con los ejes. Asíntotas: No tiene asíntota oblicua (A.O.), porque el grado del numerador es igual al de denominador. Sí que va a tener, en cambio, asíntotas verticales (A.V.) y horizontales (A.H.). Tiene una A.V. en 𝑥𝑥 = 2 y otra en 𝑥𝑥 = −2 y se da que:

lim𝑥𝑥→2+

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= +∞

lim𝑥𝑥→2−

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= −∞

lim𝑥𝑥→−2+

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= −∞

lim𝑥𝑥→−2−

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= +∞ Tiene también una A.H. en:

𝑦𝑦 = lim𝑥𝑥→±∞

𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥2 − 4

= 1 Los puntos críticos los hallamos derivando la función:

𝑓𝑓′(𝑥𝑥) =2𝑥𝑥(𝑥𝑥2 − 4) − 2𝑥𝑥 · (𝑥𝑥2 + 8)

(𝑥𝑥2 − 4)2 =−24𝑥𝑥

(𝑥𝑥2 − 4)2 = 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑐𝑐𝑐𝑐í𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝐷𝐷

𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) =−24(𝑥𝑥2 − 4)2 + 96𝑥𝑥2(𝑥𝑥2 − 4)

(𝑥𝑥2 − 4)4 =24(3𝑥𝑥2 + 4)

(𝑥𝑥2 − 4)3

Como 𝑓𝑓′′(0) = −3/2 < 0 ⇒ en 𝑥𝑥 = 0,𝑦𝑦 = −2 hay un máximo en ese punto. También vemos que 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥) ≠ 0 ∀𝑥𝑥 ∈ ℝ ⇒ 𝑒𝑒𝐷𝐷 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑢𝑢𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑓𝑓𝑖𝑖𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒ó𝑒𝑒. Por lo tanto, con todos estos datos podemos dibujar la siguiente gráfica.

4. Expresa el número 60 como suma de tres números positivos de forma que el segundo sea doble del primero. Si el producto de los tres es máximo, determina el valor de dicho producto. (2 p.) En este problema las condiciones son:

𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 60𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 ⇒ 3𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 = 60

La función a maximizar es el producto de los tres números 𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧 = 2𝑥𝑥2𝑧𝑧 = 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑧𝑧)

Para poder derivar respecto a una sola variable vamos a despejar 𝑧𝑧 de la condición y sustituirla en 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑧𝑧), es decir:

𝑧𝑧 = 60 − 3𝑥𝑥 ⇒ 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2(60− 3𝑥𝑥) ⇒ 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 120𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥3 Para saber dónde se hace esta función máxima hay que derivarla e igualar a cero.

𝑃𝑃′(𝑥𝑥) = 240𝑥𝑥 − 18𝑥𝑥2 = 0 ⇒ 6𝑥𝑥(40 − 3𝑥𝑥) = 0 ⇒ 𝑥𝑥1 = 0𝑥𝑥2 = 40/3

Para comprobar cuál de los dos valores hace el producto máximo, tenemos que hacer la derivada segunda y sustituir en ella los puntos:

𝑃𝑃′′(𝑥𝑥) = 240− 36𝑥𝑥

⇒ 𝑃𝑃′′(𝑥𝑥1) = 𝑃𝑃′′(0) = 240 > 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥1 = 0 ℎ𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝐷𝐷í𝑒𝑒𝑒𝑒𝐷𝐷𝐷𝐷𝑃𝑃′′(𝑥𝑥2) = 𝑃𝑃′′(40/3 ) = 240 − 480 = −240 < 0 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥2 = 40/3 ℎ𝑎𝑎𝑦𝑦 𝑢𝑢𝑒𝑒 𝐷𝐷á𝑥𝑥𝑒𝑒𝐷𝐷𝐷𝐷.

Si sustituimos en las condiciones para obtener 𝑦𝑦 y 𝑧𝑧, tenemos:

𝑧𝑧 = 60 − 3𝑥𝑥 = 20 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 = 80/3

Por lo tanto, los números que buscamos son: 𝑥𝑥 = 40/3, 𝑦𝑦 = 80/3, y 𝑧𝑧 = 20

5. Calcula las siguientes integrales: (2 p.)

�𝟑𝟑𝒙𝒙

𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒅𝒅𝒙𝒙 = 3�

𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2

𝑑𝑑𝑥𝑥 =32�

2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥2

𝑑𝑑𝑥𝑥 =32

ln|2 + 𝑥𝑥2| + 𝐶𝐶

�𝟏𝟏√𝒙𝒙

𝐬𝐬𝐪𝐪𝐜𝐜𝟐𝟐�√𝒙𝒙�𝒅𝒅𝒙𝒙 = 2�1

2√𝑥𝑥sec2�√𝑥𝑥� 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2 tan�√𝑥𝑥� + 𝐶𝐶

�𝟐𝟐𝒙𝒙 + 𝟓𝟓𝒙𝒙 + 𝟐𝟐

𝒅𝒅𝒙𝒙 = �2(𝑥𝑥 + 2) + 1

𝑥𝑥 + 2 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ��2 +

1𝑥𝑥 + 2

� 𝑑𝑑𝑥𝑥 = �2 · 𝑑𝑑𝑥𝑥 + �1

𝑥𝑥 + 2𝑑𝑑𝑥𝑥

= 2𝑥𝑥 + ln|𝑥𝑥 + 2| + 𝐶𝐶

�𝒙𝒙𝟐𝟐𝒆𝒆𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 = � 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥

� = 𝑥𝑥2𝑒𝑒𝑥𝑥 − 2�𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = � 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 � =

= 𝑥𝑥2𝑒𝑒𝑥𝑥 − 2 �𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 − �𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥� = 𝑥𝑥2𝑒𝑒𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥 + 2𝑒𝑒𝑥𝑥 + 𝐶𝐶

= 𝑒𝑒𝑥𝑥[(𝑥𝑥 − 1)2 + 1] + 𝐶𝐶

BORRADOR