Embed Size (px)
Citation preview
Variable independiente.- a la variable x se la denomina variable independiente porquese le puede asignar cualquier valor en su dominio, no el valor que uno quiera ,así en la función
f : f ( x ) = 4 – x 2
a x se le puede asignar valores del intervalo cerrado de [– 2 , 2 ] pero no podemos asignar un valor de – 3 pues la imagen que se obtendría NO es un número real.
Variable dependiente.- se denomina variable dependiente a y porque su valor depende del valor asignado a x. Con frecuencia resulta imposible o poco práctico el enunciar todos los pares ordenados que constituyen una función en particular, en tales casos podemos establecer la correspondiente regla o ley de f entre los elementos del dominio y del recorrido por medio de ecuaciones o fórmulas que ligan a la variable dependiente con la variable independiente.Ejemplos:Sea la función ff : R → R : f ( x ) = x 2
f : R → R : y = x 2 ( forma una parábola )dominio de la función recorrido de la función
x y 0 0 1 12 4
-1 1-2 4
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función:
y = x 2
Si observamos bien al darle valor a x, el valor de y no es menor a 0, desde este pequeño análisis, ya podemos dar un rango al dominio y recorrido de la función y = x 2
Respuesta:Dominio de la función todos los números realesRecorrido de la función [ 0, ∞ [
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
4
3
2
1
x
y
x y 0 1 1 22 5
-1 2-2 5
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función:
f = { ( x , y ) / y = x 2 + 1 }
Razonando con respecto a la gráfica, es fácil deducir
el dominio y el recorrido:
DF = RRF = [ 1, ∞ [
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
5
4
3
2
1
y
x
Si trazamos una paralela al eje de las y, si se corta la gráfica en un solo punto es una función
•
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función:
R = { ( x , y ) / y 2 = x + 1 }
y 2 = x + 1 y = ± x + 1
x y 0 ± 1 1 ± 22 ± 33 ± 2
-1 0-2 - 1 número complejo
y
x
1
- 11 2 3 4-4 -3 -2 -1
2
- 2
•
•
Corta la gráfica en dos puntos no es una función.
y
x
1
- 11 2 3 4-4 -3 -2 -1
2
- 2
•
Restrinjo la ecuación (sólo respuestas positivas) para que sea una funciónDominio de la función: [ - 1 , ∞ [Recorrido de la función: [ 0 , ∞ [
f : [ - 1 , ∞ [ → [ 0 , ∞ [ : f ( x ) = + x + 1 }
Observación: como vemos en el dominio x no puede tomar como valor un número menor a – 1 por el motivo de que y nos daría un número complejo, irreal o imaginario
Sea G = { ( x, y ) / y 2 + x 2 = 4 }a) Determinar si G es una función.b) En caso negativo restringir la ecuación para convertirla en función.c) Representarla gráficamente.d) Hallar el dominio y recorrido de la función.
y 2 + x 2 = 4y 2 = 4 – x 2
y = ± 4 – x 2
x y 0 ± 21 ± 32 03 ± – 5 número complejo
-1 ± 3-2 0
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
y = + 4 – x 2
y = – 4 – x 2
•
•
a) y = ± 4 – x 2
NO es función.
b) Restrinjo la función utilizando sólo respuestas positivas.y = + 4 – x 2
c) Su gráfica es la siguiente.
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
y
x
2
1
-1
-2
•
d) Dominio de la función:[ - 2 , 2 ]Recorrido de la función:[ 0, 2 ]
f : [ -2, 2 ] → [ 0, 2 ] : f (x) = + 4 – x 2
• •
Hallar dominio de la función analíticamente y = + 4 – x 2
4 – x 2 ≥ 0 Recordando los casos de factorización tenemos una diferencia de cuadrados perfectos
Primer método(2 + x) (2 – x) ≥ 0 2 + x ≥ 0 ∩ 2 – x ≥ 0
x ≥ – 2 ∩ 2 ≥ xx ≥ – 2 ∩ x ≤ 2
- 2 0 2x
▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒▒
S 1 = [ - 2 , 2 ]
Segundo método(2 + x) (2 – x) ≥ 0 2 + x ≤ 0 ∩ 2 – x ≤ 0
x ≤ – 2 ∩ 2 ≤ xx ≤ – 2 ∩ x ≥ 2
- 2 0 2x
S 2 = 0
Dominio de la función: [ - 2 , 2 ]
Hallar dominio analíticamente y recorrido gráficamente:
f : f (x) = 1x 2 + 1
y =1
x 2 + 1
y (x 2 + 1) = 1y x 2 + y = 1
x 2 = 1 – y
y
x = 1 – y
y; y ≠ 0
x y 0 11 0,52 0,23 0,1
-1 0,5-2 0,2-3 0,1
- 1 1
1
x
y
- 2 - 3 2 3
•
•••• ••
±
Dominio de la función:Todos los números reales
1 – yy
≥ 0 ; y ≠ 01 – y
y • y 2 ≥ 0 (y 2 )
Primer caso:
(1 – y) ( y ) ≥ 0
1 – y ≥ 0 ∩ y > 0
1 ≥ y ∩ y > 0
y ≤ 1 ∩ y > 0
o
-1 0 1
S 1 = ] 0 , 1 ]
Segundo caso:
(1 – y) ( y ) ≥ 0
1 – y ≤ 0 ∩ y < 0
1 ≤ y ∩ y < 0
y ≥ 1 ∩ y < 0
o
– 1 0 1
S 2 = 0
Recorrido de la función
S T = S 1 + S 2 = ] 0 , 1 ]
(1 – y) ( y ) ≥ 0
f : f (x) =
x – 1 si x ≤ 1
3 x + 2 si x > 1
y = x – 1 si x ≤ 1 y = 3 x + 2 si x > 1
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
x y 1 00 -1
x y 1 5 NO incluye 2 8
Respuesta: dominio de la función todos los números reales DF = RRecorrido de la función RF = ] – ∞ , 0 ] ∪ ] 5 , ∞ [
87654321
1 2 3 4-1-2-3
x
y
o
•
•
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : y =
x si x < – 2
– √ 4 – x 2 si – 2 ≤ x ≤ 2
3 si x > 2
y = x si x < - 2 y = – √ 4 – x 2 si - 2 ≤ x ≤ 2 y = 3
x y - 2 -2 NO incluido - 3 -3
x y -2 00 22 0
3
2
1
-1
-2
-3
1 2 3-3 -2 -1•
o
•
o
•
Respuesta: dominio de la función todos los números reales DF = RRecorrido de la función RF = ] - ∞ , 0 ] ∪ { 3 }
Reemplazando:– √4 – (-2) 2
– √4 – 40
x
y
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
x 2 si x ≠ 2
7 si x = 2
y = x 2 si x ≠ 2 y = 7 si x = 2
x y 0 0 1 12 4 NO incluye3 9
-1 1-2 4-3 9
987654321
-3 -2 -1 1 2 3Respuesta: dominio de la función todos los números reales DF = RRecorrido de la función RF = [ 0, ∞ [
•
x
y
••
•
• •
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
– 4 si x < – 2– 1 si – 2 ≤ x ≤ 23 si 2 < x
4321
-1-2-3-4-5
-3 -2 -1 1 2 3x
y
o
o
Respuesta: dominio de la función todos los números reales DF = RRecorrido de la función RF = {– 4, – 1, 3 }
Si 2 < x , entonces x > 2
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
x 2 – 4 si x < 3
2 x – 1 si 3 ≤ x
Si 3 ≤ x , entonces x ≥ 3
x y
0 - 4 1 - 32 03 5 NO incluye
-1 - 3-2 0-3 5
y = x 2 – 4 si x < 3 y = 2 x – 1 si 3 ≤ x
x y
3 5 4 75 96 11
54321
-1-2-3-4-5
-3 -2 -1 1 2 3x
y
••
•
o
•
•
• •
•
•
Respuesta: dominio de la función todos los números reales DF = RRecorrido de la función RF = [ - 4, ∞ [
Hallar dominio y recorrido de la siguiente función combinada:
f : f (x) =
- x si x < 02 si 0 ≤ x < 2x - 2 si x ≥ 2
y = - x y = 2 y = x - 2
x y
0 0 NO incluye-1 1-2 2-3 3
x y
0 21 22 2 NO incluye
x y
2 03 14 2
321
-1-2-3
-3 -2 -1 1 2 3 4
••
o
•o
••
•
Respuesta: dominio de la función todos los números reales DF = RRecorrido de la función
RF = [ 0, ∞ [
x
y
Hallar dominio analíticamente y recorrido gráficamente:
f : f (x) =x 2 + x – 6
x + 5
f (x) = x 2 + x – 6x + 5
En donde x ≠ - 5
x 2 + x – 6x + 5
≥ 0y =
2
x 2 + x – 6x + 5
≥ ( 0 ) 2x 2 + x – 6
x + 5≥ 0
Analicemos si multiplicamosx + 5x + 5
= 1
a la fracción, no cambia en nada la ecuación, realizamos este proceso para poder pasarlo al numerador
x 2 + x – 6x + 5
≥ 0x + 5x + 5
x 2 + x – 6 es trinomio cuadrado perfecto( x + 3 )( x - 2 )
( x + 3 ) ( x – 2 ) ( x + 5)( x + 5) 2
≥ 0
( x + 3 ) ( x – 2 ) ( x + 5) ≥ 0 ( x + 5) 2
( x + 3 ) ( x – 2 ) ( x + 5) ≥ 0
( x + 3 ) ≥ 0x = – 3
( x – 2 ) ≥ 0x = 2
( x + 5 ) ≥ 0x = – 5
-5 - 4 -3 - 2 -1 0 1 2 3 4
(- 6 + 3) (- 6 - 2) (-6 + 5) ≥ 0(- 3) (- 8) (-1) ≥ 0-24 ≥ 0 F
F
(- 4 + 3) (- 4 - 2) (- 4 + 5) ≥ 0(-1) (-6) (1) ≥ 06 ≥ 0 V
V
(0 + 3) (0 - 2) (0 + 5) ≥ 0(3) (-2) (5) ≥ 0-30 ≥ 0 F
F
(3 + 3) (3 - 2) (3 + 5) ≥ 0(6) (1) (8) ≥ 048 ≥ 0 V
V
321
-1-2-3
- 6 - 5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6x
y
o
Respuesta: dominio de la función DF = ] – 5 , -3 ] ∪ [ 2 , ∞ [
Recorrido de la función
RF = [ 0, ∞ [
x y
0 Número complejo1 Número complejo2 03 0,86604 1,24729 2,4494
- 1 Número complejo- 2 Número complejo- 3 0- 4 2,4494- 5 NO incluido
x 2 + x – 6x + 5
Estamos confundidos, pues nonos preocupemos, demosvalores a x para comprobar larespuesta, teniendo en cuentaque sólo tomaremos lasrespuestas positivas de la raíz,recordemos que 4 tienedos respuestas +2 y – 2(2*2 = 4) ; (– 2)*(– 2) = 4
– 6 5
(0) 2 + (0) – 6(0) + 5
=
(1) 2 + (1) – 6(1) + 5
=– 4 6
(2) 2 + (2) – 6(2) + 5
=07
= 0
(3) 2 + (3) – 6(3) + 5
=68
= 0,8660
(4) 2 + (4) – 6(4) + 5
=149
= 1,2472
(9) 2 + (9) – 6(9) + 5
=8414
= 2,4494
(–1) 2 + (–1) – 6(–1) + 5
=– 64
(–2) 2 + (–2) – 6(–2) + 5
=– 43
(–3) 2 + (–3) – 6(–3) + 5
=02
= 0
(–4) 2 + (–4) – 6(–4) + 5
=61
= 2,4494
Hallar dominio y recorrido de la función:
f : { ( x, y ) / y = ( 3 x + 2) / (x + 1 ) }
3 x + 2x + 1
y =
x ≠ – 1
Con una simple inspección observamos que – 1 no puede formar parte del dominio de la función.Ahora para saber el recorrido
3 x + 2x + 1
y = Despejaremos x para encontrar el recorrido de la función:
y ( x + 1) = 3 x + 2x y + y = 3 x + 2
x y – 3 x = 2 – y x ( y – 3 ) = 2 – y
x =2 – y y – 3
En donde y es diferente de 3
x y
0 21 2,52 2,663 2,759 2,9
- 0,5 1- 0,9 - 7 -1 NO incluido-1,5 5-2 4-3 3,5-9 3,125
3 x + 2x + 1
3 (0) + 20 + 1
= 2
3 (1) + 21 + 1
= 2,5
3 (2) + 22 + 1
= 2,66
3 (3) + 23 + 1
= 2,75
3 (9) + 29 + 1
= 2,9
3 (- 0,5) + 2(- 0,5) + 1
- 1,5 + 20,5
= = 1
3 (- 1,5) + 2(- 1,5) + 1
- 4,5 + 2- 0,5
= = 5
3 (- 2) + 2(- 2) + 1
- 6 + 2- 1
= = 4
3 (- 3) + 2(- 3) + 1
- 9 + 2- 2
= = 3,5
3 (- 9) + 2(- 9) + 1
- 27 + 2- 8
= = 3,125
3 (- 0,9) + 2(- 0,9) + 1
- 2,7 + 20,1
= = - 7
Otorgando valores a x podemoscomprobar que nuestro razonamientoanalítico estaba en lo correcto, elrecorrido de y nunca llega a 3
Respuesta:Dominio de la función todos los números reales excepto el { - 1 }Recorrido de la función todos los números reales excepto el { 3 }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
987654321
-1-2-3-4-5-6-7-8-9
Hallar dominio y recorrido de la función
☻
f : f (x) =x 3 – 2 x 2
x – 2
x ≠ 2 Dominio de la función todos los números reales excepto el 2
x 2 ( x – 2 ) x – 2
y =
y = x 2
x y 0 01 12 4 NO incluye3 9
-1 1-2 4-3 9 x
y
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 ☻☻
○☻
Recorrido de la función [ 0 , ∞ [
Observación: como x no puede tomar el valor de 2 porque sería una división para 0, entonces el valor que toma y que es 4 no incluiría, pero cuando x toma el valor de – 2 otra vez y tomael valor de 4.
Hallar dominio y recorrido de la función analíticamente:
f : f (x) =x 2 – 9x – 3
x ≠ 3 Dominio de la función todos los números reales excepto el 3
( x + 3 ) ( x – 3 ) ( x – 3 )
y =
y = x + 3 ^ x ≠ 3
x y 0 31 42 53 6 NO incluye
-1 2-2 1-3 0 x
y
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
6
5
4
3
2
1
Recorrido de la función todos los números reales excepto el 6
Hallar dominio y recorrido de la función aplicando fórmula cuadrática:
– b ± b 2 – 4 a c2 a
4y 2 – 4 y + 4
g (y) =
– (– 4) ± (– 4) 2 – 4 (1) (4)2 (1)
y =
4 ± 16 – 162
y =
42
y =
y = 2
En donde el dominio de la función son todos los números reales excepto el 2 (ya que daría como denominador el 0).Para encontrar el recorrido basta realizar el gráfico.Una división para 0 es una indeterminación.
y g (y)
0 11 42 NO implica3 44 19 0,081
- 1 0,444- 2 0,25- 3 0,16- 4 0,111
4(0) 2 – 4 (0) + 4
g (y) = = 1
4(1) 2 – 4 (1) + 4
g (y) = = 4
4(3) 2 – 4 (3) + 4
g (y) = = 4
4(4) 2 – 4 (4) + 4
g (y) = = 1
4(9) 2 – 4 (9) + 4
g (y) = = 0,081
4(–1) 2 – 4 (–1) + 4
g (y) = = 0,444
4(–2) 2 – 4 (–2) + 4
g (y) = = 0,25
4(–3) 2 – 4 (–3) + 4
g (y) = = 0,16
4(–4) 2 – 4 (–4) + 4
g (y) = = 0,111
y– y
g (y)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Respuesta:Dominio de la función todos los números reales excepto el { 2 }Recorrido de la función:] 0 , ∞ [
H : y = x ( x – 2 )
Encontrar dominio y recorrido de la siguiente función:
x ( x – 2 ) ≥ ( 0 ) 22
x ( x – 2 ) ≥ 0
x ≥ 0x = 0
x – 2 ≥ 0x – 2 = 0x = 2
x– x
0 1 2 3- 3 - 2 - 1
(–1) ( –1 – 2 ) ≥ 0 3 ≥ 0 V
1 ( 1– 2 ) ≥ 0 – 1 ≥ 0 F
3 ( 3 – 2 ) ≥ 0 3 ≥ 0 V
V VF
y
Dominio de la función: ] – ∞, 0 ] ∪ [ 2 , ∞ [Recorrido de la función: [ 0 , ∞ [
Dando valores a x de: -1, 1, 3
