FERRAMENTAS

NECESSÁRIAS AO

CÁLCULO

ESTATÍSTICO

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Alguns assuntos tratados aqui é apenas uma revisão. Todavia , seu

conhecimento será de extrema validade, nos futuros estudos.

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FRAÇÕES

Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim,

podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou

seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação,

divisão, potenciação, radiciação.

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Frações Próprias: São aquelas onde o numerador (≠ 0) é menor

que o denominador.

TIPOS DE FRAÇÕES

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Frações Impróprias:

São aquelas onde o numerador é maior ou igual ao denominador.

É a fração que representa as duas figuras acima juntas, note que no numerador houve a soma das partes coloridas das imagens, já o denominador foi repetido, pois cada imagem possuí oito partes iguais.

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Fração mista: Ou número misto é escrito na

forma de um número inteiro seguido de uma fração.

Para Transformar um Número Misto em Fração Imprópria basta seguir o exemplo abaixo:

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Simplificação de Fração

Simplificar uma fração consiste em dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Você pode simplificar uma fração por partes, veja:

Ou você pode simplificar a fração uma única vez. Para isso, você deve identificar o máximo divisor comum aos dois termos. Observe:

O máximo divisor comum aos números 24 e 36 é

o 12. Então, simplificamos da seguinte maneira:

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SIMPLIFICAR UMA FRAÇÃO

IMPRÓPRIA

7

4 = 1

3

4

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Redução de fração ao mesmo

denominador

Uma maneira mais prática de reduzir as frações ao mesmo denominador é encontrar o mínimo múltiplo comum (menor múltiplo comum) dos números que representam os denominadores, por exemplo:

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Adição e subtração de fração

mesmo denominador

A fração equivalente terá o mesmo denominador e o seu numerador será a soma (ou subtração) dos numeradores das frações somadas (ou subtraídas)

2 +

6 =

2 + 6 =

8

7 7 7 7

5 –

4 =

5 – 4 =

1

7 7 7 7

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Adição e subtração de fração

Um procedimento para somar ou subtrair frações é determinar com antecedência o mínimo múltiplo comum (o MMC) de todos os denominadores das frações envolvidas

2 +

6 =

12 15

O MMC(12, 15) é 60

10

60+

24

60=

34

60=

17

30

5 . 2

60+

4 . 6

60=

10 + 24

60=

34

30

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Multiplicação com Fração

2

3 .

4

6 =

8

18 =

4

9

A multiplicação deve ser utilizada respeitando algumas regras básicas, como multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador.

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Para dividirmos uma fração por outra fração basta conservarmos a primeira fração e a multiplicarmos pelo inverso da segunda.

Divisão de Frações

25

4 ∶

2

5

25

4 .

5

2=

125

8 15

5

8

COMO!!

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POTENCIAÇÃO

A potenciação ou exponenciação é a operação de elevar um número ou expressão a uma dada potência.

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3² = 3 x 3 = 9 4³ = 4 x 4 x 4 = 64 10³ = 10 x 10 x 10 = 1000 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

30 = 1 31 = 3

2

3

2

=4

9

105 = 100 000

3−2 = 1

3

2

=1

9

2

3

−3

= 3

2

3

=9

4

POTENCIAÇÃO

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RADICIAÇÃO

Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário.

2³ = 4

23

4

:

83

= 2 𝑝𝑜𝑖𝑠 2³ = 8

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SOMATÓRIOS

Um somatório é um operador matemático que nos permite representar facilmente somas de um grande número de termos, até infinitos. É representado com a

letra grega sigma ∑ Ex: a soma dos 100 primeiros números naturais. A soma desses cem números será representada por

∑

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Partes do símbolo do somatório

Lê-se: "Somatório de Xi, para i variando de 1 a n" ou "soma de Xi, para i variando de 1 a n."

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Se estamos interessados na soma dos segundo, terceiro, centésimo elementos, devemos escrever:

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Propriedades dos somatórios

1º Se cada elemento da série é multiplicado por uma constante, os elementos podem ser somados, e a soma multiplicada pela constante.

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2º A soma de uma constante sobre n termos é igual a n vezes a constante.

3º 0 somatório da soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) de somatórios.

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Para constatar tais propriedades, usaremos as seguintes séries de números:

Variável x: Xi = 5 x2 = 3 x3 = -2 x4 = 0 Variável y: yj = 2 y2 = 3 y3 = -3 y4 = 1

cxi + cx2 + cx3 + cx4 = c(xi + x2 + x3 + x4) 3 (5) + 3 (3) + 3 (-2) + 3 (0) = 3 [5 + 3 + (-2) + 0] 15 + 9 - 6 - 0 = 3(6) 18 = 18

EXEMPLOS

Para a 1ª propriedade. Vamos supor que a constante seja igual a 3, então:

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Para a 2ª propriedade. Vamos supor que a constante seja igual a 3 e n = 4, então

EXEMPLOS

c + c + c + c = nc 3 + 3+3 + 3 = 4 (3) 12 = 12

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Para a 3ª propriedade, teremos:

(x1 + y1) + (x2 + y2) + (x3 + y3) + (x4 + y4) =

= (x1 + x2 + x3 + x4) + (y1 + y2 + y3 + y4)

(5 + 2) + (3 + 3) + (-2 - 3) + (0 + 1) =

= [5 + 3 + (-2) + 0] + [2 + 3 + (-3) + 1 ]

7 + 6 – 5 + 1= 6 + 3

9 = 9

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Observações:

1) Quando não houver possibilidades de dúvidas, poderemos eliminar os índices. Assim:

2) Cuidado

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3) Sempre que houver operações indicadas em frente do somatório, deveremos desenvolvê-las, para em seguida aplicarmos as propriedades. Assim:

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CONTINUA EM UNIDADES ESTATÍSTICAS COMPOSTAS ESTATÍSTICA – PARTE 3 PROFESSORA ROSÂNIA

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