Función Logarítmica• Sea a un número positivo con. La función logarítmica con

base a, denotada por, se define

Así, es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x.

xayx ya log

Cuando la base utilizada en una función

logarítmica es la base 10, llamamos a la función la

• Función de logarítmo común.

log x = log10 x, para x > 0

Si la base es e, llamamos a dicha función la

• Funcion de logarítmo natural.

ln x = loge x, para x >0

Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica

xa y

Exponencial: Logarítmica:

yxa log

Base

Exponente

Base

Exponente

En ambas formas la base es la misma.

Comparación

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0y = 10^xy = Log(x)y = x

Gráficas de Funciones Logarítmicas

• Si b > 1

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0y = (1/10)^xy = xreflect{y = (1/10)^x} in y=x

• Si 0 < b < 1

Forma Logarítmica Forma Exponencial

5100000log10

38log2

32

1log2

rs 5log

100000105

823

8132

sr 5

Comparaciones de Función Exponencial y Logarítmica

xxf 2log)(

Traza la gráfica de

Solución:

xxf 2log)(

x

3

2

1

0

-1

-2

-3

x2log32

2212

120 12

22

32

Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos.

Ejemplo de Gráfica de Función Logarítmica

x

1/8 3

1/4 2

1/2 1

1 0

2 −1

4 −2

8 −3

Observe la gráfica de cada función.

xxga 2log)() Solución: Se comienza con la gráfica de y se

refleja en el eje de x para obtener la gráfica .

xxf 2log)(

xxg 2log)(

xxf 2log)(

xxg 2log)( xLa -y2 :es grafica

Reflexión de Gráficas de Funciones Logarítmicas

Observe la gráfica de cada función.

)(log)() 2 xxgb Solución: Se comienza con la gráfica de y se

refleja en el eje de x para obtener la gráfica .

xxf 2log)(

)(log)( 2 xxg

xxf 2log)( xxxgy

2

1)(log)( 2

Reflexión de Gráficas de Funciones Logarítmicas

xy 2log

xy 3log

xy 10logxy 5log

Familia de Funciones Logarítmicas

Dominio: 

Recorrido o Rango: 

Es continua.

Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a>1.

Decreciente si a<1.

Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí.

Dominio y Rango

Logarítmos con base 10

Definición:

Logarítmo común

El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base:

xx 10loglog

Logaritmos Comunes

El logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota por ln:

xx elogln

La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la

función exponencial, :xey xeyx y ln

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5 5 6

xy ln

6 5 4 3 2 1

xey

xy

Logaritmo Natural

Propiedad Razón

Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.

Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.

Se debe elevar a a la potencia x para obtener .

es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x.

xa

xalog

01log a

1log aa

xa xa log

xa xa log

Propiedad de Logaritmos

125

85log

15log

01log

12log

85

5

5

5

Propiedad 1

Propiedad 2

Propiedad 3

Propiedad 4

Ejemplos de Aplicación de Propiedades

EJEMPLOS DE APLICACIONES:

• Escalas de intensidad sísmica• La intensidad sonora • Astronomía• Cálculo del Volumen