Embed Size (px)
Citation preview
1
เลข
ยกกําลัง
สม
บัติขอ
งเลขย
กกําลัง
สมบัติ
ของรากที่
n ฟง
กชันเอก
โปรเน
นเชีย
ล
• นิย
าม
• กราฟ
ของฟ
งกชัน
การแกส
มการและ
อสมก
ารขอ
งฟงกชัน
เอกโปรเน
นเชีย
ล
การห
าคาของ
√m
+√n
ฟงกช
ันลอก
าริทึม
• นิย
าม
• กราฟ
ของฟ
งกชัน
ลอการิทึ
มสามัญแ
ละ
ลอการิทึ
มธรรมช
าติ
แอนตี
ลอการิทึ
ม การแกส
มการและ
อสมก
ารขอ
งฟงกชัน
ลอการิทึ
ม
โจทย
ปญหา
2
ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
1.เลขยกกําลัง ถา a เปนจํานวนจริงใดๆ และ n เปนจํานวนเต็มบวก
...na a a a a= × × × × ตัวอยาง เชน 62 2 2 2 2 2 2 64= × × × × × =
43 3 3 3 3 81= × × × =
n ตัว
เลขยกกําลัง na
เรียกวา เลขชี้กําลัง
เรียกวา เลขฐาน
6 ตัว
4 ตัว
3
2.สมบัติของเลขยกกําลัง ถา ,a b R∈ และ 0, 0m n> >
1) ( )m n m na a a +⋅ = เม่ือ , 0a m ≠ พรอมกัน และ , 0a n ≠ พรอมกัน
2) ( )( )m n mna a= เม่ือ , 0a m ≠ พรอมกัน
3) ( )n n nab a b= เม่ือ , 0a n ≠ พรอมกัน และ , 0b n ≠ พรอมกัน
4) ( )n
nn
a ab b
= เม่ือ , 0a n ≠ พรอมกัน และ 0b ≠
5) 0 1a = เม่ือ 0a ≠
6) 1n
naa
− = เม่ือ 0a ≠
7) ( )
mm n
n
a aa
−= เม่ือ 0a ≠
8) ( )11 mm
mn nna a a⎛ ⎞
= = ⎜ ⎟⎝ ⎠ เม่ือ , 0a m ≠ พรอมกัน
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของ
( 2)
( 1)
5 3 9 33 3
n n
n n
−
−
⋅ − ⋅−
วิธีทํา
4
( 2) 2 ( 2)
( 1)
5 3 9 3 5 3 3 333 3 33
n n n n
nn nn
− −
−
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅=
− −
[2 ( 2)]5 3 313 [1 ]3
5 3 323 [ ]3
3 [5 1]23 [ ]3
423
6
n n
n
n n
n
n
n
+ −⋅ −=
−
⋅ −=
−=
=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
2. จงหาคาของ
1 1( ) ( )
1 1( ) ( )
m n
m n
x xy y
y yx x
+ −
+ −
วิธีทํา 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
m n m n
m n m n
xy xyx xy y y y
xy xyy yx x x x
+ −+ −
=+ −
+ −
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
m n
m n
m n
m n
xy xyy y
xy xyx x
+ −
=+ −
5
( )
( )
( )
m n
m n
m n
m n
m n
x xy yxy
xy
+
+
+
=
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
3. ถา ( )3 81x y+ = และ ( )225 5x
= จงหาคา y วิธีทํา 3.รากท่ี n
ให n เปนจํานวนเต็มบวกท่ีมากกวา 1 และ ,x a R∈
x จะเปนรากท่ี n ของ a ก็ตอเม่ือ nx a=
ขอสังเกต
1) เม่ือ n เปนจํานวนเต็มบวกท่ีมากกวา 1 และเปนจํานวนคู
รากท่ี n ของ a
( )
( ) 4
3 813 3
41 4
3
x y
x y
x yy
y
+
+
=
=∴ + =
+ =∴ =
( )2
2 2
(2 )2
25 5
(5 ) 5
5 55 5
1
x
x
x
x
x
⋅
=
=
=
=∴ =
(+) เขียนแทนดวย n a
(-) เขียนแทนดวย n a−
6
2) เม่ือ n เปนจํานวนเต็มบวกท่ีมากกวา 1 และเปนจํานวนค่ี ตัวอยาง เชน
1. จงหารากท่ี 2 ของ 9 วิธีทํา ∴ รากท่ี 2 ของ 9 คือ 3 และ -3
2. จงหารากท่ี 3 ของ 8 วิธีทํา ∴ รากท่ี 3 ของ 8 คือ 2
รากท่ี n ของ a มีจํานวนเดียว เขียนแทนดวย n a
รากท่ี 2 ของ 9 จํานวนใดยกกําลัง 2 แลวเทากับ 9
2 9x =
23 9= 2( 3) 9− =
รากท่ี 3 ของ 8 จํานวนใดยกกําลัง 3 แลวเทากับ 8
3 8x =
32 8=
7
3. จงหารากท่ี 3 ของ -8 วิธีทํา ∴ รากท่ี 3 ของ -8 คือ -2 สมบัติของรากท่ี n
กําหนดให a และ b มีรากท่ี n และ ,a b R∈
1) n n na b ab⋅ =
2) n
nn
a abb
= เม่ือ 0b ≠
3) m
n mna a= เม่ือ , 0a m ≠ พรอมกัน ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของ 3
3
16 42
+
วิธีทํา 3
3 33 3 3
1 1 46 4 6 42 2 4
×+ = +
×
3
33
46 42 4
= +×
รากท่ี 3 ของ -8 จํานวนใดยกกําลัง 3 แลวเทากับ -8
3 8x = −
3( 2) 8− = −
8
33
3
33
3
3
46 4846 4
214(6 )2
13 42
= +
= +
= +
=
2. จงหาคาของ 3481
วิธีทํา 3
34481 81= 4
4 4 4
81 81 81
81 81 813 3 327
= × ×
= × ×= × ×=
3. จงหาคาของ 1 1 13 3 66(5) 4(40) 10(25)− +
วิธีทํา 1 1 1 1 1 1 23 3 6 3 3 3 66(5) 4(40) 10(25) 6(5) 4(8) (5) 10(5)− + = − +
1 1 13 3 3
1 1 13 3 3
13
6(5) 4(2)(5) 10(5)
6(5) 8(5) 10(5)
8(5)
= − +
= − +
=
9
4.การหาคา m n+ พิจารณา 2 2 2( ) ( ) 2( )( ) ( )a b a a b b+ = + +
2
( ) 2
a ab b
a b ab
= + +
= + +
2( ) 2 ( )a b ab a b a b∴ + + = + = +
ดังนั้นในการหาคา m n+
……………….พยายามจดัรูป m n+ ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ + ใหได ตัวอยาง เชน
1. จงหาคา 5 24+ วิธีทํา
1) จัดรูป 5 24+ ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ + 5 24 5 2 6+ = + (3 2) 2 (3)(2)= + +
2) 5 24 (3 2) 2 (3)(2)+ = + +
2( 3 2)
3 2
= +
= +
2. จงหาคา 5 24− วิธีทํา
1) จัดรูป 5 24− ใหอยูในรูป ( ) 2a b ab+ − 5 24 5 2 6− = − (3 2) 2 (3)(2)= + −
2) 5 24 (3 2) 2 (3)(2)− = + −
2( 3 2)
3 2
= −
= −
10
3. ถา 1.36 1.64x< < แลว 2 1 2 1x x x x+ − + − − มีคาเทากับเทาใด วิธีทํา
1) ตรวจสอบ ท่ี 1.36 1.64x< < 2 1 0, 2 1 0x x x x+ − > − − >
2)
2 1 2 1 [1 ( 1)] 2 (1)( 1) [1 ( 1)] 2 (1)( 1)x x x x x x x x+ − + − − = + − + − + + − − −
2 2( 1 1) ( 1 1)
1 1 1 12
x x
x x
= + − + − −
= + − + − −=
4. คาของ 8 28+ และ 6 20− มีผลตางเทากับเทาใด
วิธีทํา
1) หาคา 8 28+
8 28 8 2 7+ = +
2
(7 1) 2 (1)(7)
( 7 1)
7 1
= + +
= +
= +
2) หาคา 6 20−
6 20 6 2 5− = −
2
(1 5) 2 (1)(5)
( 5 1)
5 1
= + −
= −
= −
3) 8 28 6 20 ( 7 1) ( 5 1)+ − − = + − −
7 5 2= − +
11
5.ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล ถา f เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยท่ี
{( , ) | xf x y R R y a= ∈ × = เม่ือ 0a > และ 1}a ≠ เรียก f วา “ฟงกชันเอ็กซโปเนนเชียล” และเรียก a วา ฐาน กราฟของฟงกชันเอกโปเนนเชียล แบงเปน 2 กรณี คือ
1) กรณีท่ี 0 1a< < โดเมน(D) R= เรนจ(R) { | 0}y R y= ∈ >
2) กรณีท่ี 1a > โดเมน(D) R= เรนจ(R) { | 0}y R y= ∈ > ตัวอยาง เชน
1. จงเขียนกราฟของ {( , ) | 2 4}xf x y R R y= ∈ × = + วิธีทํา
1) จากสมการ 2 4xy = + จัดรูปใหม
• (0,1) ,0 1xy a x= < <
กราฟมีลักษณะเปนฟงกชนัลด
• (0,1)
, 1xy a x= > กราฟมีลักษณะเปนฟงกชนัเพิ่ม
12
2 4( 4) 2
x
x
yy
= +
∴ − =
จากกราฟ { | }fD x x R= ∈
{ | 4}fR y R y= ∈ >
2. จงเขียนกราฟของ ( 1){( , ) | 3 1}xf x y R R y −= ∈ × = −
วิธีทํา
1) จากสมการ ( 1)3 1xy −= − จัดรูปใหม
( 1)
( 1)
3 1( 1) 3
x
x
yy
−
−
= −
∴ + =
พิจารณากราฟ 2xy = และเล่ือนกราฟขึ้นบน 4 หนวย
4 •
(0,5)
พิจารณากราฟ 3xy = และเล่ือนกราฟขึ้นลงลาง 1 หนวย และเล่ือนกราฟมาทางขวา 1 หนวย
2 4xy = +
13
จากกราฟ { | }fD x x R= ∈
{ | 1}fR y R y= ∈ > −
3. จงหาเซตคําตอบของอสมการ 1( ) 93
x <
วิธีทํา
1) วาดกราฟของ 1( )3
xy =
2) พิจารณาท่ี………… 1( ) 93
x =
2(3) 32
x
x
− =∴ = −
จากกราฟ ท่ี 12 ( ) 93
xx > − ⇒ <
1−
1 (1,0) •
( 1)3 1xy −= −
• (0,1)
2x = −
9
1( )3
xy =
14
4. จงวาดกราฟของ {( , ) | 2 }xf x y R R y= ∈ × = วิธีทํา
5. จงวาดกราฟของ {( , ) | 2 }xf x y R R y= ∈ × = วิธีทํา
2 xy =
2 , 0xy x= ≥
12 ( ) , 02
x xy x−= = <
2 , 0xy x= ≥ 1( ) , 02
xy x= <
• (0,1)
2 , 0xy y= ≥ 2xy =
22 , 0
x
x
yy y− =
= − <
• (0,1)
• (0, 1)−
2 , 0xy y= ≥
2 , 0xy y= − <
15
6.การแกสมการและอสมการของฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ขออธิบายตามตัวอยางแลวแตกรณีดังนี ้1. จงหาเซตคําตอบของสมการ (2 1)3 28(3) 9 0x x+ − + =
วิธีทํา (2 1)
2
2
3 28(3) 9 03 3 28(3) 9 03 (3 ) 28(3 ) 9 0
x x
x x
x x
+ − + =
⋅ − + =
⋅ − + =
ให 3xA = 23 28 9 0
(3 1)( 9) 01 ,93
A AA A
A
− + =− − =
=
∴ เซตคําตอบคือ { 1,2}−
2. ถา 24(2 ) 3(2 ) 1 0x x+ − = แลว 25x มีคาเทาใด วิธีทํา
24(2 ) 3(2 ) 1 0x x+ − = ให 2xA =
24 3 1 0(4 1)( 1) 0
1 , 14
A AA A
A
+ − =− + =
= −
1
133
3 31
x
x
x
−
=
=∴ = −
2
3 93 3
2
x
x
x
=
=∴ =
16
∴ เซตคําตอบคือ { 2}−
ถา 2
2
1 12 25 2525 625
xx −= − ⇒ = = =
3. จงหาคา x จากสมการ
3 2 125 9
3 25
xx− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
วิธีทํา
3 2 12
13 2 2 2
2
3 2 2(1 )2
3 2 2(1 )2
3 2 2
5 93 25
5 33 5
5 33 5
5 53 3
5 53 33 2 2
xx
xx
xx
xx
x x
x x
− −
−−
− −
− − −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∴ − = −
32 0
0
x xx
x
==
=
2
124
2 22
x
x
x
−
=
=∴ = −
2 1x = − เนื่องจาก 2x เปน (+) เสมอ
x ∈∅
17
4. ถา 1 2 15 5 3775 5x x x+ + −+ = − แลว x เทากับเทาใด วิธีทํา
1 2 1
1 2 1
2
3
5 5 3775 55 5 5 3775
15 5 5 5 5 37755
15 [5 25 ] 37755
1515 [ ] 37755
55 3775[ ]151
5 1255 5
3
x x x
x x x
x x x
x
x
x
x
x
x
+ + −
+ + −
+ = −
+ + =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
+ + =
=
=
=
=∴ =
5. จงหาผลบวกของคําตอบของสมการ 12 2(3 ) 9(4 ) 18 0x x x− − + =
วิธีทํา
12 2(3 ) 9(4 ) 18 0(3 )(4 ) 2(3 ) 9(4 ) 18 0
x x x
x x x x
− − + =
− − + =
ให 3xA = และ 4xB = 2 9 18 0
( 2 ) (9 18) 0( 2) 9( 2) 0
( 2)( 9) 09
AB A BAB A B
A B BB AA
− − + =− − − =− − − =
− − =∴ =
หรือ 2B =
2
3 93 3
2
x
x
x
=
=∴ =
2 1
4 22 22 1
12
x
x
x
x
=
==
∴ =
18
เซตคําตอบ คือ 1{2, }2
∴ผลบวกของคําตอบของสมการ คือ 12 2.52
+ =
6. จงหาเซตคําตอบของอสมการ 2
2( )( 3) 32 8xx x −− <
วิธีทํา 2
2
2( )( 3) 3
23( )( 3) 3
2
3 2
3 2
2
2
2 8
2 22( 3) 3( )3
3 2 33 3 2 0
( 2)( 1) 01 3( 2)[( ) ] 02 4
( 2) 02
xx x
xx x
x x x
x x xx x xx x x
x x
xx
−−
−−
<
<
− < −
− < −
− + − <
− − + <
− − + <
− <∴ <
∴ เซตคําตอบ คือ ( ,2)−∞
7.ฟงกชันลอการิทึม
ฟงกชันลอการิทึม เปนฟงกชันผกผันของฟงกชันเอกซโปเนนเชียล
ฟงกชันเอกซโปเนนเชียล {( , ) | xf x y R R y a= ∈ × = เม่ือ 0a > และ 1}a ≠
ฟงกชันผกผันของเอกซโปเนนเชียล 1 {( , ) | yf x y R R x a− = ∈ × = เม่ือ 0a > และ 1}a ≠
ฟงกชันลอการิทึม {( , ) | logag x y R R y x= ∈ × = เม่ือ 0a > และ 1}a ≠
19
เรียกฟงกชัน g วา เปน ฟงกชันลอการิทึม และ เรียก a วาเปน “ฐานของลอการิทึม” พิจารณากราฟของฟงกชันลอการิทึม แบงเปนกรณดีังนี ้
1) กรณี 1a >
โดเมน(D) { | 0}x x= > เรนจ(R) R= และกราฟเปนฟงกชันเพิ่ม
2) กรณี 0 1a< <
โดเมน(D) { | 0}x x= > เรนจ(R) R= และกราฟเปนฟงกชันลด
• (1,0)
log , 1ay x a= >
• (1,0)
log ,0 1ay x a= < <
20
ตัวอยางการวาดกราฟฟงกชันลอการิทึมแบบอ่ืนๆ มีดังนี้
1. จงเขียนกราฟของ 21 log ( 1)y x− = + วิธีทํา
2. จงเขียนกราฟของ 12
1 log ( 1)y x− = +
วิธีทํา
เขียนกราฟ 2logy x= ใหได
ทําการเล่ือนแกน x,แกน y ไปทาซาย 1 หนวยและข้ึนบน 1 หนวย
กราฟของ 21 log ( 1)y x− = + ใหได
• (0,1)
21 log ( 1)y x− = +
1
1−
21
3. จงเขียนกราฟ 3logy x= วิธีทํา
เขียนกราฟ 12
logy x= ใหได
ทําการเล่ือนแกน x,แกน y ไปทาซาย 1 หนวยและข้ึนบน 1 หนวย
กราฟของ 12
1 log ( 1)y x− = + ใหได
• (0,1)
12
1 log ( 1)y x− = +
1
1−
3logy x=
3log , 0y x x= ≥
3log ( ), 0y x x= − <
22 กราฟสมมาตรตามแกน y
4. จงเขียนกราฟ 3logy x= วิธีทํา กราฟสมมาตรตามแกน x
• (0,1)
• (0, 1)−
3log , 0y x x= ≥ 3log ( ), 0y x x= − <
3logy x=
3log , 0y x y= ≥
3log , 0y x y− = <
• (0,1)
3log , 0y x y= ≥
3log , 0y x y− = <
23
สมบัติท่ีสําคัญของลอการิทึม
กําหนดให 0, 0, 0, 0,x y a b n R> > > > ∈ และ 1, 1a b≠ ≠
1) log 1a a =
2) log 1 0a =
3) log ( ) log loga a axy x y= +
4) log ( ) log loga a ax x yy
= −
5) log ( ) (log )n
a ax n x=
6) logloglog
ba
b
xxa
=
7) loga xa x=
ตัวอยาง เชน
1. จงหาคาของ 3 3log 103 วิธีทํา
3
33 3
log 10log 10 log 3 33 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠=
332
3
3
log 10
log 3
log 1032
3
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
24
3
3
2 log 103
2log 10 3
23
3
3
(3 )
10
100
=
=
=
=
2. กําหนดให log 2 0.3010= คาของ 4
4 2log 0.25 log 2 log 0.16+ − มีคาตรงกับขอใด
วิธีทํา 4
4 2
14
4 2
log 0.25 log 2 log 0.16
1 16log log 2 log4 100
+ −
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( ) ( )14 2
4 2
4 2
1log 4 log 2 log16 log1004
1( 1)(log 4) (log 2) log16 log1004
1( 1) ( ) log(2 ) log(10 )41( 1) ( ) 4log 2 241( 1) ( ) 2 4log 24
5 4(0.3010)41.25 1.2040.046
−= + − −
= − + − +
= − + − +
= − + − +
= − + + −
= −
= −=
25
3. จงหาคาของ 3
21( log 121)38
+
วิธีทํา
3
322
1 1( log 121) log 1213 38 8 8+
= ⋅
32
13
2
2
2
log 12133
3(log 121 )
13( log 121)3
(log 121)
8 (2 )
2 2
2 22 22 121242
= ⋅
= ⋅
= ⋅
= ⋅= ⋅=
4. จงหาคาของ 2 4 2log (log (log 16)) วิธีทํา ทําจากขางในออกไปขางนอก ดังนี้
42 4 2 2 4 2log (log (log 16)) log (log (log 2 ))=
2 4 2
2 4
2
log (log (4log 2))log (log 4)log 10
====
5. จงหาคาของ 1 1 2 82 8
1 1log 8 log 2 log ( ) log ( )8 2
+ + +
วิธีทํา ทําใหเปน log ฐาน 2 ท้ังหมด ดงันี้
1 1 2 82 8
1 1log 8 log 2 log ( ) log ( )8 2
+ + +
22 2
22
2 2
1log ( )log 8 log 2 1 2log ( )1 1 8 log 8log ( ) log ( )2 8
3 1 ( 1)( 3)( 1) ( 3) 3
= + + +
−= + + − +
− −
26
1 13 33 3
203
= − − − −
= −
8.ลอการิทึมสามัญและลอการิทึมธรรมชาติ
ลอการิทึมสามัญ คือ ลอการิทึมท่ีมีฐานเปน 10 เชน 10log x จะเขียนเปน log x ลอการิทึมธรรมชาติ คือ ลอการิทึมท่ีมีฐานเปน e (e เปนจํานวนอตรรกยะท่ีมีคาประมาณ 2.78182818) เชน loge x จะเขียนเปน ln x ตัวอยาง เชน
1. จงหาคา log 20 วิธีทํา log 20 log(2 10)= × log 2 log10= + (0.301) 1= + 1.301=
2. จงหาคา log 0.02 วิธีทํา เขียน log 0.02 ใหอยูในรูป log( 10 )na× เม่ือ 0 10a≤ ≤ และ n I∈ ดังนี้
2log0.02 log(2 10 )−= ×
เปดตาราง log a เม่ือ 0 10a≤ ≤
เราเรียกสวนนี้วา “คาแรกเตอริสติก”ของ log 20
เราเรียกสวนนี้วา “แมนทิสสา”ของ log 20
27
2log 2 log(10 )
log 2 ( 2)
−= += + −
(0.301) 21.699
= −=
3. จงหาคา (2 )ln ee + วิธีทํา ใชคุณสมบัติของ log ดังนี ้
(2 )ln (2 )(ln )ee e e+ = +
(2 )(1)2
ee
= += +
9.แอนต้ีลอการิทึม
แอนต้ีลอการิทึมของ a เขียนแทนดวย loganti a มีความหมายคือ
log 10aanti a = ตัวอยาง เชน
1. จงหา log(log 2)anti วิธีทํา log2log(log 2) 10anti =
2=
2. จงหา log[(log75 log5) log 2]anti − + วิธีทํา
75 2log[(log75 log5) log 2] log[log ]5
anti anti ×− + =
เราเรียกสวนนี้วา “คาแรกเตอริสติก”ของ log 0.02
เราเรียกสวนนี้วา “แมนทิสสา”ของ log 0.02
28
log30
log[log30]1030
anti=
==
10.การแกสมการและอสมการในรูปของลอการิทึม
มีรายละเอียดตามแตละตัวอยางตอไปนี้ 1. จงหาเซตคําตอบของ 2 2 2log(4 16) log( 4) logx x x− − − =
วิธีทํา
2 2 2
22
2
22
2
22
2
2
2
log(4 16) log( 4) log4 16log( ) log( )
44 16
44( 4)
44
4 0( 2)( 2) 0
2, 2
x x xx xx
x xxx xx
xxx x
x
− − − =
−=
−−
=−−
=−
=
− =− + =
= −
เม่ือตรวจสอบคําตอบแลวพบวาท้ัง x=2 และ x=-2 ทําใหเกิดคา log0 ซ่ึงหาคาไมได 2x∴ = ± จึงไมใชคําตอบของสมการ ⇒ เซตคําตอบ = ∅
2. จงหาเซตคําตอบของ 2 23 log (log )x x+ = วิธีทํา
2 2
2
3 log (log )3 2(log ) (log )
x xx x
+ =
+ =
ให logA x=
นําคําตอบไปตรวจสอบคําตอบจากโจทย
29
2
2
3 22 3 0
( 3)( 1) 01,3
A AA AA A
A
+ =
− − =− + =
= −
∴ เซตคําตอบ 1{ ,1000}
10=
3. จงหาเซตคําตอบของสมการ 2log 4log 2 5xx + =
วิธีทํา เปล่ียน log 2x ใหเปน 2log x ดังนี ้
2
22
2
22
22
22
2 2
log 4log 2 5
log 2log 4 5log
4log 5log
(log ) 4 5log
(log ) 4 5(log )
xx
xx
xx
xx
x x
+ =
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟⎝ ⎠+
=
+ =
ให 2logA x=
1
log 110
110
xx
x
−
= −
=
∴ =
3
log 310
1000
xx
x
=
=∴ =
เม่ือตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ได
30
2
2
4 55 4 0
( 4)( 1) 04,1
A AA AA A
A
+ =
− + =− − =
=
∴ เซตคําตอบ {16,2}=
4. จงหาเซตคําตอบจากสมการ log( 1) log( 1) log3x x− + + = วิธีทํา ใชคุณสมบัติของ log ดังนี ้คือ
2
2
2
log( 1) log( 1) log3log[( 1)( 1)] log3log[ 1] log3
1 34 0
( 2)( 2) 02, 2
x xx x
xxxx xx
− + + =− + =
− =
− =
− =− + =
∴ = −
∴ เซตคําตอบ {2}=
24
log 4
216
x
xx
=
=∴ =
21
log 1
22
x
xx
=
=∴ =
เม่ือตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ได
เม่ือตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ไมได
31
5. ถา 5log log 2x x= จงหาคา x วิธีทํา
5
55 5
5
55 5
5 5
55 5
5
55 5
5
5 55
55 5
5
55
5 5
log log 2log log 2 loglog 10
log log 2 log[log 2 log 5]
log log 2 loglog 2 1
log log log 2log 2 1
1log [ 1] log 2log 2 1( log 2)log [ ] log 2log 2 1
( 1)log [ ] 1log 2 1
log (log 2 1)l
x xx x
x x
x x
x x
x
x
x
x
=
= +
= ++
= ++
− =+
− =+
−=
+−
=+
= − +
5 51
5 5
5 5
og log 10
log log (10 )1log log
101
10
x
x
x
x
−
= −
=
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∴ =
∴ 1
10x =
เม่ือตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ได
32
6. ถา 2log( 1) 2log 1x x+ − = แลวจงหาคา x วิธีทํา
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
log( 1) log( ) 11log[ ] 1
1 10
1 101 9
191 1,3 3
x xx
xx
xx x
x
x
x
+ − =
+=
+=
+ =
=
=
∴ = −
∴ 13
x =
7. จงหาเซตคําตอบของอสมการ ( )2(4 2) log(1 ) 0x x− − >
วิธีทํา 1) กรณีท่ี 1 (4 2) 0x − > และ 2log(1 ) 0x− >
∴ x∈∅
เม่ือตรวจสอบคําตอบจากโจทยแลวสามารถหาคา log ไมได
2 1
4 2 04 22 22 1
12
x
x
x
x
x
− >
>
>>
>
2
2 0
2
2
log(1 ) 0(1 ) 10(1 ) 1
0
xxx
xx
− >
− >
− >
<∴ ∈∅
33
2) กรณีท่ี 2 (4 2) 0x − < และ 2log(1 ) 0x− <
∴ 1( 1,0) (0, )2
x∈ − ∪
8. จงหาเซตคําตอบของอสมการ 240 log ( 5) 1x< − <
วิธีทํา
24
0 2 1
2
2
0 log ( 5) 1
4 5 41 5 46 9
( 6,3) ( 3, 6)
x
xxx
x
< − <
< − <
< − <
< <
∴ ∈ ∪ − −
9. จงหาเซตคําตอบของอสมการ 2 2log (2 1) log ( 1)x xx x x+ − < + วิธีทํา แบงเปนกรณดีังนี ้
1) กรณีท่ี 1 0 1x< <
2 2
2 2
2
log (2 1) log ( 1)
(2 1) ( 1)2 0
( 2)( 1) 0( , 2) (1, )
x xx x x
x x xx xx xx
+ − < +
+ − > +
+ − >+ − >
∴ ∈ −∞ − ∪ ∞
x∈∅
2 1
4 2 04 22 22 1
12
x
x
x
x
x
− <
<
<<
∴ <
2
2 0
2
2
log(1 ) 00 (1 ) 100 (1 ) 10 1
( 1,0) (0,1)
xxx
xx
− <
< − <
< − <
< <∴ ∈ − ∪
34
2) กรณีท่ี 2 1x >
2 2
2 2
2
log (2 1) log ( 1)
(2 1) ( 1)2 0
( 2)( 1) 0( 2,1)
x xx x x
x x xx xx xx
+ − < +
+ − < +
+ − <+ − <
∴ ∈ −
x∈∅ จากท้ัง 2 กรณี เซตคําตอบคือ ∅
แบบฝกหัด
1. จงหาคาของเลขยกกําลังตอไปนี้ 1.1) 2 3 4 5 2( 3) 3 ( 3) 2 3 2 ( 3)− − − − − × + × − 1.2) 2 44 5 2 ( 3)× + × −
35
1.3) 5 2
4 2 4
( 4) ( 5)2 3 5− × −
× ×
1.4) 3 4 5 2 2 1 2 22 8 9 27n nx x y x y y+ −× × × 1.5) 3 10 10 2 4(6 49 4 )(4 7 6 )− −× × × × 1.6)
2 22 3 1 27 7 7n n n n n− + − −× ×
36
1.7) ( 2)6 4 8 2 6 7
4 2 4 7 4 12
6 34 9a b c a b ca b c a b c
−−
−
⎛ ⎞÷⎜ ⎟
⎝ ⎠
1.8) 12 75 1.9) 33 54 4 1.10) 3 9 27
37
1.11) 2 2 23
53 3 54(125) (81) 2( 216) 2(4)+ − +
1.12) 2 7 11 1
3 6 6 4 23 9 32 2(3 )x y z y x y z−−× ×
1.13)
13 2 23
23 2 2 3
( ) ( 2 )
( )
a b a ab b
a b a b−
− × + +
− × +
38
1.14) 1 2 2 1
2 2 1
4 9 3 29 2 4 3
n n n n
n n n n
+ +
+ +
⋅ + ⋅⋅ + ⋅
1.15)
12729 81
27 243
n n n
n n
⎛ ⎞+⎜ ⎟+⎝ ⎠
39
1.16) 12 2 35+
1.17) 7 48−
1.18) 6 35−
40
1.19) 1
1
10 2 5 26 2 3 2
n n
n n
−
+
⋅ − ⋅⋅ + ⋅
1.20) 50 32 18+ −
1.21) 3 3 35 4 2 32 108+ −
41
2. จงหาวาจํานวนตอไปนี้จํานวนใดมีคานอยท่ีสุด 65 104 523 ,2 ,7
3. ถา , ,x y z เปนจํานวนจริงท่ีไมเทากับ 0 และ 2 23 4 6x y z−= = แลว 1 1 1x y z
+ +
มีคาเทากับเทาใด
42
4. ถาเขียน 3
6
3 212 ไดในรูป
1
( )na โดยท่ี a และ n เปนจาํนวนเต็มบวกแลว จงหาคาของ
a และ n
5. จงเขียน 1
2 2 3+ ใหตัวสวนอยูในรูปไมติดกรณฑ
43
6. จงหาคาของ 1 1 1 1...
1 2 2 3 3 4 2011 2012+ + + +
+ + + +
7. ให 6 36 3
x +=
− และ 6 36 3
y −=
+ จงหาคาของ 2 24x xy y− +
44
8. จงหารากท่ีสองของ 24 1 2 3 5 2x x x− + − − 9. จงพิจารณาขอความตอไปนี้เปนจริงหรือไม
9.1) 2 3
5 5<
9.2) 4 5
1 13 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
45
9.3) ( ) ( )7 5sin1 sin1° < °
9.4) ( ) ( )2 5tan 46 tan 46° < °
9.5) ถา 48 362 , 3a b= = และ 245c = แลว 1 1 1a b c
> >
46
10. จงพิจารณาวาฟงกชัน
22( )3
x
f x ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
เปนฟงกชันเพิ่มหรือฟงกชันลด
11. ขอใดเปนฟงกชันลด
ก) 12
x
y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ข) 12xy −= ค) 2 13 xy += ง) 13
x
y−
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
47
12. จงแกสมการหรืออสมการตอไปนี ้12.1) 5 1 6 10x + + = 12.2) 7 5x x+ = −
48
12.3) 7 3 1x x+ = +
12.4) 1327
x =
49
12.5) 5 125x ≤
12.6) 2 813 16
x⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
50
12.7) 2 5 31 1
3 27
x x+ +⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠
12.8) 2 22 9(2 ) 2 0x x+ − + =
51
12.9) 23 (3 ) 2 04
x x− =
12.10) 4 1 4 1 6 12 9 25 625x x x x− − −⋅ ⋅ =
52
12.11) ( )2 2 1
3 2 3 2x x+ −
+ = − 12.12) 9(4 ) 12(6 ) 4(9 ) 0x x x− + =
53
12.13) 16 3 3 2 9x x x++ − ⋅ = 12.14) 5 3(0.25) (0.5)x x− +>
54
12.15) 3 16 2 81 5 36x x x⋅ + ⋅ ≤ ⋅
12.16) 2
2( )( 3) 32 8xx x −− <
55
13. จงหาคาตอไปนี ้
ก) 7log 37
ข) 3 3log (10)3
ค) 23
14
log 64
ง) 5log 255log 25
56
14. จงหาคาของ 36log 5 เม่ือให 6log 5 0.8982= 15. กําหนดให log 2 0.3010= และ log 3 0.4771= จงหาคาตอไปนี ้15.1) log8 15.2) log 9
57
15.3) log 6 15.4) log300 15.5) log 0.02 15.6) log120
58
16. กําหนด log 3.51 0.5453= จงหาคาของ 16.1) log 3510 16.2) log 0.351
17. จงหาคาของ 2 3 14
1log 16 log log 649
+ −
59
18. จงหาคาของ 3 93log 6 log 15 log 400+ − 19. จงหาคาของ 8log 26 log 5 log 4 log10− +
60
20. จงหาคาของ 3 3 3 3 3log 120 log 80 log 27 log 24 log 16− + − + 21. จงหาคาของ 3 4 5 2011log 4 log 5 log 6 ... log 2012⋅ ⋅ ⋅ ⋅
61
22. จงหาคาของ ln10 ln 5e − 23. จงหาวา 15875 มีกี่หลัก เม่ือกําหนดให log8.75 0.9420=
62
24. จงหาคาของ ln 2 ln10 ln 20+ − 25. ขอใดเปนฟงกชันลดบาง
ก) log(3 )xy = ข) log32 xy = ค) log(2 )1
2
x
y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
ง) 12
log (2 )y x=
63
26. 2002 เปนเลขจํานวนเต็มท่ีมีกีห่ลัก โดยกาํหนดให log 2 0.3010= 27. จงหาคาของ
ก) ln e ข) 1lne ค) ln3 2ln5e +
64
28. จงแกสมการหรืออสมการตอไปนี ้28.1) log[3 2log(1 )] 0x+ + = 28.2) 2 2log ( 1) log 3x x+ − =
65
28.3) 2log( 1) 2 log 1x x+ − =
28.4) 27 91log ( 1) log ( 1)6
x x− − − =
66
28.5) 2
8 3 2log log log ( 2 ) 0x x− = 28.6)
2 2 169log 3x x x+ − =
67
28.7) 0.5 0.5log ( 5) log (2 3)x x− > − 28.8) 3 3log ( 2) log (3 6)x x+ ≤ −
68
28.9) 3log 4 log 3 3 0xx − + =
28.10) 2
7log ( 2 )4 3 2log log log 7 0x x+ =
69
28.11) 12 log16210x
+=
28.12) log log4 3 25
3 4 12
x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
70
28.13) 25log log 22xx + =
28.14) log 28 log 325 log 91 logx x x x+ − =
71
28.15) 21 12 2
log ( 2 ) log 3x x− >
28.16) 21 12 2
2 log (3 4) log ( 8) 2x x x+ − + + ≥ −
72
28.17) 13
0 log 2 3x< <
28.18) 21log (5 ) 2x x x+ − ≥
73
28.19) 1 32
log [log ( 1)] 1x + > −
28.20) log(3 4) log( 1) 1x x+ > − +
74
28.21) 22 4
1 1log (2 1) log ( )2 2
x x− − + <
28.22) 2(4 2) log(1 ) 0x x− − >
