GEOMETRIA

GENERAL

ESTUDIO DE LOS

POLIGONOS

DEFINICION Los polígonos son formas

bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).

Polígono (lados rectos)

No es un polígono

(tiene una curva)

No es un polígono

(abierto, no cerrado)

ELEMENTOS DE UN POLIGONO

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos: Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono. Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados

consecutivos. Diagonal (D): es el segmento que une dos vértices no consecutivos. Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono. Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro. Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos

lados consecutivos. Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por

un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El interior es un abierto del plano.

Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto del plano.

Si el complemento (exterior) de una región poligonal es inconexo, este constará de varios fragmentos conexos llamados componentes. Uno y solo uno de los componente es ilimitado; todos los demás son limitados, a estos últimos se llaman huecos. Cada hueco con su frontera es un polígono.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

En un polígono regular se puede distinguir, además: Centro (C): es el punto equidistante de todos los

vértices y lados. Ángulo central (AC): es el ángulo formado por dos

segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.

Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

Diagonales totales , en un polígono de  lados.

Intersecciones de diagonales , en un polígono de  vértices.

NOTACION Los polígonos se nombran mediante

letras mayúsculas situadas en lo vértices del mismo, después de la palabra “Polígono”.

CLASIFICACION Existen varias clasificaciones posibles de los polígonos. Para ver una

clasificación basada en su número de lados, vea la tabla. Clasificación de polígonos según la forma de su contorno.

regulares simples convexos

Polígonos irregulares complejos Cóncavo

Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar la siguientes clasificaciones.

Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.9

Complejo o Cruzado , si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.10

Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.

No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.

Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo. Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud. Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.

Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez. Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o

equiángulo. Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos

los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.

Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos  o .11

Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano. Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales

en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.

Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick)

Polígono simples, côncavo irregular

Polígono complejo, cóncavo e irregular.

Polígono convexo y regular (equilátero y equiángulo

Polígono estrellado

Nombres de polígonos según su número de lados

Los polígonos tienen un nombre especial para designar el número de lados del mismo. Los nombres más comunes están en la siguiente tabla:

PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS

1. Un polígono con n lados, tienen como suma de sus ángulos interiores 180° (n – 2)

Se toma como referencia un vértice cualquiera y se trazan (n – 2) triángulos en el polígono.

la suma de los ángulos de un triángulos es 180°.

Es fácil ver que la suma de los ángulos interiores del polígono, es la suma de los ángulos de los triángulos.

A + B + C + D + E = 190° (n – 2)

Si el polígono es regular, y se desea calcular el valor del Angulo interior basta con dividir 180° (n – 2) entre el numero de lados del polígono.

Angulo interior=

2. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360°La suma de los ángulos interiores y exterior de un vértice del polígono es de 180°.La suma de los ángulos interiores y exteriores del polígonos es 180° n.Por lo tanto, a 180° n restamos la suma de los ángulos interiores 180° (n – 2).180° n – 180° (n – n + 2) = 360°

Suma de ángulos exteriores = 360°3. El total de diagonales que se pueden

trazar en un polígono de n lados, se obtiene con la expresión 

(n – 3) son las diagonales que se pueden trazar de cada vértice porque siempre habrá tres vértices a los que no se pueda trazar diagonal, el vértice de donde se traza y los dos contiguos.

Cada diagonal toca dos vértices, entonces se cuenta doble cada diagonal por lo tanto:

Numero de diagonales =

ESTUDIO DEL TRIANGULO

DEFINICION Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres

segmentos que determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos. Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores  , tres lados y tres vértices entre otros elementos.Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

ELEMENTOS Vértices Un vértices es cualquiera de los tres puntos, no coloniales a la vez, que determinan

un triángulo. Tal como los vértices de un polígono, suelen ser denotados por letras latinas mayúsculas: A, B, C,.... Si  no existe triángulo que determinasen A, B, C.

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, designando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB,CBA), corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Lados[editar] Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del

triángulo. No interesa el orden de los vértices para nombra un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina:  para BC,  para AC,  para AB.

La suma de los lados de un triángulo se conoce como perímetro, denotado por p o 2s; cumple la ecuación 

Ángulos Cada par de lados y raros con origen común el vértices de un

triángulo y que contienen dos de esos lados concurrentes se llama ángulo del triángulo u -ocasionalmente- ángulo interior-

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ prolongados y que concurren en el extremo O es 

También es posible utilizar una letra minúscula -habitualmente una letra griega- coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en el ejemplo se pueden observar los ángulos:

EL ángulo cuyo vértice coincide con uno de los vértices del triángulo y sus lados: son la prolongación de un lado triangular y el otro lado angular contiene a un lado triangular, se llama ángulo externo. En cada vértice triangular hay dos ángulos externos.

CLASIFICACION Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las

longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos. Por las longitudes de sus lados Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica: Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo

tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o  radianes).

Triángulo isósceles Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη

"piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales ).

Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco. 

Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, i.e B = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos. Además se cumplen las igualdades

A + 2B = A +2C = 180º; A' + 2B' = A' + 2C' = 360º; A' = 2C = 2B; B'=C'=A+B=

A+C donde  

son la mediana, altura del lado a y bisectriz de su ángulo A opuesto. 

Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Por la amplitud de sus ángulosPor la amplitud de sus ángulos los

triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo. Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

RECTANGULO OBTUSANGULO ACUTANGULO

OBLICUANGULOS

Los triángulos acutángulos pueden ser: Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos,

siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser: Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos

agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser: Triángulo obtusángulo isósceles:

tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

PROPIEDADES El triángulo es el polígono más simple y el único que no

tiene diagonal. Tres puntos no alineados definen siempre un triángulo (tanto en el plano como en el espacio).

Si se agrega un cuarto punto coplanar y no alineado, se obtiene un cuadrilátero que puede ser dividido en triángulos como el de la figura de la izquierda. En cambio, si el cuarto punto agregado es no coplanario y no alineado, se obtiene un tetraedro que es el poliedro más simple y está conformado por 4 caras triangulares.

Todo polígono puede ser dividido en un número finito de triángulos, esto se logra por triangulación. El número mínimo de triángulos necesarios para esta división es n-2, donde n es el número de lados del polígono. El estudio de los triángulos es fundamental para el estudio de otros polígonos, por ejemplo para la demostración del Teorema de Pick.

En geometría euclidiana11 la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es siempre 180°, lo que equivale a π radianes:

Euclides había demostrado este resultado en sus Elementos (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice C es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

Esta propiedad es el resultado de la geometría euclidiana. No se verifica en general en la geometría no euclidiana.

Otras propiedades La suma de las longitudes de dos de los lados de

un triángulo es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

El valor de la base media de un triángulo (segmento que une dos puntos medios de dos lados) es igual a la mitad del lado paralelo.

Los triángulos (polígonos de tres lados) son los únicos polígonos siempre convexos, no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados o radianes.

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

Todo polígono convexo de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos con interiores disjuntos, considerando un vértice del cual se trazan n-3 segmentos a los vértices no contiguos.12

El teorema de Pitágoras gráficamente. Para cualquier triángulo se verifica el 

Teorema del coseno que establece: «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras

De la ecuación anterior se deducen fácilmente 3 fórmulas de aplicación práctica:

Mediante rotación, traslación, simetría axial y simetría puntual la imagen de un triángulo es un triángulo congruente al propuesto.13

Dado un triángulo en el plano cartesiano se puede hallar la ecuación de una parábola circunscrita de eje horizontal o vertical

ESTUDIO DEL

CUADRILATERO

DEFINICION Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro

lados. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos

diagonales, y la suma de sus ángulos internos siempre es 360°.

Un cuadrilátero se llama convexo si se encuentra en un mismo semiplano respecto a la recta que contiene cualquiera de sus lados. Los segmentos que unen los vértices opuestos del cuadrilátero se denominan diagonales.1

Todos los cuadriláteros son cuadrángulos, ya que esta definición se aplica a los polígonos de cuatro ángulos

ELEMENTOS Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes: 4 vértices: puntos de intersección de los lados que

conforman el cuadrilátero. 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos. 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos

vértices no contiguos. 4 ángulos interiores: el determinado por dos lados

contiguos. 4 ángulos exteriores: el determinado por la

prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

PROPIEDADES Las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan; cuando el

cuadrilátero no es convexo, las diagonales no se intersecan. La suma de los ángulos de un cuadrilátero convexo es 360º o 2π radianes. Todo cuadrilátero convexo puede expresarse como la unión de dos

triángulos con lado común una de la diagonales. Un segmento que pasa por la intersección de las diagonales de un

cuadrilátero y une dos lados opuestos determina dos cuadriláteros con un lado común.2

En un cuadrilátero inscrito en una circunferencia la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180º.

Sea ABCD un cuadrilátero inscrito, AB su diámetro, entonces las proyecciones de sus lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.

Si 2α es la suma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero circunscrito, A su área, a,b, c, d sus lados entonces cabe la fórmula

A2 = (abcd)sen2α

Si las diagonales de un cuadrilátero convexo lo divide en cuatro triángulos y los radios de la circunferencias en estos triángulos son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rombo.

Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.

Si en el cuadrilátero ABCD los radios de las circunferencias inscritas en los triángulos ABC, BCD, CDA, DAB son iguales, entonces dicho cuadrilátero es un rectángulo.

Si las diagonales de un cuadrilátero lo dividen en cuatro triángulos de igual perímetro, entonces el cuadrilátero original es un rombo.

Si un cuadrilátero está inscrito entonces la suma de sus ángulos opuestos es 180º.

ELEMENTOS Los elementos de un cuadrilátero son los siguientes: 4 vértices: puntos de intersección de los lados que

conforman el cuadrilátero. 4 lados: segmentos que unen los vértices contiguos. 2 diagonales: segmentos cuyos extremos son dos

vértices no contiguos. 4 ángulos interiores: el determinado por dos lados

contiguos. 4 ángulos exteriores: el determinado por la

prolongación de uno de los lados sobre un vértice y el contiguo en el mismo vértice.

CLASIFICION Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo de sus

lados, sus longitudes y sus ángulos interiores: 1. Paralelogramo: sus lados opuestos son paralelos. Cuadrado todos sus lados son iguales, todos sus ángulos

interiores son rectos, sus diagonales son iguales y perpendiculares entre si. Son bisectrices.

Rombo todos sus lados son iguales, sus ángulos interiores no son rectos, son iguales los opuestos, agudos y obtusos, sus diagonales son distintas (mayor y menor) y perpendiculares entre sí, son bisectrices, su circunferencia es inscrita.

Rectángulo sus lados son iguales dos a dos (los paralelos), todos sus ángulos interiores son rectos, todas sus diagonales son iguales pero no son perpendiculares entre si y su circunferencia es circunscrita.

Romboide sus lados son iguales dos a dos (dos lados menores iguales y dos lados mayores iguales).

ESTUDIOS DEL

CIRCULO

DEFINICION Un círculo, en geometría elucídena, es el 

lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.1 En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, y a veces se utiliza indistintamente círculo por circunferencia siendo esta última una curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud (es decir, el perímetro del círculo).2 "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie)."

elementos Los elementos relevantes del círculo coinciden con los de la

circunferencia con la única precisión que si dichos elementos están dentro del círculo entonces forman parte de él.

Puntos relevantes El Centro del círculo coincide con el centro de la circunferencia que lo

determina. Segmentos relevantes Se llama Radio al segmento que une el centro con un punto de la

circunferencia perimetral, y por extensión también se dice de la longitud de éste.

Se llama Diámetro al segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. El diámetro divide al círculo en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º.

Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por su centro. Una cuerda define un arco.

'" Segmento meridiano"': línea que hace parte y sobresale del círculo .

Rectas características Recta secante: Es la recta que corta al círculo en dos partes, con

la propiedad de que toda recta secante, que pasa por el centro, es un eje de simetría. Hay una infinidad de ejes de simetría.

Recta tangente: Es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia.

Recta exterior: Es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.

Ángulos Ángulos en el círculo. Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco

y por tanto son iguales. Ángulo central: cuando un ángulo tiene su vértice en el centro

del círculo.

Ángulo inscrito: los extremos y el vértice están sobre la circunferencia.

Ángulo semi-inscrito: formado por una cuerda y una recta tangente.

En un círculo de radio uno, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, así, un ángulo central recto mide π/2radianes, y la longitud del arco es π/2; si el radio mide r, el arco medirá r x π/2.

La longitud de un arco de ángulo central α, dado en grados sexagesimales, medirá 2π x r x α / 360.

Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz).

Curvas Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo

delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo.

Superficies El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes

elementos: Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen

sus extremos. Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda. Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia

exterior. Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas. Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios. llamada invención circular de superficie limitada

PROPIEDADES Perímetro del Círculo El perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es: (en función del radio).o

 (en función del diámetro).donde   es el perímetro,  es la constante matemática pi (

Y r  es el radio y d es el diámetro del círculo. Área del círculo Existen numerosas fórmulas para calcular el área de un círculo. Un círculo de

radio , tendrá un área:

en función del radio (r).

 en función del diámetro (d), pues

 en función de la longitud de la circunferencia máxima (C),

pues la longitud de dicha circunferencia es

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

El área de un círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto entre el apotema y el perímetro de 

este polígono, es decir:

Si se considera la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia y el perímetro con la longitud de la circunferencia. Por tanto el área interior es:

ESTUDIO DE LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICION Distíngase del círculo que es el lugar geométrico de los puntos contenidos en dicha

circunferencia o también la circunferencia es el perímetro del círculo. En el círculo los puntos de la circunferencia están a una distancia igual al radio y los demás puntos a menor distancia que el radio.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales, o los focos coinciden; o bien fuera una elipse cuyas directrices están en el infinito. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono regular de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La intersección de un plano con una superficie esférica puede ser: o bien el conjunto vacío (plano exterior); o bien un solo punto (plano tangente); o bien una circunferencia, si el plano secante pasa por el centro, se llama ecuador1

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.2 3 

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

Centro, es el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

Radio. Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio mide la mitad del diámetro. El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π.

Diámetro. El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro mide el doble del radio. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π;

Cuerda. La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.

Recta secante. Es la línea que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente. Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.

. Punto de Tangencia es el punto de

contacto de la recta tangente con la circunferencia.

Arco. El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia. Un arco de circunferencia se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

PROPIEDADES Diámetros conjugados Par de diámetros conjugados en una elipse Dos diámetros de una sección cónica se

denominan conjugados cuando toda cuerda paralela a uno de ellos es bisecada por el otro. Por ejemplo, dos diámetros de la circunferencia perpendiculares entre sí son mutuamente conjugados. En una elipse dos diámetros son conjugados si y sólo si la tangente a la elipse en el extremo de un diámetro es paralela a la tangente al segundo extremo.

Punto interior Es un punto en el plano de la circunferencia, cuya distancia al

centro de la circunferencia es menor que el radio. El conjunto de todos los puntos interiores se llama interior de la circunferencia. Respecto al círculo, claramente, se distinguen el interior, el exterior y la frontera, que es precisamente la respectiva circunferencia.

Posiciones relativas

Otras propiedades:Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan, el producto de los

segmentos formados en la una, es igual al producto de los segmentos formados en la otra cuerda, 

El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a este lado es un ángulo recto (véase arco capaz).

Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano

ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:

CLASIFICACION Circunferencias de Cardanus Un par de circunferencias que se desplazan, tangencial e

interiormente, una sobre la otra guardando una razón entre sus radios de 1:2. Investigadas, originalmente, por el matemático italiano, Girolamo de Cardano 

Circunferencia directriz Usada en una alternativa definitoria de la elipse y de la

hipérbola. Siendo estas el lugar de los centros de las circunferencias tangentes a la llamada circunferencia directriz .

Circunferencia oscilatriz Al tratar de la curvatura de una curva o de una superficie, en el

punto de contacto, además de la tangente se toma en cuenta la circunferencia de la curvatura, llamada circunferencia osculatriz

ELEMENTOS Centro de la circunferencia El centro es el punto del

que equidistan todos los puntos de la circunferencia.

Radio de la circunferencia El radio es el segmento que une

el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.El diámetro mide el doble del radio.

Un arco es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.

Se suele asociar a cada cuerda el menor arco que delimita.

Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

LONGUITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

La longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro.

La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

TECNICAS PARA UTILIZAR EL COMPAS

Para realizar el trazado de circunferencia se debe procederde la siguiente manera:

1. Se abren las patas del compás y tomándolo por el cabezal con los dedos del índice y el pulgar, se lleva la punta de acero con la otra mano hasta colocarlo en el centro establecido.

2. Se inclina ligeramente el compás en el sentido de avance, haciendo girar el cabezal entre los dedos para iniciar y concluir el trazado de la circunferencia.

3. La mina debe permanecer perfectamente afilada. Se recomienda afilarla en forma de bisel. 

4. Las puntas de metal y la de grafito deben quedar del mismo largo al usarse,  ya que la punta de metal penetrará el pape

Formulas y ejemplos Longitud de una circunferencia

Longitud de un arco de circunferencia

Área del círculo

Área del círculo

Área del sector circular

Área de la corona circular

Área del trapecio circular

Área del trapecio circular

Área del segmento circular

Área del segmento circular

Área del segmento circular AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

Área de la lúnula

EJERCICIOS Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de una

plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.

Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.