Геометрические Геометрические

преобразованияпреобразованиявв

п р о с т р а н с т п р о с т р а н с т в ев е

Сивцева Ольга. Ставрополь. 2007 год

ДвижениеДвижение

ПодобиеПодобиеПараллельный

переносперенос

Поворот

СимметрияСимметрия

ГомотетияГомотетия

ПараллельноеПараллельное

ОртогональноеОртогональное

Геометрическое преобразование Геометрическое преобразование плоскостиплоскости

это взаимно - однозначное отображение это взаимно - однозначное отображение плоскости на себяплоскости на себя

ПроектированиПроектированиее

х

у

z

о

мм

мм

''

••

••

Точка М(х;у;Точка М(х;у;z) z) переходит в точку переходит в точку

М(х+а;у+М(х+а;у+bb;;z+c)z+c), где а, , где а, b b и с для и с для

всех точек (х;у;всех точек (х;у;zz))

Параллельный перенос задается Параллельный перенос задается формулами: формулами:

хх‘‘=х+а; у=х+а; у‘‘=у+=у+b; zb; z‘‘=z+c=z+c

ḡḡ

Параллельным переносом на вектор ḡ называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую М‘, что ММ‘= ḡ

Параллельный Параллельный переносперенос

хх

уу

zz

оо

Параллельный переносПараллельный перенос

есть движениеесть движение

Движение, сохраняющее направление,Движение, сохраняющее направление,

является параллельным переносомявляется параллельным переносом

Поворотом плоскостиПоворотом плоскости около данной около данной

точки называется такое движение,точки называется такое движение,

при котором каждый луч, исходящийпри котором каждый луч, исходящий

из этой точки, поворачивается наиз этой точки, поворачивается на

один и тот же угол в одном и том один и тот же угол в одном и том

же направленииже направленииββ

– – угол поворотаугол поворотаТочка О-центр Точка О-центр

поворотаповорота

хх

хх'' уу

уу''

ββ

оо

Поворот в Поворот в пространствепространстве

Спутники вращаются вокруг Спутники вращаются вокруг

планетпланет

Планеты вращаются вокругПланеты вращаются вокруг

солнцасолнца

Вращение Вращение галактик галактик

в космосев космосе

««Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытается постичь и создать порядок, красоту и совершенство »» Г.Вейль

ЦентральнаяЦентральная

симметриясимметрия

ОсеваяОсевая

симметриясимметрияЗеркальнаЗеркальна

я я

симметриясимметрия..

кк11

••

• • КК

АА11

АА

••

••Отображение пространства Отображение пространства

на себя, при котором на себя, при котором

любая точка А любая точка А

переходит в симметричную переходит в симметричную

ей точку Аей точку А11

относительно данного относительно данного

центра Оцентра О

оо••

Центральная Центральная симметрия в симметрия в

природеприродекактусыкактусы

Осевой симметрией с осьюОсевой симметрией с осью

ℓ ℓ называется такое называется такое

отображение пространстваотображение пространства

на себя, при котором на себя, при котором

любая точка М переходитлюбая точка М переходит

в симметричную ей точкув симметричную ей точку

ММ11 относительно оси ℓ относительно оси ℓ

ММ ММ11•• ••ОО

ℓℓ

Осевая симметрия в Осевая симметрия в архитектуреархитектуре

Библиотека им. Лермонтова г. Ставрополь

Церковь во имя апостола Андрея Первозванного г. Ставрополь.

Церковь Андрея Первозванного.г. Ставрополь

Осеваясимметрия

животного мир

а

вв техникетехнике

Осевая Осевая

симметриясимметрия

Осевая Осевая симметрия в симметрия в литературелитературе

АА

Ж

ЭЭ

Осевая симметрия в буквах А, М, Т, Ш, П имеют вертикальную ось симметрии

В, З, К, С, Э, Е – горизонтальную ось симметрии

Ж, Н, О, Ф, Х имеют две оси симметрии

Осевая симметрия в словахКазакКазак Шалаш

Осевая симметрия фраз Искать таксиИскать такси

Аргентина манит негра А роза упала на лапу Азора

Зеркальной симметрией(симметрией относительно плоскости) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка Х переходит в симметричную ей относительно данной плоскости точку Х '

● ● ХХ

● ● Х Х ''

••

З е р к а л ь н а яЗ е р к а л ь н а я

с и м м е т р и яс и м м е т р и я

вП р и р о д е

Преобразование фигуры Преобразование фигуры FF в фигуру в фигуру FF‘‘ называется называется преобразованием подобия, если при этом преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз.изменяется в одно и тоже число раз.

АА11ВВ11==k∙k∙АВАВ

СС11ДД11==k∙k∙СДСД kk-КОЭФФИЦИЕНТ-КОЭФФИЦИЕНТ ПОДОБИЯПОДОБИЯ

АА11 АА

ВВ11

ВВ

СС11 СС

ДД11 ДД••

••

••

••••

••

••

••

Гомотетией с центромГомотетией с центром

О и коэффициентом О и коэффициентом

k≠k≠0 называется 0 называется

геометрическое геометрическое преобразование, преобразование,

которое произвольно которое произвольно

взятую точку А взятую точку А

переводит в такую точку переводит в такую точку

АА‘‘, что ОА, что ОА‘‘==k∙k∙ОА ОА

Знакомство с геометрическими Знакомство с геометрическими преобразованиями и умение преобразованиями и умение

применять их является элементом применять их является элементом математической культурыматематической культуры

Скользящая симметрияСкользящая симметрия

ИнверсияИнверсия

Аффинные преобразованияАффинные преобразования

ПроектированиеПроектирование

И другиеИ другие