Tim penyusun:Abdi afifuddin zuhri (01)

Achmad suharyanto (02)

Aisyah amanda (04)

Freygieon ogiek rizal sukma (13)

RELASIRELASI1. Pengertian Relasi1. Pengertian Relasi Relasi ( hubungan ) dari himpunan A Relasi ( hubungan ) dari himpunan A

ke B adalah pemasangan anggota-ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota anggota A dengan anggota-anggota B.B.

Relasi dalam matematika misalnya : Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya .dari , faktor dari , dan sebagainya .

Contoh :Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2,

3 } . Jika3 } . Jika himpunan A ke himpunan B himpunan A ke himpunan B

dinyatakan relasi “ kurang dari “ , dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di ditunjukkan pada gambar di SAMPINGSAMPING : :

2

1 .2 .3 .4 .

.1 .2 .3

BAKurang dari

3

2. Menyatakan Relasi

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu :

Diagram Panah

Diagram Cartesius

Himpunan pasangan berurutan a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga .

. Voli

. Basket

. Bulutangkis

. Sepakbola

Anto .

Andi .

Budi .

Badri .

BA Suka akan

b. Diagram Cartesiusb. Diagram CartesiusContoh :Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } danDiketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan

B = { 1, 2, 3, …, 10 }.B = { 1, 2, 3, …, 10 }.

Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B denganGambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan

hubungan : hubungan :

aa. Akar kuadrat dari. Akar kuadrat dari

jawabjawab

4

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

23456789

10

Him

puna

n B

Himpunan A

CC. Himpunan pasangan berurutan. Himpunan pasangan berurutan

5

Contoh :

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan

B = { 1, 2, 3, … , 10 } .

Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :

a. kuadrat dari

b. dua kali dari

c. Satu kurangnya dari

JAWAB:JAWAB:a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }

b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6),(14,7),(16,8), (18,9),b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6),(14,7),(16,8), (18,9),(20,10) }(20,10) }

c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7),(7,8), (8,9), (9,10) }c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7),(7,8), (8,9), (9,10) }

FUNGSI

A.Pengertian

Pemetaan atau Fungsi adalah suatu relasi tertentu antara himpunan A dan B,memenuhi syarat bahwa setiap (semua) anggota himpunan A dipasangkan tepat satu himpunan B tidak hanya relasi merupakan sebuah Fungsi,Hanya Relasi tertentu yang memenuhi persyaratan tersebut.

Contoh : Contoh :

Perhatikan diagram panah dibawah ini :Perhatikan diagram panah dibawah ini :

7

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

Contoh:

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangmempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangtidak mempunyai kawan.

A B

SSuatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara uatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu yaitu dengan dengan diagram panahdiagram panahdiagram cartesiusdiagram cartesiushimpunan pasangan berurutan .himpunan pasangan berurutan .

9

Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan

pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 ,

i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan .

10

Jawab :

a . Diagram panah

. 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

BA

1

a i u e o0

23456789

10

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

B.Diagram cartesius

C.Himpunan Pasangan Berurutan

Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari

himpunan A ke B adalah ba dan

himpunan B ke A adalah ab

02/24/14 11

3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan

Contoh :Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {c,d,e,f} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1,2,3} dan D = { a , b ,c }

f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < x << 6, x 6, x ∈ A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !

12

4. Merumuskan suatu fungsi

a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13

13

Jawab :

14

3 . Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain

{ -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f .

. 1 . 2 . 3 . 4 . 5

-2 .-1 . 0 . 1 . 2 .

x+3x

b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) }

c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )

a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5

C. Menghitung Nilai FungsiC. Menghitung Nilai Fungsi

Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : rumus :

f (x) = ax + bf (x) = ax + b

Contoh :Contoh :

1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5x -3 5x -3

Tentukan :Tentukan :

a. Rumus funsi .a. Rumus funsi .

b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .

15

Jawab :Jawab :

a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3

b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3

untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17

x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8

Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 danJadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan

x = -1 adalah -8x = -1 adalah -8

16

17

2. Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5

jawab a. g (x) = -4x + 3 g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3 = 8 + 3 = 11b. g (a) = - 4a + 3 - 4a + 3 = - 5 - 4a = - 5 – 3 - 4a = - 8 a = 2

D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSID. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI

Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika

data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linierdata fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier

dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .

Contoh :Contoh :

Suatu fungsi ditentukan dengan rumusSuatu fungsi ditentukan dengan rumus

f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 . f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .

Tentukan :Tentukan :

a. Nilai a dan ba. Nilai a dan b

b. Bentuk fungsinya b. Bentuk fungsinya

c. Bayangan dari – 3 c. Bayangan dari – 3 18

Jawab :Jawab :

a. f (x) = ax + ba. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10 f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10 f (-4) = -4a + b = -8 f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 - -4a + b = -8 - 6a = 186a = 18 a = 3a = 3 untuk a = 3 untuk a = 3 2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b = 4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4

19

b. f (x) = ax + b b. f (x) = ax + b

f (x) = 3x + 4f (x) = 3x + 4

Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4

c. Bayangan dari – 3c. Bayangan dari – 3

f (x) = 3x + 4f (x) = 3x + 4

f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4

= - 9 + 4= - 9 + 4

= - 5 = - 5

Uji Kompetensi 5

1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 11 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1

a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) !a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) !

b. Tulislah daerah hasilnya !b. Tulislah daerah hasilnya !

c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a !c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a !

2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x22 – 4 – 4 a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) !a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) !

b. Tentukan p bila h (p) = 0 ! b. Tentukan p bila h (p) = 0 !

20

E. Menggambar Grafik FungsiE. Menggambar Grafik Fungsi

Untuk menggambar grafik fungsi ada cara Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya .mendaftar semua daerah asalnya .

1. Grafik Fungsi Linier1. Grafik Fungsi Linier

Contoh :Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1

dengan domain {x/0 x 5 , x dengan domain {x/0 x 5 , x ∈ C} C}≤≤

21

Jawab :Jawab :

f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 }

22

{x,f(x)}

x+1

x

(2,3)

0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

(0,1) (1,2) (3,4) (4,5) (5,6)

23

Grafiknya : Grafiknya :

f (x) = x + 1 , x f (x) = x + 1 , x ∈ c (0,1,2,3,4,5)c (0,1,2,3,4,5){(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}

1

1 2 3 4 50

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x +

1

x

KURANG LEBIHNYA MOHON MAAF