FUNCIONES TRASCENDENTES

DANIEL ALEJANDRO ACERO ALMANZACALCULO DIFERENCIAL

UNISANGIL 2017

TABLA DE CONTENIDO

• FUNCIONES TRASCENDENTES • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS• FUNCIONES INVERSAS• FUNCIONES EXPONENCIALES• FUNCIÓN LOGARÍTMICA

FUNCIONES TRASCENDENTES

UNA FUNCIÓN TRASCENDENTE ES UNA FUNCIÓN QUE NO SATISFACE UNA ECUACIÓN POLINÓMICA CUYOS COEFICIENTES SEAN A SU VEZ POLINOMIOS; ESTO CONTRASTA CON LASFUNCIONES ALGEBRAICAS, LAS CUALES SATISFACEN DICHA ECUACIÓN.POR EJEMPLO:Y=e^x+sen xY=3^2

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

• UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA F ES AQUELLA QUE ESTÁ ASOCIADA A UNA RAZÓN TRIGONOMÉTRICA. ÉSTAS EXTIENDEN SU DOMINIO A LOS NÚMEROS REALES. LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO Α SON LAS OBTENIDAS ENTRE LOS TRES LADOS DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO. ES DECIR, LAS COMPARACIONES POR SU COCIENTE DE SUS TRES COSTADOS A, B Y C.

• EXISTEN SEIS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS QUE SON :• SENO, COSENO, TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE, COSECANTE

SENOEl seno de un angulo se define como la razón entre el cateto opuesto “a” y la hipotenusa “c”.Su abreviatura es “sen” o “sin”

Dominio: Todos los realesCodominio: [-1, 1]Dirivada [sen x]^1= cos xIntegral:

La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

COSENOEl coseno del angulo se define como la razón entre el cateto adyacente “b” y la hiputenusa “c”. Su abreviatura es cos

Dominio: todos los números realesCodominio: [-1,1]Derivada:[cos x]^1=sen xIntegral:

La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes)

TANGENTE

La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).La función tangente es periódica de periodo 180°(π radianes )- Dominio: R- Codominio: R- Derivada de la función

tangente[tan x]^1 = sec^2x= 1+tan^2

- Integral de la función

COSECANTELa cosecante es la razón trigonométrica inversa del seno, es decir csc α · sen α=1.La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes).- Dominio: R- Codominio: [-inf,-1]u[1+inf]- Derivada de la función

[csc x]^1 = -csc x cot x- Integral de la función

SECANTELa secante es la razón trigonométrica inversa del coseno, es decir sec α · cos α=1.La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes).- Dominio : R- Codominio: -inf,-1]u[1+inf]- Derivada de la función:

[sec x]^1 = sec x tan x- Integral de la función

COTANGENTELa cotangente es la razón trigonométrica inversa de la tangente, por lo tanto tan α · cot α=1.La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).

La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes).- Dominio: R- Codominio: R- Derivada de la función: [cot]^1=-csc^2 x = -1-

cot^2 x - Integral de la función

FUNCIONES INVERSAS

• Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial.

es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.

PROPIEDADES• La primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función

compuesta. si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición:

• Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial• La composición de una función y su inversa nos da la función identidad• La función inversa no siempre existe.• Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es

derivable también lo será la función inicial• Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

GRAFICA DE UNA FUNCION INVERSA

• La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:

PASOS PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA

• Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos:1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. recordad que y=f(x).2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x.3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

• Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente   x   en el exponente, es decir, son de la forma:

CARACTERÍSTICAS GENERALES• El dominio de una función exponencial es r.• Au recorrido es   (0, +∞) .• Son funciones continuas.• Como   a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1)

la función corta el eje y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje x.• Como   a1 = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a).• Si   a > 1   la función es creciente.

Si   0 < a < 1   la función es decreciente• Son siempre cóncavas.• El eje x es una asíntota horizontal si a > 1 :

al elevar un número mayor que  1  a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto : cuando  x → - ∞ , entonces  a x → 0

• Si 0 < a < 1 :ocurre lo contrario que en el caso anterior cuando  x → + ∞ , encortes  a x → 0

TABLA DE VALORES

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

• Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que: loga x = b û ab = x.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. así, se tiene que:• La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. por tanto,

su dominio es el intervalo (0,+¥).• Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a

cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es r.

• En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.• La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.• Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para

a < 1.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

la resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:loga f (x) = loga g (x)

entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.también puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:loga f (x) = m

de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver de la forma habitual.

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. en el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:• Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.• Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.• Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

GRAFICA DE ECUACIÓN LOGARÍTMICA