geometri analitik

  • View
    179

  • Download
    6

Embed Size (px)

Transcript

  1. 1. GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN 2012 Dr. Susanto, MPd
  2. 2. ii KATA PENGANTAR Puji syukur dipanjatkan kehadirat Alloh SWT atas segala rahmat, taufiq, dan hidayah-Nya yang telah dilimpahkan, sehingga terselesaikannya buku pegangan kuliah untuk mata kuliah Geometri Analitik Ruang. Mata Kuliah ini memuat materi tentang garis lurus, persamaan bola, luasan putaran, dan luasan berderajad dua. Selanjutnya penulis menyadari bahwa buku ini masih belum sempurna; untuk itu dimohon tanggapan baik berupa kritik dan saran kepada pembaca demi kebaikan buku pegangan kuliah ini. Akhirnya mudah-mudahan buku ini bermanfaat bagi pembaca. Penulis
  3. 3. iii DAFTAR ISI Hal. HALAMAN JUDUL .. i KATA PENGANTAR . ii DAFTAR ISI .. iii BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA . 1 Titik dalam Ruang Dimensi Tiga 1 Jarak Dua Titik .. 3 Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga . 5 Hasil Kali Silang Dua Vektor . 9 BAB II GARIS LURUS .. 12 Letak Garis Lurus Terhadap Bidang Datar 14 Jarak Dua Garis Bersilangan .. 19 BAB III PERSAMAAN BOLA ............ 21 Bidang Singgung Pada Bola . 24 BAB IV LUASAN PUTARAN ..... 27 Suatu Ellips di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X 27 Suatu Parabola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X. 29 Suatu Hiperbola di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X........ 30 Suatu Garis Lurus di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X 32 Suatu Lingkaran di Bidang XOY Diputar Mengelilingi Sumbu X....... 34 Luasan Putaran Dengan Sumbu Putar Garis Sembarang 35 BAB IV LUASAN BERDERAJAT DUA .. 39 DAFTAR KEPUSTAKAAN . 56
  4. 4. 1 BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA 1.1 Titik Dalam Ruang Dimensi Tiga Ada beberapa cara menentukan letak suatu titik dalam ruang dimensi tiga. Cara-cara tersebut didasarkan pada penetapan patokan mula yang digunakan. Dalam tulisan ini dalam menentukan letak suatu titik menggunakan sistem koordinat kartesius siku-siku. Patokan mula yang diambil dalam koordinat kartesius dimensi tiga adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Meskipun letak garis-garis yang saling tegak lurus ini dapat diambil sesuka hati kita, namun diambil kesepakatan sebagai berikut: sumbu y diambil mendatar, arah ke kanan merupakan arah positif dan ke kiri merupakan arah negatif. Sumbu y dan sumbu z terletak pada kertas kita; sedangkan sumbu x tegak lurus pada kertas dan melalui titik potong sumbu y dan sumbu z. Sumbu x yang menuju kita sebagai arah positif dan arah lawannya sebagai arah negatif. Pengaturan sistem seperti ini dinamakan sistem tangan kanan. Hal ini karena jika empat jari tangan kanan dikepalkan sehingga melengkung dari sumbu x positif ke arah sumbu y positif dan ibu jari akan mengarah ke sumbu z positif. Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang xy, bidang xz, dan bidang yz. Ketiga bidang ini membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, ..., VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV di atas bidang xy, dan lainnya di bawah bidang xy. Oktan-oktan V, VI, VII, dan VIII berturut-turut tepat di bawah oktan-oktan I, II, III, dan IV. Letak suatu titik ditentukan oleh jarak titik itu ke bidang-bidang koordinat yz, xz, dan xy, serta dilihat apakah arah positif atau negatif. Oleh karena itu suatu titik tertentu oleh pasangan (tripel) tiga bilangan, misalnya titik P(x, y, z). Pasangan pertama, yaitu x disebut koordinat x tau absis. Pasangan kedua, yaitu y disebut koordinat y atau ordinat, dan pasangan ketiga disebut koordinat z atau
  5. 5. 2 aplikat. Titik-titik P(2, 3, 4) dan Q(4, -2, 3) berturut-turut terletak dalam oktan I dan II. Titik O(0, 0, 0) disebut titik asal. Setiap pada sumbu x, ordinat dan aplikatnya nol, sedang suatu titik yang terletak pada bidang xy, aplikatnya nol. Selanjutnya untuk menggambar sebuah titik, kita tidak perlu menggambar balok, tetapi cukup dengan tiga ruas garis yang menyatakan panjang absis, ordinat, dan aplikatnya. Sebagai contoh perhatikan koordinat T(3, 5, 4) sebagai berikut. Setiap titik yang aplikatnya positif terletak di atas bidang xy dan jika aplikatnya negatif terletak di bawah bidang xy. Demikian juga untuk bidang-bidang yang lain (xz dan yz). Contoh 1.1. Titik A(1, -2,-4) terletak di oktan VI Titik B(3, 4, -2) terletak di oktan V Titik C(-2, -3, -5) terletak di oktan VII Titik D(-4, -1, 6) terletak di oktan III Gambar 1.1 Y Z X T(3,5,4)
  6. 6. 3 1.2 Jarak Dua Titik Perhatikan gambar 1.2 dibawah ini. Akan ditentukan jarak titik asal O ke titik P( .BPdan,AB,OA).,, 111111 zyxzyx Perhatikan OAB yang siku-siku di A, maka 2 1 2 1 222 yxABOAOB Selanjutnya pada OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa 222 BPOBOP 2 1 2 1 2 1 2 zyxOP Jarak titik O ke titik P( 111 ,, zyx ). Selanjutnya akan ditentukan rumus jarak dua titik sebarang, misalnya titik- titik P( 111 ,, zyx ) dan Q( 222 ,, zyx ). Perhatkan gambar 1.3 di bawah ini. Y Z X P( 111 ,, zyx ) Gambar 1.2 2 1 2 1 2 1 zyxOP P(x1, y1, z1) Q(x2, y2, z2) Z
  7. 7. 4 12 xxAB 12 yyBC 12 zzDQ Segitiga ABC siku-siku di B, maka 222 BCABAC 2 12 2 12 2 yyxxAC ACPD Segitiga PDQ siku-siku di D, maka 222 DQPDPQ 2 PQ 2 12 2 12 2 12 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 zzyyxxPQ Rumus diatas adalah rumus jarak antara P( 111 ,, zyx ) dan Q( 222 ,, zyx ). Contoh 1.2. Tentukan jarak antara titik-titik P(1, -2, 3) dan Q(5, 5, 7) Jawab: 2 12 2 12 2 12 zzyyxxPQ 222 )37()25()15( PQ 164916 PQ 9PQ A D CB Gambar 1.3 Y X
  8. 8. 5 1.3 Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga Dalam ruang dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu absis, ordinat, dan aplikat. Misalnya titik D( 111 ,, zyx ); vektor posisi terhadap titik O dari D ini adalah 111 ,, zyxd = kzjyix 111 . Vektor-vektor basis kji ,, berturut-turut adalah vektor-vektor satuan yang searah dengan sumbu-sumbu x positif, y positif, dan z positif. Selanjutnya semua definisi dan teorema vektor pada bidang sama dengan definisi dan teorema vektor dalam ruang. Dalam bahasan ini hanya diberikan contoh-contoh untuk vektor dalam ruang. Contoh 1.3. Jika 4,2,3a dan 5,1,2b , maka (1) 2a+ 3b = 2 4,2,3 = 3 5,1,2 = 7,7,0 (2) 5a 2b = 30,8,19 Untuk rumus perbandingan berlaku bahwa jika 111 ,, zyxa adalah vektor posisi titik A, dan 222 ,, zyxb adalah vektor posisi titik B, serta titik C terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga nmCBAC :: , maka vektor posisi titik C adalah nm bman c Apabila vektor posisi titik C adalah ccc zyxc ,, , maka diperoleh hubungan nm zyxmzyxn zyx ccc 222111 ,,,, ,, 212121 ,, 1 ,, mznzmynymxnx nm zyx ccc nm mznz nm myny nm mxnx zyx ccc 212121 ,,,,
  9. 9. 6 Jadi nm mznz z nm myny y nm mxnx x ccc 212121 ;; Contoh 1.4. Segitiga OAB dengan O titik asal, A(4, -2, 1) dan B(6, -3, -11). Titik D terletak pada sisi AB sedemikian hingga 2:3: DBAD . Tentukan koordinat titik D. Jawab: Misalkan ),,( DDD zyxD , maka 5 1 5 23 6.34.2 Dx 5 3 2 23 )3.(3)2.(2 Dy 5 1 6 23 )11.(31.2 Dz Jadi 5 1 6, 5 3 2, 5 1 5D . Apabila 321 ,, aaaa , maka panjang vektor a yang ditulis dengan a adalah 2 3 2 2 2 1 aaaa Jika 321 ,, aaaa adalah vektor posisi titik A dan 321 ,, bbbb adalah vektor posisi titik B, maka AB ab 321 ,, bbb - 321 ,, aaa 332211 ,, ababab AB 2 33 2 22 2 11 )()()( ababab Jika 321321 ,,dan,, vvvvuuuu maka perkalian titiknya didefinisikan sama dengan pada vektor di bidang, yaitu: 0dengancosvuvu
  10. 10. 7 Dan dengan mengingat 10,,0kdan,01,0,j,00,,1i , maka mudah dimengerti bahwa: 1i dan,0 kkjji kikjji Sehingga dapat diturunkan sebagai berikut: vu 321321 ,,.,, vvvuuu vu 332211 vuvuvu dan hasil kali dua vektor ini berupa skalar. Selanjutnya jika dua vektor saling tegak lurus, maka hasil kali titiknya sama dengan nol; sebaliknya jika hasil kali titik dari dua vektor yang bukan vektor nol sama dengan nol, maka dua vektor tersebut saling tegak lurus. Hal ini dapat ditulis sebagai berikut: 0vatau0uatau0 vuvu Contoh 1.5. Diketahui vektor-vektor 4-1,2,cdan,53,-,1b,12,-3,a . Tunjukkan bahwa ketiga vektor ini dapat merupakan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku. Jawab: Untuk menunjukkan bahwa ketiga vektor membentuk suatu segitiga, ada dua pertimbangan, yaitu: (1) jumlah ketiga vektor sama dengan vektor nol; atau (2) salah satu vektornya sama dengan jumlah dua vektor lainnya. Mengingat bahwa cba . Maka ketiga vektor membentuk segitiga. Selanjutnya ditunjukkan bahwasegitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Karena ca = 3.2 + (-2).1 + 1.(-4) = 0, maka ca , sehingga segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. Untuk menentukan besarnya sudut yang dibentuk oleh dua vektor 321321 ,,dan,, vvvvuuuu yaitu: vu v u cos
  11. 11. 8 atau 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 332211u cos vvvuuu vuvuv adalah sudut yang dibentuk oleh vdanu Contoh 1.6. Diketahui 22,-1,vdan1-3,2,u . Nyatakan u sebagai jumlah suatu vektor yang sejajar v dan vektor yang tegak lurus pada v . Jawab: Gambar 1.4 berikut ini memberikan ilustrasi dari ketentuan- ketentuan dalam soal dengan mengambil vva bdan// . vpadauproyeksiadalaha , maka v v ua 3 2 22,-1, 3 1 1-3,2, a v v a 3 2 = 22,-1, 9 2 9 4 , 9 4 , 9 2 a aub -1-3,2, 9 4 , 9 4 , 9 2 9 13- , 9 23 , 9 20 b Untuk memeriksa kebenaran perhitungan ini, tunjukkan bahwa a tegak lurus b , yaitu 0ba . v b a u Gambar 1.4
  12. 12. 9 1.4 Hasil Kali Silang Dua Vektor Perhatikan gambar 1.5 berikut ini. Diketahui kajaiaa 321 dan kbjbibb 321 serta adalah sudut yang dibentuk oleh a dan b dengan 0 . Hasil kali silang dari a dan b ditulis a b dibaca a silang b didefinisikan sebagai berikut: a b = uba sin dengan u adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan a dan b dan mengikuti aturan pada sistem tangan kanan. Memperhatikan definisi tersebut, karena u adalah vektor satuan, maka a b = sinba Karena arah u ditentukan dengan aturan pada sistem aturan tangan kanan, maka dapat disimpulkan bahwa: b a = )(.sin uab = -