Centro de educación normal “Dr. Gonzalo

Aguirre Beltrán”

Forma, Espacio y MedidaEXPOSICIONES DE FIGURAS

GEOMETRICAS 2 SEMESTRE GRUPO “B”

Dr. Hercy Báez Cruz

PIRÁMIDE (BASE TRIÁNGULO Y CUADRADO)

ASENET CRUZ BELLONATALI VIDAL VÁZQUEZ

ADRIANA ELIZABETH SOSA DEL ÁNGELGRECIA ESTÉFANI VARGAS CAVAZOS

¿QUÉ ES UNA PIRÁMIDE?

• Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono (la cara inferior) y por varias caras laterales, que son triángulos con vértices coincidentes en un punto denominado ápice.

• El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

PIRÁMIDE TRIANGULAR

• También llamada tetraedro, es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es un triángulo y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide).

• Estará compuesta, por tanto, por 4 caras, la base triangular y tres triángulos laterales que confluyen en el vértice.

• En el caso de que las cuatro caras fuesen triángulos equiláteros, tendríamos un tetraedro regular

• Aristas: 6

• Vértices: 4

• Caras: 4

FORMULA PIRAMIDE TRIANGULAR

V=S.Cara=h=Altura de la pirámidea=Apotema de la pirámide b= Lado de la base equilátera

Área de una cara lateral=

SI ES EQUILATERO

• B=Área de la base=0.433• Volumen=

PIRÁMIDE CUADRANGULAR

• Aristas: 8

• Vértices: 5

• Caras: 5

• Una pirámide cuadrangular es un poliedro cuya superficie está formada por una base que es un cuadrado y caras laterales triangulares que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide).

• Estará compuesta, por tanto, por 5 caras, la base cuadrangular y cuatro triángulos laterales que confluyen en el vértice.

FORMULA PIRAMIDE CUADRANGULAR

V=S.Cara=h=Altura de la pirámidea=Apotema de la pirámide b= Lado de la base equiláteraÁrea de una cara lateral=B=Área de la base=Volumen:

DODECAEDRO

• Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

• Su molde para ser creado se basa en 12 caras planas formadas por 12 pentágonos regulares, en general la figura puede parecer un par de flores unidas como a continuación se observa

• CARACTERÍSTICAS GENERALES:

Caras 12

Polígonos que forman las caras Pentágonos regulares

Aristas 30

Vértices 20

• Las caras del dodecaedro son paralelas dos a dos (las opuestas), estando sus centros sobre una recta perpendicular a ambas y estando giradas una respecto la otra 180º siendo eje de giro la recta mencionada. En proyección horizontal, el contorno aparente de sus aristas representa un decágono regular, para determinar el radio de la circunferencia circunscrita de este decágono procederemos del siguiente modo:

Simetría • Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las

rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

• Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado Ih según la notación de Schöenflies.

• El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del dodecaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.

En todo poliedro regular, el número de caras más el número de vértices, es igual al número de aristas más 2. Se conoce como característica de Euler, una propiedad topológica.

donde: C = número de caras; V = número de vértices; A = número de aristas

Área

Calculamos el área de las caras del dodecaedro a partir del área de sus pentágonos.

                                                                       

Volumen

Para un dodecaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Centro de educación normal “Dr. Gonzalo Aguirre Beltrán”

Forma, Espacio y Medida Dr. Hercy Báez Cruz

Tema: Cubo y Cilindro

Equipo 3: Luz Valeria Ambrocio Hernández

Karla Ivonne Winfield SantiagoKarla Isabel Sánchez Balderas

CUBO

¿QUÉ ES UN CUBO?• Un cubo es un cuerpo formado por seis caras que son cuadradas. La

particularidad de estos cuerpos es que todas las caras son congruentes, están dispuestas de forma paralela.

• Un cubo o hexaedro regular es un poliedro, que se encuentra en la clasificación de los sólidos platónicos.

• Además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.

Características de un cubo

CARAS: • Tiene 6 caras, todas iguales,

paralelas dos a dos. ARISTAS: • Tiene 12 aristas de igual

longitud.VÉRTICES: • Tiene 8 vértices. En cada

vértice concurren 3 aristas. ES UNA FIGURA CONVEXA.

EJES DE SIMETRÍA:

Tiene un total de 13 ejes de simetría:

• Seis ejes que van de la mitad de la arista a la mitad de la arista opuesta.

• Cuatro ejes que van del vértice de una cara al vértice opuesto de la otra.

• Tres ejes que van de centro a centro de cada cara.

PLANOS DE SIMETRÍA:

Tiene un total de 9 planos de simetría:

• Tres que parten el cubo por la mitad.

• Seis que pasan por las diagonales de cada cara.

Como formar un cubo

CILINDRO

¿QUÉ ES UN CILINDRO?• Cuerpo geométrico formado por una superficie lateral curva y cerrada y

dos planos paralelos que forman sus base.

• Cuerpo engendrado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.

Características de un cilindro

El cilindro consta de: • Dos bases circulares• Una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. • La distancia entre las bases es la altura del cilindro. • Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se

llaman generatrices.

Elementos de un cilindroEje: Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo.

Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro.

Bases: Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje.

Altura: Es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a la generatriz.

Como formar un cilindro

OCTAEDROEQUIPO #4:

Laura Pérez AguilarIsabel Sánchez Avilés

Rosa María Del Pilar Reyes RodríguezSandra Ariana Reyes Hernández

Los sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos. Sólo existen cinco de ellos: El tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.

El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a estos cuerpos cada uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, el dodecaedro, a la divinidad.

• Un octaedro regular tiene tres ejes de simetría de orden cuatro, las rectas que unen vértices opuestos; seis ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas y cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas que unen los baricentros de las caras opuestas; nueve planos de simetría, tres que contienen cada grupo de aristas coplanares, y seis perpendiculares a cada par de aristas paralelas; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 72: 2x(3x4+6x2+4x3).

• Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría octaédricos, el denominado Oh según la notación de Schöenflies.

PROPIEDADES PARTICULARES.

• Un octaedro es un poliedro regular formado por <<8>> triángulos equiláteros iguales

Solido platónico Octaedro

Numero de caras 8

Polígonos que forman las caras

Triángulos equiláteros

Numero de aristas 12

Números de vértices 6

Caras concurrentes en cada vértice

4

Vértices contenidos en cada cara

3

Poliedros conjugados Cubo

Símbolos de schlafli (3,4)

Área del octaedro regular.

Volumen del octaedro regular:

• A

• Va3

Un octaedro  es un poliedro de ocho caras.Con este número de puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.

ICOSAEDRO

• Es un poliedro de 20 caras • Si las veinte caras del icosaedro son triángulos

equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Propiedades del icosaedro

• Número de caras: 20.• Número de vértices: 12.• Número de aristas: 30.• Nº de aristas concurrentes en un

vértice: 5.

Área y Volumen

*

Simetría• Un icosaedro regular tiene seis ejes de

simetría de orden cinco, las rectas que unen los vértices opuestos; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).

Icosaedros

• Pequeño triambic icosaedro

• Caras: 20• Aristas: 60• Vértices: 32*Pequeño cubicuboctaedro*Caras: 20*Aristas: 48*Vértices: 24

*Dipirámide pentagonal de estrella*Caras: 20*Aristas: 30*Vértices: 12

*Isósceles icosaedro*Caras: 20*Aristas: 30*Vértices: 12

*Cinco tetraedra*Caras: 20*Aristas: 30*Vértices: 20

LA ESFERA

¿Qué es una esfera?• En geometría, una superficie esférica es una superficie de

revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada.

• La esfera, como superficie de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro.

• La importancia de la esfera es de tal relevancia que dentro de la geometría existe la geometría esférica, que describe la superficie de una esfera.

• En esta geometría el camino más corto entre dos puntos es un círculo máximo, es decir, una circunferencia trazada sobre la esfera y cuyo centro es el mismo centro de la esfera.

• Si consideramos una semicircunferencia que gira sobre su diámetro, la superficie curva que se genera es la superficie esférica.

• En la geometría euclídea, se llama recta al camino más corto posible entre dos puntos, por esta razón se llama “recta esférica” o “E- recta” entre dos puntos situados sobre la esfera al círculo máximo que pasa por ellos.

Características de la esferaLos puntos de la esfera son toda la misma distancia de un punto. Esta característica determina la esfera únicamente.

Los contornos y las secciones del plano de la esfera son círculos. Esta característica define únicamente a la esfera, ninguna otra figura geométrica tiene esta característica.

La esfera tiene anchura constante. La anchura de una superficie es la distancia entre los pares de planos paralelos de la tangente.

La esfera no tiene una superficie de centros.

De todos los solidos que tienen un volumen dado, la esfera es la que está con el área superficial más pequeña. De todos los solidos que tienen un área superficial dada, la esfera es la que tiene el volumen más grande.

La esfera es transformada en sí mismo por una familia del tres- parámetro de movimientos rígidos. El plano es el único con una familia de tres parámetros de las transformaciones.

La esfera se define como:Es el sólido engendrado al girar una semicircunferencia alrededor

de su diámetro.

Es un cuerpo sólido limitado por una superficie curva cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera.

Es la región del espacio que se encuentra en el interior de una superficie esférica.

Es la figura geométrica que para la misma cantidad de volumen presenta una superficie externa menor.

Es el sólido que se genera cuando una circunferencia gira sobre uno de sus diámetros.

Un cuerpo geométrico compuesto total o parcialmente por figuras geométricas curvas.

Es la superficie que tiene la propiedad de que todos sus puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

Elementos de la esfera

• Punto interior que equidista de cualquier punto de la superficie de la esfera.Centro

• Distancia del centro a un punto de la superficie de la esfera.Radio

• Segmento que une dos puntos de la superficie esférica.Cuerda

Diámetro

Polos

• Cuerda que pasa por el centro.

• Son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.

Circunferencias de una esfera

Paralelo: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos perpendiculares al eje de revolución.

Ecuador: Circunferencia obtenida al cortar la superficie esférica con el plano perpendicular al eje de la revolución que contiene al centro de la esfera.

Meridiano: Circunferencias obtenidas al cortar la superficie esférica con planos que contiene el eje de revolución.

Área y volumen de la esfera

Cuatro por pi por el radio de la esfera elevado al cuadrado.

Cuatro veces pi por el radio de la esfera elevado al cubo y todo se divide entre tres.

LA ESFERA…

1. No tiene vértices 2. No tiene aristas3. No tiene base4. No tiene una altura definida5. Tiene un puntos infinitos (ejes y planos de

simetría)6. Es redonda7. Tiene volumen