BAB III ELEKTRON DALAM LOGAM

Pada Bab I telah disebutkan bahwa pada dasarnya Fisika Zat Padat mengkaji kristal dan elektron-elektron. Dalam pembahasan mengenai Dinamika Kisi dalam Bab II, telah diuraikan gerakan atom-atom dalam kristal sebagai akibat dari adanya rambatan gelombang, mekanik maupun termal, serta berbagi sifat yang ditimbulkannya. Pada Bab II ini, giliran elektron yang mendapat bagian untuk dibahas secara khusus, mengingat gerakan elektron dalam zat padat sangat berbeda dari gerakan atom-atom dalam kristal.

Secara umum setiap jenis bahan padat yang disusun oleh atom-atom selalu mengandung elektron-elektron. Namun demikian, elektron-elektron tersebut ada yang terikat erat pada ikatan atom-atom dan ada juga yang bebas. Elektron dikatakan bebas bilamana elektron tersebut dapat bergerak oleh karena suatu hal (misalnya medan listrik) secara bebas dari satu titik ke titik lain di seluruh kristal. Elektron yang bersifat demikian disebut elektron bebas. Sedangkan elektron yang tidak dapat bergerak bebas, yaitu elektron yang terikat dalam atom maupun ikatan antar atom, disebut elektron terikat.

Struktur ikatan pada bahan loham memungkinkan zat padat jenis ini mengandung elektron bebas. Sedangkan bahan bukan logam lainnya, yaitu bahan-bahan yang mempunyai ikatan ionik atau kovalen, tidak memiliki elektron bebas. Dengan adanya elektron bebas ini logam mempunyai sifat-sifat yang khas, antara lain merupakan penghantar listrik dan penghantar panas yang baik serta permukaannya mengkilat (sifat pantulnya baik). 3.1 ELEKTRON BEBAS KLASIK Dalam pendekatan ini elektron-elektron dapat dipandang seperti partikel gas ideal. Sebagai contoh, perhatikan logam natrium (11Na). Atom natrium memiliki konfigurasi elektron : 1s2-2s2-2p6-3s1. Elektron-elektron pada orbitan 1s sampai dengan 2p membentuk struktur kulit penuh. Elektron-elektron ini bersama dengan inti atom membentuk teras atom. Sedangkan elektron yang ke 11 pada orbitan 3s merupakan elektron valensi. Elektron valensi inilah yang menjadi elektron bebas apabila atom-atom natrium membentuk kristal logam. Lihat kembali “Ikatan logam” pada Bab I.

Secara umum bila suatu logam mempunyai rapat massa mρ tersusun oleh atom-atom dengan elektron valensi Z, dan massa atom yang bersangkutan M, maka konsentrasi elektron bebas pada logam tesebut adalah :

MzN

n Amρ=

NA adalah bilangan Avogadro. Konsentrasi elektron pada persamaan (3.1) tersebut dinyatakan dalam satuan elektron/cm3 atau elektron/m3 dan biasanya hanya ditulis cm-3 atau m-3. 3.1.1 Hantaran Listrik Perhatikan seutas kawat sepanjang L dengan penampang A, ujung-ujung kawat (C dan D) diberi beda potensial VCD, dan nilai hambatan kawat adalah R. Dalam kawat mengalir arus listrik I serta timbul medan listrik E, seperti pada gambar 3.1. menurut Hukum Ohm, kuat arus listrik dalam kawat :

RV

I CD=

Gambar 3.1 Arah a

kawat Selanjutnya dapat ditulis r

(i). Rapat Arus

(ii). Kuat Medan

(iii) Hambatan

rus listrik, medan listrik dan gerakan elektron dalam seutas yang diberi beda potensial.

umus-rumus lainnya yang menyangkut :

: AIJ =

: L

VE CD=

: ALρR =

dengan ρ menyatakan resistivitas listrik bahan kawat, dan dapat dituliskan dalam hubungannya dengan konduktivitas listrik σ :

σρ 1=

Dari persamaan-persamaan di atas, hokum Ohm seperti pada persamaan (3.2) dapat dituliskan kembali dalam bentuk :

EJ σ=

Semua besaran listrik di atas merupakan besaran makroskopik yang dapat diukur atau ditentukan secara langsung. bagaimanakah mekanisme elektron menghantarkan listrik sehingga persamaan-persamaan di atas dapat terpenuhi ? G

Ppenerapdihambuhambat”elektronberikut

dengan elektronberurutayang sep

ambar 3.2. Elektron dalam kristal bergerak dipercepat oleh medan listrik dan dihamburkan oleh atom-atom.

ada gambar 3.2 elektron bergerak dipercepat ke arah kanan sebagai akibat an medan listrik ke arah kiri. Dalam gerakannya elektron menumbuk dan rkan oleh atom-atom. Tumbukan dengan atom-atom ini menimbulkan “daya yang dialami elektron, yang akan mengimbangi gaya medan listrik pada . Keadaan demikian dapat diungkapkan melalui persamaan gerak sebagai :

τvmeE

dtdvm ** −−=

m* menyatakan massa efektif elektron, v kecepatan elektron, e muatan , t waktu dan τ waktu relaksasi tumbukan (waktu antara dua kali tumbukan n). suku kedua ruas kanan pada persamaan (3.6) merupakan gaya hambat erti “gaya gesek” stokes pada percobaan pengukuran Viskositas cairan.

Perimbangan antara gaya oleh medan dan gaya hambatan akan menghasilkan keadaan tunak (stationer). Bila keadaan ini tercapai maka :

0=dtdv

Dengan demikian persamaan (3.6) menghasilkan :

Emev

*τ

−=

Yaitu kecepatan akhir elektron yang disebut juga kecepatan alir (drift velocity). Tanda minus menyatakan bahwa arah gerak elektron berlawanan dengan arah medan listrik E yang menyebabkannya. Kecapatan elektron ini berperan dalam hambatan listrik. Untuk membedakannya dengan kecepatan rambang (akan dibahas kemudian), kecepatan lain dituliskannya dengan notasi V jadi : d

Emevd *τ

−=

selanjutnya, rapat arus listrik dapat didefinisikan sebagai J = (-ne)vd dengan n menyatakan konsentrasi elektron. Dengan mengganti vd seperti pada persamaaan (3.8a), diperoleh :

*

2

mneJ τ

=

Bandingkan persamaan ini dengan hukum Ohm pada persamaan (3.5.), dihasilkan ungkapan bagi konduktivitas listrik :

*

2

mne τσ =

persamaan terakhir menunjukkan hubungan antara besaran makroskopik ( )σ dan besaran mikroskopik bagi elektron ( )*m dan σ . Di pihak lain, apabila diambil keadaan relaksasi, yaitu apabila medan listrik dihilangkan (E=0), maka persamaan gerak elektron menjadi :

τvm

dtdvm ** −=

yang memberikan solusi :

( ) ( ) τt

dd evtv−

== 0

vd (0) menyatakan kecepatan akhir sesaat sebelum medan listrik dihilangkan. τ yang merupakan waktu relaksasi dapat dinyatakan sebagai berikut :

rvλτ =

λ adalah jarak antara dua tumbukan berurutan atau disebut juga lintasan bebas rata-rata elektron. Sedangkan vr menyatakan kecepatan rambang elektron, yaitu kecepatan elektron dalam gerakannya karena pengaruh termal (panas). Kecepatan rambang tidak berpengaruh dalam hantaran listrik. Denagn hubungan (3.14), maka ungkapan konduktivitas listrik (3.11) menjadi :

rvmne

*

2 λσ =

Beberapa nilai dari besaran-besaran bersangkutan diberikan pada tabel 3.1. Tabel 3.1 Besaran listrik dari beberapa logam Logam ( )11 −−Ω mσ ( )3−mn ( )detτ ( )Aλ ( )1−msvr 0

* / mm Na 1,07 x 107 4,6 x 1028 0,9 x 10-14 110 1,3 x 106 1,2 Cu 5,88 x 107 8,5 x 1028 2,79 x 10-14 420 1,6 x 106 1,0 Zn 1,69 x 107 13,1 x 1028 - - 1,82 x 106 0,85 Al 3,69 x 107 18,06 x 1028 - - 2,02 x 106 - 3.1.2. Resistivitas Listrik Dari persamaan (3.4) dan (3.11) dapat diperoleh rumusan bagi resistivitas listrik :

τσρ

2

*1nem

==

Tumbukan elektron dengan penghambur dalam kristal dapat dibedakan atas dua faktor, yaitu :

(i) Karena vibrasi kisi atau tumbukan dengan fonon (ii) Tumbukan dengan atom-atom takmurnian (impuritas).

Apabila tumbukan dengan fonon menghasilkan waktu relaksasi dan tumbukan dengan atom impuritas menghasilkan waktu relaksasi

fτ

iτ , maka dapat dituliskan :

if τττ111

==

Dengan demikian, resistivitas listrik pada persamaan di atas berubah menjadi :

if nem

nem

ττρ

2

*

2

*+=

yang selanjutnya dapat ditulis :

if ρρρ +=

Pada suhu rendah (T<<) tidak ada fonon, jadi 0→fρ

sehingga iρρ =

fρρ =

. Sebaliknya pada suhu tinggi (T>>) konsentrasi fonon meningkat, sehingga tumbukan dengan fonon menjadi dominan. Akibatnya dan dengan demikian . Jadi jelas bahwa resistivitas listrik tergantung pada suhu (T), terutama sebagai akibat tumbukan dengan fonon. Untuk menampung kebergantungan pada T ini, maka lebih tepat dituliskan sebagai berikut :

if ρρ >>

( ) )(TT fi ρρρ +=

fρ (T) dapat diturunkan berdasarkan teeori kinetik gas dan memiliki bentuk :

TMk

TD

f 2')(

θπη

ρ =

Dengan M massa atom dalam kristal, k’ tetapan gaya antar atom dan suhu Debye. Pesamaan (3.19) disebut hukum Matthiessen. Hukum ini menyimpang pada suhu rendah (mendekati T=0, dan penyimpangan ini disebut efek Kondo. Lihat gambar 3.3 dan 3.4.

Dθ

Gamba Gamba

r 3.3. Kurva ( )Tρ menurut Hukum Matthiessen dan efek Kondo.

r

3.4. Resistivitas listrik tembaga (Cu) dengan takmurnian Ni dalam beberapa konsentrasi.

3.2 ELEKTRON BEBAS KUANTUM Elektron sebagai partikel kuantum harus memenuhi :

(i) Prinsip eksklusi (larangan) Pauli, yaitu setiap keadaan elektron dengan energi tertentu hanya dapat ditempati oleh dua buah elektron dengan spin yang berlawanan. Lihat gambar 3.5a.

(ii) Probabilitas menempati suatu keadaan tertentu sesuai dengan statistik Fermi-Dirac. Lihat gambar 3.5b.

Gamba Pada su

Ef )(

Sedang

( )Ef

kB tetap

r 3.5 a. Keadaan elektron yang memenuhi prinsip eksklusi Pauli b. Fungsi distribusi Fermi-Dirac.

hu T=0oK, fungsi distribusi Fermi-dirac memiliki bentuk :

><

=f

f

EuntukEEuntukE

;0;1

3.21

kan pada suhu yang lebih tinggi (T>0) :

( ) 11/ −

=− TkEE BFe 3.22

an Boltmann dan EF adalah energi Fermi

Berkaitan dengan tenaga Fermi tersebut dapat didefinisikan kecepatan elektron pada tingkat Fermi (vF) sebagai berikut:

2*21

FF vmE = 3.23

(3.23.) Pada suhu T=0oK, kecepatan elektron :

Fvv ≤

Bila digambarkan dalam ruang kecepatan ( )zyx vvv ,, akan diperoleh permukaan Fermi yang berbentuk permukaan bola dan disebut bola Fermi, seperti pada gambar 3.6. Pada suhu 0ok tidak ada titik di luar bola, artinya bahwa kecepatan elektron maksimum adalah vF.

Gambar 3.6. a. Bola Fermi dalam “ruang” kecepatan pada kuadran I b. Proyeksi bola Fermi pada bidang vy-vz

Kecepatan elektron pada tingkat Fermi cukup besar. Untuk logam dengan energi Fermi sebesar 5 eV, kecepatannya :

16

21

31

11921

10101,9

.106,152*

2

−

−

−−

≈

=

=

mskgx

eVJxxxmE

V FF

Jika konsentrasi elektron dalam logam adalah n, maka energi Fermi logam yang bersangkutan :

( )32

22

3*2

nm

EF πη= 3.24

Konsep bola Fermi dapat digunakan untuk menjelaskan hantaran listrik dalam logam. Perhatikan kembali gambar dalam ruang kecepatan dalam gambar 3.6b. Gerakan elektron karena pengaruh termal (tanpa medan listrik) tidak menghantarkan arus listrik, karena :

0vi

i =∑ r 3.25

Setiap titik dalam bola Fermi, yang menggambarkan elektron dengan kecepatan tertentu selalu memiliki titik pada posisi berlawanan, yang melukiskan elektron dengan kecepatan yang sama tetapi berlawanan arah. Dan bila ini dijumlahkan (secara vector) untuk seluruh populasi elektron, seperti pada persamaan (3.25), akan memberikan nilai nol. Dengan kata lain secera efektif tidak ada aliran elektron, sehingga tidak ada hantaran (arus) listrik. Kini perhatikan gambar 3.7a., dengan adanya medan listrik E ke arah kanan, elektron memiliki kecepatan alir vd ke arah kiri dan ini berarti bola Fermi bergeser ke kiri sejauh vd. Pergeseran ini menghasilkan elektron konduksi yang diwakili oleh volume bola yang diarsir. Perhitungan jumlah elektron konduksi dapat dilakukn dengan

menggunakan gambar 3.7b.Jumlah elektron “sisanya” (yang tidak berkonduksi) dinyatakan oleh bagian volume bola yang tidak diarsir, dan bentuknya mendekati bangun “elipsoida”.

Gambar 3.7 a. Pegeseran ke kiri bola Fermi akibat medan listrik E ke

kanan menghasilkan elektron konduksi (bagian terrasir) b. Bagian bola Fermi “sisanya” yang mengandung elektron

tak berkonduksi berbentuk elipsoida (bagian tidak terarsir).

Setengah sumbu panjang elipsoida :

Fva ≈ 3.26 karena sedangkan setengah sumbu pendek : Fd vv <<

( dF vvb −= 221 ) 3.27

dan volume elipsoida :

234 abVelip π= 3.28

Selanjutnya, volume bagian bola yang berisi elektron konduksi (bagian terarsir) ialah selisih antara volume bola Fermi dan volume elipsoida :

( )

2312

34

2342

313

343

34

221

343

34

dFdF

dFdFFF

dFFF

vvvvvvvvvv

vvvv V

ππππππ

ππ

−=

+−−=

−−=∆

Perbandingan antara jumlah elektron konduksi dan jumlah elektron total :

F

d

F

d

F

d

F

dFdF

vv

v

vvv

V

vvvvVV

≈

−=

−=

∆

2

2

41

334

2312

34

π

ππ

Karena vd<<vF. Jumlah elektron yang menghantarkan arus apabila jumlah elektron bebas total n adalah :

nvv

nVVn

F

d

=

∆='

3.29

Rapat arus pada tingkat Fermi :

d

FF

d

F

env

vvv

en

envJ

−=

−=

−=

Gantikan vd seperti pada persamaan (3.8), akan diperoleh :

E*m

neJ F2τ

= 3.30

Fτ adalah waktu tumbukan elektron pada tingkat Fermi. Sedangkan

selanjutnya bila persamaan (3.30) dibandingkan dengan hukum Ohm (3.5) menghasilkan :

*

2

mne Fτσ = 3.31

dengan :

F

FF v

λτ =

3.32

Fλ adalah lintasan bebas elektron rata-rata pada tingkat Fermi. Tampak bahwa persamaan (3.31) adalah sama dengan persamaan (3.11) Ini berarti bahwa teori elektron bebas klasik dan teori elektron bebas kuantum dapat menerangkan gejala hantaran listrik pada logam.

3.3 RAPAT KEADAAN (DENSITY OF STATE) ELEKTRON Pada Bab II telah dipelajari jumlah keadaan fonon dalam selang frekuensi ( )ω atau bilangan gelombang (q) yang dinyatakan dengan rapat keadaan fonon g ( )ω atau g (q). Sementara ini, ω dan q berhubungan satu sama lain melalui hubungan dispersi ω (q). Ekuivalen dengan fonon, jumlah elektron dalam selang energi (E) atau bilangan gelombang (k) juga dinyatakan dengan rapat keadaan g(E) atau g (k). Besaran g dan k berhubungan satu sama lain melalui ungkapan energi kinetik :

22

*2k

mE η=

untuk kasus 3-dimensi ungkapan energi dapat ditulis :

( )2222

*2 zyx kkkm

E ++=η

dengan : nz

Lkny

Lknx

Lk zyx

πππ 2;2;2===

nx, ny, nz masing-masing bilangan kuantum dan L ukuran bahan logam yang ditinjau. Dalam ruang-k dapat dilukiskan permukaan Fermi seperti pada gambar 3.8.

Gambar 3.8 Permukaan Fermi dalam ruang –k Dari gambar 3.8 dapat ditentukan jumlah elektron yang mempunyai bilangan gelombang antara k dan k+dk adalah :

( )

dkk

Lxx

L

dkk

volume1 x SpintasMultiplisix

Satu selvol.bola Vol.Kulitdkkg

2

2

33

2 122

4

π

π

π

=

=

=

atau :

2

2)(

πkkg =

Untuk menentukan ( )Eρ , gunakan hubungan :

g(k)dk = g(E)dE

dan persamaan (3.33). Dari sini akan didapat hubungan :

( ) ( )dEdkkgEg =

Substitusikan persamaan (3.33) dan (3.35) ke dalam persamaan (3.37), yang memberi hasil :

( ) 21

23

22*2

21 EmEg

=

ηπ

yaitu rapat keadaan elektron sebagai fungsi dari energinya. 3.4. KAPASITAS DAN KONDUKTIVITAS PANAS Pada suhu yang lebih besar dari 0oK, bahan logam selain mengandung elektron juga terdapat fonon di dalamnya. Elektron dan fonon inilah yang berperan dalam menentukan nilai baik kapasitas panas maupun konduktivitas panas. 3.4.1. Kapasitas Panas Kapasitas panas logam dengan adanya elektron dan fonon dapat ditulis sebagai berikut :

Clogam= Cfonon + Celektron

Dengan menggunakan model elektron bebas klasik, energi rata-rata elektron pada suhu T, sebagaimana gas ideal adalah :

( ) RTTkNE BA 2

323 ==

Sehingga kapasitas panas elektron :

RTECelektron 2

3=

∂∂

=

Sementara itu, seperti pada Bab II, kapasitas panas fonon :

RC fonon 3=

Dari persamaan (3.39), (3.41) dan (3.42) jelas bahwa kapasitas panas logam :

RRRC am 21

23

log 43 =+=

Sementara menurut hasil eksperimen untuk semua zat padat diperoleh nilai kapasitas panas 3R. Jadi, model elektron bebas klasik tidak dapat menerangkan kapasitas panas logam. Di pihak lain, menurut model elektron bebas kuantum energi rata-rata elektron pada suhu T :

( )F

BA E

TkNE

2

=

Kapasitas panas elektron : kR

TECelektron 2=∂∂

=

Definisikan suhu Fermi :

B

FF k

ET =

Sehingga :

Felektron T

TRC 2=

Dari perhitungan yang lebih eksak dihasilkan :

F

Belektron E

TRkC

2

2π=

3.4.2. Konduktivitas Panas Pada sebuah batang logam, bila ujung-ujung batang mempunyai suhu yang berbeda, akan terjadi aliran panas dari ujung batang yang bersuhu lebih tinggi ke ujung yang lebih rendah. Dalam gambar 3.9, aliran energi panas persatuan waktu dan persatuan luas batang, Gambar

dinyatakan oleh

3.9. Aliran energi panas batang yang ada ujung-ujungnya terdapat perbedaan suhu. :

dxdTKQ −=

( dxdT )adalah gradien suhu, dan K menyatakan konduktivitas panas bahan logam. tanda

minus (-) diambil agar Q bernilai positif untuk K yang bernilai positif, oleh karena gradien suhu <O. Dalam bahan logam konduktivitas panas merupakan sumbangan oleh elektron dan fonon sehingga dapat dituliskan :

K = Kfonon + Kelektron

dengan : λvCK fonfonon 3

1=

dan :

FFF

B

FFelekelektron

vE

Tnk

vCK

λπ

λ

=

=

2

22

31

31

Karena umumnya : maka : ,10,0 elektronfonon KK ≈

*3

22

mTnk

KK FBelek

τπ=≈

Dari persamaan (3.31) dan (3.51) dapat diambil perbandingan antara konduktivitas panas dan konduktivitas listrik sebagai berikut :

Lk

TK B =

=

2

31

λπ

σ

L disebut bilangan Lorenz. Nilai L untuk beberapa logam ditunjukkan pada tabel3.2 . Tabel 3.2. Bilangan Lorenz (L) untuk beberapa logam Logam L ( )11... −−Ω Kskal Logam L ( )11... −−Ω Kskal Na 5,2 x 10-9 A1 4,7 x 10-9

Cu 5,4 x 10-9 Cd 6,3 x 10-9

Ag 5,6 x 10-9 Ni 3,7 x 10-9

Au 5,9 x 10-9 Fe 5,5 x 10-9

3.5 PITA ENERGI ZAT PADAT Lihat kembali ilustrasi pada pasal 3.1 tentang logam natrium (Na). Pada contoh tersebut diketahui bahwa elektron pada orbitan 3s merupakan elektron valensi. Pada atom Na yang bebas elektron valensi terikat di dalam atom. Tetapi bila atom-

atom Na membentuk ikatan logam, elektron valensi menjadi elektron bebas. Lihat ilustrasi pada gambar 3.10. Gambar 3.10 Potensial pada atom Na bebas, elektron valensi dalam keadaan

terikat (atas). Potensial pada kristal Na, elektron valensi menjadi bebas (bawah).

Dapat dibayangkan bahwa bila elektron bergerak disepanjang kristal yang potensialnya periodic, elektron tidak sepenuhnya bebas tetapi berinteraksi dengan medan kristal . Fungsi gelombang elektron untuk menggambarkan gerakannya dalam pengaruh medan kristal merupakan gabungan dari fungsi gabungan untuk elektron bebas dan fungsi yang periodic. Fungsi yang bersangkutan disebut fungsi Bloch dengan eikx adalah fungsi untuk elektron bebas sedangkan Uk(x) suatu fungsi uang periodic, lihat gambar 3.11.

Gambar 3.11. Fungsi Bloch

Apabila fungsi Bloch seperti pada persamaan (3.53) digunakan untuk menyelesaikan persamaan gerak elektron dalam potensial periodic :

( ) ( ) ( ) ( )xExxVdx

xdm

ψψψη

=+−2

22

*2

V(x) adalah potensial periodic seperti pada gambar 3.10 maka akan diperoleh solusi yang berupa energi E sebagai fungsi K seperti ditunjukkan pada gambar 3.12.

Gambar 3.12. Kurva E vs. K yang merupakan solusi persamaan (3.54);

membentuk struktur pita. Energi E sebagai fungsi K untuk elektron yang bergerak dalam medan kristal periodic, dalam gambar 3.12, menghasilkan selang energi yang terlarang (celah energi) dan selang yang diperbolehkan (pita energi). Keadaan energi elektron seperti ini disebut struktur pita zat padat. Sebagai akibat dari interaksi elektron dengan medan kristal, maka elektron mengalami perubahan massa karena pengaruh medan tersebut. massa elektron menjadi lebih besar atau lebih kecil dari massa diamnya. Massa yang demikian disebut massa efektif (m*) dan dirumuskan :

=

2

2

2*

dkEd

mη

dengan E adalah energi elektron sebagai fungsi bilangan gelombang k :E (k). Sebagai contoh untuk elektron bebas energinya :

( ) 22

2k

mkE

o

η=

dan turunan kedua terhadap K :

omdkEd 2

2

2 η=

sehingga massa efektifnya :

o

o

m

mdkEd

m =

=

=

2

2

2

2

2*

η

ηη

Massa efektif elektron bebas sama dengan massa diamnya.