Factorización de polinomios

¿Por qué necesitamos saber factorizar?

¿Cuáles de los siguientes polinomios están factorizados?

• (x2-1)(x+2)• (x-2)(2x+3) + 1• 3x+5• 12(x2+9)(x-4)• (x3-5)

Polinomio primo o irreductible

• Es el que no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de grado mayor o igual a uno.

• De primer grado: 2x+3 ; x-2 ; 3x+8 ; 4x+12

• De segundo grado: x2+1 ; x2+x+1 ; x2-2x+5

Conclusión

• En general, son polinomios primos:– Cualquier polinomio de primer grado, es decir de la

forma ax + b.– Cualquier polinomio de segundo grado, de la forma

ax2 + bx + c, de discriminante (∆ = b2 – 4ac) negativo. Es decir, si ax2 + bx + c = 0 no tiene solución real.

Factorización de polinomios

• Factorizar un polinomio es el proceso mediante el cual el polinomio se transforma en un producto de polinomios primos, (factores primos).

x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

FACTORIZACIÓN

MULTIPLICACIÓN

Métodos de factorización

Factor común

3a2b2 – 6a2b = 3a2b(b – 2)

(3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) =

(3x-y)(x–y-1)+(x+y)(x–y-1)–(2z-3y)(x–y-1) =

(x–y-1) (4x+3y-2z)

1.

2.

2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) =

2x(x – 1) + y(1 - x) + 2(x - 1) =

2x(x – 1) - y(x - 1) + 2(x - 1) =

(x – 1)(2x - y + 2)

Factor común polinomio

1.

Factor común por agrupación de términos

x3 + x2 + x + 1 =

Forma 3

Forma 2

Forma 1 x3 + x2 + x + 1 =

x3 + x2 + x + 1 =

x3 + x2 + x + 1 =

Aspa simple: P(x) = ax2m+bxmyn+cy2n

2x2 + 13xy – 15y2

2x

x

+15y

-1y

= (2x + 15y)(x - y)

-2xy

15xy

Reconstruir el proceso:

4

3

2

1 (x2 – 1)(x+2)

(x2 – 1)(x+2)(x – 1)(x+1)(x+2)

(x – 1)(x+1)(x+2)

x(x2 – 1) + 2(x2-1) x(x2 – 1) + 2(x2-1)

x3 – x +2x2 - 2

x3 – x +2x2 - 2

1

2

4

3

Forma Factorización Productos notables

• x2 - y2 =

• x2 + 2xy + y2 =

• x3 + y3 =

• x3 – y3 =

• x3 + 3x2y+3xy2 + y3=

(x + y)(x - y)(x + y)2

(x + y)(x2 -xy+y2)

(x - y)(x2 + xy + y2) (x + y)3

Completando cuadrados

Recordemos el desarrollo del producto notable se denomina trinomio cuadrado perfecto:

222 ))()(2()( bbaaba +±=±

24122 ++ xx

2466)6)()(2( 222 +−++ xx

•Cualquier trinomio de la forma

•Se puede escribir como un trinomio cuadrado perfecto, sumanando y restando un mismo número

12)6( 2 −+x•Remplazando el trinomio por el binomio al cuadrado, queda:•Finalmente se factoriza como una diferencia de cuadrados

)326)(326( −+++ xx

Ejemplo 1:

Ejemplo 2. P(x) = x2 + 5x + 1

−−

+−=

2215-x

2215-x

12

252

25

x25

(2)x 2 +

−

+

+=

12

5

2

522

+

−

+= x

421

25

2

−

+= x

22

221

25

−

+= x

1. Este coeficiente se descompone en el doble producto de x por 5/2

1. Se sume y se reste el cuadrado de este número

1. Factorice el trinomio cuadrado perfecto

1. Factorice esta diferencia de cuadrados

Ejemplo 3 P(x) = 2x2 - 43x + 221

= (x – 13)(2x -17)

)2

221243

(2 2 +−= xx

Primero factorice 2 y luego dentro de los paréntesis, siga como en los casos anteriores.

Sume y reste el cuadrado de (43/4), factorice el trinomio cuadrado perfecto, simplifique y factorice una diferencia de cuadrados si es posible.

Nota:

Si despues de factorizar el trinomio cuadrado perfecto y simplificar no qued una diferencia sono una suma, esto quiere decir que no es posible factorizar el trinomio.

Aplicaciones de factorización de polinomios: Resolución de ecuaciones polinómicas

Determinar los valores de x y escribir el conjunto solución.

Igualar cada uno de los factores a cero

Factorizar el polinomio

Ecuación

EjemploProcedimiento

x3 + 2x2 – x – 2 = 0

(x–1)(x+1)(x+2)=0

x–1=0 ó x+1=0ó x+2=0

x =1 ó x =-1 ó x =-2C.S. = {1; -1; -2}

Reconstruir el proceso:

Haciendo a = 5x + 4y 7

(5x+4y)3 + (10x +8y)2 + 15x + 12y 6

a (a2 +4a +3) 5

(5x+4y).(5x+4y+3).(5x+4y+1) 4

a (a+3) (a+1) 3

a3 + 4a2 + 3a 2

(5x+4y)3 + [ 2(5x+4y)]2 + 3(5x+4y) 1

6

1

7

2

5

3

4

Se muestran siete pasos en un proceso para factorizar una expresión. Identifique el orden secuencial del proceso de factorización

Métodos de factorización

• Factor común (por agrupación de términos)• Factorizar trinomios:

– Aspa simple.– PN: (x+y)2 ; (x-y)2

– Completando cuadrados• Factorizar binomios:

– PN: x2 - y2 ; x3 – y3 ; x3 + y3