Colégio Juvenal de CarvalhoMatemática- Profa: Jacqueline

Operações com intervalosOperações com intervalos

1º) União de Intervalos: (a, b) 1º) União de Intervalos: (a, b) (c, d) = (c, d) = (a, d) (a, d)

a b

c d

a d

4 6 9 12

Exemplo: [4, 9] [6, 12] = [ 4, 12]

Por descrição: {x 4 x 12}

2º) Intersecção de Intervalos: 2º) Intersecção de Intervalos: (a, b) (a, b) (c, d) = (c, b) (c, d) = (c, b)

a b

c d

c b

4 6 9 12

Exemplo: [4, 9] [6, 12] = [ 6, 9 ]

Por notação: [ 6, 9 ]

3º) Diferença de Intervalos: 3º) Diferença de Intervalos: (a, b) (a, b) (c, d) = (a, c) (c, d) = (a, c)

a b

c d

a c

4 6 9 12

Exemplo: [4, 9] [6, 12] = [ 4, 6 ]

Funções Polinomiais do Funções Polinomiais do 1º Grau1º Grau

(Função Afim)(Função Afim)

Colégio Juvenal de CarvalhoMatemática- Profa: Jacqueline

DefiniçãoDefinição

Toda função polinomial da forma Toda função polinomial da forma

f(xf(x) = ax + b, ) = ax + b,

com com , é dita função do 1° grau. , é dita função do 1° grau.

Ex.: Ex.: f(x) = 3x – 2; a = 3 e b = - 2f(x) = 3x – 2; a = 3 e b = - 2

f(x) = - x + ½; a = -1 e b = ½f(x) = - x + ½; a = -1 e b = ½

f(x) = -2x; a = -2 e b = 0f(x) = -2x; a = -2 e b = 0

0a

Casos EspeciaisCasos Especiais

Função linearFunção linear b = 0, b = 0, f(x) = 3xf(x) = 3x Função IdentidadeFunção Identidade b = 0 e a = 1, b = 0 e a = 1,

ou seja, ou seja, f(x) = xf(x) = x Função constanteFunção constante a = 0, a = 0, f(x) = 3f(x) = 3

Exercícios resolvidosExercícios resolvidos1°) 1°) Dada a função Dada a função f(x) = ax + 2, f(x) = ax + 2,

determine o valor de a para que se determine o valor de a para que se tenha tenha f(4)=20.f(4)=20.

(4) .4 2, (4) 20,

4 2 20

4 18

18

49

2

f a como f então

a

a

a

a

2°) Dada a função 2°) Dada a função f(x) = ax + b, com a f(x) = ax + b, com a diferente de zero, sendo f(3) = 5 e diferente de zero, sendo f(3) = 5 e f(-2) = - 5, calcule f(1/2).f(-2) = - 5, calcule f(1/2).

f(3)=5:f(3)=5: a.3 + b =5a.3 + b =5 f(-2) = - 5:f(-2) = - 5: a.(-2) + b = -5 a.(-2) + b = -5

3 5

2 5

a b

a b

Existem dois métodos para resolver Existem dois métodos para resolver esse sistema: ADIÇÃO E SUBSTITUIÇÃOesse sistema: ADIÇÃO E SUBSTITUIÇÃO

1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação 1° ADIÇÃO: Multiplicar a primeira equação por (-1) e somar as equaçõespor (-1) e somar as equações

3 5

2 5

5 10

2

a b

a b

a

a

2 5

2.2 5

5 4

1

a b

b

b

b

2° SUBSTITUIÇÃO: Escolhe uma 2° SUBSTITUIÇÃO: Escolhe uma equação isolando uma letra e depois equação isolando uma letra e depois substitui essa letra isolada na equação substitui essa letra isolada na equação que sobrouque sobrou

3 5

2 5

3 5 2 5

5 3 2 (5 3 ) 5

5 5 5

5 3.2 2

1

a b

a b

a b a b

b a a a

a

b a

b

Logo, a função é Logo, a função é f(x)= 2x – 1.f(x)= 2x – 1.

Assim, Assim,

f(1/2)=2.(1/2) - 1 = 1 – 1f(1/2)=2.(1/2) - 1 = 1 – 1

f(1/2) = 0f(1/2) = 0

Há uma outra forma de resolver esse Há uma outra forma de resolver esse tipo de exercício que se conhece os tipo de exercício que se conhece os valores de uma função em dois valores de uma função em dois pontos distintos.pontos distintos.

Basta usar a fórmula:Basta usar a fórmula:2 1

1 22 1

1 2 2 11 2

2 1

,

,

y ya x x

x x

y x y xb x x

x x

Voltando a questão, quem seria esses Voltando a questão, quem seria esses valores?valores?

Temos que Temos que f(3) = 5 e f(-2) = - 5f(3) = 5 e f(-2) = - 5

Então,Então,1 1

2 2

3, 5

2, 5

x y

x y

Logo,

5 5 102

2 3 55.( 2) ( 5).3 10 15 5

12 3 5 5

a

b

GráficosGráficos

Toda gráfico de uma função do 1° Toda gráfico de uma função do 1° grau é uma grau é uma retareta..

Estudaremos como essa reta vai se Estudaremos como essa reta vai se comportar através de cada função.comportar através de cada função.

Como fazer um gráficoComo fazer um gráfico

1° método:1° método:

Para achar o gráfico de qualquer Para achar o gráfico de qualquer função, basta achar dois pontos função, basta achar dois pontos qualquer dela e passar uma reta qualquer dela e passar uma reta entre essas retas.entre essas retas.

Exemplo:Exemplo:

f(x) = x – 2f(x) = x – 2

XX YY

11 -1-1

33 11

2° método:2° método: 1° passo: iguale a função a zero. O 1° passo: iguale a função a zero. O

valor de x que você achar é que valor de x que você achar é que passará no eixo do x.passará no eixo do x.

2° passo: o valor de b é o ponto que 2° passo: o valor de b é o ponto que toca no eixo do y.toca no eixo do y.

x – 2 = 0x – 2 = 0 x = 2x = 2

b = - 2b = - 2

Gráfico de uma função definida Gráfico de uma função definida por mais de uma sentençapor mais de uma sentença

1, 1( )

2, 1

x se xf x

se x

XX YY

11 22

22 33

( ) 1, 1f x x se x

Crescimento de decrescimento Crescimento de decrescimento de uma funçãode uma função

Uma função será Uma função será crescentecrescente quando quando a>0a>0

Uma função será Uma função será decrescentedecrescente quando quando a<0a<0

f(x) = 2x+1f(x) = 2x+1 a = 2a = 2Função Função crescentecrescente

f(x) = -3x+2f(x) = -3x+2 a = -3a = -3Função decrescente Função decrescente

EXERCÍCIOS EXERCÍCIOS Igualdade entre pares ordenados:Igualdade entre pares ordenados:Dois pares ordenados são iguais quando Dois pares ordenados são iguais quando

seus elementos forem iguais.seus elementos forem iguais. Notação: (x, y) = ( a, b) Notação: (x, y) = ( a, b) x = a e y = b x = a e y = bSegundo essa afirmação, calcule as variáveis Segundo essa afirmação, calcule as variáveis

nas igualdades entre os pares dados:nas igualdades entre os pares dados:a)a) ( 2a + b, 5a – 3b) = (3, 2) ( 2a + b, 5a – 3b) = (3, 2) b)b) (a + 2b, 17) = (6, a + b) (a + 2b, 17) = (6, a + b) c)c) (a(a22 + a, 4b + a, 4b2 2 – 1 ) = ( 2, 7)– 1 ) = ( 2, 7)

Operações com intervalos:Operações com intervalos:

A = [-6, 0] , B = [-2, 4] e C = [-3, 2] A = [-6, 0] , B = [-2, 4] e C = [-3, 2]

Calcule e represente por descrição , Calcule e represente por descrição , notação e na reta real.notação e na reta real.

a)A a)A B = b) A B = b) A C = c) B C = c) B C = C =

d) C d) C A = A =