Kelompok V

A2• Siti Rohana• Agnes Ervinda• Farly Galih S• Marianus Hengki• Robby Dini S• Kukuh Imaduddin

Kosinus sudut antara dua vektor

Cosinus sudut antara dua vektor sama dengan jumlah hasil kali cosinus arah dua vektor tersebut yang berkorespondensi.

Misalkan O adalah pusat bola satuan, dan titik O ini adalah titik awal segmen-segmen garis yang mewakili dua vektor u dan v yang tidak nol . Misalkan P₁ dan P₂ adalah titik yang merupakan irisan antara segmen yang mewakili vektor–vektor tersebut dengan permukaan bola satuan di atas. Maka koordinat P₁ adalah (ℓ₁ , m₁ , n₁ ) dan koordinat P₂ adalah (ℓ₂ , m₂ , n₂ ) dengan ℓ₁ ,m₁ dan n₁ adalah cosinus arah u dan ℓ₂ , m₂ dan n₂ adalah cosinus arah v. Sudut antara u dan v kita sebut θ adalah sudut antara segmen garis berarah ₁ dan ₂

GEOMETRI ANALITIK RUANG

Pengertian

GEOMETRI ANALITIK RUANG

Gambar

Jika Kita gunakan rumus cosinus, maka kita peroleh |² = |₁|² + | ₂|² - 2|₁||₂| cos θ Kita ketahui bahwa |₁| = |₂| = 1 ( jari–jari bola satuan ) dan||² = ( ℓ₂ - ℓ₁ )² + ( m₂ - m₁ )² + ( n₂ - n₁ )² maka menjadi :( ℓ₂ - ℓ₁ )² + ( m₂ - m₁ )² + ( n₂ - n₁ )² = 1 + 1 – 2 cos θcos θ = cos θ = cos θ = cos θ =

GEOMETRI ANALITIK RUANG

lanjutan

Cos Ө = ℓ₁ℓ₂ + m₁m₂ + n₁n₂

Jika u = [u₁ , u₂ , u₃ ] dan v = [v₁ , v₂ ,v₃ ], maka cosinus sudut antara vektor u dan u adalah :cos θ = ℓ₁ℓ₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = + + ⦁ ⦁ ⦁cos θ = Contoh :Jawab: Cari cosinus sudut antara vektor u = [2 ,-1 ,3 ] dan v = [ 3 ,2 ,4 ].Penyelesaian : cos θ = =

GEOMETRI ANALITIK RUANG

Lanjutan

Bentuk u₁v₁ + u₂v₂ +u₃v₃ Kita beri nama khusus, yaitu “perkalian skalar” atau “dot product” (perkalian titik ) atau “linear product” dari dua vektor u dan v dan kita tulis u ⦁ v .

Jadi perkalian skalar atau perkalian titik atau linier product dari dua vektor di atas yang berkorepondensi.

Jadi :

Juga jika vektor u dan v kedua duanya bukan vektor nol, cosinus sudut antaradua vektor diatas adalah

Dari perkalian ini kita peroleh : u ⦁ v = |u| . |v| cos θ

atauu₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃ = |u| . |v| cos

GEOMETRI ANALITIK RUANG

Perkalian skalar

u ⦁ v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + u₃ v₃

jika u ⦁ v = 0 u ⊥ v atau v ⊥Dengan alasan definisi di atas vektor nol selalu tegak lurus kepada setiap vektor.

Jika u dan v vektor nol, tapi u ⦁ v = 0, maka sudut antara kedua vektor di atas adalah 90° atau 270°.

u // vDua vektor u dan v yang bukan vektor nol adalah sejajar, jika komponen skalar vektor u sebanding dengan komponen skalar vektor v.

Jika u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ , dan u₃ = k v₃ atau v₁ = k’ u₁ , v₂ = k’ u₂ , dan v₃ = k’ u₃ , dengan k atau k’ tidak sama dengan nol, maka u // v. • Jika k atau k’ positif maka kedua vektor tersebut sejajar dan searah.• jika k atau k’ negatif maka kedua vektor diatas sejajar tapi berlawanan arah.

GEOMETRI ANALITIK RUANG

Lanjutan

Cosinus arah dua vektor u dan v disebut sama, jika dan hanya jika kedua vektor tersebut sejajar dan searah. Kita lihat contoh berikut.

Misalkan = , = dan =

Dari ketentuan ini kita peroleh u₁ = v₁ , u₂ = v₂ , u₃ = v₃

Yang selanjutnya bisa kita tulis :u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ dan u₃ = k v₃ dengan k > 0 , maka vektor u dan v adalah sejajar dan searah.

GEOMETRI ANALITIK RUANG

Kesamaan Cosinus arah dua vektor

Sebaliknya :Kita misalkan u₁ = k v₁ , u₂ = k v₂ dan u₃ = k v₃ Kita kuadratkan bentuk-bentuk di atas itu maka diperoleh :u₁² = k² v₁²u₂² = k² v₂²

u32 = k2 v3

2

GEOMETRI ANALITIK RUANG

Lanjutan

Karena syaratnya k adalah positif, kita ambil nilai k yang positif saja.Jika k =

Maka:u₁ = , u₂ = , u₃ = atau = , = dan =

Karena itulah vektor u dan v sejajar dan searah.

GEOMETRI ANALITIK RUANG

contoh

SEKIAN&

TERIMAKASIH