PLANOPLANO CARTESIANOCARTESIANO

Podemos escrever assimÁrea do triângulo:

EQUAÇÃO GERAL DA RETA r:

A x + B y + C = 0A x + B y + C = 0

se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta r

se am + bn + c ≠≠≠≠ 0, P não é um ponto da reta r

EXEMPLO: X - 3Y + 5 = 0

Onde o ponto P (1,2) ∈∈∈∈ r

Já o ponto P (2, -5) ∉∉∉∉ r

EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA:

y = mx + bonde,

m = coeficiente angular da reta

b = coeficiente linear da reta (ponto de

intersecção com o eixo Oy.

O coeficiente angular da reta a é numericamente igual a tangente do ângulo formado com a reta e o eixo Ox.

m = tgα ( abertura ou inclinação da reta )

���� Coeficiente angular = 1

���� Em todas as retas o coeficiente linear ( ponto de intersecção com o eixo das ordenadas -eixo de y ) é zero b = 0.

���� Coeficiente angular = 3

���� Coeficiente angular =2

ÂNGULO: 71.56º

ÂNGULO: 63.43º

ÂNGULO: 45º

PODEMOS AINDA DIZER QUE f(0) = 0 para todas as três funções apresentadas acima

0 1 1

2 5 1

X Y 1

1.x + 0.5 + 2.y – 0.y – 2.1 – 5x = 0

–4x +2y –2 = 0 � 2y = 4x +2

Encontrar os coeficientes angular e linear da

reta r que passa por A(0, 1) e B(2, 5).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Ou y = 2x +1

RESOLUÇÃO:

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR =1

Veja o gráfico a seguir.

EXEMPLO:

No sistema de coordenadas abaixo, está representada a função f(x) = 2 x +1.

1

5

COEFICIENTE ANGULAR = 2

COEFICIENTE LINEAR =1

Observe que o coeficiente angularé o número que multiplica o x na equação reduzida da reta (no caso 2 ).

O coeficiente linearé o número que fica isolado (termo independente) na equação reduzida da reta (no caso 1) �este é o ponto que o gráfico intercepta (“corta”) o eixo Oy. O ponto que “corta” o eixo de x é a raiz da equação.Veja o esboço do gráfico dessa função...

Exercícios Resolvidos 01. Calcule a área do triângulo ABC formado pelos pontos indicados na figura.

Consideremos dois pontos A e B tais que não seja paralela ao eixo x, nem ao eixo y.

Traçando por A e B paralelas aos eixos coordenados, obtemos o triângulo retângulo ABC.

02. Calcule a área da região hachurada:

Sendo A (1, 2) B (3, 4) C (5, 3) e D (4, 1), osvértices tomados no sentido horário ou anti-

horário, temos:A= A1 + A2

A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | = 3

A1 = ½ | 1.4.1 + 1.3.3 +2. 5.1 – 5.4.1 -3.1.1 – 1.3. | = 3

A2 = ½ | 4.3.1 + 1.1.1 +1. 5.2 –1.3.1 –2.1.4 – 1.5.1 |= 3,5

A = 6,5 u.aOBS: as duas | | (barras), indica que o valor está em módulo e sempre será positivo

EXERCÍCIO 3

Qual a área do triângulo ABC de vértices A(2,5), B(0,3) e C(1,1)?

Resp: S = 3 u.a. (3 unidades de área)

2 – FÓRMULA DA DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

EXERCÍCIO 04: Vamos determinar a distância entreos pontos A(1, -1) e B(4, -5):

SOLUSOLUÇÇÃOÃO DADA QUESTÃOQUESTÃO

EXERCÍCIO 05: Calcule o ponto médio entre ospontos A = ( 2,1) B = ( 6,4).

EXERCÍCIO 05: – PONTO MÉDIO DE SEGMENTO

EXERCÍCIO 6

As coordenadas do ponto médio do segmento de extremidades (1, –2 ) e ( –1 – 4 ) são:

a) ( 3 , 1 )b) ( 1 , 3 ) c) ( –2 , –3 )d) ( 0 , –3 )e) ( 3 , 3 )

EXERCÍCIO 7

Os pontos A (1, -7) e B ( – 4, 3) pertencem à reta r. A equação dessa reta é

a) y = 3x – 1 b) y + 2x – 5 = 0c) y = 5 – 4x d) 2x + y + 5 = 0e) y = 5x + 24

X Y 1

1 -7 1

-4 3 1

-7x + 3 -4y –y -28 -3x = 0

– 10x – 5y – 25 = 0

Dividindo toda a equação por (-5):

2x + y + 5 = 0

= 0

Questão 07 Qual a área do triângulo ABC de vértices A(-2,-1), B(1,3) e C(4,1)?

XA YA 11/2 XB YB 1

XC YC 1

-2 -1 1

½ 1 3 1

4 1 1

A = |1/2 [ -6 + 1 – 4 + 1 – 12 + 2 ] |

A = |1/2 [ – 18 ] |

A = | – 9 | A = 9 u.a. (unidade de área)

observe que a área ésempre positiva e que as duas barrinhas | |significam módulo

SOLUSOLUÇÇÃO ÃO ��������

Determinar no eixo das ordenadas o ponto P, cuja distância até o ponto A (4; 1) seja igual a 5 unidades.

QUESTÃO 08QUESTÃO 08

SOLUSOLUÇÇÃO ÃO ��������

Determinar o ponto P do eixo das abcissas, eqüidistantes dos pontos A (6,5) e B (-2,3).

QUESTÃO 08QUESTÃO 08

Y = 4

x = 6

y = 2x – 3

y = – 3x + 6

OBS: as equações são exemplos de cada situação rep resentada nos gráficos