Herramientas Científicas y Metodológicas para la Enseñanza de Matemáticas

Geometría Analítica I Y su Tratamiento Metodológico

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN LEÓN

Unidad #I: Problemas Básico de la Geometría Analítica Modulo: #7

Actividad de cierre: Plan de Clase Tipo: Individual

Tutor: Msc. Tomás Guido Fecha de envió: 31/08/15

Dinamizadora: Yeraldin Calderón Castilla

Estudiante: José Orontes Pérez Mayorquín

Introducción:

En esta oportunidad resolveré ejercicios asignados de la fase I luego elaborare estrategia

pedagógicas a través de un plan de clase, siguiendo las rubricas orientadas por el MINED.

Los indicadores de logro de esta actividad son:

Aplica los conceptos y reglas de los problemas básicos de la Geometría Analítica en la

solución de ejercicios y problemas.

Construye estrategias metodológicas para la enseñanza de los problemas fundamentales

de la Geometría Analítica.

Desarrollo:

I. Lea cuidadosamente cada uno de los ejercicios propuestos, resuélvalos y seleccione la

respuesta correcta.

8) El punto que divide al segmento cuyos extremos son los puntos P(2, 7) y Q(6, -3) en la

razón r = 2/3 es:

a) (5/18, 3)

b) (18/5, - 3)

c) (5/18, -3)

d) (18/5, 3)

e) (- 18/5, - 3)

X = 𝑥1+𝑟𝑥2

1+𝑟 y =

𝑦1+𝑟𝑦2

1+𝑟

X = 2+(

2

3)(6)

1+(2

3)

y = 7+(

2

3)(−3)

1+(2

3)

X = 2+(2)(2)

5

3

y = 7+(2)(−1)

5

3

X = 2+4

5

3

y = 7−2

5

3

X = 65

3

y = 55

3

X = 18

5𝑢 y =

15

5

y = 3u

II. Determinar si los puntos dados son colineales.

13) P (7/3, 17/3), Q (9, 11) y R (- 1, 3)

Distancia QP : dQP = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

dQP = √(7/3 − 9)2 + (17

3− 11)

2

dQP = √(−20/3)2 + (−16/3)2

dQP = √400/9 + 256/9

dQP = √656/9

dQP =8.537498983 u

Distancia QR : dQR = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

dQR = √(−1 − 9)2 + (3 − 11)2

dQR = √(−10)2 + (−8)2

dQR = √100 + 64

dQR= √164

dQR =2√41 = 12.80624847u

Distancia PR : dPR = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

dPR = √(−1 − 7/3)2 + (3 − 17/3)2

dPR = √(−10/3)2 + (−8/3)2

dPR = √100/9 + 64/9

dPR= √164/9

dPR =4.268749492u

QR = QP+PR

12.80624847u = 8.537498983 u + 4.268749492u

12.8062484u = 12.8062484u

Los puntos son colineales

III. Hallar las coordenadas del punto medio y de los puntos de trisección de los segmentos

de recta definidos por los puntos dados.

18) P1 (1, ¼) y P2 (- 2, 2/3)

Primero. Encontramos las coordenadas del punto medio.

𝒙 = 𝒙𝟏+𝒙𝟐

𝟐 𝒚 =

𝒚𝟏+𝒚𝟐

𝟐

𝒙 = 𝟏−𝟐

𝟐 𝒚 =

𝟏/𝟒+𝟐/𝟑

𝟐 Las coordenadas del punto medio es:

M=(-0.5,0.46)

𝒙 = −𝟏

𝟐 𝒚 =

𝟏𝟏/𝟏𝟐

𝟐

𝒙 = −𝟎.5u 𝒚 = 𝟏𝟏

𝟐𝟒 = 0.46 u

Segundo. Encontramos el punto de trisección en B

B = (2𝑥1+ 𝑥2

3,

2𝑦1+𝑦2

3)

B = (2(1)−2

3,

2(1

4)+

2

3

3)

B = (2−2

3,

(1

2+

2

3)

3)

B = ( 0

3,

(3+4

6)

3)

B = (0,(

7

6)

3)

B = (0,7

18)

Tercero. Encontramos el punto de trisección en C

C = (𝑥1+ 2𝑥2

3,

𝑦1+2𝑦2

3)

C = (1−2( 2)

3,

(1

4)+2(

2

3)

3)

C = (1− 4

3,

(1

4+

4

3)

3)

C = (−3

3,

(19

12)

3)

C = (−1,19

36)

C = (−1, 0.53)

IV. Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices están en:

6) A= (5, 6), B=(6, 4) y C= (8.5, 6.5)

Primero : aplicamos la ecuación (12) del manual, para hallar la pendiente de cada lado del

triángulo.

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =4 − 6

6 − 5 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =

6.5 − 4

8.5 − 6 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

6.5 − 6

8.5 − 5

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =−2

1 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =

2.5

2.5 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

0.5

3.5

𝒎𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = −𝟐 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 1 𝒎𝑨𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟎. 𝟏𝟒

𝒎𝑩𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟏

Segundo: Utilizando la ecuación (13) del manual para hallar la medida de los ángulos que

forman cada par de lados se obtiene.

𝑡𝑎𝑛𝐴 =𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅̅−𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅

1+𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅̅.𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑡𝑎𝑛𝐵 =

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅̅−𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅

1+𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅̅.𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝑡𝑎𝑛𝐴 =−2 − (0.14)

1 − (2)(0.14) 𝑡𝑎𝑛𝐵 =

−2 − (1)

1 + (−2)(1)

𝑡𝑎𝑛𝐴 =−2.14

1 − 0.28 𝑡𝑎𝑛𝐵 =

−3

−1

𝑡𝑎𝑛𝐴 =−2.14

0.72 𝑡𝑎𝑛𝐵 = 3

𝑡𝑎𝑛𝐴 = −2.97 B = tan−1( 3)

𝑡𝑎𝑛𝐴 ≈ −3

𝐴 = tan−1(−3)

𝒎∠𝑨 = −𝟕𝟏. 𝟓𝟕° 𝒎∠𝑩 = 𝟕𝟏. 𝟓𝟕°

Respuesta. La medida de los ángulos interiores del triángulo ABC es:

∠𝑨 = 𝟕𝟏. 𝟓𝟕° ; 𝒎∠𝑩 = 𝟕𝟏. 𝟓𝟕° ; 𝒎∠𝑪 = 𝟑𝟔. 𝟖𝟕°

Tercero: Comprobamos en GeoGebra los resultados

V. Problemas

𝑡𝑎𝑛𝐶 =𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ − 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅

1 + 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝑡𝑎𝑛𝐶 =1 − (0.14)

1 + (1)(0.14)

𝑡𝑎𝑛𝐶 =0.86

1 + 0.14

𝑡𝑎𝑛𝐶 =0.86

1.14

𝑡𝑎𝑛𝐶 = 0.75

𝑡𝑎𝑛𝐶 = 𝑡𝑎𝑛−1(0.75)

𝒎∠𝑪 = 𝟑𝟔. 𝟖𝟕°

3) Si los puntos A (- 2, 3), B (5, 8) y C (7, -4) son los vértices de un triángulo,

encontrar las coordenadas de un punto a dos tercios de la distancia de B al punto

medio del lado opuesto AC̅̅̅̅ .

P = (2𝑥1+ 𝑥2

3,

2𝑦1+𝑦2

3)

P = (2(5)+ 2.5

3,

2(8)−0.5

3)

P = (10+ 2.5

3,

(16−0.5)

3)

P = (12.5

3,

15.5

3)

P = (4.17, 5.17)

Z = (𝑥1+ 2𝑥2

3,

𝑦1+2𝑦2

3)

Z = (5+2( 2.5)

3,

8+2(−0.5)

3)

Z = (5+ 5

3,

(8−1)

3)

Z = (10

3,

7

3)

Z = (3.33, 2.33)