O.S.T 1

Administración Financiera II

O.S.T 2

Teoría de carteras de inversión Teoría de carteras de inversión Harry Markowitz, 1952Harry Markowitz, 1952

O.S.T 3

Algunas definicionesAlgunas definiciones

■ Cartera: es un conjunto de dos o más Cartera: es un conjunto de dos o más activos riesgosos, libres de riesgo o una activos riesgosos, libres de riesgo o una mezcla de ellos.mezcla de ellos.

■ Activo riesgoso: es aquel que ofrece un Activo riesgoso: es aquel que ofrece un retorno diferente dependiendo del retorno diferente dependiendo del estado de naturaleza que se de.estado de naturaleza que se de.

O.S.T 4

■ Activo libre de riesgo: Activo libre de riesgo: es aquel activo que ofrece es aquel activo que ofrece

idéntico retorno independiente del idéntico retorno independiente del estado de naturaleza que se de.estado de naturaleza que se de.

O.S.T 5

Supuestos del modeloSupuestos del modelo

■ Un mundo en el cual existen sólo dos Un mundo en el cual existen sólo dos activos riesgosos, X e Y.activos riesgosos, X e Y.

■ Los retornos accionarios presentan una Los retornos accionarios presentan una distribución normal.distribución normal.

■ Los inversionistas tienen expectativas Los inversionistas tienen expectativas homogéneashomogéneas

O.S.T 6

■ Los inversionistas son adversos al Los inversionistas son adversos al riesgo.riesgo.

■ Los individuos que invierten son Los individuos que invierten son maximizadores de su riqueza.maximizadores de su riqueza.

O.S.T 7

Definición de variablesDefinición de variables

■ a: es la proporción de la riqueza que se a: es la proporción de la riqueza que se invierte en el activo riesgo X.invierte en el activo riesgo X.

■ 1-a: es la proporción de la riqueza que 1-a: es la proporción de la riqueza que se invierte en el activo riesgo Y.se invierte en el activo riesgo Y.

O.S.T 8

Definición de variablesDefinición de variables

portafoliodelriesgosotornoRp Re:~

YactivodelriesgosotornoRy Re:~

XactivodelriesgosotornoRx Re:~

O.S.T 9

Retorno riesgoso del Portafolio

Aplicando el operador esperanza(E)

yxp RaRaR~

)1(~~ −+=

O.S.T 10

Retorno esperado de la carteraRetorno esperado de la cartera

)~

()1()~

()~

( yxp REaRaERE −+=

O.S.T 11

Cabe señalar lo siguiente:Cabe señalar lo siguiente:

■ El retorno de la cartera de inversión El retorno de la cartera de inversión depende de los retornos de los activos depende de los retornos de los activos individuales que la componen y de las individuales que la componen y de las proporciones de inversión en cada uno proporciones de inversión en cada uno de ellos de ellos

O.S.T 12

■ Lo único que controla el inversionista es Lo único que controla el inversionista es la proporción de la riqueza que invierte la proporción de la riqueza que invierte en cada activo.en cada activo.

■ Dado lo anterior, es válido decir que el Dado lo anterior, es válido decir que el retorno de cada activo que compone la retorno de cada activo que compone la cartera es una variable exógena.cartera es una variable exógena.

O.S.T 13

Riesgo del portafolioRiesgo del portafolio

■ Este de aproxima estimando la varianza Este de aproxima estimando la varianza del retorno.del retorno.

),cov()1(2)1( 22222yxaaaa yxp

−+−+= σσσ

O.S.T 14

■ Como se puede apreciar en la ecuación Como se puede apreciar en la ecuación anterior, el riesgo de la cartera se anterior, el riesgo de la cartera se genera de la suma de los riesgo de los genera de la suma de los riesgo de los activos individuales que están dados activos individuales que están dados por las varianzas y además, por la por las varianzas y además, por la forma en que los activos se relacionan, forma en que los activos se relacionan, lo cual, se explica por la covarianza de lo cual, se explica por la covarianza de los retornos de ellos.los retornos de ellos.

O.S.T 15

a* a

σP

Grafiquemos la función de riesgo

O.S.T 16

■ Como se puede apreciar, la función de Como se puede apreciar, la función de riesgo presenta un valor mínimo cuando riesgo presenta un valor mínimo cuando la proporción de inversión en el activo la proporción de inversión en el activo riesgoso X asume el valor ariesgoso X asume el valor a**

O.S.T 17

Conjunto de Oportunidades de Inversión

El punto A, se genera evaluando en la ecuación de riesgo y de retorno esperado, el valor de “a” que genera el portafolio de varianza mínima.

A

σPVM

E(RP)

σP

E(RPVM) .

O.S.T 18

)y,xcov(2

)y,xcov(a

2Y

2X

2Y*

−σ+σ−σ

=

Portafolio de Varianza Mínima

Si se minimiza la función varianza, se obtendrá el siguiente valor para a:

O.S.T 19

El valor de a* significa que si se invierte a* en el activo X, y (1- a*) en el activo Y se consigue aquel portafolio de menor riesgo que existe en el conjunto de oportunidades de inversión.(el punto A del conjunto de oportunidades de inversión).

Es importante señalar que el portafolio anterior solo representa aquel de mínimo riesgo y no el portafolio óptimo para el inversionista.

O.S.T 20

11 rxy≤≤−

Activos Perfectamente Correlacionados

Este coeficiente presenta el siguiente rango:

La correlación muestra la forma en que dos variables se relacionan linealmente.

O.S.T 21

Cuando el coeficiente de correlación asume los valores extremos del rango, vale decir, -1 ó 1, se habla de correlación perfecta.

Correlación Perfectamente Positiva

rxy= 1

Significa que las variables frente a un mismo estímulo, se mueven en la misma dirección y en la misma proporción.

O.S.T 22

Sabemos que el riesgo de un portafolio es:

)y,xcov()a1(a2)a1(a2

Y

22

X

22

P−+−+= σσσ

Pero,

Así, reemplazando en la ecuación de riesgo, tenemos:

yxxyr)y,xcov( σσ=

yxxy2y

22x

22p r)a1(a2)a1(a σσ−+σ−+σ=σ

O.S.T 23

Reemplazando el valor 1 en la correlación:

y x2y

22x

22p )a1(a2)a1(a σσ−+σ−+σ=σ

O.S.T 24

]2

yx

2

P)a1(a[ σσσ −+=

σσσ −+=yxP

)a1(a

Así, la varianza se puede escribir de la siguiente manera:

Como se reemplazó un valor positivo, entonces sólo consideramos la raiz positiva. Así,

El riesgo del portafolio es el riesgo de los activos individuales, ponderado por las proporciones de inversión.

O.S.T 25

Si buscamos una relación gráfica de lo anterior, tenemos:

E(RP)

.

.σP

100% en X

100% en Y

A

B

σy σx

Como se puede apreciar, al existir correlación perfectamente positiva, el riesgo del portafolio se moverá entre el riesgo de los activos individuales.

O.S.T 26

Lo anterior se puede probar simplemente tomando la tasa de intercambio que resulta de la situación anterior:

Como se puede apreciar en el resultado anterior, esta pendiente es una constante, lo cual, significa que la relación es lineal y por lo tanto, es válido dibujar el segmento anterior.

σσ −−

=σ∂

∂

yx

yxP )R(E)R(E)R(E

P

O.S.T 27

σσσ−σσ −−+=yx

2

Y

22

X

22

P )a1(a2)a1(a

]2

yx

2

P)a1(a[ σσσ −−=

])a1(a[yxP σσσ −−±=

Correlación Perfectamente Negativa

rxy= -1Significa que las variables frente a un mismo estímulo, se mueven en dirección opuesta, pero en la misma proporción.

Formando un cuadrado perfecto tenemos:

Como se reemplazó un valor negativo, se debe tomar ambas raíces, así:

O.S.T 28

Como se puede apreciar, cuando la correlación es perfectamente negativa, se produce un Hedge Perfecto, lo cual significa que se puede eliminar completamente el riesgo.

100% en X

100% en Y

σp

E(Rp)

O.S.T 29

Correlación Perfecta y Moderada

σP

rxy=1rxy=0

rxy=-1

rxy=-1

E(RP)

O.S.T 30

Elección Óptima de Portafolio

En el punto A la tasa marginal de sustitución, coincide con la tasa marginal de transformación, de tal forma, que con esta condición se consigue el portafolio óptimo.

En este caso, se asume que no existe activo libre de riesgo.

σP

.E(RP)

A

O.S.T 31

Conjunto Eficiente con un Activo Riesgoso y uno Libre de Riesgo.

E(RP)= a E(Rx)+(1-a) Rf

Si determinamos la tasa de intercambio riesgo-retorno, tenemos:

σσ−=

∂∂

x

fx

P

P R)R(E)R(E

xp aσσ =

O.S.T 32

Gráficamente la figura resultante sería

Rfa<0

a>1

E(RP)

0≤a ≤1

σp

O.S.T 33

El conjunto de Oportunidades de Inversión con N Activos Riesgosos y uno Libre de Riesgo

Cabe señalar que el segmento RfMN es mejor en todos los puntos a los segmentos RfB y RfC, lo cual, sugiere la idea de frontera eficiente

M

Rf

N

B

C

E(RP)

σP

.

O.S.T 34

Línea del Mercado de Capitales

En un mundo con N activos riesgosos y uno libre de riesgo, la frontera eficiente de inversión toma el nombre de Línea del Mercado de Capitales, tal como se ilustra a continuación.

E(RP)

LMC

σP

Rf

O.S.T 35

Ecuación de la Línea del Mercado de Capitales

La ecuación anterior sugiere que la rentabilidad exigida a un portafolio, tiene como límite inferior la tasa libre de riesgo en el evento que el portafolio sea de cero riesgo y luego ésta irá creciendo en la medida que su cantidad de riesgo medido como desviación estándar aumente.

σσ

−+=

PM

fMfp

R)R(ER)R(E

O.S.T 36

Portafolio Óptimo de Inversión

En el punto A, la tasa marginal de sustitución coincide con la tasa marginal de transformación.

Esta es la condición que genera el portafolio óptimo de inversión.

A

σP

E(RP)

O.S.T 37

Como la línea del mercado de capitales es una recta, significa que en todos sus puntos tiene la misma pendiente, por lo cual, en el óptimo, la tasa marginal de todos los individuos es la misma.

En general:

Donde:

i,j: representan dos individuos.

jM

fMi TMS

R)R(ETMS =−= σ

O.S.T 38

Con N activos, las ecuaciones de riesgo y rentabilidad esperada se transforman a las siguientes:

)R(Ew)R(E i

n

1iiP ∑

==

Retorno esperado del portafolio

Donde:

n: Representa el N° de activos del portafolio.wi:Proporción de la riqueza que se invierte en el activo i.E(Ri): Retorno esperado del activo i.

O.S.T 39

Riesgo esperado del portafolio

( )∑∑σ= =

=n

1i

n

1jji

2

pj,icovww

Donde:

n: N° de activoswi: Proporción de la riqueza en el activo i.wj:Proporción de la riqueza en el activo j.Cov(i,j): Covarianza entre retorno del activo i con el activo j.

O.S.T 40

Modelo de Valoración de Activos deCapital

O.S.T 41

Modelo de Valoración de Activos de Capital (CAPM)

Supuestos:

-Los inversionistas son adversos al riesgo y maximizan su utilidad esperada al final del período.

- Los inversionistas tienen expectativas homogéneas.

-Los retornos accionarios presentan una distribución normal.

-Existe un activo libre de riesgo tal que los inversionistas pueden prestar o pedir prestado montos ilimitados a la tasa libre de riesgo.

O.S.T 42

-No existen imperfecciones de mercado tales como impuestos, regulaciones o restricciones a las ventas cortas.

-Los mercados son sin fricciones y la información sin costo y simultáneamente disponible para todos los inversionistas.

-Las cantidades de activos están fijas. También los activos soncomercializables y perfectamente divisibles.

O.S.T 43

Tipos de Riesgo

N° de activosen el Portafolio

% de Riesgo

No diversificable

Diversificable

O.S.T 44

El CAPM se preocupa del riesgo no diversificable y asume que el riesgo diversificable ya está resuelto por el inversionista simplemente eligiendo una adecuada diversificación en sus inversiones.

O.S.T 45

Portafolio de MercadoEs aquella cartera que contiene a

todos los activos comercializables de la economía en la proporción de equilibrio wi

economíaladeactivoslostodosdemercadodeValor

individualactivodelmercadodeValorwi

=

O.S.T 46

Modelo

Donde:E(Ri):Retorno exigido ajustado por riesgo no diversificable del activo i.rf : Tasa libre de riesgo.E(Rm): Retorno esperado del portafolio de mercado.βi : Cantidad de riesgo no diversificable del activo i.

ifmfi ]r)R(E[r)R(E β−+=

O.S.T 47

[E(Rm)- rf ]βi = Premio por riesgo

E(Rm) - rf = Premio por unidad de riesgo

σ=β

2

m

i

)m,i(Cov

O.S.T 48

Nótese que la cov(i,m) representa el aporte en riesgo que hace el activo i al portafolio de mercado m y la varianza del portafolio de mercado m, representa el riesgo total de la economía, de tal forma que al dividir los dos términos obtenemos la proporción del riesgo total de la economía que está explicado por el activo i, valor que denominamos número de unidades de riesgo no diversificable del activo i.

O.S.T 49

Línea del Mercado de Activos

E(Ri)

βi

LMA

Rf

Muestra una relación lineal entre retorno accionario y riesgo diversificable.

O.S.T 50

Ecuación de la Línea del Mercado de Activos

ifmfi ]r)R(E[r)R(E β−+=

O.S.T 51

Propiedades del CAPM

(1) En equilibrio cada activo debe ser valorado tal que su tasa de retorno requerida ajustada por riesgo, caiga exactamente sobre la línea del mercado de activos.

En general:

Riesgo total= Riesgo sistemático + Riesgo no sistemat.

O.S.T 52

Empíricamente, el retorno de cualquier activo, es una función lineal del retorno de mercado más un término de margen de error que es independiente del mercado.

imjjj~R

~baR

~ ε++=

aj: no tiene covarianza ( Cov cero)

La varianza del retorno es:

O.S.T 53

La varianza del retorno es:

~

osistemáticnoRiesgo

osistemáticRiesgob

totalRiesgo)R(

2

2mj

j2

=σ

=σ

=σ

ε

~b)R( 22

mjj σ+σ=σ ε

O.S.T 54

(2) El beta de un portafolio es la suma ponderada por las proporciones de inversión, de los betas de los activos individuales.

Sea:a: % en el activo riesgoso X1-a: % en el activo riesgoso Yβx : Riesgo sistemático del activo Xβy : Riesgo sistemático del activo Yβp : Riesgo sistemático del portafolio

O.S.T 55

Así:βp = a βx + (1-a) βy

En general:

Donde:

iactivoeleninversióndeoporciónPr:w

iactivodelosistemáticRiesgo:

i

iβ

wn

1i

iipβ=β ∑

=

O.S.T 56

Aplicación del modelo a Política de Empresas

Supuestos:

- Empresa sin deuda- No existen impuestos a las empresas, ni personales

En este caso, el costo del patrimonio para la firma está dado directamente por el CAPM.

E(Ri) = Kp

O.S.T 57

En la medida que los proyectos tienen el mismo riesgo que la firma, entonces, Kp puede ser interpretado como la tasa de retorno mínima requerida sobre los nuevos proyectos.

¿ Qué sucede si el proyecto tiene un riesgo diferente al del la firma como un todo?

O.S.T 58

Analicemos la siguiente situación

LMA

ββk

E(Ri) = Kp

kTIRk ..E(Rk)

βk

. LE(RL)TIRL

O.S.T 59

El punto k, es un ejemplo de un mal proyecto, ya que dado su riesgo sistemático, la tasa que se debe exigir es superior a su TIR.

El punto L, es un ejemplo de un buen proyecto, ya que dado su riesgo sistemático, la tasa que se debe exigir es menor que su TIR

Lo anterior deja en evidencia que fijar la misma tasa de rentabilidad exigida mínima podría inducir a una firma a elegir malos proyectos o no invertir en buenos proyectos.

O.S.T 60

Extensiones del CAPM

(1) No existe activo libre de riesgo (Black, 1972)

En este caso, debiéramos suponer que podemos encontrar todos los portafolios que tienen cero correlación con el portafolio de mercado, lo que implica que sus retornos tienen covarianza cero con el portafolio de mercado y tienen el mismo riesgo sistemático (β = 0), por lo cual, tienen el mismo retorno esperado

O.S.T 61

.. AB

.M

E(Rz)

E(RM)

σP

E(RP)

σM

O.S.T 62

Los portafolios A y B covarían cero con el portafolio de mercado M, pero B tiene menor desviación estándar y ambos tienen retorno esperado E(RZ).

En general, sin activo libre de riesgo, el modelo toma la siguiente forma:

[ ] iZMZi )R(E)R(E)R(E)R(E β−+=

O.S.T 63

(2) Los retornos no distribuyen normal

Los retornos no pueden estar distribuidos normalmente debido a que el menor retorno negativo posible, dada la responsabilidad limitada del inversionista, es - 100%

Con el supuesto de normalidad se está planteando una posibilidad finita de que los retornos sean menores que - 100%, lo cual, admite la posibilidad de tener precios negativos.

O.S.T 64

(3) El modelo en Tiempo Contínuo (Merton, 1973)

(a) Si rf no es estocástica

ifmfi ]r)R(E[r)R(E β−+=

En esta ecuación, cada retorno es instantáneo.

O.S.T 65

(b) Si rf es estocástica

[ ] [ ]fN2fM1fi r)R(Er)R(Er)R(E −δ+−δ+=

RN : Tasa de retorno instantánea sobre un portafolio que tiene una correlación perfectamente negativa con el activo libre de riesgo. (hedge perfecto)

O.S.T 66

CAPM: Forma empírica

( )itiftmt0ftit RRRR ε+δ−+δ=−

Rit : Retorno del activo i en el momento tRft : Tasa libre de riesgo en el momento tRmt: Retorno del portafolio de mercado en el momento tδit : Cantidad de riesgo sistemático del activo iεit : Error aleatorioδ0 : Término de intercepto de la regresión.

O.S.T 67

Algunas conclusiones obtenidas:

(a) δ0 es estadísticamente distinto de cero y δ1 es menor que la diferencia (Rmt- Rft ), lo cual, implica un sesgo en el retorno que se puede estimar.

(b) Intentar explicar el retorno accionario, incluyendo en la ecuación de regresión el riesgo no sistemático, en general no es relevante.

O.S.T 68

( c ) Se ha encontrado que la ecuación anterior, se ajusta bien a los datos y que los retornos son lineales en base al beta. Además en largos períodos de tiempo, el retorno del portafolio de mercado es mayor que la tasa libre de riesgo, lo cual implica que la pendiente de la ecuación es positiva.

O.S.T 69

(d) Se ha encontrado que otros factores como el tamaño, razón precio utilidad, dividendos etc. también son exitosos en explicar el retorno accionario, lo cual indica que el beta no capta toda la información económicamente relevante del activo.

O.S.T 70

Estudios que han buscado verificar la validez del modelo

(a) Black, Jensen y Scholes (1972)

Se centraron en las propiedades de la línea de mercado de activos, dada la eficiencia del portafolio de mercado.

Datos utilizados:Los precios accionarios de todas las acciones de la Bolsa de New York en el período 1926-1965.

O.S.T 71

Conclusión:

- Poca o ninguna evidencia de no linealidad.- Pendiente positiva y altamente significativa.

. .. . . .. . .. ..

. ..

β

E(Ri)

O.S.T 72

(b) Fama y Macbeth (1974)

Logran predecir retornos accionarios utilizando el modelo.

O.S.T 73

Crítica de Roll (1977)

Como el portafolio de mercado no es observable, no es posible establecer si es o no eficiente en media y varianza, en cambio en los estudios realizados, se elige como aproximación para éste un índice que puede ser eficiente. El punto central se traduce en que con un índice eficiente los resultados pueden ser válidos, pero no sabemos si estamos verificando la validez del modelo y por lo tanto la única prueba válida sería comprobar que el portafolio de mercado es eficiente en media y varianza.

O.S.T 74

Eficiencia de Mercado

O.S.T 75

Estudió todos los activos por un largo período de tiempo y en general encontró relaciones como la siguiente:

En el año 1900, un estadístico francés en su tesis doctoral, se planteó la idea de estudiar los ciclos que siguen los precios de las acciones

O.S.T 76

. ..

.

..

.

..

.

..

.

.

.

...

.

.

..

..

. ..

..

. ...

.. ..

..

.

∆Pt

∆Pt+1

O.S.T 77

Conclusión del Estudio

Los precios accionarios siguen un recorrido aleatorio

Esto significa que la siguiente variación del precio puede ser cualquiera.

O.S.T 78

Lo anterior, se puede entender mediante el siguiente ejemplo:

Pensemos en el siguiente juego:

Hoy usted puede invertir 100 y lanzar una moneda, si sale cara, gana un 3% y si sale sello, pierde un 1%. Este juego lo puede realizar n veces por unidad de tiempo.

O.S.T 79

De manera gráfica tenemos para el caso de realizar dos veces el juego:

100C

S

103

99

106.09

101.97

101.97

98.01

C

S

C

S

O.S.T 80

¿Que el segundo tiro de la moneda de como resultado cara, tiene relación con que el resultado del primer tiro de cara o sello?

La respuesta a ésto es simplemente que no tiene ninguna relación.

De la misma manera se comportan los precios de las acciones.

O.S.T 81

Definición:Un mercado es eficiente, si los precios de

los activos que en el se transan, incorporan de manera instantánea, toda la información económicamente relevante que existe en ese momento sobre dicho activo.

Eficiencia de Mercado

O.S.T 82

Ejemplo de un mercado eficiente:

Supongamos que IBM anuncia que ha inventado un microprocesador que hará que sus computadores sean 30 veces más rápidos que los existentes. El precio de mercado de IBM deberá aumentar inmediatamente en cuanto esta información se hace pública.

O.S.T 83

Ajustes posibles del precio de IBM

100

140

180

220

-4 -2 -0 +2 +4 +6 +8

Días relacionados con la fecha del anuncio

... .

. . . . ..

Reacción excesiva y corrección

Reacción retardada

Reacción en elMercado Eficiente

O.S.T 84

Reacción en el mercado eficiente:El precio se ajusta instantáneamente y

refleja por completo la información nueva, no existe una tendencia de aumentos y disminuciones subsecuentes.

Reacción retardada:El precio se ajusta parcialmente a la

nueva información, pasan ocho días antes de que el precio refleje por completo la información nueva.

O.S.T 85

Reacción Excesiva:El precio se ajusta excesivamente a la

nueva información: hay una burbuja en la secuencia del precio

O.S.T 86

Hipótesis de Eficiencia

Eficiencia débil:Significa que no es posible hacer

ganancias anormales de manera permanente y sistemática, utilizando para invertir, información histórica de precios de los activos.

O.S.T 87

Eficiencia semi fuerte:Significa que no es posible hacer

ganancias anormales de manera sistemática y permanente, utilizando para inversión, cualquier tipo de información que esté públicamente disponible.

O.S.T 88

Eficiencia fuerte:Significa que no es posible hacer

ganancias anormales de manera permanente y sistemática, utilizando para inversión cualquier tipo de información tanto pública como reservada.

O.S.T 89

Las inversiones en un mercado eficiente tienen un VAN = 0, lo cual significa que la ganancia que se obtiene, corresponde exactamente al costo alternativo promedio de mercado.

Si el VAN de una inversión es mayor que cero, significa que la ganancia es anormal.

O.S.T 90

Estructura de Capital, Costo de Capital

Valor de la Firma

O.S.T 91

Proposición I

El valor de mercado de cualquier firma es independiente de su estructura de capital y está dada por la capitalización de sus retornos a una tasa apropiada para su clase de riesgo.

El costo de capital promedio ponderado para cualquier firma es independiente de su estructura de capital y es igual a la tasa de capitalización de un flujo de una firma sin deuda de su clase.

Proposiciones de Modigliani y Miller:

O.S.T 92

De esta proposición se desprenden dos elementos fundamentales:

(a) En un mundo sin impuestos, financiar con deuda o con patrimonio es indiferente.

(b) Existe una estrecha relación entre el costo de capital y el valor de la firma.

O.S.T 93

Proposición II

El retorno esperado de una acción(Rentabilidad exigida por los dueños) es igual a la tasa de capitalización apropiada para una firma todo patrimonio, ρ , más un premio relacionado con el riesgo financiero, igual a la razón Deuda/Patrimonio (B/P) por el spread entre ρ y KD que es el costo de la deuda.

O.S.T 94

Donde:

B: es el valor de mercado de la deuda

P: es el valor de mercado del patrimonio

ρ: Tasa de descuento firma sin deuda

(ρ - KD) B/P : es el riesgo financiero.

tc : impuesto a las corporaciones

Kp = ρ + (ρ - KD) B/P (sin impuestos)

Kp = ρ +(ρ - KD)(1 - tc) B/P (con impuestos)

O.S.T 95

Valor de la Empresa

O.S.T 96

Supuestos del Modelo

(i) Mercados de capitales sin fricciones.

(ii) No existen costos de quiebra.

(iii) Los individuos pueden prestar y pedir prestado a la tasa de interés de mercado.

(iv) No existe crecimiento y los flujos de caja son perpetuos.

(v) Existen solamente impuestos a las corporaciones.

(vi) Todas las empresas están en la misma clase de riesgo.

(vii) Existen sólo dos fuentes de financiamiento:

Deuda libre de riesgo y patrimonio

O.S.T 97

Consideremos el Estado de Resultados:

Ingresos : I

Costos Variables : -CV

Costos Fijos : -CF

Depreciación : -Dep

Utilidad Operacional : UAII

Gastos Financieros : -KD*D

Utilidad Antes Imptos.: UAI

Impuestos : tc*UAI

Utilidad Neta : UN

O.S.T 98

Determinemos el flujo de caja relevante de una firma sin deuda:

F.O. D/I = (I-CV-CF-Dep) (1- tc) + Dep

Como se suponen flujos de caja perpetuos y no hay crecimiento, la firma deberá realizar inversiones de reposición que deben coincidir con la depreciación económicamente calculada, así:

Dep=IR

O.S.T 99

Flujo de caja neto (FCN)

FCN = (I-CV-CF-Dep) (1- tc) + Dep - IR

Pero como Dep = IR

FCN = (I-CV-CF-Dep) (1- tc) = UAII(1-t)

Este valor, coincide la utilidad operacional después de impuestos.

O.S.T 100

Valor de la firma sin deuda

ρ−= )t1(UAII

VD/S

VS/D : Valor de una firma sin deuda

O.S.T 101

Determinemos el flujo de caja relevante de una firma con deuda.

Flujo dueños = UN+Dep - IR

Flujo deuda = KD*D

FT=(I-CV-CF-Dep- KD.D)(1-tc)+Dep-IR+ KD.D

Flujo total = UAII(1-tc) + tc* KD*D

O.S.T 102

Valor de la firma con deuda

VC/D = Valor de la firma con deudaKB = Costo de mercado de la deuda

B

DcD/C

K

DK)t1(UAII tV +ρ

−=

O.S.T 103

Sea:

Reemplazando este valor en la ecuación anterior, tenemos:

Bt)t1(UAII

c

D/C

V +ρ

−=

B

D

K

DKB =

O.S.T 104

Costo de Capital de la Firma

Según Modigliani y Miller, el costo de capital de una firma se define de la siguiente manera:

−ρ=

dI

dBt1CCPP c

WACC: Costo de capital promedio ponderado.

dB: Parte de la inversión que se financia con deuda.

dI : Inversión marginal.

O.S.T 105

La expresión anterior presenta algunos problemas:

(a) La estimación de ρ .

(b) La relación dB/dI podría no ser la mezcla óptima de financiamiento.

Estos problemas llevan a plantear la siguiente forma de estimar el costo de capital promedio ponderado:

La alternativa propuesta es aceptable asumiendo que la firma ha definido una estructura meta (B/V)*.

−ρ=

*

cV

Bt1CCPP

O.S.T 106

Costo de la Deuda

Si se asume que la deuda es libre de riesgo, entonces KD = Rf = KB. Por otro lado, como los gastos financieros son deducibles de impuestos, significa que el costo para la firma es menor que el pactado y se puede definir como:

KD(1 - tc) = Costo de la deuda después de impuestos

O.S.T 107

O.S.T 108

Kp = ρ + (ρ - KD)(1 - tc)(B/P)

WACC = ρ(1- tc*B/V)

ρ

%

B/P

Cambios en el Costo de Capital con Incrementos en el Endeudamiento

O.S.T 109

Costo de Capital Promedio Ponderado

Lo usual es generar esta tasa como una ponderación entre el costo de los recursos propios y el costo de la deuda.

Esta expresión es equivalente a la que proponen Modigliani y Miller

++

+−=

PB

PK

PB

BK)t1(CCPP PB

O.S.T 110

Costo de Capital y Modelo de Valoración de Activos de Capital

El modelo presentado hasta este momento, nos muestra el costo de capital para empresas que están en la misma clase de riesgo y su relación con el endeudamiento.

O.S.T 111

¿ Cómo incorporar el riesgo para diferenciar las tasas de descuento de cada activo?

Robert Hamada(1969), solucionó estos problemas al probar que las proposiciones de Modigliani y Miller son válidas en un contexto en que el CAPM es válido.

O.S.T 112

Lo que Hamada plantea es que el costo del patrimonio se puede estimar usando el CAPM, con lo cual, se conseguirá diferenciar por riesgo las tasas de descuento, así

[ ]( ){ }

+β−++

+−=

PB

PR)R(ER

PB

BK)t1(CCPP LfMfB

O.S.T 113

Comparación de las Ecuaciones de Costo de Capital entre M y M y el CAPM

Tipo de Capital Definición CAPM Definición de M M

Deuda KB = Rf + [E(RM) - Rf] βB KB = Rf ; βB = 0KP sin Deuda ρ = Rf + [E(RM) - Rf] βU ρ = ρKP con Deuda KP = Rf + [E(RM) - Rf] βL KP = ρ + (ρ - KB)(1 – tc)(B/P)

CCPP CCPP= KB(1-tc)(B/V)+ KP(P/V) CCPP= ρ(1 - tc B/V)

O.S.T 114

Ejemplo:

La empresa X tiene actualmente una estructura de capital a valor de mercado del 20% (deuda a activo total). El tesorero de la firma cree que se puede agregar más deuda a la estructura con un límite del 35% sin perder capacidad de endeudamiento(se asume deuda libre de riesgo) a la tasa PRIME del 7%. La firma está afecta a una tasa marginal de impuestos del 50%. La tasa de retorno esperada del portafolio de mercado estimada para el próximo año es del 17% y el riesgo sistemático patrimomial de la compañía se ha estimado en 0.5.

(d) Determine el costo patrimonial y el costo de capital promedio ponderado actual de la firma.

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(a) ¿Cuál será es costo de capital promedio ponderado de la firma si la estructura meta de capitalizació fuera de un 35%(deuda a activo total)?

(b) ¿Debiera la firma invertir en un proyecto que ofrece una rentabilidad del 9.25% si su riesgo sistemático es similar al de la firma X?