Fisica y quimica fisica bup

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  • 1. Julio Anguiano CristbalINTERACCIN GRAVITATORIA Pgina 1 de 12Interaccin gravitatoria. Ley de gravitacin universal. Historia de las teoras acerca de los movimientos planetarios. Leyes de Kepler Ley de Newton de la gravitacin universal. Bases de la Gravitacin Universal. Conceptos de masa inercial y masa gravitatoria. Campo y potencial gravitatorios. Energa potencial gravitatoria de una masa puntual. Campo y potencial gravitatorios de una distribucin de masas puntuales. Ley de Gauss para el campo gravitatorio. Aplicaciones del teorema de Gauss Campo gravitatorio terrestre. Variacin de g con la altura. Energa potencial gravitatoria terrestre Satlites: velocidad orbital y velocidad de escape. Energa mecnica de un satlite en rbita. Velocidad de escape Trabajo sobre un satlite: a) para situarlo en una rbita de altura h y, b) para sacarlo de la interaccin gravitatoria terrestre. Problemas propuestos de Interaccin Gravitatoria Interaccin gravitatoria. Ley de gravitacin universal.Historia de las teoras acerca de los movimientos planetarios: Modelo geocntrico: Considera la Tierra en el centro del Universo y las estrellas pegadas a una esfera celestial que rota alrededor de un eje que pasa a travs de los polos Norte y Sur de la Tierra y de los polos celestiales Norte y Sur. Sin embargo, el movimiento retrgrado del planeta Marte no se comprenda con este modelo y fue el problema durante 2000 aos. Hiparco (150 a.C.) propuso un sistema de crculos para explicar el movimiento retrgrado. Consideraba que un planeta rotando en forma de epiciclos (crculo que se supona descrito por un planeta alrededor de un centro que se mova en el deferente) alrededor de una curva deferente (crculo que se supona descrito alrededor de la Tierra por el centro del epiciclo de un planeta). Posteriormente, Ptolomeo (100 a.C.) introdujo refinamientos en el sistema epiciclos -deferente- que se utiliz hasta el siglo XVI. Modelo heliocntrico: Nicols Coprnico (1473-1543) desarroll un modelo ms sencillo para entender el Universo. Esto se debi a que con la obtencin de nuevos datos observados y aplicarlos al modelo geocntrico era necesario introducir modificaciones a las trayectorias de los planetas. Coprnico se plantea que las dificultades tenan su origen en la teora y propone el modelo heliocntrico que sirve para calcular las posiciones planetarias y que tiene como objetivo eliminar las dificultades del sistema de Ptolomeo. El sistema de Coprnico lo que hizo fue cambiar el sistema de referencia, tomando el Sol como centro, que al tener una gran masa respecto de los otros planetas, hace que el nuevo sistema sea prcticamente inercial y, por tanto, ms sencillo en su descripcin. En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) public las leyes del movimiento planetario. Kepler analiz las observaciones astronmicas de su maestro Tycho Brahe (1546-1601), que personalmente no pudo demostrar el sistema copernicano, y public en 1609 un estudio elaborado del sistema heliocntrico pero considerando rbitas elpticas. Las leyes de Kepler nos proporcionan una descripcin cinemtica del movimiento planetario, pero no nos informan por qu los planetas se mueven en aquel camino y no en otro. La tercera ley se public diez aos despus de las dos primeras. Leyes de Kepler: 1)Un planeta describe una rbita elptica alrededor del Sol, con el Sol en un foco de la elipse.2)La lnea que conecta un planeta al Sol barre reas iguales en tiempos iguales.3)Los cuadrados de los perodos de revolucin de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse de sus rbitas.En 1623, Galileo (1564-1642), que tuvo relacin con Kepler, verific con ayuda de un telescopio que los satlites de Jpiter cumplan leyes anlogas a las de Kepler, respecto de ste planeta. Sus trabajos colaboraron a la aceptacin definitiva del Sistema Copernicano. Ley de Newton de la gravitacin universal.Las leyes de Kepler proporcionan una descripcin de cmo se mueven los planetas, pero no explican por qu se mueven en aquel camino y no en otro. Usando las tres leyes de Kepler Newton fue capaz de encontrar una expresin que describe la fuerza a la que estn sometidos los planetas en

2. INTERACCIN GRAVITATORIA Pgina 2 de 12 Julio Anguiano Cristbalsus rbitas. En 1666 Isaac Newton (1642-1727) formul la ley de Gravitacin Universal que fue publicada en 1687 en su trabajo "Principios Matemticos de la Filosofa Natural". Enunciado de la ley de gravitacin universal: la interaccin gravitatoria, entre dos cuerpos, se expresa por una fuerza atractiva y central, directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos: ur = r F = G Mm ur = G Mm r r r2 r3 MFurFmEl vector de posicin tiene su origen en el centro de masas de una masa M y el extremo en el centro de masas de la otra masa m. La fuerza gravitatoria, tiene signo negativo, por ser atractiva y, por tanto, tiene sentido contrario al vector unitario que va de una masa a otra. Bases de la Gravitacin Universal: 1) Los planetas describen rbitas cerradas alrededor del Sol por lo que la fuerza es atractiva, ya que si fuese repulsiva la rbita no sera cerrada. 2) Como el radio vector barre reas iguales en tiempos iguales, es decir, su velocidad areolar es constante se ha de cumplir que el momento angular del planeta, respecto del Sol es constante. Lo que supone que el momento de la fuerza sea cero, luego la fuerza ha de ser central. Demostracin: sea A el rea barrida por el radio vector, luego el que su derivada respecto del tiempo (velocidad areolar) sea constante supone que el momento angular respecto del Sol sea constante dr r A=(rdr)/21 r dr 2 dA = 1 r dr = 1 r v = 1 L = cte. dt dt 2 2 2mdA =Luego al cumplirse la segunda ley de Kepler se ha de cumplir que el momento angular sea constante, lo que implica que la fuerza ha de ser central: dL = r F = M ext dt L = cte. M = 0rFextLa fuerza ha de ser paralela al radio vector y es lo que se llama una fuerza central. Por tanto, la fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es una fuerza atractiva y central, es decir, que acta a lo largo de la lnea que une los dos cuerpos. Otro aspecto, muy importante, es determinar la relacin de la fuerza y del radio vector o distancia entre los dos cuerpos. Newton determin, realizando una serie de clculos matemticos basados el anlisis de las rbitas elpticas, que para que las rbitas elpticas de los planetas, obtenidas por Kepler, sean posibles, la fuerza ha de ser proporcional al inverso del cuadrado de la distancia entre el Sol y la Tierra. Si asumimos que la fuerza gravitatoria es una propiedad universal de toda la materia, podemos considerar que la fuerza est asociada con la cantidad de materia o masa gravitatoria, en cada cuerpo. Cavendish, en 1.798, determin la constante de proporcionalidad, que se conoce con el nombre de constante de gravitacin universal y que no depende del medio. 3) Para comprobar la 3 ley de Kepler, vamos a consideremos rbitas circulares, en las cuales se ha de cumplir que la fuerza centrpeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria 3. INTERACCIN GRAVITATORIA Pgina 3 de 12 Julio Anguiano Cristbal2 m v = G Mm r r2 v2 = G M r 2 v2 = 2 r2 Tv = GM r 2( )2 T 2 = 4 r 3 GMConceptos de masa inercial y de masa gravitatoria: F = F21 La masa inercial se obtiene de 12 m1a1 = m2a 2a m1 = 2 m2 a1Si le damos a una masa un valor, se determinan las masas inerciales de las dems. La masa gravitatoria se obtiene de la fuerza peso Fpeso = mg ur y la aceleracin de la gravedad de la ley de gravitacin universal g = GMT 9,8 m , lo que nos indica que g0 es independiente de R2 s2 Tla masa m del cuerpo que cae. Es un hecho muy probado que todos los cuerpos caen en la superficie de la Tierra con la misma aceleracin. Este hecho es indicativo de que las masas gravitatoria e inercial son iguales. Si la masa gravitatoria mg fuese distinta de la masa inercial mi la fuerza gravitatoria en la superficie de la Tierra (peso) sera igual Fpeso = mi g = GM T mg 2( RT )g =Gmg ( R T ) mi MT2Si la relacin entre las dos masas no fuera la misma para todos los cuerpos la aceleracin g0 ser diferente para cada cuerpo, lo que es contrario a la experiencia. Las dos masas, son indistinguibles experimentalmente y, por tanto, la magnitud masa es para la masa inercial o la masa gravitatoria. La masa de la Tierra, se determina a partir de los datos experimentales conocidos: G, g0 y RT. El peso de un cuerpo, en la superficie de la Tierra, es la fuerza con que la Tierra lo atrae: Fpeso = mg = GMT m R2 TMT =g R2 T GCampo y potencial gravitatorios.Se llama Campo Gravitatorio a la situacin fsica por la cual al colocar una masa en dicho campo sta experimenta una interaccin o fuerza gravitatoria. Siendo el campo gravitatorio un campo vectorial de fuerzas. Campo gravitatorio creado por una masa M: Sea una masa M, en un punto del espacio, y colocamos otra masa, m, en diferentes posiciones del espacio alrededor de M. Debido a la interaccin gravitatoria entre las dos masas, la masa m experimenta una fuerza en cada posicin dada por la ley de gravitacin universal. Es decir, que la interaccin entre las masas, m y M, va a depender de sus posiciones relativas. Por lo que, en cada punto del espacio podemos definir un vector intensidad del campo gravitatorio, creado por la masa M. En cada punto del campo vectorial gravitatorio, se define un vector llamado intensidad del campo gravitatorio, que se define como la fuerza por unidad de masa que coloquemos en dicho punto, siendo la unidad Nkg-1=ms-2 : g = lim F = G M ur m0 m r2g Mur gLa intensidad del campo gravitatorio, producido por M, en un punto del espacio, es una magnitud vectorial, cuyo vector tiene su origen es ese punto del campo y la direccin y sentido hacia el centro de masas de la masa M. 4. INTERACCIN GRAVITATORIA Pgina 4 de 12 Julio Anguiano CristbalLa intensidad del campo gravitatorio en un punto del campo gravitatorio depende del vector de posicin de dicho punto, por