1. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Prof. Marcelo
Gitirana
2. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Sumrio Interseo de
planos Interseo de retas e planos Ponto comum a trs planos
Perpendicularismo de retas e planos () () (B) (A) (I) (C) (D)
3. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos
Definies () () () (T) () (T1) (H) (V) Dois planos (quando no
paralelos) se interceptam ao longo de uma reta. Esta reta pode ser
determinada conhecendo-se dois pontos comuns aos dois planos: (V) e
(H), por exemplo. Dividimos o estudo das intersees de planos em trs
grupos. 1. grupo: ambos os planos dados por seus traos 2. grupo:
apenas um plano dado pelos traos. 3. grupo: os planos no so dados
pelos traos.
4. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos 2
plns quaisquer q. se intec. 1.d () () () (T) TT () (T1) T1T1 (H)
(V) V V H H Soluo geral para o 1. grupo.
5. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos 2
plns quaisq. q. se intec. 1.d () () TT T1T1 () (T1) () (T) V V H H
Porm, nem sempre os traos dos planos se interceptam nas mesmas
regies onde se situam.
6. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos 2
planos quaisquer com // () () TT () (T) () (T1) T1T1 (r) (V) r V V
r Se acontecer que os planos tenham traos de mesmo nome paralelos,
tambm a soluo imediata.
7. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos
Int. planos verticais e de topo TT T1T1 TT T1T1 O mesmo vale para 2
planos de topo. Qd. os 2 planos forem verticais, a interseo tb ser
uma reta vertical. r rH H r r'V V
8. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos
Int. planos de topo e horizontal () () () () r r'V V(r) (V) Qd. um
dos planos possuir um s trao, a interseo (um ponto ou uma reta)
cair sobre o mesmo).
9. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () () Interseo de
planos Int. planos qualquer e frontal () T TT (r) (H) r' r H H Qd.
um dos planos for qualquer e o outro frontal, a interseo ser uma
reta frontal com (H) na concorrncia dos traos horizontais e a proj.
vertical da reta ser paralela ao trao vertical do pl.
qualquer.
10. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () () Interseo de
planos Int. planos horizontal e frontal A interseo de 2 planos
dever ser uma reta que pode estar contida nos dois planos. () (r)
r' r Plano horizontal R. horizontal R. fronto-horizontal R. de topo
Plano frontal R. frontal R. fronto-horizontal R. vertical
11. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () Interseo de
planos Int. planos qualquer e // LT () TT () T (r) (H) (V) r' V H H
r V Pl. qualquer R. Qualquer R. Horizontal R. Frontal R. Reta de
perfil Pl. // LT R. Qualquer R. Fronto-horizontal R. Reta de
perfil
12. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () Interseo de
planos Int. planos qualquer e // LT () TT () T (r) (H) (V) r' V V r
H H Pl. qualquer R. Qualquer R. Horizontal R. Frontal R. Reta de
perfil Pl. // LT R. Qualquer R. Fronto-horizontal R. Reta de
perfil
13. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo de planos
Exerccios Exerccios: 99, 101, 104, 105, 107, 116 e 120.
14. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo retas e
planos Introduo () () (B) (A) (I) (C) (D) Soluo geomtrica: para se
determinar a interseo de uma reta (A)(B) com um plano (), faz-se
passar pela reta um plano (). Esse plano intercepta o plano segundo
a reta (C)(D) e as (A)(B) e (C)(D) se interceptam em (I) que
chamado ento trao da reta (A)(B) sobre o plano ().
15. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) () () Interseo retas
e planos Soluo geomtrica () () r I I (r) (I) (H) (V) V V H H
16. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Interseo retas e
planos Exerccios Exerccios: 124, 125, 129 e 135.
17. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Ponto comum a 3
planos Regra geral () () () () () 3 planos, qd se interceptam, tm
geralmente um ponto em comum. Desde que nenhum deles passe pela
interseo dos 2 outros, nem seja // mesma. Formas de determinar: 1)
Procuram-se as intersees de 1 dos 3 planos com os outros 2 e o
ponto comum a estas duas intersees o ponto procurado. 2)
Determina-se a interseo de 2 planos quaisquer dados e procura- se o
trao desta interseo com o 3. plano.
18. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Ponto comum a 3
planos Exerccios Exerccios: 137 e 138.
19. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) Perpendicularismo de
retas e planos Casos 1. grupo Reta a plano Plano a reta 2. grupo
Plano a plano 3. Grupo Reta a reta
20. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Reta a plano () (s) (s1) (r) (s3) (s2) (r1) Uma reta a um
plano quando (ou ortogonal) a 2 retas concorrentes dos plano.
21. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Reta a plano () () A (M) (A) (B) (N) Observe que quando uma
reta a um plano, a sua projeo e o trao do plano sobre o mesmo plano
de projeo so s entre si. E a projeo de (A)(B) tb ser s projees das
retas horizontais de ().
22. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Reta a plano (qualquer) () () () (r) (I) r' r I I Assim, qd
uma reta(r) a um plano (), suas projees so s aos traos de mesmo
nome do plano.Condio necessria, mas no suficiente!
23. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Reta a plano // a LT () ()() r' r (r) (I) Neste caso, a
idade aos traos no garante a idade ao plano. O mesmo pode ocorrer
com plano que passam pela LT.
24. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Retas s aos planos I e P DD CC B A B A D C B A A B D C
(A)(B) (I). (A)(B) (P).
25. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Reta a plano // a LT r r' s s I I t' t Reta (t) a plano
formado por uma reta horizontal (r) e um frontal (s)
concorrentes.
26. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Plano a reta () () () (r) (I) r' r I I O inverso do caso
anterior. Qd os traos de um plano forem s s projees de mesmo nome
de uma reta, o plano reta. Excetuando os casos j discutidos.
27. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Plano a reta Traar por (A) um plano () perpendicular reta
(s). s s' r V TT Vr A' A
28. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Plano a plano Dois planos so perpendiculares entre si,
quando um deles contm uma reta perpendicular ao outro. () () (B)
(A) (I)Assim, se a reta (A)(B) perpendicular ao plano (), ento o
plano () perpendicular a ().
29. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Plano a plano (T) Traar por (A) um plano () perpendicular a
um plano () dado. r' V V H' H A' A Este um problema que admite
infinitas solues, visto que o ponto (T1) pode se situar em qualquer
ponto da LT.
30. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Planos s aos planos I e P () (I). () (P). T1T1 () (P). TT ()
(I).
31. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Reta a reta (B) (C) () (A) Em geral, para se traar por um
ponto uma reta perpendicular a outra, consiste em conduzir, pelo
ponto, um plano perpendicular reta e determinar o ponto de interseo
da reta com esse plano. Unindo o ponto assim, ao ponto dado,
teremos a reta pedida.
32. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Reta a reta A A V V TT (T1) C B B C V1 V1 H H M M
33. Prof. Marcelo Gitirana (Design UDESC) ismo de retas e
planos Exerccios Exerccios: 140, 142, 145, 148, 151.