SIFAT – SIFAT OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

• 6 + 4 =

• 6 – 4 =

• 6 + (-4) =

• 6 – (-4) =

• -6 + 4 =

• -6 + (-4) =

• -6 – 4 =

• -6 – (-4) =

1

02

2

1

0-2

-10

-

10-2

• 3 + 7 =

• 3 – 7 =

• 3 + (-7) =

• 3 – (-7) =

• -3 + 7 =

• -3 + (-7) =

• -3 – 7 =

• -3 – (-7) =

1

0-4

-4

1

04

-10

-

104

Kesimpulan

• a – (-b) = a + b

6 – (-4) = 6 + 4 = 10

• a + (-b) = a – b

6 + (-4) = 6 – 4 = 2

• -a – (-b) = -a + b = b – a

-3 – (-7) = -3 + 7 = 7 – 3 = 4

• -a – b = -a + (-b)

-3 – 7 = -3 + (-7) = -10

OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

1. Jenis Operasi Hitung Bilangan Bulat

Operasi Bilangan Bulat terdiri dari 4 yaitu :

a. Penjumlahan

Penjumlahan adalah operasi yang mengkaitkan

pasangan elemen (a,b) dengan elemen c, dengan bentuk c = a

+ b. Penjumlahan yang melibatkan bilangan-bilangan bulat a,

b, -a, dan –b mempunyai sifat sebagai berikut:

(i) a + b = b + a

contoh : 6 + 10 = 10 + 6 = 16

(ii) (– a ) + (– b ) = – (a+b)

coso : (– 8) + (– 2) = – (8+2) = –10

(iii) a + (– b) = ( – b ) + a = – (– b – a ) ; dengan a < b

coso : 6 + (– 8) = ( – 8 ) + 6 = – (– 8 – 6 ) = – 2

(iv) a + (– b) = (– b ) + a = 0 ; dengan a = b

coso : 7 + (– 7) = (– 7 ) + 7 = 0

(v) a + (– b) = (– b) + a = a – b ; dengan a > b

coso : 8 + (– 2) = (– 2) + 8 = 8 – 2 = 6

Sifat-sifat penjumlahan bilangan bulat :

a) Sifat tertutup

Perhatikan contoh-contoh berikut ini ;

1). 8 + (-3) = 5

8 bilangan bulat, (-3) bilangan bulat, dan ternyata 8 + (-3)

= 5 juga bilangan bulat.

2). (-3) + 7 = 4

(-3) bilangan bulat, 7 bilangan bulat, dan ternyata (-3) + 7

= 4 juga bilangan bulat.

Hasil penjumlahan bilangan-bilangan bulat juga

merupakan suatu bilangan bulat.

b). Sifat komutatif

Sifat komutatif merupakan sifat pertukaran.

(i) a + b = b + acoso : Jika a=4 dan b = 5

maka 4 + 5 = 5 + 4 = 9

(ii) (-a) + (-b) = (-b) + (-a)coso : Jika a = 4 dan b = 5

maka (-4) + (-5) = (-5) + (-4) = - 9

(iii) (-a) + b = b + (-a)coso : Jika a = 4 dan b = 5

maka (-4) + 5 = 5 + (-4) = 1

(iv) a + (-b) = (-b) + acoso : Jika a = 4 dan b = 5

maka 4 + (-5) = (-5) + 4 = -1

C ). Sifat asosiatif

Sifat asosiatif merupakan sifat pengelompokan.

(a + b) + c = a + (b + c)

Contoh :

Jika a = 5, b = 6 dan c = 3, maka ;

(5 + 6) + 3 = 5 + (6 + 3) = 14

d). Penjumlahan dengan bilangan nol

a + 0 = 0 + a = a

Contoh:

Jika a = 10, maka ;

10 + 0 = 0 + 10 = 10

Untuk sembarang bilangan bulat a, berlaku a + 0 = 0

+ a = a. 0 adalah unsur identitas (elemen netral)

pada penjumlahan.

e ). Jumlah setiap bilangan bulat dan

lawanya adalah nol.

a + (-a) = 0

Contoh : Jika a = 9, maka ; 9 + (-9) = 0

b. Pengurangan

Pengurangan adalah operasi antara dua unsur yang

merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan;

pengurangan b dari a disimbolkan dengan a – b = c. Jika

a dan b adalah bilangan – bilangan bulat, maka ;

(i) a – b = a + (-b)

(ii) a – (-b) = a + b

Contoh ; Jika a = 2 dan b = 4

2 – 4 = 2 + (-4) = -2

Sifat tertutup

Perhatikan operasi pengurangan pada bilangan bulat di

bawah ini .

1). 7 – 12 = -5

7 bilangan bulat, 12 bilangan bulat, dan ternyata 7 – 12

= -5 juga bilangan

bulat.

2). -5 -12 = -17

-5 bilangan bulat, -12 bilangan bulat dan ternyata -5 – 12

= -17 juga bilangan bulat.

3). -4 – (-2) = -4 + 2 = -6

-4 bilangan bulat, -2 bilangan bulat, dan

ternyata -4 – (-2) = -6 juga bilangan bulat.

Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat

disimpulkan:

Pengurangan bilangan bulat selalu

menghasilkan bilangan bulat, berarti

operasi pengurangan pada bilangan bulat

bersifat tertutup.

C. Perkalian

Perkalian adalah operasi yang menggabungkan dua besaran a dan

b menjadi besaran c = a b. Sifat-sifat dari perkalian dapat

dipaparkan sebagai berikut ;

a). Sifat tertutup

Perhatikan operasi pengurangan pada bilangan bulat di bawah ini.

Contoh :

1. 2 × 4 = 8

2 bilangan bulat, 4 bilangan bulat, dan ternyata 2 × 4 = 8

juga bilangan bulat.

2. -3 × 5 = -15

-3 bilangan bulat, 5 bilangan bulat, dan ternyata -3 × 5 = -15

juga bilangan bulat.

3). (-7) × (-6) = - 42

- 7 bilangan bulat, -6 bilangan bulat, dan ternyata (-7) × (-6)

= - 42 juga bilangan bulat.

Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat

disimpulkan ;

Perkalian bilangan bulat selalu menghasilkan

bilangan bulat, berarti operasi pengurangan

pada bilangan bulat bersifat tertutup.

b.) Sifat bilangan nol pada perkalian

0 × a = a × 0

Contoh :Jika a = 3, maka ;

0 × 3 = 3 × 0 = 0

C). Sifat bilangan satu pada perkalian

a × 1 = 1 × a

Contoh ; Jika a = 4, maka ;

4 × 1 = 1 × 4 = 4

d). Sifat komutatif

a × b = b × a

Contoh ; Jika a = 4 dan b = 5, maka ;

4 × 5 = 5 × 4 = 20

Sifat asosiatif perkalian

(a × b) × c = a × (b × c)

Contoh :Jika a = 4, b = 6 dan c = 7, maka;(4 × 6) × 7 = 4

×(6 × 7) = 168

f ). Sifat distributif perkalian

a × ( b + c) = (a × b) + ( a × c) (distributif kiri)

(a + b) × c = (a × b) + ( a × c) (distributif kanan)

Contoh :Jika a = 10, b = 11 dan c = 4, maka ;

10 × ( 11 + 4) = (10 × 11) + ( 10 × 4) = 110 + 40 = 150

(10 + 11) × 4 = (10 × 4) + ( 11 × 4) = 40 + 44 = 84

d. Pembagian

Pembagian adalah operasi balikan dari

perkalian ; hasil bagi atau a : b dari dua

bilangan a dan b adalah c. Jika a, b, c

bilangan bulat; b 0 dan b adalah pembagi

dari a maka a : b = c sama artinya dengan

b × c = a

Contoh :

Misalkan a = 8, b = 2 dan c = 4, maka;

a : b = c sama artinya dengan b × c = a

8 : 2 = 4 sama artinya dengan 2 × 4 = 8

operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian,

pada operasi pembagian memiliki sifat-sifat sebagai

berikut:

Sifat pembagian pada bilangan bulat

a. Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan

bulat positif.

Jika bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan

bulat positif maka menghasilkan bilangan negatif.

Contoh ; - 15 : 3 = -5 sebab -5 × 3 = -15

b. Pembagian bilangan bulat positif dengan

bilangan bulat negatif.

Jika bilangan bulat positif dibagi

dengan bilangan bulat negatif maka

menghasilkan bilangan negatif.

Contoh ; - 12 : (-4) = 3

sebab 3 × (-4) = -12

c. Pembagian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat

negatif.

Jika bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan

bulat negatif maka menghasilkan bilangan positif.

Contoh ; - 36 : (-9) = 4 sebab 4 × (-9) = -36

Pembagi dengan nol

Untuk sembarang bilangan cacah a, selalu berlaku ;

(i) = a : 0 = ~ ( tidak terdefinisi)

(ii) = 0 : a = 0 dengan a 0

TERIMA KASIH