1. SPTIMA EDICIN , , anal Gordon FuUer Profesor emrito de matemticas Texas Tech University Dalton Tarwater Profesor de matemticas Texas Tech University Versin en espaol de Rafael Martnez Enrquez a Universidad Nacional Autnoma de Mxico Con la colaboracin tcnica de Alberto Rosas Prez Universidad Nacional Autnoma de Mxico MXICO ARGENTINA BRASil., COLOMBIA COSTA RICA CHILE ESPAA GUATEMALA PER PUERTO RICO VENEZUELA

2. Versin en espaol de la obra titulada Analityc Geometry, Seventh Edition, de Gordon Fuller y Dalton Tarwater, publicada originalmente en ingls por Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading Massachusetts, E.U.A., 1986por Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. SPTIMA EDICiN, 1995 Primera reimpresin en Mxico, 1999 1995 por ADDISON WESLEY IBEROAMERICANA, S.A. D.R. 1999 por ADDISON WESLEY LONGMAN DE MEXICO, S.A. DE C.V. Calle Cuatro No. 25, 2 piso Fracc. Industrial Alce Blanco 53370 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico CNIEM 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o sus representantes. ISBN 9 68-444 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 234 5 67890 03 020100 99 o MAY It.f'RESORA ROMA TOMAS VAZOUEZ No. 152 COL. SAN PEDRO IXTACALCOC P.08220 MEXICO. D. F. 2000 O 3. Dedicatoria Gordon Fuller naci en Joshua, Texas, el 17 de enero de 1894. Se gradu en matemti cas en el West Texas State (licenciatura, 1926), y en la University of Michigan (maestra y doctorado, 1933). Despus de 12 aos de enseanza en Auburn, se incorpor a la Te xas Tech University en 1950, donde permaneci hasta su retiro en 1968. Fue autor o coau tor de libros de texto de lgebra elemental, trigonometra plana, geometra analtica y clculo. Se le recuerda como un profesor duro pero justo, un expositor lcido, un caballero elegante y un colega cordial. Gordon Fuller muri en Dalias, Texas, el 17 de marzo de 1985. Este texto se dedica a su memona. Tambin se dedica a su hijo, el doctor Dwain Fuller, y a mi esposa, Nancy Tarwater, . . . , por su paCiencia, comprenSlOn y apoyo. 4. Prefacio Esta sptima edicin de Geometra analtica (para matemticas de preparatoria o mate mticas IV de CCH), se dise para un primer curso sobre el tema. En ella se destacan los elementos esenciales de la geometra analtica y se pone nfasis en aquellos concep tos necesarios en clculo, ya sea el clculo tradicional o el que se lleva en una carrera enfocada a los negocios. Si bien una gran parte de la edicin anterior ha quedado intacta, esta edicin presen ta los siguientes cambios importantes. l. A las muchas aplicaciones de la geometra analtica a la administracin, a las cien cias sociales y a las ciencias fsicas se han aadido nuevas aplicaciones en medici na, salud pblica, probabilidad, estadstica, adems de una que se refiere a los gastos de traslado que repercuten en el pago de impuestos federales. 2. Se incluye un nuevo captulo sobre ajuste de curvas, que contiene yl mtodo de m nimos cuadrados para modelos lineales y exponenciales, as como una nueva sec cin dedicada al estudio de coordenadas esfricas y cilndricas. 3. Se presentan notas histricas que brindan al lector un sentido de continuidad con el pasado. 4. Se incluye una gran variedad de temas nuevos que versan sobre funciones crecien tes y decrecientes, desigualdades lineales y polinomiales, nmeros complejos y fun ciones hiperblicas. 5. Se espera que el lector utilice algn tipo de graficador, ya sea una calculadora o un computador con capacidad de graficacin. A lo largo del texto, as como en los ejer cicios, aparecen referencias a las rutinas incluidas en el nuevo programa Explorer de Addison-Wesley, as como recomendaciones para quien utilice un graficador. Los ejercicios en los que podra usar una calculadora NO se disearon para que se recu rriera a dicha herramienta, sino para que las respuestas se obtuvieran usando "lpiz y papel" o algn tipo de graficador. Esto permite al estudiante (o profesor) decidir cul mtodo de solucin resulta apropiado. 6. A cada captulo se ha aadido un listado de trminos clave y un conjunto de ejerci cios a manera examen. Al final del libro se encuentran las respuestas de los ejerci cios pares y de todos los ejercicios que aparecen en los exmenes. El texto va acompaado de un Students Solutions Manual, con las respuestas a los ejercicios pares, y de un Instructors Manual, con las respuestas a todos los ejercicios. Addison-Wesley tambin ha puesto a disposicin del usuario un Graphing Calculator and Computer Graphing Laboratory Manual, que ensea el uso de varios tipos de cal culadoras y utilera de graficacin MasterGrapher -3D Grapher. v 5. vi Se dan las ms cumplidas gracias al doctor Henry PoIlack, de BeIl Labs, por sugerir el ejercicio que aparece en la seccin 3.4 y que se refiere a los gastos de reacomodo deducibles de los impuestos federales. Agradecemos tambin al doctor William Howland, de Texas Tech, la aportacin de los ejercicios sobre cnicas, as como al doctor Harold Bennet, de Texas Tech, por contribuir con las respuestas que aparecen al final del libro. Se ha contado con las sugerencias y consejos de Jerry L. Frang, de Rockford, Illinois, de Lance L. Littlejohn, de Utah Curbo, quien trabajara en Monterey High School de Lubbock, Texas. Nos entristece la muerte de tan excelente maestro. Agradecemos a los muchachos colegas y estudiantes que han sugerido mejoras al texto. Finalmente, expresamos nuestra sincera gratitud por la magnfica labor de captura realizada por la seora Pam Newton. Lubbock, Texas 6. estudiante Bienvenido al estudio de la geometra analtica. Est en buena compaa. En los ltimos dos mil aos, millones de personas han estudiado algn aspecto de este tema. Entre ellos se encuentran muchos de los ms grandes intelectos de los tiempos histricos y moder nos. Gran parte de estos estudiantes aprendieron geometra analtica por sus valores in trnsecos. Sin embargo, justo es decir que hoy da el tema se estudia principalmente como un curso preparatorio para el clculo. Hemos tratado de mostrar, en ejemplos y ejercicios, que las ideas aqu expuestas son aplicables en muchos campos de estudio. Por desgracia es necesario estudiar clculo, o incluso otros cursos posteriores, para ver las aplicaciones en toda su profundidad. Se es pera que las diversas aplicaciones presentadas basten para indicar la amplia utilidad de estos conceptos. Se supone que el lector ha tomado cursos de lgebra, geometra y trigonometra, y se espera que pueda resolver cuadrticas por frmula y completando el cuadrado, resolver sistemas de ecuaciones y usar las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, as como algunas identidades que las incluyan. Para algunos ejercicios ser til conocer de terminantes. Se recomienda leer el texto antes de intentar resolver los ejercicios. Mientras se lee el texto, se puede usar lpiz y papel para completar los pasos faltantes en los ejemplos y para copiar teoremas y frmulas hasta aprenderlos. Se da por hecho que el estudiante tiene acceso a una calculadora que incluya las funciones trigonomtricas, log, In, ex o yx. Se espera, adems, que se cuente con algn tipo de sistema graficador, ya sea una calculadora con pantalla para grficas o un com putador con paquetera para graficar funciones. Usados en forma adecuada, estos ele mentos pueden ampliar y aumentar el entendimiento de la geometra analtica, si bien No eliminan la necesidad de conocer los principios, teoremas, frmulasy definiciones que aparecen en este texto. Es importante advertir que la posesin de una calculadora o de un computador con mltiples programas no libera al matemtico, al cientfico o al ingeniero del conocimien to de los fundamentos de la geometra analtica. Simplemente les permite mejorar su ca pacidad para tratar aplicaciones ms complicadas. El estudiante que tenga acceso a un computador de grficas se beneficiar del uso de esa capacidad para graficar muchas de las funciones de este texto. Si bien no se requiere que el estudiante use un computador, los autores sugieren a todos los estudiantes que tengan acceso a uno, que apliquen los conocimientos adquiridos aqu y que programen el computador para elaborar grficas siempre que les sea posible. Vii 7. , Indice general 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1 2 1.1 Conceptos fundamentales 2 1.2 Inclinacin y pt:ndiente de una recta 12 1.3 Divisin de un segmento de recta 23 1.4 Demostraciones analticas de teoremas geomtricos 30 1.5 Relaciones y funciones 35 1.6 Ecuacin de una grfica 44 1.7 Algunas funciones especiales 50 Ejercicios de repaso 59 Trminos clave 60 Examen sobre el captulo 60 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 61 3 2.1 Rectas y ecuaciones de primer grado 61 2.2 Otras formas de ecuaciones de primer grado 69 2.3 Interseccin de rectas 74 2.4 Distancia dirigida de una recta a un punto 79 2.5 Familias de rectas 86 2.6 La circunferencia 92 2.7 Familias de circunferencias 100 2.8 Traslacin de ejes 104 Ejercicios de repaso 107 Trminos clave108 Examen sobre el captulo 108 CNICAS 111 3.1 La parbola 112 3.2 Parbola con vrtice en (h, k) 120 3.3 Elipse 129 3.4 Hiprbola 142 ix 8. x 4 Ejercicios de repaso 152 Trminos clave153 Examen sobre el captulo 153 , SIMPLIFICACION DE ECUACIONES 155 5 4.1 4.2 4.3 4.4 Simplificacin por traslacin 155 Rotacin de ejes 159 Simplificacin por rotaciones y traslaciones 162 Identificacin de una cnica 167 Ejercicios de repaso 172 Trminos clave 172 Examen sobre el captulo 172 CURVAS ALGEBRAICAS 175 6 5.1 Polinomios 175 5.2 Ecuaciones racionales 179 5.3 Asntotas inclinadas 184 5.4 Ecuaciones irracionales 188 Ejercicios de repaso 192 Trminos clave 193 Examen sobre el captulo 193 FUNCIONES TRASCENDENTES 195 7 6. 1 Funciones trigonomtricas 195 6.2 La funcin exponencial 205 6.3 Logaritmos 210 6.4 Suma de ordenadas 216 6.5 Ecuaciones trigonomtricas 221 Ejercicios de repaso 223 Trminos clave 224 Examen sobre el captulo 224 COORDENADAS POLARES 225 7. 1 Sistema de coordenadas polares 225 NDICE 9. (ND/CE 8 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 Relaciones entre coordenadas polares y rectangulares 230 Grficas de ecuaciones en coordenadas polares 237 Ayudas para graficar ecuaciones en coordenadas polares 241 Ecuaciones polares de rectas y circunferencias 249 Ecuaciones polares de las cnicas 253 Intersecciones de grficas en coordenadas polares 259 Ejercicios de repaso 263 Trminos clave 264 Examen sobre el captulo 264 , ECUACIONES PARAMETRICAS 265 9 8.1 Ecuaciones paramtricas de las cnicas 266 8.2 Aplicaciones de las ecuaciones paramtricas 274 Ejercicios de repaso 279 Trminos clave 279 Examen sobre, el captulo 280 COORDENADAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUPERFICIES 281 9.1 Coordenadas en el espacio tridimensional 281 9.2 Superficies de revolucin y superficies cudricas 291 9.3 Coordenadas clindricas y esfricas 306 10 Ejercicios de rep(lso 310 Trminos clave 311 Examen sobre el captulo 311 VECTORES, PLANOS Y RECTAS 313 10.1 Operaciones con vectores 314 10.2 Vectores en el espacio tridimensional 327 103 Producto escalar de dos vectores 330 10.4 Ecuacin de un plano 337 10.5 Ecuacin vectorial de una recta 342 10.6 El producto vectorial 349 Ejercicios de repaso 357 Trminos clave 358 Examen sobre el captulo 358 XI 10. xii 11 AJUSTE DE CURVAS 359 11.1 Mtodo de mnimos cuadrados 360 11.2 Modelos exponenciales 364 Ejercicios de repaso 366 Trminos clave 366 Examen sobre el captulo 367 Apndice A Frmulas 369 Apndice B Tablas 375 Respuestas a ejercicios seleccionados 379 , Indice de materias 433 NDICE 11. Captulo Conee tos fundame les A travs de varios siglos el lgebra y la geometra se han desarrollado lentamente como disciplinas matemticas distintas. En 1637 Ren Descartes matemtico y filsofo fran cs, public su obra La Gomtrie, en la cual introdujo un mecanismo para unir esas dos ramas de las matemticas. La caracterstica bsica de este nuevo proceso, ahora llamado geometra analtica, es el uso de un sistema coordenado. Por medio de sistemas coordenados, los mtodos algebraicos se pueden aplicar con rigor al estudio de la geo metra; quiz ms sobresaliente sea el beneficio que representa para el lgebra la repre sentacin grfica de ecuaciones algebraicas. Descartes contribuy notablemente a allanar el camino para alcanzar diferentes desarrollos en matemticas, ya que nos brind el mar co de referencia para la creacin del clculo. Muchos de los conceptos analizados en este libro son de origen antiguo pero no se debe caer en el error de pensar que se estudian slo por su valor histrico. Por el contra rio, estas ideas han soportado el paso del tiempo y hoy da se estudian debido a su utili dad para tratar problemas presentes (y probablemente futuros). Los temas que son slo de inters histrico y que no tienen ya ninguna utilidad casi han desaparecido como te mas de estudio. Los aspectos que se estudian en este libro tienen significativas aplicaciones en mul titud de investigaciones matemticas y en disciplinas tan diversas como astronoma, fisi ca, qumica, biologa, ingeniera, negocios, medicina, ciencias sociales, psicologa, estadstica, agricultura y economa. Sin embargo, cabe advertir a los estudiantes que si bien el conocimiento de la geometra analtica es esencial para comprender una gran can tidad de aplicaciones de las matemticas, debern profundizar mucho ms en las mate mticas para poder apreciar toda la riqueza de las aplicaciones que aparecen en este libro. Quizs el principal propsito de este estudio consista en examinar, de manera elemental, conceptos que en una situacin ms abstracta se generalizan convirtindose en poderosas herramientas matemticas. NOTA HISTORICA . Ren Descartes (1596-1650), cuando joven, prefera dormir hasta tarde y meditar en cama despus de despertar. Ms tarde vag durante aos por Europa antes de asentarse en Holanda en 1628 para meditar aislado del mundo. Despus de varios aos public el Discurso del mtodo, de gran importancia filosfica y matemtica, en el qu present la geometra analtica. , I 12. 2 CAP(TULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1 .1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Una recta dirigida es una recta en la cual una direccin se escoge como positiva y la direccin opuesta como negativa. Un segmento de la recta, formado por dos puntos cua lesquiera y la parte entre ellos, se llama segmento de recta dirigido. En la figura 1.1, la direccin positiva se indica con una flecha. Los puntos A y B determinan un segmen to, cuya denotacin es AB o BA. Se dice que la distancia de A a B, medida en la direc cin positiva, es positiva, y que la distancia de B a A, medida en la direccin negativa,. es negativa. Estas dos distancias, cuya denotacin es AB y BA se llaman distancias diri- . gidas. Si la longitud del segmento de recta es 3, entonces AB = 3 Y BA = -3. Por tanto, las distancias en un segmento de recta dirigido satisfacen la ecuacin . AB - -BA. B B A Figura 1.1 A Otro concepto relacionado con la distancia en el segmento AB es el de distancias no dirigidas entre A y B. La distancia no dirigida es la longitud del segmento que se considera positiva. Se usar la notacin lABio IBAI para indicar la medicin positiva de la distancia entre A y B, o la longitud del segmento de recta AB. En vista del anlisis anterior, se puede escribir AB = IABI = IBAI = 3, BA = -IABI = -IBAI = -3. A menudo tiene particular importancia el concepto de valor absoluto de un nme ro. Al respecto, se da la siguiente definicin. De acuerdo con esta definicin, el valor absoluto de todo nmero distinto de cero es positivo y el valor absoluto de cero es cero. As, 151 = 5, 1-5 1= -(-5) = 5, 101 = o. 13. 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Se observa entonces que para cualquier nmero real a, lal = W puesto que la raz cuadrada de cualquier nmero no negativo es no negativa. Teorema 1.1 Si A, B Y C son tres puntos de una recta dirigida, entonces la distancia dirigida determi nada por estos puntos satisface las ecuaciones AB + BC = AC , AC + CB = AB, BA + AC = BC. -=-:'" Demostracin Si B est entre A y C, las distancias AB, BC y AC tienen el mismo signo y, obviamente, AC es igual a la suma de las otras dos distancias (Fig. l.2). Las ecuaciones segunda y tercera resultan con facilidad de la primera. Para probar la segunda ecuacin, se suma -BC en ambos lados de la primera y luego se usa la condicin de que -BC = CB. As, AB = AC - BC = AC + CB. Figura 1.2 A B e La recta numrica real 3 Un concepto fundamental en geometra analtica es la representacin de todos los n meros reales mediante puntos en una recta dirigida. Debe advertirse que los nmeros reales estn formados por los nmeros positivos, los negativos y el cero. Para establecer la reptesentacin deseada, primero se escoge en una recta una direc cin como la positiva (a la derecha en la Fig. 1.3) Y se elige un punto O de la recta, al cual se le llama origen, para representar el nmero cero. A continuacin se marcan pun tos a las distancias 1, 2, 3, Y as sucesivamente, unidades a la derecha del origen. En tonces, los puntos as localizados representan los nmeros 1, 2, 3, etctera. De la misma manera,.se localizan puntos a la izquierda del origen para representar los nmeros -1, -2, -3, Y as sucesivamente. Ya se han asignado 'puntos a los enteros positivos, a los enteros negativos y al entero cero. Los nmeros cuyo valor est entre dos enteros conse cutivos tienen sus puntos correspondientes entre los puritos asociados con dichos ente ros. De este modo, el nmero 21/4 corresponde al punto que se halla 21/4 unidades a la derecha del origen. En general, cualquier nmero positivo p se representa con el punto que se encuentra p unidades a la derecha del origen, y un nmero negativo q se repre senta con el punto q unidades a l a izquierda del origen. Adems, se supone que todo nmero real corresponde a un punto en la recta y, recprocamente, que todo punto en la recta corresponde a un nmero reaL Esta relacin del conjunto de los nmeros reales y el conjunto de puntos de una recta dirigida se llama correspondencia uno a uno. 14. 4 Figura 1.3 I I I I -4 - 3 -2 -1 CAPTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES o I o I 1 I I 2 3 4 La recta dirigida de la figura 1.3, cuyos puntos corresponden a los nmeros reales, se llama recta numrica real. El nmero que corresponde a un punto sobre la recta se llama coordenada del punto. Puesto que los nmeros positivos corresponden a puntos en la direccin escogida como positiva a partir del origen y los nmeros negativos co rresponden a puntos en la direccin opuesta o negativa a partir del origen, entonces las coordenadas de los puntos sobre una recta numrica se consideran como distancias diri gidas a partir del origen. Por conveniencia, algunas veces se hablar de un punto como si fuera un nmero y viceversa. Por ejemplo, podra decirse "el punto 5" en lugar de "el nmero 5", y "el nmero 5" en lugar de "el punto 5". Coordenadas rectangulares Una vez obtenida una correspondencia uno a uno entre los puntos sobre una recta y el sistema de los nmeros reales, se desarrolla un esquema para poner en correspondencia uno a uno los puntos de un plano con un conjunto de pares ordenados de los nmeros reales. en que estn colocados y (x', y') son iguales si, y Observe que (3, 2) ;t= (2, 3) Y (l, 1) = (x, y) si, y slo si, x = 1 Y Y = l. Se trazan una recta horizontal y una recta vertical que se crucen en el origen O (Fig. 1.4). La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y. El eje x y el eje y, considerados juntos, se llaman ejes coordenados, y el plano determinado por los ejes coordenados se llama plano coordenado. El eje x, que usualmente se traza de manera horizontal, se llama eje horizontal y el eje y, eje vertical. De cada eje coordenado se hace una escala numrica real con una unidad de longitud adecuada, donde el origen sea el punto cero. Se escoge la direccin positiva hacia la derecha del eje x y hacia arriba en el eje y, como lo indican las flechas de la figura. Es muy importante que los ejes coordenados tengan denominacin. El estudiante debe acostumbrarse inmediatamente a hacerlo; bastar una flecha en la direccin positiva de cada eje. Sin embargo, en este caso tambin deber indicarse el nombre x o y de cada coordenada, como se hace en la figura 1.4 y en el resto del libro. Si P es un punto en el plano coordenado, las distancias del punto a los ejes coordenados se definen como distancias dirigidas. Esto es, la distancia al eje y es 15. 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 5 positiva si P se encuentra a la derecha del eje y, y negativa si P est a la izquierda, y la distancia al eje x es positiva si P est arriba del eje x, y negativa si P se.halla debajo del eje x. Cada punto P del plano est asociado con un par de nmeros llamados coordena das. Las coordenadas se definen en funcin de las distancias perpendiculares de los ejes al punto. y 4 3 11 2 1 (-, +) (+, +) 1 x -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 -1 (-, -) -2 (+, -) 111 IV-3 -4 FIgura 1.4 Un punto cuya abscisa es x y cuya ordenada es y se denominar (x, y), en ese or den; la abscsa siempl'e se coloca primero. Por ello, las coordenadas de un punto consti tuyen un par ordenado de nmeros. Aunque un par de coordenadas determina un punto, a menudo se hace referencia a las coordenadas mismas como a un punto. Se supone que a cualquier par de nmeros reales (coordenadas) le corresponde un punto definido. Recprocamente, St'< supone que a cada punto del plano le correspon de un par definido de coordenadas. Esta relacin de puntos sobre un plano y pares de nmeros reales se llama correspondencia uno a uno. El mecanismo descrito para obte ner esta correspondencia se llama sistema de coordenadas rectangulares. 16. 6 CAPiTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES Un punto de coordenadas dadas se localiza midiendo las distancias adecuadas a partir de los ejes y marcando ese punto. Por ejemplo, si las coordenadas de un punto son (- 4, 3), la abscisa - 4 significa que el punto est 4 unidades a la izquierda del eje y y la ordenada 3 (con el signo ms sobreentendido) significa que el punto se halla 3 uni dades sobre el eje x. En consecuencia, se llegar al punto yendo desde el origen 4 unidades a la izquierda sobre el eje x y despus 3 unidades hacia arriba paralelamente al eje y (Fig. 1.5). y 4 -r (-4,3) 2 - 1+ o , , , 1 , x -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3 , 4 Figura 1.5 -1 . De manera anloga, si se desea localizar los puntos (5, -3), habr que moverse 5 unidades a la derecha del origen sobre el eje x y despus 3 unidades hacia abajo (pues la ordenada es negativa), paralelamente al eje y. Se habr localizado as el punto deseado. En la figura 1.6 se tienen algunas coordenadas y se han localizado los puntos co rrespondientes. Figura 1.6 y o " , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... , . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . , . . . . , :. . . . . :. . . . . :.. . . . :.. . . . : . . . . . :. . . . , : : . (3 4) ....: . . . . . . . . , . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . , - . .. . . . . .. . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ." , . , . " " " : : ..(-4 2) : " , . . . . . :, . . . , ;, . . . , :. , . . . :. . . . . :. . . . . :. . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . , . . ' : . . . . . :. . ... : . . . . . : . . . . .: .....:...... (O 1) ...:. . . . .:. . . . . :. . . . . : : : : : : : ' : : : :. . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . : (- 2 - 2) .. . :. . . . . . . . . : . . . . . :. . . . . :. . . . . :. . . .. :. . . . . : t . ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . :. . . . . :. . . . .:. . . . . :. . . . . :. . . . (0 -3) ...:. . .. . :. . ...: . . .. . : t . . . . . . . . . . . . . . . . . . :. . . . . :. . . . . :. . . . . :. . , . . :: . . . . :. . . . . : . (2 - 4). . :. . . . : : : : : : : : : t : : . ' " . . :. . . . . (- 5 -5) .....:. . . . . . . . . . :. . . . . :. . . . . :. .. . . : . . . . . : . . . . . :. . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . ' . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . , . . . . .. . . x 17. 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 7 Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes, que se numeran del 1 al IV en la figura 1.4. Las coordenadas de un punto en el primer cuadrante son positivas, lo cual se indica con (+, +) en la figura. Se indican de manera anloga los signos de las coordenadas en cada uno de los otros cuadrantes. Cuando las coordenadas de un punto no son enteros, se har una aproximacin para localizar el punto sobre la grfica. Por ejemplo, para dibujar los puntos A(1t, .fi) y B= (-./5, 31t), localizemos el punto A en la grfica en una vecindad de (3. 1, 1.4) anlogamente el punto B cerca de (-2.2, 9.4) si se desea una mejor exactitud, la escala de ejes tiene que ser incrementada con ms precisin. DistancIa entre dos puntos En muchos problemas se requiere conocer la distancia entre dos puntos del plano coordenado. La distancia entre dos puntos cualesquiera, o la longitud del segmento de recta que los U1e, se puede calcular a partir de las coordenadas de los puntos. Un seg mento de recta (o una recta) se clasificar como horizontal, vertical o inclinado de pendiendo de si el segmento es paralelo al eje x, al eje y o a ningn eje. Con el fin de deducir frmulas adecuadas para encontrar la longitud de estos tipos de segmentos, se usar el concepto de segmentos dirigidos. Sean PJx, y) y P2(X2, y) dos puntos sobre una recta horizontal, y sea A el punto donde la recta corta el eje y (Fig. 1.7). Por el teorema 1.1, se tiene que AP + pp2 = AP2 =X2-XI'. De manera anloga, para la distancia vertical Q1Q2' se tiene -=--=' . .QIQ2 = QIB + BQ2 = BQ2 - BQI = Y2 - YI' Por consiguiente, la distancia dirigida desde un primer punto hasta un segundo punto sobre una recta horizontal es igual a la abscisa del segundo punto menos la abscisa del primero. La distancia es positiva o negativa dependiendo de si el segundo punto se en cuentra a la derecha o a la izquierda del primero. Se puede hacer un enunciado corres pondiente con respecto a un segmento vertical. En vista de que a menudo se requieren las longitudes de los segmentos, sin importar su direccin, se enuncia una regla que da resultados en cantidades positivas. La longitud de un segmento de recta horizontal que une dos puntos es la abscisa del punto de la derecha menos la abscisa del punto de la izquierda. La longitud de un segmento de recta vertical que une dos puntos es la ordenada del punto superior menos la ordenada del punto inferior. 18. 8 CAPTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES FIgura 1.7 A(O. y) B(x. O) o Q,(x. y,) y x Si no se sabe cul punto est a la derecha del otro, se puede usar la expresin equiva lente IpI1 = IXI - .1:21 = V(XI- X2)2 (1.1) para la distancia no dirigida entre PI(XI,y) y P2(X2,y). De manera anloga, IQIQ21 = IYI - )'21 = V(YI - )'2) 2 es la distancia entre Q(x,YI) y Q2(X,yJ Estas reglas se aplican en la figura 1.8 para encontrar las longitudes de los seg mentos de recta. IAB1 = 5 - 1 = 4, IEFI = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5. C(-2.4) F(-3, 1) ICDI = 6 - (-2) = 6 + 2 = 8, ICHI = -2 - (-5) = -2 + 5 = 3. y D(6,4) A(l,O) B(5,O) ----t----;::;t-- ----.--. x O H(3. -2) E(-3. -4) G(3. -5) Figura 1.8 . A continuacin se consideran los puntos P,(xl, y) y P/x2, y) que determinan una recta inclinada. Trace una recta que pase por PI y sea paralela al eje x, y una recta que 19. 1.1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 9 pase por P2 y sea paralela al eje y (Fig. 1.9). Estas dos rectas se interseean en el punto R, cuya abscisa es x2 y cuya ordenada es YI Por tanto, y y d o x FIgura 1.9 Por el teorema de Pitgoras, IPIP212 = (X2 - XI)2 + (Y2 - Ylf. Si d denota la longitud del segmento Pl2, se obtiene la frmula (1.2) Para encontrar la distancia entre dos puntos, se suma el cuadrado de la diferencia de las abscisas con el cuadrado de la diferencia de las ordenadas y se obtiene la raz cuadrada. Al emplear la frmula de la distancia, uno de los puntos se puede representar con (xI' y) y el otro con (x2' y2). Esto se debe a que las dos diferencias estn elevadas al cuadrado. El cuadrado de la diferencia de los dos nmeros no cambia cuando se invier te el orden de sustraccin. NOTA HISTORICA Pitgoras (c. 520 A. C.) integr una escuela para estudiar .nmeros, msica, astrono ma y geometra. En la escuela se admitan indistintamente hombres y mujeres, y se practicaba una extraa mezcla de religin, misticismo, poltica y matemticas. El teo rema de Pitgoras establece que la suma de los cuadrados de los lados perpendicu lares de un tringulo rectngulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Esto es, si a y b son las longitudes de los lados perpendiculares y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a2 + b2 = c2 20. 10 CAPTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Ejemplo 1 Encuentre las longitudes de los lados del tringulo (Fig. 1.10) con vrtices A(-2, -3), B(6,1) Y q-2, 5). y C(-2,5) T".. :>8(6,1) o x Figura 1.10 A(-2, -3) Solucin Las abscisas de A y C son iguales y, por tanto, el lado AC es vertical. La lon gitud del lado vertical es la diferencia de las ordenadas. Los otros lados son segmentos inclinados y sus longitudes se obtienen con la frlllula de la distancia. Se tiene, entonces, IACI = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8, IAB I = Y(6 + 2)2 + (l + 3f = v80 = 4Vs, IBCI = Y(6 + 2? + (1 - 5)2 = v80 = 4Vs. Las longitudes de los lados muestran que el tringulo es issceles. Ejercicios 1. Localice los puntos A(- 4, O), B(3, O) Y q5, O). A continuacin encuentre las dis- -7-:::- --:::f-:.. . tancias dirigidas AB, AC, BC, CB, CA y BA. 2. Localice las coordenadas de los puntos A, B Y C que se sealan en la rfica de la Figura 1.11. A continuacin encuentre las distancias I AB 1, lAC I y I CB I . y 5 4 3 2 A. 1 x O 1 3 4 C Figura l. I I 21. EJERCICIOS 1 1 3. Localice los puntos A(-2, -3),B(-2, O) Y C(-2, 4), Y verifique las siguientes ecuaciones mediante sustituciQnes numricas. ""7"A"""c + Cj = AB , BA + AC = BC, A-;-;::j + BC = AC. En los ejercicios 4 a 12 localice los pares de puntos y encuente la distancia entre ellos. 4. (3,1),(7,4) 6. (2,3),(-1,O) 8. (0,4),(-3,O) , 1O. (6,3),(-1,-1) 12. (-3,-3),(2,2) 5. (4.137,-2.394),(-8.419,2.843) 7. (13,--4), (O,O) 9. (-1,.Ji), (3,-.Ji) 11. (3,2),(-5,1) En los ejercicios 13 a 16 dibuje el tringulo con los vrtices dados y encuentre las longi- . tudes de los lados. 13. A(-I,1), B(-I,4),C(3,4) 15. A(O,O),B(5,-2),C(-3,3) 14. A(2,-1),B(4,2),C(5,O) 16. A(O,-3),B(3,O),C(0,--4) En los ejercicios 17 a 20 dibuje el tringulo con los vrtices dados y muestre que el trin gulo es issceles. 17. A(6,2),B(2,-3),CC-2,2) 18. A(21t,2),B(O,-1),C(-21t,2) 19. A(2.l 07,-1.549),B(2.107,6.743),C(9.167,2.597) 20. A(-2,-3),B(4,3),C(-3,4) En los ejercicios 21 a 24,dibuje el tringulo con los vrtices dados y muestre que se trata de un tringulo rectngulo. Esto es,que el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los lados restantes. 21. A(I,3),B(l 0,5),C(2,1) 23. A(O, 1),B(I,l/z), C(2,5/z) 22. A(-l,1),B(6,-2),C(4,3) 24. A(5,-2),B(l ,1),C(7,9) 25. Muestre que los puntos A(-2,O),B(2,O) Y C(O,2-J3) son los vrtices de un trin gulo equiltero. 26. Muestre que los puntos A(--J3,1), B(2-J3,-2) Y C(2-J3,4) son los vrtices de un tringulo equiltero. 27. Muestre que los puntos A(I,-1),B(5,2),C(2,6) Y D(-2,3) son lados iguales del cuadriltero ABCD. 28. Determine si los puntos (-5,6),(2,5) Y (1,-2) tienen la misma distancia con res pecto a (-2,2). 29. Justifique que los puntos A(-2,7),B(5,4),C(-I,-10) Y D(-8,-7) son los vrtices del rectngulo ABCD. 22. 12 CAPTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES Determine, usando la frmula de la distancia, si los puntos de los ejercicios 30 a 33 estn en una recta. 30. (3, 3),(0, 1),(9, 7) 31. (8.104,0.478), (-2.502, 3.766), (2.801, 2.122) 32. (-3, 1), (1, 3), (10, 8) 33. (-2, -2), (5, -2), (-11, 2) 34. Si (x, 4) equidista de (5, -2) Y (3, 4), encuentre x. 35. Si (-3, y) equidista de (2, 6) Y (7, -2), encuentre y. 36. Encuentre el punto sobre el eje y que equidista de (-4, -2) Y (3, 1). 37. Encuentre el punto sobre el eje x que equidista de (-2, 5) Y (4, 1). 38. El rea del tringulo ABC se puede encontrar sumando las reas de los trapecios DECA y EFBC y despus restando el rea de DFBA, como en la figura 1.12. Re cuerde que el rea de un trapecio es igual a la mitad de la suma de los lados para lelos por la altura. Muestre que el rea S del tringulo ABC es S = ;1 [x( Y2 - Y3) - Y(X2 - X3) + (X2Y3 - X3 Y2)JI, y que esto es igual a la mitad del valor absoluto del determinante X Y 1 X2 Y2 1 x3 Y3 1 y x o D E F Figura 1.12 1.2 INCLINACIN Y PENDIENTE DE UNA RECTA La inclinacin de una recta es un concepto de uso extendido en clculo y en otras reas de las matemticas. Con respecto a este concepto, se da la siguiente definicin. 23. 1.2 INCLINACiN Y PENDIENTE DE UNA RECTA De acuerdo con esta definicin, la inclinacin e de una recta es tal que 00 < e < 1800, o, en radianes, O e < n. 13 En la figura 1.13, la inclinacin de la recta L se indica mediante flechas curvadas. MX es el lado inicial y ML es el lado terminal. y y L L (J o x oM M x Figura 1.13 Una recta inclinada hacia la derecha tiene una pendiente positiva, pues la inclinacin es un ngulo agudo. La pendiente de una recta inclinada hacia la izquierda es negativa. Sin embargo, las rectas verticales no tienen pendiente, pues 9Qo no tene tangente. Si se conoce la inclinacin de una recta no vertical, la pendiente se puede determi nar usando una tabla de funciones trigonomtricas. Recprocamente, si se conoce la pen diente de una recta, se puede determinar su inclinacin. Sin embargo, en la mayora de los problemas conviene ms trabajar con la pendiente de una recta que con su inclinacin. Ejemplo 1 Dibuje una recta que pase por P(2, 2) con inclinacin de 35. Solucin Se traza una recta que pase por P y que forme un ngulo de 35 con la direc cin x positiva, como se muestra en la figura 1.14. La figura muestra tambin una recta que pasa por (--4, O) con inclinacin de 135. 24. 14 CAPiTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES y x Figura 1.14 Ejemplo 2 Dibuje una recta que pase por el punto P(-2, 2) con pendiente _2/3. Solucin Hay que moverse tres unidades a la izquierda de P y despus 2 unidades ha cia arriba. La recta que pasa por el punto as localizado y por el punto dado P, tiene claramente la pendiente que se busca (Fig. 1.15). y (- 5, 4) 3 P(-2,2) .-2 x Figura 1.15 Las definiciones de inclinacin y pendiente llevan de inmediato a un teorema acer ca de rectas paralelas. Si dos rectas tienen la misma pendiente, sus inclinaciones son iguales. Por geometra se sabe que son paralelas. Recprocamente, si dos rectas no ver ticales son paralelas, tendrn inclinaciones iguales y, por tanto, pendientes iguales. Teorema 1.2 Dos rectas no verticales son paralelas si, y slo si, sus pendientes son iguales. Si se conocen las coordenadas de dos puntos sobre una recta, entonces la pendiente de la recta se puede encontrar a partir de las coordenadas dadas. Se deducir a conti nuacin una frmula para ello. Sean PI(XI' YI) y P2(X2, y) dos puntos dados, y denote con m la pendiente. Enton ces, con referencia a la figura 1.16, se tiene 25. 1.2 INCLINACIN Y PENDIENTE DE UNA RECTA y o Figura 1.16 . m = tan (j = RP = Y2 - YI PIR x2 - xI (J 15 x En la figura 1.17 la recta se inclina hacia la izquierda. Las cantidadesY -Y2 y x2 -x son positivas y los ngulos e y l/> son suplementarios. En consecuencia, Por tanto, y Figura 1.17 o YI - Y2 = tan 4> = -tan (j. x2 - xl m = tan (j = _ YI - Y2 = Y2 - YI X2 - Xl P2(X2, Y2) (J x Por consiguiente, las pendientes de las rectas se detenninan de la misma manera, sin importar si estn inclinadas hacia la izquierda o hacia la derecha. 26. 16 , CAPTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Teorema 1.3 La pendiente m de una re.c:;ta que pasa por dos puntos dados PJx" YI) y P/x2, Y2) es igual a la diferencia de las ordenadas dividida entre la diferencia de las abscisas toma das en el mismo orden; esto es, m = Y2 - YI con x --- x" 2 +- IX2 - XI Con esta frmula se obtiene la pendiente si los dos puntos se hallan en una recta inclinada u horizontal. Si la recta es vertical, el denominador de la frmula se hace cero, lo cual se relaciona con el hecho de que la pen"diente vertical. Se observa, adems, que cualquiera de los dos puntos se puede representar con PI(xl'Yj, y el otro cm Plx2,y.). ya que Y2 - Y _ Y - Y2 x2 - x x - x2 Ejemplo 3 Dados los puntos A(-I, -1), B(5, O), C(4, 3) y D(-2, 2) muestre que ABCD es un paralelogramo. Solucin Por las pendientes de los lados se determina si la figura es un paralelogramo. . 0-(-1) l . 3-0 PendIente de AB = 5 _ (_ 1) = 6' PendIente de BC = 4 _ 5 = -3. 2 - 3 1 . 2-(-1) Pendiente de CD = -2 _ 4 = 6' PendIente de DA = -2 _ (-1) = -3 . Los lados opuestos tienen pendientes iguales y, por tanto, ABCD es un paralelogramo. Angulo entre dos rectas Dos rectas que se intersecan forman dos pares de ngulos iguales, y un ngulo de un par es el suplemento de un ngulo del otro par. Se mostrar cmo encontrar una medida de cada ngulo en funcin'de las pendientes de las rectas. Si se observa la figura 1.18 y se recuerda que el ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los ngulos interio res no adyacentes a l, se ver que

or ambos extremos una distancia igual a su longitud original. Encuentre las coordenadas de los nue vos extremos. En los ejercicios 32 a 35, encuentre el punto de interseccin de las diagonales del paralelogramo ABCD. 32. A(3, O), B(7, O), C(9, 3), D(5, 3) 33. A(-2, 3), 8(6, 1), C(5, -2), D(-3, O) 34. A(-I, -2), B(3, -6), C(II, -1), DO, 3) 35. A(O, 2), B(-3, 1), C(2, -1), D(5, O) 36. Un nio de 15 kg se sienta en A(2, 3) Y otro, de 25 kg, en B(12, 7), las unidades son metros. Encuentre el punto P entre A y B que pueda uSarse Como apoyo de un balancn que ponga a los dos nios en equilibrio [Sugerencia: 15AP = 25PB o (AP! PB) = 511. Use las formas para el punto de divisin.] 37. Un nio de 30 kg se sienta en un balancn en (1, 1) Y el:lpdyb est en (2.5, 1.3), las unidades son metros. En qu punto debe sentarse un nio de 20 kg para estar en equilibrio? Vase la sugerencia del ejercicio 36. 38" Hay un rbol de 6 m de altura cerca de un edificio en cuya azotea hay un faro, de "modo que el rbol est a 4/10 de la distancia de la base del edificio al extremo de su 40. 30 CAPTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES sombra. A qu distancia del piso est el faro? Si la punta del rbol est exacta mente a 5 m del faro, qu distancia hay entre el rbol y el edificio, y cul es la longitud de su sombra? 39. Un viajero de 2 metros de estatura observa la cima de una montaa reflejada sobre una pequea laguna. Segn un mapa, dicha laguna se encuantra a 3 km de la cima. Si el viajero est situado a 15 metros del punto donde ocurre la reflexin en la laguna,cul es la altura de la cima con respecto al nivel de la laguna? 1.4 DEMOSTRACIONES ANALTICAS DE TEOREMAS GEOMTRICOS Muchos teoremas de la geometra euclidiana clsica se pueden probar con sorprendente facilidad y en forma directa, mediante un sistema de coordenadas. El procedimiento se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 1 Demuestre que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre s. Solucin Primero se dibuja un paralelogramo y despus se introduce un sistema de coordenadas. Una colocacin acertada de los ejes con respecto a la figura hace que los vrtices se puedan escribir sin dificultad, adems de que facilita las operaciones algebraicas que requiere la demostracin. Por tanto, se escoge un vrtice como el ori gen y un eje coordenado a lo largo de un lado del paralelogramo (Fig. 1.29). Despus se escriben las coordenadas de los vrtices como 0(0, O),PI(a, O), P2(b, e) y P/a + b, ej. Es fundamental que las coordenadas de P2 y PJ expresen el hecho de que P2PJY OPI son paralelos y tienen la misma longitud. Esto se logra igualando las ordenadas de P2 y P3 Y haciendo que la abscisa de P3 exceda en a a la abscisa de P2 y PJ(a + b, e) x Figura 1.29 o P,(a, OL NOTA HISTRICA Euclides (c. 350 A. C.) estudi en Alejandra, en su tiempo el centro de conocimiento. Sus Elementos de la geometra, uno de los ms antiguos escritos de los griegos que han sobrevivido completos, reunieron y unificaron muchos resultados conocidos. Hoy da constituyen la base de la geometra que se ensea a nivel de bachillerato. 41. 1.4 DEMOSTRACIONES ANALTICAS DE TEOREMAS GEOMTRICOS 31 Para mostrar que OP3 y Pl2 se bisecan mutuamente,se encuentran las coordena das del punto medio de cada diagonal. Punto medio OP3: a + b e x= 2 , Y = 2' a + b e x= 2 , Y = 2' Punto medio PIP2: a+b e Como el punto medio de cada diagonal es 2 '"2 . el teorema queda probado. Al hacer una demostracin es fundamental que se use una figura general. Por ejem plo, no se debe usar un rectngulo ni un rombo (un paralelogramo con todos sus lados iguales) como paralelogramo. La demostracin de un teorema basada en un caso parti cular no es una demostracin general. Ejemplo 2 Demuestre que en cualquier tringulo el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y tiene como longitud la mitad de este. Solucin El tringulo y los puntos medios de dos lados se muestran en la figura 1.30. Observe que los ejes coordenados estn colocados, con respecto al tringulo, de modo que sea fcil escribir las coordenadas de los vrtices. De acuerdo con el teorema 1.3, la pendiente de DC es (c/2) - (c/2) l l = O. -(a + b) --b 2 2 Por tanto, el segmento de recta DC y el tercer lado son paralelos pues la pendiente de cada uno es O. Para obtener la longitud de De. se usa la frmula de la distancia y se encuentra que a + b b 2 e e 2 a Figura 1.30 o -,.-- -- + --- =-2 2 ,2 2 2' y B(b. e) A(a. O) x 42. 32 CAPiTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES lo cual es la mitad del tercer lado, como se pidi. Ejemplo 3 Demuestre que un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares es un rombo. Solucin Primero debe recordarse que un paralelogramo cuyos lados son todos iguales se Hamarombo. La demostracin empieza con el paralelogramo OACBy las diagonales perpendiculares AB y OC (Fig. 1.31). Si los lados de este paralelogramo son todos de la misma longitud, la figura satisface la definicin de rombo. Se sabe que los lados opues tos de un paralelogramo son iguales. Entonces, si un lado de uno de los pares de lados opuestos tiene la misma longitud que uno de los lados del otro par de lados opuestos, todos los lados sern iguales y OACB ser un rombo. Se mostrar ahora que el lado OA es igual al lado OB. Pendiente de Pendiente de e - O e OC = a + b- O - a+b' e - O e AB = = -- b-a b-a' Cada una de estas pendientes es el recproco negativo de la otra (Teorema 1. 5). En otras palabras, su producto es-1. Por consiguiente, e . e =-1 b-a a+b o y El lado izquierdo de estaltima ecuacin es la longitud de OA y el lado derecho es la longitud de OB. Por tanto, OACB es un rombo. y 8(b,e) e(a + b, e) x Figura 1.31 o A (a, O) Ejemplo 4 Los puntos A(x, y), B(x2, y) Y C(x3 yJ son los vrtices de un tringulo. Encuentre las coordenadas del punto sobre cada mediana que est a dos tercios de la distancia del vrtice al punto medio del lado opuesto. Solucin La figura 1. 32 muestra el tringulo y las coordenadas de los puntos medios de los lados. Sean (x, y) las coordenadas del punto deseado sobre la mediana AD. En tonces, usando r = 2/3 en lasfrmulas de divisin [Ec. (1.5)], se obtiene 43. 1.4 DEMOSTRACIONES ANALfTICAS DE TEOREMAS GEOMTRICOS y FIgura 1.32 o X = XI 2 +- ,."2 + x3 - XI _ XI + x2 + x3- 3 2 3 2 Y2 + Y3 _ YI + Y2+Y3 Y = YI + 3 - YI - 2 3 33 x , De manera anloga, se llama (x, y) al punto que se busca sobre la mediana BE y se encuentra 2 x = X2 + 3 2 Y = Y2 + -3 XI + X3 2 - X2 YI + Y3 _ Y2 2 , _ Y2 + YI +Y3- 3 A partir de los resultados anteriores, se ver que dos de las medianas se ntersecan en elpunto XI + X2 + X3 YI +Y2 + Y33 ' 3 Se puede concluir que las tres medianaspasanpor este punto. Pudo haberse llegado a esta conclusin considerando slo una mediana? Con esto se ha establecido el siguiente teorema. TEOREMA 1.7 Las tres medianas de un tringulo se intersecan en el punto J' cuya abscisa es un ter cio de la suma de las abscisas de los vrtices del tringulo y cuya ordenada es un tercio de la suma de las ordenadas de los vrtices. * El punto de interseccin de las medianas de un tringulo se llama baricentro, centroide o pun to mediano. (N. del R. T.) 44. 34 CAPTULO 1 CONCEPTOS FUN'DAMENTAlES Ejemplo 5 Los vrtices de un tringulo estn en (-7, 3), (4, -2) Y (6, 5). Encuentre el punto de interseccin de las medianas (baricentro). Solucin La abscisa del punto de interseccin es 1/3 (-7 + 4 + 6) = 1 Y la ordenada es 1/3 (3-2 + 5) = 2. Por consiguiente, las medianas se intersecan en (1, 2). Ejercicios Proporcione demostraciones analticas de los siguientes teoremas: l. Las diagonales de un rectngulo tienen la misma longitud y se bisecan mutuamente. 2. Si las diagonales de un paralelogramo tienen (gual longitud, la figura es un rectngulo.3. Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre s. 4. Los segmentos que conectan los puntos medios de lados consecutivos de un cua- drado forman un cuadrado cuya rea es la mitad de la figura original.* 5. Si las diagonales de un rectngulo son perpendiculares entre s, la figura es un cuadrado. 6. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. 7. Los segmentos que unen los puntos medios de lados consecutivos de un cuadrilte ro plano forman un paralelogramo. 8. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados consecutivos de un rombo forman un rectngulo. 9. Los segmentos de recta que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadriltero se bisecan entre s. 10. La suma de los cuadrados de las diagonales de un rombo es igual a cuatro veces el cuadrado de uno de sus lados. 11. El punto medio de la hipotenusa de un tringulo rectngulo equidista de los vrtices. 12. Si el punto medio de un lado de un tringulo equidista de los tres vrtices, el trin gulo es rectngulo. 13. Si la suma de los cuadrados de dos lados de un tringulo es igual al cuadrado del tercer lado, la figura es un tringulo rectngulo. 14. Si dos medianas de un tringulo son iguales, ste es issceles. 15. El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un tringulo biseca la mediana que va al tercer lado. * Este problema se menciona en el Menn de Platn. 45. 1.5 RELACIONES Y FUNCIONES 35 16. La recta que pasa por el vrtice de un tringulo issceles y es paralela a la base, biseca el ngulo exterior. 17. El vrtice y los puntos medios de los tres lados de un tringulo issceles son los vrtices de un rombo. 18. El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a las bases y su longitud es el promedio de las longitudes de las bases. 19. Las diagonales de un trapecio issceles son iguales. 20. Si las diagonales de un trapecio son iguales, la figura es un trapecio issceles. 21. La suma de los cuadrados de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales. 22. Las rectas que van de un vrtice de un paralelogramo a los puntos medios de los lados opuestos trisecan una diagonal. 23. La recta que une los puntos de triseccin de una diagonal de un rectngulo con los otros vrtices forma un paralelogramo. 24. Si Pea, b) est en una circunferencia con centro en el origen y radio r, entonces a2 + b2 = r. 25. Si P es un punto sobre la circunferencia de un crculo, entonces los segmentos de recta que unen P con los extremos de un dimetro son perpendiculares. [Sugeren cia: Escoja el centro en el origen y el dimetro a lo largo de un eje, y use el resulta do del ejercicio 24.] 1.5 RELACIONES Y FUNCIONES Los conceptos de relacin y funcin que se presentan en esta seccin aparecen en todas las matemticas; quiz sean los conceptos ms importantes de muchas de sus ramas. De hecho, el lector ya ha encontrado estos conceptos en lgebra y en trigonometra. No obs tante, se presentarn ahora pues son centrales en la mayor parte del libro. Ejemplo 1 Encuentre el dominio y la imagen de la relacin R = {(-5, -5), (-4, 2), (-2, -2), (O, 1), (O, -3), (2, -4), (3, 4)} 46. 36 CAPTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Solucin El dominio es {-5, --4, -2, O, 2, 3) Y la imagen de R es {-5, -4, -3, -2, 1, 2, 4). Esta relacin R no exhibe una conexin aparente entre los elementos de los pares ordenados, as que la mejor manera de presentarla es listar los pares. Sucede a menudo que hay una "relacin" especfica entre los elementos de pares ordenados de una relacin. Por ejemplo, el segundo elemento puede ser siempre el do ble del primer elemento. Cuando se tiene una regla o una receta que muestra cmo estn relacionados los pares, no se necesita recurrir a una lista de ellos, como se hizo en el ejemplo l . La relacin se puede describir usando la regla. Ejemplo 2 La relacin S, cuyo dominio es el conjunto de los nmeros reales y que tiene la propiedad de que cada par es de la forma (x, 2x) para algn nmero real x, tiene infinidad de pares ordenados. Se puede denotar con la regla y = 2x. En otras palabras, una funcin es una regla o ley que asocia a cada elemento de un conjunto A (dominio) uno y slo un elemento de un conjunto B (codominio, contradominio o conjunto de imgenes). Si una relacin es una funcin, entonces, para cada miembro del dominio corres ponde uno, y slo uno, de los miembros de la imagen. Una funcin es, entonces, un tipo particular de relacin. La relacin R del ejemplo 1 no es una funcin pues (O, 1) Y (O, -3) estn en R, esto es, el nmero O del dominio est relacionado con los nmeros distintos 1 y -3 de la imagen. La relacin S del ejemplo 2 es una funcin. Cuando a una funcin se le asigna un nombre, por ejemplo f, se acostumbra escri bir y = f(x) para especificar la relacin funcional. El trmino ''f(x)'' se lee "fde x" e indica el punto en la imagen con el cual est asociado el elemento x del dominio me diante la funcin: Si S es la funcin del ejemplo 2, entonces la funcin se puede especi ficar con y = S(x) = 2x. Entonces, S(6) = 12, S(-../2 ) =-2../2 y S(1t) = 21t. Ejemplo 3 Sea r la relacin cuyo dominio es el conjunto de todos los nmeros reales y con la propiedad de que (x, y) est en r siempre que y = Ixl. Es r una funcin? Cul es la imagen de T? Solucin Puede verse que tanto (2, 2) como (-2, 2) estn en r, pero esto no contradice la definicin de funcin. La cuestin es: hay dos pares ordenados en r con el primer elemento igual y segundos elementos distintos? Puede un nmero real tener dos valo res absolutos distintos? La respuesta, de acuerdo con la definicin 1.1, es "no". La relacin 47. J.5 RELACIONES Y FUNCIONES 37 T es una funcin. La imagen de T es el conjunto de todos los resultados que se puedan obtener tomando el valor absoluto de cada nmero real. Por esta razn, la imagen de T es el conjunto de todos los nmeros reales no negativos. Una relacin o unafuncin puede determinarse totalmente especificando un domi nio y mediante una ecuacin que relacione los elementos de los pares ordenados. Suce de con frecuencia que se da una ecuacin sin especificar un dominio, en cuyo caso se sobreentiende que el dominio estformado por el mayor conjunto de nmeros reales x para los cuales la ecuacin da nmeros realesy=j(x). Ejemplo 4 Encuentre el dominio y la imagen de lafuncin especificada pory = l/x. Solucin Para cualquier nmero real x distinto de cero, la ecuacinda un nmero real y*- O. Si x oy es O, la ecuacin es un enunciado falso; por consiguiente, el dominio, al igual que la imagen, es el conjunto de todos los nmeros reales distintos decero. Ejemplo 5 Encuentre el dominio y la imagen dey= .J9 -X2 Solucin El dominio est formado por todos los nmeros reales x para los cuales9-r O, pues si el radicando es negativo, y no ser un nmero real. Por lgebra se sabe que 9 > X2 si, y slo si, -3 < x < 3. Adems, conforme x vara de-3 a 3, y vara de O a 3 y de nuevo aO. La imagen es el conjunto de nmeros deO a 3, inclusive. Las funciones seno y coseno de trigonometra tienen cada una como dominio el conjunto de nmeros reales y como imagen el conjunto de los nmeros reales de-1 al, inclusive. Ms adelante se volvern a encontrar las funciones trigonomtricas. Puede suceder que unafuncin est mejor definida por diferentes recetas sobre di ferentes intervalos. Por ejemplo, podra tenerse que x . (x) = x2 2x + 3 entonces, G) = 4,(2) = 4, y f(12) = 27. Grficas de relaciones y funciones si O $ x < 1, si 1 $ x < 3, . 3 a, tambin (-00, b) representa la semirecta x < b. Estableceremos una opinin del rectngulo sobre el graficador, especificando un intervalo [a, b] como subconjunto del dominio de la funcin a graficarse, y el intervalo [e, d] como subconjunto del conjunto de imgenes de dicha funcin. El xito en el uso de un graficador a menudo depende en escoger.estos intervalos y tambin que la parte que nos interese de la curva se vea en pantalla. Ejemplo 8 Construya la grfica de la relacin definida por la ecuacin 4X2 + 9y = 36. Solucin Se despeja yen la ecuacin para tener una forma adecuada de hacer una ta bla de valores. Se obtiene as Se observ ahora que x puede tomar valores slo desde -3hasta 3 (dominios); otros valores para x daran valores imaginarios para y. Los pares de nmeros de la tabla si guiente dan puntos de la grfica. La curva dibujada pasando por los puntos (Fig. 1. 35) se llama elipse. x -3 -2 -1 o 1 2 3 y o +1.5 + 1.9 +2 +1.9 + 1.5 o Observe las grficas de la figura 1.6 y de las figuras 1.33 a 1.35. A partir de la grfica es relativamente fcil decir, mediante el siguiente criterio, si una relacin es una funcin: Si cualquier recta vertical cruza o loca la grfica de una relacin en ms de un punto entonces la relacin no es unafuncin. Entonces se tendran al menos dos puntos, (x, y) y (x, z), en la grfica, con y =1- z. Las relaciones graficadas en las figuras 1.6 y l. 35 no son funciones, mientras que las relaciones graficadas en las figuras 1.33 y 1.34es obvio que s lo son. 51. EJERCICIOS FIgura 1.35 y (-1, 1.9) 2) 1.5) 4x2 +9y2 = 36 (-3, O) f------i--t--::t--t--t---- O si x < O 18. Sifes una funcin con todos los nmeros reales en su dominio y si fCx) = X2 + 1, qu sonfC-I),fCl + h),fCl-h), fCO)? Existe alguna x real para la cualfCx) = O? 53. EJERCICIOS 43 19. Las ltimas investigaciones en sociologa describen la relacin entre la edad x en que la gente se casa por primera vez y los aos y de educacin terminados por la persona, mediante un modelo de la forma y= a:x + b, e, si 14 < x < 22 si 22 < x, donde los parmetros a, b y e son constantes que se encuentran empricamente., Grafique el modelo (ecuacin) particular y= 1 + x/2 12, si 14 < x < 22 si x > 22. 20. Los fisilogos del ejercicio han determinado que cuando una persona se ejercita, su ritmo cardiaco debera ser 80% de la diferencia entre 220 y la edad de la persona. Para alguien de 20 aos, el ritmo esperado durante el ejercicio es de 160 latidos por minuto. Grafique la curva que ilustra el ritmo cardiaco esperado como funcin de la edad, para edades de lO a 70 aos. 21. Se dice que una funcin!cuyo dominio es el conjunto de los nmeros reales es una funcinpar si fe-x)= f(x) para toda x. f(-x) = -f(x). Muestre que JCx) = X 2 es una funcin par y que g(x) = X l es una funcin impar. Es h(x) = 2x - 1 una funcin impar? Se trata de una funcin par? la funcin c(x) = sen x, es par o impar? La funcin c(x) = cos x es par o impar? 22. Para cada una de las s. cin par o impar, o si es la grfica de una funcin que no es par ni impar. y y x x (a) (b) -- 54. 44 y (e) , , x CAPTULO) CONCEPTOS FUNDAMENTALES y x (d) 1.6 ECUAClON DE UNA GRAFICA Una vez obtenidas grficas de ecuaciones, se intuye naturalmente que una grfica puede tener una ecuacin correspondiente. Se considerar el problema de escribir la ecuacin de una grfica cuyos puntos estn determinados por condiciones geomtricas dadas. Este problema es el inverso al de dibujar la grfica de una ecuacin. El procedimiento para encontrar la ecuacin de una grfica es directo. Cada punto P(x, y) de la grfica debe satisfacer las condiciones 'especificadas. La ecuacin que se busca puede escribirse haciendo que P obedezca las condiciones. Los ejemplos siguien tes ilustran el mtodo. * Una grfica puede representarse co.n ms de una ecuacin, Po.r ejemplo., la grfica de y = -x y (x2 + I)(x + y) = O es la misma recta. Sin embargo, algunas veces se habla de "la" ecuacin cuan do. lo. que se quiere decir es la ecuacin ms sencilla que se puede o.btener. 55. J.6 ECUACIN DE UNA GRFICA 45 Ejemplo 1 Una recta pasa por el punto (-3, 1) con pendiente 312. Encuentre la ecua cin de la recta. Solucin. Primero se dibuja la recta que pasa por (-3, 1) con la pendiente dada. Des pus se aplica la flIllula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos (Sec. 1.2). As, la pendiente m de la recta que pasa por P(x, y) y (-3, 1) es m= y-l = y-l x - (-3) x + 3' Esta expresin se iguala con la pendiente dada. Por tanto, y-l_ 3. - x + 3 2' o, simplificando, 3x - 2y + 11 =O. la grfica de esta ecuacin es la lnea que aparece en la figura 1.36. y 3x- 2y+ 11 =0 (-3, 1) o x FIgura f .36 Ejemplo 2 Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto (5, -2) con pen diente - 4/J. Solucin Ahora se tiene que Por consiguiente, m = y - (-2) = Y + 2 x-S x-S' y + 2_- 4-- x-S 3' Simplificando esta ecuacin se obtiene la ecuacin que se busca, 4x + 3y - 14 = O. La grfica de esta ecuacin se halla en la figura 1.37. 56. 46 CAPTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES y 4x+3y-!4=0 o x -3 Figura 1.37 Ejemplo 3 Encuentre la ecuacin del conjunto de todos los puntos equidistantes del eje y y de (4, O). Solucin Se toma un punto P(X, y) de la grfica (Fig. 1.38). Entonces, teniendo en cuenta la frmula de la distancia (Sec. 1.1), se encuentra que la distancia de P al eje y es la abscisa x, y que la distancia al punto (4, O) es Y(x - 4f + y2. Al igualar las dos distancias se obtiene Y(x - 4f + y2 = x. Si se elevan al cuadrado ambos lados y se simplifica, se tiene que Figura 1.38 y2 - 8x + 16 = O. y (O,y) ----- P(x, y) o (4, O) x 57. J.6 ECUACIN DE UNA GRFICA 47 Ejemplo 4 Encuentre la ecuacin del conjunto detodos los puntosque distan de (4, 4) el doble de loque distan de (1, 1). Solucin Se aplica la frmula de la distancia para encontrar la distancia de un punto P(x, y) a cada uno de los puntos dados. Se obtienen as las expresiones V(x - l? + (y - 1)2 Y V(x - 4)2 + (y - 4)2. Como la segunda distancia es el doble de la primera, se tiene la ecuacin 2V(x - l? + (y - 1)2 = V(x - 4)2 + (y - 4? Al simplificar se obtiene 4(x2 - 2 x + 1 + y2 - 2y + 1) = x2 - 8 x + 16 + y2 - 8y + 16 o bien, X2 + y2 = 8. La grfica de la ecuacin aparece en la figura 1.39. y (1, 1) / Figura 1.39 (4,4) , / / / P(x, y) x Ejemplo 5 Encuentre la ecuacin delconjunto detodos los puntosP(x, y) talesque la suma de las distancias deP a(-5, O) Y a (5, O) sea igual a 14. Solucin Remtase a la figura 1.40 para obtener la ecuacin V(x + 5)2 + y2 + V(x - 5)2 + y2 = 14. Trasponiendo el segundo radical, elevando al cuadrado y simplificando, se obtiene la ecuaclOn 7V( x - 5)2 + y2 = 49 - 5x. Al elevar de nuevo al cuadradoy simplificar, se obtiene la ecuacin 58. 48 CAPTULO I CONCEPTOS FUNDAMENTALES 24x2 + 49y2 = 1176. Como se muestra en la figura, las intersecciones con el eje x de la grfica de esta ecuacin son (-7 , O) Y (7, O) mientras que las intersecciones con el eje y son (O, -.J24) y (O, .J24). Figura 1.40 (-7,0) (-5,0) o y -_ P(x,y) x (5, O) (7, O) (O,-m) Con frecuencia sucede que un investigador recolecta datos y desea encontrar una relacin funcional entre las variables a las que corresponden sus datos. Si slo cuenta con un nmero finito de observaciones, la grfica de los datos ser una grfica discre ta, y puede ocurrir q!le no exista ninguna relacin obvia que "acomode ptimamente" sus datos. Ejemplo 6 Durante un brote de sarampin, un oficial del servicio de salud pblica en cuentra que ocurren 5 nuevos casos durante la primera semana, 18en la segunda, 36en la tercera y 59 en la cuarta. Cuntos nuevos casos cabe esperar en la quinta semana? Solucin Se grafican los puntos {el, 5), (2, 18), (3, 36),(4, 59)} como lo indica la fi gura 1. 41. En vista de que no se cuenta con una relacin entre las variables, no hay una manera especfica de determinar un valor exacto def(5). Aun as, se pueden hacer 'varias consi deraciones. La "pendiente" entre x = 3Y x = 4 es 23. Si se supone que la misma pendien te se mantiene entre x = 4y x = 5, entonces (5, 82)es el siguiente punto, de manera que se pueden anticipar 82nuevos casos de sarampin. Sin embargo, observe que la "pendiente" entre (1, 5) y (2, 18) es 13, entre (2, 18)y (3,36)es 18y entre (3,36)y (4, 59) es 23. Las pendientes estn aumentando en 5 unida des cada semana. Si suponemos otro incremento similar, entonces (5, 87 )es el punto que se espera alcanzar y, por tanto, se anticipa que habr 87 nuevos casos de sarampin. 59. EJERCICIOS 49 y El oficial del servicio de salud supondr, con un alto grado de certeza, que en la quinta semana ocurrirn entre 80 y 90 nuevos casos. Existen varios nuevos mtodos para ajustar una curva continua a datos discretos. Ms adelante se analizar en este texto otra manera de tratar el problema. Ejercicios En cada uno de los ejercicios 1 a 10, dibuje la recta que satisfaga las condiciones dadas. despus encuentre la ecuacin de la recta. l . La recta que pasa por (4, 2) con pendiente l. 2. La recta que pasa por el origen con pendiente -2. 3. La recta que pasa pQr (-1, 2) con pendiente 112. 4. La recta que pasa por (5, 7) con pendiente - 312. 5. La recta que pasa por (-1.8059, 2.1643) con pendiente -3.1786. 6. La recta horizontal que pasa por (-2,4). 7. La recta vertical que pasa por (3, -1 ). 8. La recta que est 2 unidades arriba del eje x. 9. La recta que pasa por (2, -3) con pendiente O. 1 0. La recta que est 4 unidades a la izquierda del eje y. En los ejercicios 11 a 25, encuentre la ecuacin del conjunto de todos los puntos P(x, y) que satisfaga las condiciones dadas. 1 1 . P(x, y) equidista de (-2, 4) Y de (1, -5). 12. P(x, y) equidista de (-3, O) Y de (3, -5). 60. 50 13. P(x, y) equidista del ejey y de (4,O). CAPTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES 14. P(x, y) equidista de (4,O) Y de la recta x = -4. 15. P(x, y) dista de (4,-4) el doble de lo que dista de ( 1,- 1). 16. P(x, y) dista de (-8,8) el doble de lo que dista de (-2,2). 17. P(x, y) forma con (O, 3) Y (O, -3) los vrtices de un tringulo rectngulo donde P es el vrtice del ngulo recto. 18. P(x, y) forma con (4,O) Y (-4, O) los vrtices de un tringulo rectngulo donde P es el vrtice del ngulo recto. 19. La suma de las distancias de P(x, y) a (-4, O) Y a (4,O) es igual a 12. 20. La suma de las distancias de P(x, y) a (O, -3.) Y a (O, 3) es igual a 10. 2 1. La diferencia de las distancias de P(x, y) a (-3,O) Y a (3,O) es 2. 22. La diferencia de las distancias de P(x, y) a (O, -3) Y a (0,3) es 1. 23. La distancia de P(x, y) a (3,4) es 5. 24. La suma de los cuadrados de las distancias de P(x, y) a (O, 3) Y (O, -3) es 50. 25. El producto de las distancias de P(x, y) a los ejes coordenados es 5. 26. Un oficial del servicio de salud registra 6 casos de paperas durante la primera sema na de un brote de dicha afeccin. En la segunda semana registra 17 nuevos casos, en la tercera 30 y en la cuarta 48. Analice el nmero esperado de nuevos casos en la quinta semana. Si cuenta con alguna herramienta de graficacin,grafique los puntos y trate de "ajustar" varias lneas a los datos con que cuenta. 1 .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES Uno de los objetivos del presente libro es mostrar algunas funciones especiales,las cua les,combinados mediante las operaciones de suma,resta,multiplicacin y otras,dan como resultado funciones polinamiales,racionales,trascedentes,etctera. La grfica es como se muestra en la figura 1.42. 61. J .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES , Figura 1.42 51 y j(x) = k -------+---------.x Ejemplo 1 Halle el dominio y el conjunto imagen,y haga un dibujo de la grfica de f(x)= 3. Solucin El dominio son todos los nmeros R y la imagen es la ordenada y = 3. Esto es,para cualquier x E R que se considere,el valor que se asigna es siempre 3; la grfica correspondiente es una recta paralela al eje x cuya distancia al eje x es de 3 unidades, (Fig. 1.43) . y y=3 ------1---------. x Figura 1.43 62. 52 CAPiTULO J CONCEPTOS FUNDAMENTALES y f (x) = x '-'-'-------+ x Figura 1.44 La funcin linealy = mx + b se trata en el captulo 2. y (x, .,fX ) o f(x) =.,fX x Figura 1.45 Ejemplo 2 Determine el dominio y el conjunto de imgenes, y haga un dibujo de la grfica def(x) = ./x- 2 . 63. 1.7 ALGUNAS FUNCiONES ESPECIALES 53 Solucin Dominio {x E R: x - 2 ?: O}Ox >2}, que suele representarse tambin como [2, 00); el conjunto imagen es [O, 00). Si se considerax (2,00 ) Y se sustituye enf(x) = .Jx - 2 ,el resultado es la raz de un nmero negativo, que no es un nmero real. La grfica def(x) = .Jx - 2 es la figura 1.46. y Figura 1.46 La grfica se muestra en la figura 1.47. y f(x) = Ixl ____________----------. x Figura 1.47 64. 54 CAPTULO CONCEPTOS FUNDAMENTALES Ejemplo 3 Determine el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de la grfica def(x)= Ix + 21. Solucin Dominio = R, conjunto imagen = [O, 00) ; la grfica se muestra en la figura 1.48. FIgura 1.48 y __+-____--.x - son los nmero.s ra . < el valor que se . . es. el x= 0.07, entoncesJ(O.07 -2]]=-1, etctera. El significado geomtrico de la funcin mayor entero es como se muestra en la figu ra 1.49. FIgura 1.49 o o y e o o 65. .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 55 Ejemplo 4 Determine el dominio y el conjunto imagen, y haga un dibujo de f (x) = [[ v'1- X2 ]]. Solucin Dominio = {XE R: l-x2 > O} = -1 < x < l o [-1, 1] el conjunto imagen es --: . {O, 1}. La grfica se muestra en la figura 1.50. y ----____--------__. x Figura 1.50 Operaciones entre funciones Debe tenerse cuidado en el caso 4, ya que el dominio de (jIg)(x) son todos los ele mentos x del dominio de g(x) tal que g(x) 7:. O. Ejemplo 5 Sif(x) = v'x + 1 y g(x) = v'1-x , el dominio def(x) = [-1,00) y el dominio de g(x) = (-00, 1]. 66. 56 - , CAPITULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Luego, el dominio de f+g,f-g,f. ges Dom f(x)n Domg(x)= [-1,00 )n (-00 ,1] = (-00, 1] n [-1,00)= [-1,1] Sin embargo ,el dominio dej1ges Domf(x)n Domg(x) con g(x)* O, es decir ,[-1,00) n (-00, 1]= [-1,1). Composicin de funciones Una vez definida la adicin ,la diferencia, la multiplicacin y la divisin de funciones ,se considera otra operacin fundamental llamada composicin, a saber: La figura 1.5.1da un panorama de fo g; en esta figura A es el dominio de g,B es el eodominio de gy el dominio del, e es el eodominio de fy de fo g. A B e g f '--------- FIgura 1.5! fog Ejemplo 6 Sea f(x)=3x +2,g(x)= .Jx-1 ,h(x)=y y s(x)=X2 + l. Halle (a )fo g, (b )gol, (e )fo h, (d )h01, (e )g o s, (f )so g. Solucin a ) (Jo g)(x) =f(g(x))=f(.Jx-1 )=3.Jx -1 +2. b ) (go f)(x) =g(J (x))= g(3x +2)=.J3x+2-1=.J3x+l . c ) (Jo h)(x) =f(h(x))=fC32)=3 C2)+2=x. d ) (hof)(x) = h(J (x))=h(3x+2)= ex+J-2)=x. e ) (go s)(x) =g(s(x))=g(x2+1)=.Jx2+1-1 =.Jx2 =x. f) (s o g)(x) =s(g(x))= s(.Jx-1) = (.Jx-1f +1=x -1+ 1 = x. 67. ) .7 ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES 57 Observe que, en general,fogte gof Slo en algunos casos sucede quefog= gol, y es de esperar que, para que esto ocurra, fy gtienen que ser funciones con caractersti cas muy especiales. Las definiciones 1.12 y 1.13, del ejemplo 6. a y 6. b de esta seccin cumplen con la definicin uno-uno, as como tambin todas las funciones lineales cuyas grficas no sean paralelas a los ejes coordenadosx-y. Una representacin geomtrica del enunciado anterior se muestra en la figura 1.52 1 B Figura 1.52 1-1 Sif I es la inversa del, entonces (jof-I y (1-1 of)(x)=f-I X Es decir,ff-I 1-10f El ejemplo 6. c y 6.d cumple confoh=x =h01, lo cual significa queh es la inversa def yfes la inversa deh. 68. 58 CAPTULO 1 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Sin embargo, el problema reside en cmo determinar la inversa (si existe) de una funcin. El camino que se sugiere es: hacer ver que la funcin dada es uno-uno; si lo es, entonces con seguridad tiene inversa. Para hallar sta se observa que x y y generalmente estn relacionadas en la forma y =f(x) por lo que, si es posible, se despeja x. La nueva expresin ser de la forma x =f(y), y ahora se intercambia la y por la x y la xporf-I(X), ya que se desea graficarfyf-I en un mismo sistema de referencia. Una forma de justifi car quef-[ realmente es la inversa defyfes la inversa de-[ es determinarfof-I yf-I o f, lo cual debe resultar en fof-I =X=f-I of; Finalmente, construya la grfica (se sugiere usar colores). Ejemplo 7 . Hallef-I (si existe) def(x)=.Jx-.1 y construya la grfica defyf-I en un mismo sistema de referencia. Solucin fes uno-uno en [1, 00), ya quef(x) 7=f(x2) siempre que XI 7= x2 con X I y x2 E [1, 00). Ahora se despeja la xde y= .Jx-1, esto es, y2=x-1, 10 cual implica que x = y 2 + l . Luego se intercambia y por x y xporf-I:f-I(X) .,.. X2 + 1, Y se asegura que X2 + I sea la inversa def(x)= .Jx"":'1 y que .Jx-1 sea la inversa def-I y y Justificacin: (fof-I )(X)=f(f-I(X=f(x2+ 1)= .Jx'+l-l =x. (f-I of)(x)=f-I(f(X =f-I(.Jx-l)= (.Jx-I)2 + I =x. Esto es,fof-I=f-I of=x. Observe que Domf=codf-I = [1, 00) codf= Domf-I= [O, 00) La grfica se muestra en la figura 1.53. y f-[ = x' + 1 , ,, , , fof-l = X =f-[of , , (0,1) 1----'" ,,' ....----f(x) = ";x-l , , ,---------------------.x , , ,, , , , , (1, O) Figura 1.53 69. EJERCICIOS DE REPASO 59 EjercIcIos En los ejercicios 1 a 13 determine el dominio y el conjunto de imgenes, y dibuje la funcin dada. 1. f(x)= 2x - 2 2. f(x)= 6 3. f(x)= Ix + 3 1 4. f(x) = 2x -2 six O .Jx + 4 si- 4 0, entonces y f(x) = mx +b es una funcin creciente en cualquier intervalo. Demostracin Ya que no existen restricciones en el intervalo, slo es necesario mos trar que si XI y x2 son dos nmeros reales cualesquiera, con XI < x2' entonces YI = f(xl) O, se sabe que mXI < mx2. Sumando b a ambos lados se obtiene que es la conclusin deseada. Se deja al lector mostrar que si m < 0, entonces y =f(x) mx + b es una funcin decreciente en cualquier intervalo. Por consiguiente, si m *" O, Y =f(x) = mx +b es una 83. EJERCICIOS 73 funcin montona en su dominio. Sin embargo, una funcin constante no es creciente ni decreciente. Se dice que una funcinfes no decreciente en un intervalo (a,b) si para X I < x2 resulta quef(XI ) f(x). Resulta sencillo apreciar que si una funcin es tanto no decre ciente como no creciente en un intervalo, entonces se trata de una funcin constante en . ese intervalo, esto es,f(x) =f(x2) para todo X I y x 2 del dominio de! Ejercicios - En los ejercicios 1 a 9 encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el punto indicado, con pendiente m. Use la frmula (2.8). 1. (4,1),m=3f2 3. (5,O), m=-2/3 5. (0,4),m=-2 7. (2.1841,-3.0144),m=0.7642 8. (2,-3),m=_3/4, 2. (3,-5),m = _4/5 4. (2,2),m=2/5 6. (-1,2),m=-3 9. (O, O), m = 413 En los ejercicios lOa 15,escriba la ecuacin de la recta cuya interseccin con el eje X es a e interseccin con el eje yes b. 10. a=3,b=2 12. a=3,b=-4 14. a = _3/5,b=-213 11. a=l,b=4 13. a =4/3,b =-2 15. a = 4/5,b = 3/4 Exprese cada una de las ecuaciones siguientes en la forma de coordenadas al origen 16. 4x- y=8 18. 4y=9x+36 20. 3x/S -12y/S = 4/3 17. 3x+2y=6 19. 2x/3 + y/2=5/6 21. 3x/4 - Sy/2 = 213 En los ejercicios siguientes encuentre la ecuacin de dos rectas que pasen por el punto dado, una recta que sea paralela a la recta dada y la otra que sea perpendicular. 22. (1,4),3x-2y+40=O 24. (3,-2),x+8y= -3 26. (0,2),1492x+1776y=1985 23. (2,-1),x-2y-5=O 25. (6,O), 3x-3y=1 27. (1,-1),Y =1 Encuentre la ecuacin de un bisector perpendicular de la recta que une los puntos A y B en los siguientes ejercicios. 28. A(6,4),B(4,-2) 30. A(O , 29. A(-I,-3),B(3,5) 31. A(I.784,2.562),B(-3.190,0.016) 84. 74 CAPiTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 32. Muestre que Ax + By= 5 Y Bx -Ay=2 son ecuaciones de rectas perpendiculares. Suponga queA y B no son simultneamente iguales a cero. 33. Los puntos A(-2, 3), B(6, -5), C(8, 5) son los vrtices de un tringulo. Encuentre las ecuaciones de las medianas. 34. El alquiler de un auto cuesta $20 por da y 7 centavos el kilmetro. Suponga que el auto se alquila por un solo da; escriba una frmula para los cargos de alquiler en trminos de la distancia recorrida y grafique la ecuacin. 35. Al final de una sesin de entrenamiento un atleta presenta un ritmo cardiaco de 140 latidos por minuto. Despus de un minuto el pulso baja a I J O. Luego alcanza un "nivel" que lo lleva a que tres minutos despus el pulso sea de 105.Finalmente, en los siguientes tres minutos cae hasta 70 latidos por minuto, que es el ritmo cardiaco del atleta en reposo. Trace la grfica del ritmo cardiaco del atleta, mostrando la ma nera como el corazn se recupera despus del ejercicio. Suponga que los cambios ocurren linealmente. 36. Muestre que si y=mx +b, Y m < O, entonces yes una funcin decreciente en cual- quier intervalo. 37. Muestre que si y=mx +b es creciente, entonces m > o. 38. Muestre que si y= mx + b es decreciente, entonces m < O. 39. Muestre que una funcin es tanto no decreciente como no creciente en (a, b) si y slo si es una funcin constante en (a, b). Power6rapher / , 2.3 INTERSECCION DE RECTAS El inters principal en esta seccin sern las rectas que se intersecan.Por conveniencia, durante el anlisis se har referencia a una ecuacin lineal en dos variables como si fuera una recta. Ejemplo 1 Encuentre las coordenadas del punto de interseccin de las rectas: 4x -5y=26, 3x +7y=-2 (2.10) (2.11) Solucin Si se multiplican por 3 los miembros de la ecuacin (2.10) Y por 4 los de la ecuacin (2.JI), se obtendrn ecuaciones equivalentes con los coeficientes de x iguales. 85. 2.3 INTERSECCIN DE RECTAS 12x -15y= 78, 12x + 28y= -8. 75 (2.12) (2.13) Ahora se restan de la ecuacin (2.13) los miembros correspondientes de la ecuacin (2.12) para eliminar x, despejando y: 43y=-86, y= -2. Si se sustituye -2 por yen la ecuacin (2.1O ) o en la (2.11), se encuentra que x = 4. Por tanto, la interseccin de las rectas dadas es (4, -2). La grfica de las rectas aparece en la figura 2.10. y 4x-5y= 26 x 3x+ 7y=-2 Figura 2.10 Hay gran cantidad de problemas en los negocios y en la economa que se resuelven encontrando la interseccin de dos rectas. Un ejemplo tpico incluye lo que se llama an lisis sin prdidas ni ganancias. Suponga que un negocio tiene una funcin de costo li neal que relaciona el costo (y dlares) de fabricar y vender x unidades de su producto. Entonces, . y = vx + b, donde b es el costo fijo (alquiler, etc.) de sostener el negocio. Adems, los ingresos obte nidos al vender x unidades a ddlares por unidad estn dados por y = dx. El punto sin prdidas ni ganancias es la interseccin (X I ' YI) de la recta de costo y la recta de ingresos. La compaa debe fabricar mas de X I unidades para tener ganancias. Ejemplo 2 Suponga que la Corporacin Doble T Roja tiene una funcin de costo de y = 500x + 4025, y una funcin de ingresos de y= 675x. 86. 76 CAPTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA Cul es el punto sin prdidas ni ganancias para la corporacin? Solucin Se resuelven simultneamente las dos ecuaciones lineales, igualando los va lores dey, para obtener 675x = 500x +4025, o bien 175x = 4025. As, x = 23. La compaa debera fabricar 23 unidades para salir sin prdidas ni ganancias y, por tanto, tendra que fabricar ms de 23 unidades para tener ganancias. y x +y=I Figura 2.11 Una recta del tipoAx +By+e= separa el plano en tres regiones: los puntos a un lado de la recta, los puntos en el otro lado de la recta y los puntos sobre la recta misma. Los puntos sobre la recta satisfacen la ecuacin, en tanto que los puntos a un lado satis facen la desigualdadAx +By+e> 0, y los del otro lado satisfacen la desigualdadAx + By+ e< O. Por ejemplo, los puntos por debajo de la recta x + y= I tienen ordenadas menores que las ordendas sobre la recta. Por tanto, la regin sombreada en la figura 2.11 queda descrita mediante la desigualdad y< l -x o por x + y- I < O. En esta forma se puede determinar una regin en el'plano con la propiedad de que caoa punto de la regin satisfaga cada una de diversas desigualdad:s lineales. Ejemplo 3 Grafique la regin en el plano que satisface las desiguldades lineales x +y- 2< 0, y- x > 0, x > O. 87. EJERCICIOS 77 Solucin Grafique y=x, seguido se encuentra que la regin requerida se localiza por encima de la recta x= y (ya que y> x) , aparece sombreada en la grfica. y x FIgura 2.12 Ejercicios En los ejercicios 1 a 10, encuentre el punto de interseccin del par de rectas de cada problema. 1 . 2x- 5y=20,3x+2y=11 3. 4x+3y=28,2x- 3y=5 5. 3x+2y= 30,3x-5y' -19 7. 2x+3y=8,2x-3y=4 9. 3x+5y=6,5x-y=10 2. 2x- 3y=6,x+y=3 4. 5x-4y=7,3x-2y= 4 6. 3x-6y=13,4x+3y=-1 8. 4x- 3y=8,2x+6y=-1 10. 5x+4y=50,5x-4y= 50 1 1 . Los lados de un tringulo se encuentran sobre las rectas x - 2y+1=O, 3x- y- 13= O y 2x+y- 13 = O. Encuentre los vrtices. 12. Los lados de un tringulo estn sobre las rectas x+y+6=O, x+2y-4 =O Y 3x+y +2 =O. Encuentre los vrtices. 1 3. Una persona quiere mezclar gasolina superligera con gasolina ligera para obtener 500 galones de mezcla con valor de $600.00. Si la gasolina ligera cuesta $1.11 por galn y la superligera $1.25 por galn, cuntos galones de cada una contiene la mezcla? 14. En investigacin de mercado, una curva de demanda relaciona la demanda (xunida des) de un producto con el precio (y dlares) por unidad que el mercado est dis puesto a pagar. Una curva de oferta refleja el nmero de unidades que un fabricante 88. 78 CAPiTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA est dispuesto a surtir a un precio dado. Las curvas de demanda tienen pendientes negativas, mientras que las curvas de oferta tienen pendientes positivas. Para cierto producto, se encuentra que la curva de demanda est dada por y = 80-3x,mientras que la curva de oferta est dada por y = 20+2x. Encuentre el punto de equilibrio de mercado para el producto (el precio y la cantidad que satisfagan tanto la oferta como la demanda). 15. Si la curva de demanda para un producto est dada por y = 400- O.Olx, mientras que la curva de oferta est dada por y = 300+0.15x, encuentre el punto de equili brio para el producto en el mercado. 16. Grafique la regin descrita mediante cada una de las siguientes condiciones: a) 2x-3y6 d) 2x--':3y6,x+y l,yx>O. 17. Cul grfica describe la regin especificada por la desigualdad 2x+y>47 y y o o x (a) (b) x (e) (d) 89. 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO 79 La distancia dirigida de una recta a un punto puede encontrarse a partir de la ecuacin de la recta y las coordenadas del punto. Para una recta vertical y una horizontal, las distan cias se determinan con facilidad. Se vern primero estos casos particulares y despus se considerar una recta inclinada. Si el punto P(x" y) se encuentra a la derecha de la recta vertical x = a, entonces la distancia dirigida de la recta al punto es positiva e igual a x - a. Si P(x, y) estuviera a la izquierda de la recta x=a, la distancia dirigida de la recta al punto sera negativa y, de nuevo, igual a x - a. Puede verse que en cada caso la distancia dirigida de la recta verti cal x = a al punto P(x" y) est dada por d=x-a. Un argumento similar muestra de inmediato que la distancia dirigida desde una recta ho rizontal y=b al punto P(x, y) est dada por d=y-b. y L' L Q x o Figura 2.13 El caso general, el de una recta inclinada L y un punto PJx, y) fuera de L, conlleva un razonamiento algo ms delicado que los casos particulares recin considerados. El lector debe seguir con cuidado el razonamiento, pues se usan muchas ideas de las sec ciones anteriores del libro, junto con algunos razonamientos algebraicos. Se considerar a continuacin una recta inclinada L y un punto p(x, y) como se muestra en la figura 2.13. Se buscar ahora la distancia perpendicular de L al punto PI' La recta L' pasa por p y es paralela a L. La recta que pasa por el origen y es perpendicu lar aL interseca a L y L' en P y Q. Se escoge la ecuacin lineal general para representar la recta L. Entonces se pueden expresar las ecuaciones de L, L' Y de la recta perpendicu lar, respectivamente, mediante 90. 80 CAPTULO 2 lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA A.x + By + e = 0, A.x + By + C' = 0, Bx- Ay=O. (2.14) (2.15) (2.16) La solucin simultnea de las ecuaciones (2.14) y (2.16) da las coordenadas de P, mientras que la solucin simultnea de las ecuaciones (2.15) y (2.16) da las coordenadas de Q. Estas coordenadas son, como puede verificarse, -Ae -Be p A2+B2' A2+B2 y -AC' -Be' Q A2+B2' A2+B2 . Se llamar d a la distancia perpendicular de la recta dada L al punto p. Entonces, d tam bin es igual a la distancia de P a Q. Para encontrar la distancia de P a Q, se usa la frmula de la distancia de la seccin 1.1. As, se obtiene y (e - e')2 A2 (e - C')2 B2 d2 = IPQI2 = (A2+82)2 + (A2+82)2 _ (e - e'f(A2+B2) (e - C')2 (A2+B2? - A2+B2 e - e' d = --;:=;;::==;< YA2+B2' Como la recta de la ecuacin (2.15) pasa por p(x, y), se tiene que A.x + By + e' = o y C'=-Ax -By Por tanto, sustituyendo e' se obtiene d = Ax!+By!+e YA2+B2 . (2.17) Para eliminar la ambigedad del signo en el denominador, se est de acuerdo en que d sea positiva si p est arriba de la recta dada L y negativa si p est debajo de la recta. Es posible lograr esto escogiendo el signo del denominador igual al signo de B. Esto es, el coeficiente deYI ser BI.J A2+B2 cuando B sea positiva, y ser BI-.J A2 + B2 cuan do B sea negativa. Por tanto, en cada caso el coeficiente dey ser positivo. Remitindo nos de nuevo a la figura 2.13, sea Po(x, Yo) un punto sobre la recta L tal que POp sea paralelo al eje y. Como Po est sobre la recta L, se tiene la ecuacin Ax!+Byo+e = o YA2+B2 . Suponga ahora que p(x,y) est arriba de la recta L. Entonces, YI es mayor que Yo' por lo cual 91. 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO y B B 81 YA2 +B2Y] > +yA2 + B2YO' (2.18) puesto que se acord escoger el signo en el denominador de manera que la fraccin B/.JA2 + B2 sea positiva. Si se suma ahora (Axl+C)/.JA2 + B2 en ambos lados de la ecuacin (2.18), se'encuentra que d = Ax] + By] + e > Ax] + Byo+e = o +YA2 + B2 YA2+B2 . De este modo, si PI(XI, YI) est arriba de la recta L, entonces des positiva. As mismo, si PI(XI,Y) est debajo de la recta L, entonces, con PO(xl, Yo) escogido como antes, se tiene que y B B YA2 + B2Yo > +YA2 + B2YJ. Sumando, como se hizo antes, se encuentra que 0= Ax] + Byo + e > Ax] + By] + e = d YA2 + B2 +YA2 +B2 . Por consiguiente, si PI(XI, YI) se encuentra debajo de la recta L, d es negativa. Con base en este anlisis, se enuncia el siguiente teorema. Teorema 2.3 La distancia dirigida de la recta inclinada Ax + By + e = o al punto p(xl' YI) est dada por la frmula (2.19) d = Axl + BYI + e +YAz + BZ - donde el denominador est dado por el signo de B. La distancia es positiva si el punto P se halla arriba de la recta, y negativa si P est debajo de lafecta. Ejemplo 1 Encuentre la distancia de la recta 5x = 12y+ 26 a los puntos pp, 5), P/--4, 1) Y P3(9, O). Solucin La ecuacin se escribe en la forma 5x - 12y- 26 = O Y se aplica la frmula (2.19) con el denominador negativo. Entonces, remitindose a la figura 2.14, donde se localizan la recta y los puntos dados, se tiene que 92. 82 Figura 2.14 CAPTULO 2 lA RECTA Y lA CIRCUNFERENCIA 5(3) - 12(-5) - 26 49 49 di = -V52 + 122 - -13 = 13' 5(-4) - 12(1) - 26 -58 58 d2 = _ 13 = - 13 = 13' d - 5(9) - 12(0) - 26 _ 19 __ 1.2 3 - -13 - -13 - 13' y Pk4,1) dO2 d, P,(3,-5) x Ejemplo 2 Encuentre la distancia entre las rectas paralelas 15x +8y+ 68 = OY 15x + 8y-51 = 0. Solucin La distancia entre las rectas se puede encontrar calculando la distancia de cada recta a un punto particular.Para minimizar los clculos, el origen se escoge como ese punto particular. As, di _15....:...(0 r= + =:=; 8 =(0=,= =:=; + ,- 6_ _ 68 - 4 1152 + 82 - 17 - , 15(0) + 8(0) - 51 -51 17 = 17 = -3. Estas distancias revelan que el origen est 4 unidades sobre la primera recta y 3 unidades debajo de la segunda. Por tanto, las rectas dadas distan 7 unidades. Un mtodo alternativo para este problema sera encontrar la distancia de una de las rectas a algn punto sobre la otra recta.El punto (3.4, O) se halla en la segunda recta dada, de modo que, usando este punto y la primera ecuacin, se encuentra Ejemplo 3 Encuentre la ecuacin del bisector del par de ngulos agudos formados por las rectas x - 2y + 1 = OY x + 3y- 3 = O. 93. 2.4 DISTANCIA DIRIGIDA DE UNA RECTA A UN PUNTO 83 Solucin Se grafican las dos rectas para determinar cul de los dos ngulos es el ngu lo agudo entre las rectas (Fig. 2.15). A partir de la grfica, se observa que un punto P(x', y') est sobre el bisector del ngulo agudo si se encuentra arriba de una recta y debajo de la otra. Si las distancias dirigidas el, y d2 son como se indica en la figura 2.15, entonces, como P se halla arriba de una recta y debajo de la otra, deber tenerse di = -d2 Por la frmula 2.19, se tiene + 3y' - 3 - 2y' + I vIo y -Vs y x- 2y+ I =0 --- - P(x',y') Figura 2.15 x+3y- 3 =0 Se igualan estas distancias y se simplifica el resultado: + 1X ' + 3y' - 3 x' - 2y' - ----'::=--- vIo Vs ' X ' + 3y' - 3 V2 = X ' - 2y' + 1, ' + 3y' - 3 = V2(x' - 2y' + 1), (1 - V2)x' + (3 + 2V2)y' = 3 + V2. Quitando las primas se obtiene la ecuacin que se busca: (l - V2)x + (3 + 2V2)y = 3 + V2. x Ejemplo 4 Encuentre la ecuacin del bisector del par de ngulos obtusos del ejemplo 3. Solucin El ngulo obtuso entre las rectas, como se indica en la figura 2.16, est arriba de ambas rectas (o, si se quiere, debajo de ellas). As, si el punto P(x', y') se baIla sobre el bisector del ngulo obtuso y si di y d2 son las distancias dirigidas, como se indica en la figura 2.16, entonces di y d2 tienen el mismo signo (ambos positivo o ambos negativo). De este modo se obtiene X ' di = - 2y' + 1 -Vs y X' + 3y' - 3 d2 = vIo 94. 84 y P(x', y') d, Figura 2.16 CAPTULO 2 LA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA x - 2y+1 = O x x+3y-3=O Se igualan estas distancias y se simplifica el resultado: X ' - 2y' + 1 x' + 3y' - 3 -Y5 Vio , x' - 2y' + 1 - x' + 3y' - 3, - 1 V2 , V2(x' - 2y' + 1) = -x' - 3y' + 3, (1 + V2)x' + (3 - 2V2)y' + V2 - 3 = O. Quitando las primas, se obtiene la ecuacin que se busca: (1 + V'z">x + (3 - 2V2)y - 3 + V2 = O. Para utilizar la fllnula de la distancia dirigida (2.19) con el fin de encontrar la ecuacin de un bisector de un ngulo, primero se deben graficar las rectas que forman el ngulo para determinar si el ngulo que se va a bisectar est sobre ambas rectas (como en el ejemplo 4) o si est sobre una y debajo de la otra (como en el ejemplo 3). Ejercicios Encuentre la distancia dirigida de la recta al punto en cada uno de los ejercicios 1 a 12. 1. 5x-12y+ 3 = O; (-2,1) 3. 12x+5y- 6 =0; (4,-6) 5. x+ y+4 = O; (5,4) 7. 2x+3y- 4 = O (0,4) 2. 4x+3y=5; (2,-5) 4. 3x- 4y=12; (-2, -1) 6. 3x- y= 10; (0,8) 8. x- 2y,.... 6; (2,2) 95. EJERCICIOS 9. x+5y+3=0; (3,3) 11. Y-6=O; (5, 3) 10. 4x -3y=7; (O , 12. x+3=0; (-1,--4) En los ejercicios 13 a 25 encuentre la distancia entre las dos rectas paralelas. 13. 3x-4y-9=O 3x+4y+3 = O 15.15x+8y+30=0 15x+8y+20 = O 17.10x+24y=14 5x+12y=-12 19.4x+y=6 12x+3y=14 2I.x-y=16 2x-2y=15 23. 2.371849x - 15.913565y = 7.109436 2.371849x-15.913565y=5.298325 24. 2x-5y=14 4x-10y=14 14. 12x+5y=15 12x+5y=12 16. x-y+7=0 x-y + ll =O 18. 2x+3y-6=0 2x + 3y+2=O 20.x+2y + 5=O x+2y-4 = O 22. 3x+2y - 6=O 3x+2y-4=0 25. 3x-2y+7=0 3x-2y-7 = O 26. Encuentre la ecuacin de la recta que biseca el primer cuadrante. 85 27. Un circunferencia tiene su centro en (--4,-2) Y es tangente a la recta 3x+4y-5=O. Cul es el radio de"Ia circunferencia? Cul es la ecuacin del dimetro que es perpendicular a la recta? 28. Encuentre la ecuacin del bisector del par de ngulos agudos formados por las rec tas 4x -3y = 8 Y 2x +y = 4 29. Encuentrela ecuacin del bisector de los ngulos agudos y tambin la ecuacin del bisector de los ngulos obtusos formados por las rectas 7x - 24y=8 Y 3x + 4y = 12. 30. Encuentre la ecuacin del bisector de los ngulos agudos y tambin la ecuacin del bisector de los ngulos obtusos formados por las rectas x+y=2 Y x + 2y=3. 3l . Encuentre la ecuacin del bisector de los ngulos agudos y tambin el bisector de los ngulos obtusos formados por las rectas 3x-y-5=O Y 3x+4y-12=O. 32. Los vrtices de un tringulo se encuentran en A(2,4),B(-I, la longitud de la altura del vrtice BaIlado AC A continuacin, calcule el rea del tringulo. 96. 86 CAPiTULO 2 lA RECTA Y LA CIRCUNFERENCIA 33. Los vrtices de un tringulo estn enA(-3, -2), B(2, 1) Y C(6, 5). Encuentre la longi tud de la altura del vrtice eal ladoAB. A continuacin, calcule el rea del tringulo. 34. La ecuacin de una lnea de gas es 2x + y = 2. Una fbrica localizada en (6, 7) se conectar perpendicularmente con la lnea de gas. Encuentre la ecuacin de la lnea de conexin y la longitud de la tubera requerida, si las unidades son kilmetros. 35. Un tanque cilndrico de 6 m de radio reposa sobre su lado paralelamente y contra la pared de un almacn. Hay una escalera de mano apoyada contra el edificio, que pasa sobre el tanque, apenas tocndolo, y tiene una pendiente de _3/4. Encuentre una ecua cin para la recta de la escalera y la longitud de la escalera. (Vase Fig. 2.1 7.) y -----------------. x o Figura 2.17 36. Con los dato