CAMPO DI CARICHE PUNTIFORMI

FORMULARIO FISICA II :: CAMPI ELETTRICI

AN

DRE

A T

INO

→ Forza di Coulomb con cui una carica q è perturbata da un carica Q.

→ Campo elettrico generato da una carica.

q: carica esploratrice, r versore: da Q a q.

POTENZIALE DI CARICHE PUNTI-FORMI→ Energia potenziale e potenziale elettrico della forza di Coulomb e del campo.

Dove q è la carica esploratrice.

Il campo elettrico è conservativo.

LA LEGGE DI GAUSS→ Il flusso del campo elettrico generato da una carica complessiva Q attraverso una superficie chiusa.

La superficie è chiusa e racchiude la carica.

LEGGE DI MAXWELL I→ Dalla legge di Gauss si differenzia e si ottiene la relativa forma locale.

Dove rho è la densità volu-metrica di carica.

→ Dal potenziale elettrico ricaviamo:Nabla quadro è l’operatore laplaciano: somma le dericate sec-onde parziali.

CAMPI ELETTRICI DI DISTRIBUZIONI→ Distribuzione sferica superficiale:

Dove il versore è radiale da Q (carica che causa la forza) a q (carica che subisce).

Dove il versore è radiale partendo dal centro della sfera.

→ Distribuzione lineare indefinita:Dove lambda è la densità lineare di carica e il versore segna la distanza dall’asse al punto.

→ Distribuzione piana indefinita:Dove sigma è la densità su-perficiale di carica e il versore è perpendicolare al piano e diretto allontanandosi.

→ Doppia distribuzione piana indefinita:

Dove sigma è la densità super-ficiale di carica e il versore è perpendicolare ai piani e diretto da + a -.

Due piani indefiniti carichi uno + e uno -.

Il campo al di fuori della regione interna ai piani è nullo.

CONDUTTORI CON CARICA ELETTROSTATICA IN EQUILIBRIO→ In un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo all’interno e sulla superficie è nullo e la superficie è equipotenziale.

Riferendosi al conduttore (internamente) e alla sua superficie.→ In un conduttore in equilibrio elettro-statico il campo appena prossimo alla superficie è dato dalla legge di Coulomb:

Dove il versore è perpendicolare alla superficie nel punto considerato.

INDUZIONE ELETTROSTATICA E CAPACITÀ ELETTRICA

→ Dati due conduttori in equilibrio elettrostatico separati non connessi aventi sulla superficie delle facce interne

Quando un conduttore carico A di carica Q è avvicinato ad un altro conduttore scarico B, ho campo dentro B, ma essendo B un condut-tore deve essere che al suo interno il campo è nullo. Per fare questo B genera una sepa-razione della sua carica neutra iniziale tale da dare una distribuzione +Q e -Q volgendo quella di carica opposta -Q al conduttore A carico Q.Lo stesso meccanismo avviene fra conduttori carichi avvicinati, essi al fine di garantire che il campo al loro interno è nullo, ridistribuis-cono la carica preesistente ed eventualmente separano la carica neutra e generano una separazione superficiale (essendo condut-tori).

Essendo il campo all’interno nullo, la carica in un conduttore si deposita sulla superficie.

Rapporto tra la differenza di potenziale alle armature generata dalla separazione di cariche e la carica su una delle facce.

→ Capacità del condensatore sferico:R1: raggio sfera inter-na, R2: raggio minore corona esterna.

Se la corona si allontana all’infinito abbiamo il condensatore sferico isolato:

R: raggio sfera interna.

→ Capacità del condensatore cilindrico:

→ Distribuzione cilindrica indefinita:Superficie di un cilindro carica.

Sigma: densità superfi-ciale di carica, r: distanza dall’asse, R: raggio cilindro, il versore è perpendicolare all’asse del cilindro uscente.

un eccesso di carica +Q e -Q, definiamo la capacità del sistema dei due condut-tori:

Un cilindro ed un cilindro cavo coassiali.Essendo d la lunghe-zza dei cilindri, R1 il raggio interno ed R2 quello esterno.

→ Capacità del condensatore piano:Due piani definiti paralleli.

Essendo sigma l’area di una delle superfici ed l la distanza che le separa.

Le due superfici si approssimano come indefi-nite, ma ci sono degli effetti di bordo.→ Energia di un condensatore:L’energia immagazzinata da un condensa-tore è il lavoro che bisogna spendere al fine di trascinare una carica da una superfice all’altra del condensatore lavorando contro le forze del campo elettrico derivante dalla ddp.L’energia globale del sistema comprende l’energia immagazzinata dal condensatore sommata all’energia esterna. L’energia es-terna è il lavoro, da effettuare contro le forze del campo, che bisognerebbe spendere per trascinare una carica dall’infinito al conden-satore (o viceversa a seconda della direzione del campo, noi dobbiamo lavorare contro esso), in sostanza dobbiamo interfacciarci con il potenziale nullo che in genere si trova ad infinito (ma dipende sempre dal campo elettrico).Un condensatore in generale immagazzina:

Dove C è la capacità, Q la carica su una delle due superfici e delta la ddp.→ Effetti di dielettrico nei condensatori:Se fra i due conduttori in equilibrio elettro-statico si inserisce una sostanza che occupi tutto lo spazio presente o no (aeriforme, liq-uido o solido), la capacità del condensatore, la ddp ed il campo e la costante dielettrica variano.

Sperimentalmente si osserva che la tensione diminuisce con il dielettrico. Il rapporto tra la tensione a vuoto e quella con dielettrico definisce la costante dielettrica k relativa al dielettrico.

Nel condensatore variano le capacità e costante dielettrica rispetto a quelle a vuoto.

A variare sono anche campo e ddp.

L’effetto del dielettrico è quello di creare un campo inverso a quello nel condensatore. Se il dielettrico è circorscitto, solido ad esempio, allora sulla sua superficie, dal principio di equilibrio ed induzione, si crea una separaz-ione di cariche e dunque un campoo elettrico inverso e dunque una ddp del dielettrico.La separazione di carica Q e -Q del dielettrico è calcolabile e dipende da k, così come la den-sità superficiale di carica del dielettrico:

Essendo Q la carica e sigma la densità super-ficiale di carica. Con k si intende in presenza del dielettrico, con 0 senza dielettrico.

PARTICELLE CARICHE IN MOTO E CORRENTI ELETTRICHE→ Corrente elettrica:

Dato un conduttore e una sua sezione, la quantità di carica che attraversa la sezione nell’unità di tempo è la corrente elettrica.

→ Densità di corrente elettrica:Considerando un conduttore attraversato da corrente di particelle cariche definiamo la densità di corrente come una grandezza vettoriale. Si considera la sezione come una superfice aperta piana, attraverso di questa passano le particelle cariche con una deter-minata velocità.

Essendo n la densità dei portatori (numero di portatori al metro cubo), q la carica di cias-cun portatore (per Millikan essa è e quella dell’elettrone) e v la velocità di deriva con cui ogni particella procede attraversando la sezione considerata.NOTA: Se la corrente è di particelle positive allora la carica rimane quella dell’elettrone, se la corrente invece è di elettroni, come è in realtà, allora abbiamo -e come carica.Come conseguenza la corrente diventa il flusso della densità di corrente attraverso la superficie sigma (la sezione) il cui versore normale è orientato nel verso di j.

Il versore di sigma è ori-entato nel verso di j.

→ La legge di Ohm:Quando in un conduttore scorre una corrente si ricava dal modello di Drude la relazione puntuale di Ohm (ha validità puntuale).

Sigma: conducibilità.Rho: resistività.t*: tempo medio fra collisioni.m: massa elettrone.e: carica elettrone.

→ Tecnica per ricavare la legge di Ohm a validità continua (forma non chiusa):La legge di Ohm in forma locale non è usabile per situazioni reali, ma vale solo puntual-mente. Bisogna invece ricavare tale legge nel caso specifico del conduttore in esame arriv-ando ad una legge che leghi la ddp (al posto del campo elettrico) alla corrente elettrica (al posto della densità di corrente). Per fare questo basta seguire dei passaggi fissi.

1) Si parte dal lavoro del campo elettrico, con il campo, e lo si esprime come differenza di potenziale. Si ricava il campo in funzione della ddp.2) Si considera la densità di corrente e si sostituisce la 1). Si ricava una relazione tra la densità di corrente e la ddp.3) Si considera la corrente elettrica, si sosti-tuisce la 2) e si ottiene quanto voluto.I vari passaggi dipendono sempre dal caso.

→ Relazioni direzionali tra corrente, campo, densità di corrente e velocità.

Eji

vd

Eji

vd

A seconda che la corrente sia di protoni (par-ticelle cariche positivamente) o di elettroni (cariche negative) i tre vettori e lo pseudovet-tore corrente hanno orientazione differente. La regola di base è che densità e campo hanno sempre stessa direzione e verso, così come corrente e velocità di deriva.

Portatori carichi (+)

Portatori carichi (-)

→ Equazione di continuità corrente:La carica elettrica si con-serva. Se si crea in realtà è perchè da un neutrone deriva un elettrone ed un positrone.

→ Potenza elettrica:Per mantenere la corrente in circolo.

→ Forza elettromotrice:All’interno di un circuito, o un conduttore in generale, per poter mantenere corrente in circolo occorre che agisca un campo elettrico che acceleri le particelle, ma una volta che queste ritornano, la differenza di potenziale iniziale cala fino a zero, per mantenere la ddp e dunque una corrente determinata occorre che agisca un campo elettrico NON CONSERVATIVO (non elettrostatico) che riporti le particelle contro le forze del campo alla posizione di origine.

e =

1.60

22 x

10e

xp(-

19) C

ε 0 = 8

.854

2 x

10ex

p(-1

2) C

2 /Nm

2

1/4π

ε 0 = 8

.98

x 10

exp(

+9) N

m2 /C

2

me =

9.1

1 x

10ex

p(-3

1) k

gm

p = 1

.67

x 10

exp(

-27)

kg

mn =

1.6

7 x

10ex

p(-2

7) k

g

Dove E è il campo totale del circuito e l’integrale è una circuitazione.

Nel circuito ad agire è il campo elettrostatico mentre nel generatore c’è il campo elettro-statico ma anche quello non conservativo che si oppone ad esso. (dl nel verso del campo).

Il c. elettromotore si valuta caso per caso. COSTANTI

OPERAZIONI VETT.

MISCELLANEA

1 eV

= 1

.6 x

10e

xp(-

19) J

1 J =

6.2

5 x

10ex

p(18

) eV

Are

a co

rona

cir

cola

re:

Mot

o ci

rcol

are:

20

14

Q qF rrπε⋅

= $

20

14

F QE r F q Eq rπε

= = ⇒ = ⋅$

( )

( )0

0

141

4

Q qL F U Ur

QL E V Vr

U Vq

πε

πε

⋅= −∆ ⇒ =

= −∆ ⇒ =

∆= ∆

E V= −∇

$

0

QE ndεΣ

⋅ Σ =∫

0

E ρε

∇ ⋅ =

2

0

V ρε

∇ = −

20

14

QE rrπε

= $

0

12

E rr

λπε

= $

$

02E nσ

ε=

$

0

E nσε

=

[ ]0, 0RE =

0cond condV const V= ⇒ ∆ =

] ]$

,0

R R dRE nσε+ =

VCQ∆

=

1 20

2 1

4 R RCR R

πε ⋅= ⋅

−

2

1 20 0

2 1

lim 4 4R

R RC RR R

πε πε→+∞

⋅= ⋅ =

−

0

RE rr

σε

= ⋅ $

1 20

1

2 log RC dR

πε − = ⋅ ⋅

0Cl

ε Σ= ⋅

221 1 1

2 2 2Q Q V C VC

Γ = ⋅ = ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅∆

0

k

VkV

∆=∆

0k kε ε= ⋅ 0kC k C= ⋅

01

kE Ek

= ⋅ 01

kV Vk

∆ = ⋅∆

01

pkQ Q

k−

= ⋅

01

pk

kσ σ−

= ⋅

dQidt

=

d dj n q v n e v= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

$i j ndΣ

= ⋅ Σ∫

2 *1

e

j E E jn e t

m

σ ρ

ρ σ −

= ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ ⋅

= =

( ) ( )j f E i f V= ⇒ = ∆

( ) ( )

( )

$ ( )

1)

2)

3)

B

A

L E E dl V E f V

j E j f V

i j nd i f V

σ

Σ

= ⋅ = −∆ ⇒ = ∆

= ⋅ ⇒ = ∆

= ⋅ Σ⇒ = ∆

∫

∫

0jtρ∂

∇ + =∂

2 2P E jσ ρ= ⋅ = ⋅

CircE dlε = ⋅∫

Nullo essendo il campoelettrostatico conservativo

ES EM EMCirc Circ Circ Circ

E dl E dl E dl E dl↓

⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ ∫

xy

z

xy

z

ij

ka

ba

aa

bb

b∧

=

rr

r

$si

n

cos

ab

abn

ab

ab

θ θ

∧=

⋅

⋅=

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()

()

()

()

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() 2

2

ab

ba

ab

ba

kab

akb

ka

bka

ba

kbk

ab

ab

ca

cb

ca

bc

ac

bc

ab

ca

ba

ca

bc

ab

ac

aa

aa

⋅=

⋅

∧

=−

∧⋅=

⋅=

⋅

∧

=∧

=∧

+⋅=

⋅+

⋅

+

∧=

∧+

∧

⋅

+=

⋅+

⋅

∧

+=

∧+

∧

⋅

==

()

22

max

min

SR

Rπ

=−

2

c

d dt drv

rdt v

aRθ

ω

ω

=

=

=∧

=

FORMULARIO FISICA II :: CAMPI MAGNETICI ED ELETTROMAGNETISMO

AN

DRE

A T

INOCAMPO MAGNETICO SU CARICHE

Ogni qual volta una particella carica è in moto all’interno di un campo magnetico, essa subisce l’effetto della forza magnetica o forza di Lorentz:

→ Forza magnetica di Lorentz

La forza di Lorentz non compie lavoro visto che essa è perpendicolare allo spostamento. Allora la forza agisce come centripeta. A venire accelerata in centripeta però è solo la componente perpendicolare della velocità rispetto al campo magnetico. Se il campo magnetico è uniforme questo significa che i moti possibili sono due: circolare o elicoidale nella direzione del campo magnetico.

LEGGE DI MAXWELL IIIl campo magnetico ha la caratteristica di avere linee di campo chiuse, ergo il flusso at-traverso qualunque superficie chiusa è nullo.

La divergenza è nulla.

LEGGE DI LAPLACE IIQuando un conduttore di sezione costante è attraversato da una corrente ed esso è inserito all’interno di un campo magnetico, la forza di Lorentz che agisce sulle cariche in moto genera una forza globale sull’intero conduttore.

Dove dl è il tratto di conduttore orientato nel verso della corrente. A e B sono gli estremi sul conduttore su cui si vuole integrare (A -> B nel verso della corrente i).

MOMENTO MAGNETICO SPIREUna spira persorsa da corrente all’interno di un campo magnetico è soggetta alla II Laplace. Essa ruota fino a che non raggiunge l’equilibrio con il campo magnetico orientan-dosi in maniera appropriata con esso.Si definisce il momento magnetico della spira il vettore:

Sigma è l’area della spira, i la corrente e n è orientato nel verso del campo magnetico nel verso della rotazione per allinearsi con B.

Il momento della coppia di forze che in genere agisce sulla spira è:

Il momento in un certo senso è conservativo. Ricordare che gli angoli vettoriali sono diretti perpendicolarmente al piano.

CORRENTE NEI CONDUTTORI→ Legge di Laplace I e Ampere-LaplaceUn corpo sul quale scorre una corrente genera un campo magnetico proporzionale alla corrente.Laplace I ci dice qual’è il campo magnetico generato da un tratto dl di conduttore per-corso da corrente:

dl è orientato nel verso della corrente ed r è orientato dal dl al punto.

Integrando Laplace I troviamo la legge di Ampere-Laplace che ci dice qual’è il campo magnetico prodotto dal conduttore.

ATTENZIONE: Sperimentalmente si vede che un conduttore attraversato da corrente che genera un campo magnetico non è influen-zato dal campo da lui stesso generato.→ Legge di Biot-Savart: campo magneti-co generato da un filo in correnteUn filo conduttore definito di lunghezza l e raggio interno R su cui scorre una corrente i nel verso della velocità di deriva genera un campo magnetico.Allo stesso modo accade se il filo è indefinito.

Dove r è la distanza dal filo al punto perpen-dicolarmente all’asse centrale del filo.→ Campo magnetico generato da una carica elettrica in motoUna carica che si muove è una specie di corrente slegata da un conduttore che co-munque genera un campo magnetico:

Dove r è la dis-tanza dalla carica al punto.

→ Campo magnetico generato da una spira circolare in correnteSpire circolari attraversate da corrente gen-erano una linea di campo retta (entro certi limiti) in corrispondenza del proprio asse:

R è il raggio della spira partendo dal centro alla circonferenza. Mentre d è la distanza del punto sull’asse dal centro della spira. Vd è segna il verso della corrente. Il verso della linea di campo assiale è sempre lo stesso indipendentemente dal lato in cui si trova il punto rispetto alla superficie della spira.

→ Forza magnetica tra conduttori per-corsi da corrente.Due conduttori a sezione costante su cui passa corrente e posti vicini risentono dei rispettivi campi prodotti secondo Ampere-Laplace. Si attuano due forze:

Dove i dl sono orientati nei versi della corrente. Mentre i versori della distanza (r) vanno da un conduttore all’altro come indicato.Nel caso di fili indefiniti rettilinei separati da una distanza R:

I fili si attraggono se le correnti sono concordi mentre si respingono se le correnti sono discordi. Le forze sono unidirezionali lungo la perpendicolare ai fili (paralleli).

LEGGE DI AMPERE (STAZIONARIO)L’integrale lungo una spira amperiana del campo magnetico è uguale alla somma algebrica delle correnti concatenate alla spira moltiplicata per la costante di permeabilità.

In forma locale sempre nel caso stazionario:Essendo rotazionale -> Il campo magnetico NON E’ CONSERVATIVO.

CAMPI MAGNETICI RILEVANTI→ Solenoide rettilineo indefinitoIl suo campo all’esterno è nullo, mentre all’interno forma linee rette parallele all’asse del solenoide (n: numero di spire al mentro):

Per determinare il verso delle linee di campo basta prendere solo una spira e verificare il prodotto vettoriale indicato riferito appunto per una spira generica. (R va verso il centro)

→ Solenoide toroidaleUn solenoide toroidale con N spire genera linee di campo circolare concentriche al toro. La determinazione del verso delle linee segue la stessa logica del solenoide rettilineo.

n è la densità di spire.

R è il raggio del toro.

LEGGE DI LENZ-FARADAY-NEU-MANN-HENRY PER I MECCANISMI DI INDUZIONE ELETTROMAGNETICAIn un circuito elettrico (in un conduttore ca-pace di farsi attraversare da corrente) può es-sere indotta una fem da un campo magnetico

che permea lo spazio. Ogni qual volta è presente un circuito in un campo magnetico vi è la possibilità di una induzione.Quando il flusso del campo magnetico con-catenato al circuito (a una qualsiasi superficie contenente il circuito perchè sappiamo che il campo magnetico ha divergenza nulla e quindi il flusso non dipende dalla superficie aperta ma dal suo contorno) varia, abbiamo che nel circuito si sviluppa una femi.

Si sviluppa una fem che si oppone alla causa che l’ha generata in accordo a Lenz. Per stabilire il verso della femi bisogna notare che la corrente che si sviluppa, a meno che il circuito non è aperto, per Ampere-Laplace genera un campo magnetico che si opporrà al campo primario.→ Campo elettrico indottoLa LFNH ci dice che viene indotto un campo elettromotore (non conservativo). Per cui dalla legge iniziale basta esplicitare la femi:

AUTOINDUZIONEIn un circuito dentro cui scorre corrente si sviluppa per Ampere-Laplace un campo magnetico. Se il flusso di questo campo con-catenato allo stesso circuito varia allora ab-biamo il formarsi, sul circuito di una corrente indotta. L’autoflusso dipende da una costante relatiova alla struttura del circuito e dalla corrente che genera iil campo magnetico di cui il flusso:

NOTA: In realtà il calcolo dell’induttanza è semplice, basta calcolare il flusso di B con il circuito, B lo si dovrebbe conoscere, ed è proporzionale alla corrente. La corrente la si esce dall’integrale e quel che resta dovrebbe dipendere solo dalla geometria del circuito.

→ Solenoide rettilineo indefinitoEssendo indefinito definiamo l’induttanza per unità di lunghezza:

Sigma: area singola spira ed n è la densità spire (spire al metro).

→ Solenoide toroidale rettangolareIn un solenoide toroidale di raggio R (del toro) a sezione rettangolare (rettangolo

a è l’altezza e b la larghezza della sezione.

LEGGE DI MAXWELL III

Ottenuta differenzi-ando LFNH.

INDUZIONE MUTUA

Quando utilizziamo la LFNH e dobbiamo calcolare il flusso attraverso la superficie del circuito possiamo usare l’induttanza:

di dimensioni a x b) con N spire compatte, l’induttanza è:

Due circuiti accostati possono provocare una mutua induzione oltre che ad una auto induzione. Come per l’autoinduzione, i flussi mutuati, espandendo il campo, sono tali da determinare la corrente moltiplicata per un fattore costante che dipende solo dalle carat-teristiche geometriche del circuito.

Anche in questo caso abbiamo che la ddp applicata può essere calcolata dalla LFNH direttamente usando M.

→ Bobine solenoidali coassialiDue bobine solenoidali coassiali di densità spire n1 ed n2 dove la sezione della bobina interna è sigma hanno coefficiente di mutua pari a:

ENERGIA MAGNETICA→ Energia magnetica per un circuitoIn un circuito di induttanza L il lavoro per portare la corrente da un valore a un altro (in genere da 0 a i) è l’integrale della potenza:

→ Energia magn. per circuiti accoppiati

Se uno dei due ciurcuiti è aperto, su di esso non è possibile indurre e dunue lui non indurrà sull’altro, comparirà quindi solo il coefficiente di autoinduzione del circuito operativo (non aperto).

LEGGE DI AMPERE-MAXWELLSe non abbiamo stazionarietà vale Ampere-Maxwell (no Ampere) che mostra che le sorgenti di campo magnetico sono le correnti ma anche le variazioni di campo elettrico (flusso attraverso la sezione del conduttore):

LEGGE DI MAXWELL IVDifferenziando Ampere-Maxwell:

A. DIMENSIONALE

μ 0 = 8

.854

2 x

10ex

p(-1

2) C

2 /Nm

2

RL - RC

e dF qv B F ev B= ∧ ⇒ = ∧

$2

cvF qv B m a m nR⊥= ∧ = ⋅ = ⋅ ⋅

0B∇⋅ =

B

A

d F i dl B F i dl B= ⋅ ∧ ⇒ = ∧∫

$i nµ = ⋅Σ ⋅

$B i n Bτ µ= ∧ = Σ ∧

( )0

L d U

U B

θ

θ

τ τ θ

µ

= ⋅ = −∆

= − ⋅

∫

024

dl rd B ir

µπ

∧=

$

024 Cond

dl rB ir

µπ

∧= ∫

$

( )

( )

( )

( )

02 2

02 2 2

0

02

4 4def.

4 4

2indef.

4

d

d

d

d

i lB v r r Rr r li r lB v r r Rr R r l

iB v r r Rri rB v r r R

R

µπ

µπ

µπµπ

= ⋅ ∧ ≥ + = ⋅ ⋅ ∧ < +

= ∧ ≥ = ⋅ ∧ <

$ $

$ $

$ $

$ $

024

dq i v rBr

µπ

∧= ⋅

$ $

( )32

2 20 2

2d R

iRB d R vµ −= + ∧$ $

( )

( )

122 1012 1 2 2

211 2021 1 2 2

4

4

dl dl rF i i

r

dl dl rF i i

r

µπ

µπ

∧ ∧=

∧ ∧=

∫∫∫∫

$

$

0 012 1 2 2 21 1 2 12 2

F i i l F i i lR R

µ µπ π

= =

( )0 nnSpira

B dl iµ⋅ = ±∑∫0B jµ∇∧ =

0 sds RB nivµ= ∧$ $

0

2sds R

NB ivR

µπ

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( ) $

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::

:

1

i CircCirc

ii

Circ

B B ndt t

I B ndR R t

ε

ε

ΣΣ

Σ

∂ ∂ = − Φ = − ⋅ Σ ∂ ∂ ∂ = = − ⋅ Σ ∂

∫∫

$:

i iCirc Circ

E dl B ndt

εΣ

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∂∫ ∫

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:

02

:

4

Circ

CircCirc

B L i

dl rL ndr

µπ

Σ

Σ

Φ = ⋅ ∧ = ⋅ Σ

∫∫$

20L l nµ= Σ

20 log2N a R bL

bµ

π+ =

iBEt

∂∇∧ = −

∂

( ):i Circ B L i

t tε Σ

∂ ∂= − Φ = −

∂ ∂

( ) $

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1,2 1 2 1

2

2,1 2 1 2

1

B B nd M i

B B nd M i

Σ

Σ

Φ = ⋅ Σ = ⋅Φ = ⋅ Σ = ⋅

∫

∫

( )

( )

1 2,1 2

2 1,2 1

B M it t

B M it t

ε

ε

∂ ∂ = − Φ = − ∂ ∂ ∂ ∂ = − Φ = − ∂ ∂

0 1 2 1M n nµ= Σ

( )?

2

0 0 0

12

t i

LU Pdt d V i Li di Li= = ∆ ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫

2 21 1 2 2 1 2

1 12 2MU L i L i Mi i= + +

( )0 0n

nSpira

B dl i Et

µ ε Σ

∂ ⋅ = ± + Φ ∂ ∑∫

0 0 0EB jt

µ µ ε ∂∇∧ = +

∂

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-1-1

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RL

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se1

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1ex

p

RL

- Ope

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RL

tt

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it

RL

tt

RR

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τ

εε

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11

1

11

1

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- C

lose

1ex

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exp

RC

- O

pen

exp

exp

Vt

RC

tt

Vt

RC

tt

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