Kelompok 1

Ahmad Zaki Amani

Aisyah

Irma Putriani

Nisa Ulfitriah

Nurfitri

Nurfhadilah Yusdi

Pembahasan

Geseran dan Pencerminan

Translasi (Pergeseran)

Misalnya, AB atau dengan suatupasangan bilangan. Sebagai contoh

suatu pasangan bilangan adalah𝒂𝒃

,

yang berarti pada translasi suatu titik

(𝒙𝟏,𝒚𝟏) oleh𝒂𝒃

,absis titik ditambah

dengan a, sedangkan ordinatnyaditambah dengan b

Translasi atau pergeseran adalah

perpindahan titik-titik pada bidang

dengan jarak dan arah tertentu. Jarak

dan arah tertentu diwakili oleh ruang

garis berarah (vektor).

Perhatikan gambar, suatu translasi

T yang dinyatakan dengan

komponen𝑎𝑏

akan memetakan

titik A(𝑥1,𝑦1) ke titik 𝐴′(𝑥1, + 𝑎, 𝑦1 +

𝑏) yang dinotasikan dengan :

T= 𝑎𝑏

: A(𝑥1,𝑦1) 𝐴′(𝑥1, + 𝑎, 𝑦1 + 𝑏)

Lihat di papan Tulis ya ^_^

Contoh :

Tentukan bayangan (peta) titik

A(4,3) dan B(5,-1) oleh translasi T

=3

2.

Penyelesaian :

Bentuk umum translasi titik A (x1,y1)

oleh T = 𝑎

𝑏adalah :

T= 𝑎

𝑏: A(x1, y1) 𝐴′ (x1 +a, y1+ b)

sehingga

T =3

2: A(4,3) 𝐴′ (4 +3,3+ 2) =

A’(7,5)

T =3

2: B(5,-1) 𝐴′ (5 +3,-1+ 2) =

B’(8,1)

T= 𝑎

𝑏: A(x1, y1) 𝐴′ (x1 +a, y1+ b)

Refleksi (pencerminan)

Refleksi adalah proses pencerminan

setiap titik, baris atau kurva terhadap

sebuah garis yang dinamakan sumbu

cermin :

𝑔 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

karena p berada pada 𝑔 maka

memenuhi persamaan 𝑔

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

A 𝑥+𝑥′

2+

𝑦+𝑦′

2+C = 0

𝐴𝑥 + 𝐴𝑥′ + 𝐵𝑦 + 𝐵𝑦′ + 2𝐶 = 0

𝐴𝑥′ + 𝐵𝑦′ = −𝐴𝑥 − 𝐵𝑦 − 2𝐶 … .… . . (1)

𝐴𝐴′ → g

𝑚.𝐴𝐴′. 𝑚𝑔 = −1

𝑦′−𝑦

𝑥′−𝑥. −𝐴

𝐵= -1

−𝐴𝑥′ + 𝐴𝑦′ = −𝐵𝑥′ − 𝐵𝑥

𝐵𝑥′ − 𝐴𝑦′ = −𝐵𝑥′ + 𝐴𝑦…………… . (2)

𝐴𝑥′ + 𝐵𝑦′ = −𝐴𝑥 − 𝐵𝑌 − 2𝐶

𝐵𝑥′ − 𝐴𝑦′ = 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦

𝐴2𝑥′ + 𝐴𝑏𝑦′ = −𝐴2𝑥′ − 𝐴𝑏𝑦 − 2𝐴𝐶

𝐵2𝑥′ − 𝐴𝑏𝑦′ = 𝐵2𝑥 − 𝐴𝑏𝑦

𝐴2𝑥′ + 𝐵2𝑥′ = −𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑥′ + 𝐵2𝑥 − 2𝐴𝑏𝑦 −2𝐴𝐶

(𝐴2+𝐵2)𝑥′ = 𝐴2𝑥 − 𝐴2𝑥 − 𝐴2𝑥′ + 𝐵2𝑥 −2𝐴𝑏𝑦 − 2𝐴

= 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑥 − 2𝐴2𝑥 − 2𝐴𝑦 − 2𝐶

= (𝐴2+𝐵2)𝑥 − 2𝐴(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶)

𝑥′ = 𝑥 − 2𝐴𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶

𝐴2 +𝐵2

𝑥′ = 𝑥 − 2(𝑔)

𝐴2 +𝐵2

Substitusikan 𝑥′ = 𝑥 −2𝐴

𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶

𝐴2 +𝐵2𝑘𝑒𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 2

𝐵𝑥′ − 𝐴𝑦 = 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦

B (X-2A(𝑔)

𝐴2 +𝐵2)-Ay’= Bx-Ay 𝐵(𝑥 − 2𝐴

𝑔

𝐴2 +𝐵2−

𝐴𝑦′ = 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦

𝐵𝑥 −2𝐴𝐵 𝑔

𝐴2 +𝐵2− 𝐴𝑦′ = 𝐵𝑥 − 𝐴𝑦

𝐴𝑦′ = 𝐵𝑥 − 𝐵𝑥 −2𝐴𝐵 𝑔

𝐴2 +𝐵2+ 𝐴𝑦

𝐴𝑦′ = −2𝐴𝐵 𝑔

𝐴2 +𝐵2+ 𝑦

𝑦′= 𝑦 −2𝐴𝐵 𝑔

𝐴2 +𝐵2

Translasi ke pencerminan

𝑨 𝒙, 𝒚

𝒂𝒃

𝑨′(𝒙′, 𝒚′)𝒄𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏

𝑨′′ 𝒙′′, 𝒚′′

Titik

Titik A (x,y) di translasikan oleh vektor geser𝑝𝑞 lalu dicerminkan terhadap garis Ax +By +

C = 0, maka hasil bayangannya adalah

A′′ 𝑥′′, 𝑦′′

Translasi

𝑥′ = 𝑥 + 𝑝

𝑦′ = 𝑦 + 𝑞

Pencerminan

𝑥′′ = 𝑥′ −2𝐴 𝐴𝑥′ + 𝐵𝑦′ + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

= 𝑥 + 𝑝 −2𝐴 𝐴 𝑥 + 𝑝 + 𝐵(𝑦 + 𝑞) + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

= 𝑥 + 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥 + 𝐴𝑝 + 𝐵𝑦 + 𝐵𝑞 + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

Maka :

𝒙′′ = 𝒙 + 𝒑 −𝟐𝑨 𝑨𝒙 + 𝑨𝒑 + 𝑩𝒚 + 𝑩𝒒 + 𝒄

𝑨𝟐 + 𝑩𝟐

𝑦′′ = 𝑦′ −2𝐵 𝐴𝑥′ + 𝐵𝑦′ + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

= 𝑦 + 𝑞 −2𝐵 𝐴 𝑥 + 𝑝 + 𝐵(𝑦 + 𝑞) + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

= 𝑦 + 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥 + 𝐴𝑝 + 𝐵𝑦 + 𝐵𝑞 + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

Maka :

𝒚′′ = 𝒚 + 𝒒 −𝟐𝑩 𝑨𝒙 + 𝑨𝒑 + 𝑩𝒚 + 𝑩𝒒 + 𝒄

𝑨𝟐 + 𝑩𝟐

Contoh

Titik A(2, 1) ditranslasikan oleh vektor geser3−2

lalu

dicerminkan terhadap garis 2x + y + 5 = 0 !

Penyelesaian :

Diketahui : A(2, 1) x = 2 dan y = 1

2x + y + 5 = 0 A= 2, B = 1, C = 5 3−2

p = 3 dan q = -2

Untuk 𝑥′′

𝑥′′ = 𝑥 + 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥 + 𝐴𝑝 + 𝐵𝑦 + 𝐵𝑞 + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

𝑥′′ = 2 − 2 −2.2 2.2 + 2.3 + 1.1 − 2 + 5

22 + 12

𝑥′′ = −56

5

Untuk y’’

𝑦′′ = 𝑦 + 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥 + 𝐴𝑝 + 𝐵𝑦 + 𝐵𝑞 + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

𝑦′′ = 1 − 2 −2 2.2 + 2.3 + 1.1 − 2 + 5

22 + 12

𝑦′′ = − 1 −28

5

𝑦′′ = −33

5

Sehingga diperoleh 𝑥′′, 𝑦′′ =

−56

5, −

33

5

Garis

Misalkan garis Dx + Ey + F = 0 ditranslasikan

oleh vektor geser𝑝𝑞 lalu dicerminkan

terhadap garis Ax + By + c = 0 lalu, makabayangannya adalah 𝐷𝑥′′ + 𝐸𝑦′′ + 𝐹 = 0

𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹

𝑝𝑞𝐷𝑥′ + 𝐸𝑦′ + 𝐹 →

𝑔𝐷𝑥′′ +

𝐸𝑦′′ + 𝐹

Translasi𝑥′ = 𝑥 + 𝑝 𝑦′ = 𝑦 + 𝑞

𝑥 = 𝑥′ − 𝑝 ……… (1) 𝑦 = 𝑦′ − 𝑞………… (2)

Pencerminan

𝑥′ = 𝑥′′′ −2𝐴 𝐴𝑥′′+𝐵𝑦′′′+𝑐

𝐴2+𝐵2𝑦′ = 𝑦′′ −

2𝐵 𝐴𝑥′′+𝐵𝑦′′′+𝑐

𝐴2+𝐵2

Translasi Pencerminan

Substitusi 𝑥′ dan 𝑦′ ke persamaan (1) dan (2) , sehingga

menjadi

𝑥 = 𝑥′′′ −2𝐴 𝐴𝑥′′+𝐵𝑦′′

′+𝑐

𝐴2+𝐵2– 𝑝 𝑦 = 𝑦′′ −

2𝐵 𝐴𝑥′′+𝐵𝑦′′′+𝑐

𝐴2+𝐵2− 𝑞

𝒙 = 𝒙′′′ − 𝒑 −𝟐𝑨 𝑨𝒙′′+𝑩𝒚′′

′+𝒄

𝑨𝟐+𝑩𝟐𝒚 = 𝒚′′ − 𝒒 −

𝟐𝑩 𝑨𝒙′′+𝑩𝒚′′′+𝒄

Contoh

Garis x – y + 2 = 0 ditranslasikan oleh vektor geser12

lalu dicerminkan terhadap x + 2y + 2 = 0 .

Tentukan hasil bayangannya !

Penyelesaian :

Diketahui : x + 2y + 2 = 0 A= 1, B = 2, C = 2

12

p = 1 dan q = 2

Untuk x

x= 𝑥′′′ − 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥′′+𝐵𝑦′′′+𝑐

𝐴2+𝐵2

= 𝑥′′′ − 1 −2 𝑥′′+2𝑦′′′+2

5

=5𝑥′′ − 5 − 2𝑥′′ − 4𝑦′′ − 4

5

=3𝑥′′ − 4𝑦′′ − 9

5

Untuk y

𝑦 = 𝑦′′ − 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥′′ + 𝐵𝑦′′′ + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

= 𝑦′′ − 2 −4 𝑥′′ + 2𝑦′′

′+ 2

5

=5𝑦′′ − 10 − 4𝑥′′ − 8𝑦′′ − 8

5

=−4𝑥′′ − 3𝑦′′ − 18

5

Subsitusi ke persamaan x – y + 2 = 0, sehingga diperoleh

:

3𝑥′′ − 4𝑦′′ − 9

5−−4𝑥′′ − 3𝑦′′ − 18

5+ 2 =

7𝑥′′ − 𝑦′′ + 19

5

Kurva

Kurva yang di translasikan oleh vektor

geser𝑝𝑞 lalu cerminkan terhadap garis Ax

+ By + C = 0, maka rumus yang di

gunakan untuk mencari bayangannya

sama dengan garis.

Contoh

Kurva y = x2 – 2x + 1 ditranslasikan oleh

vektor geser2−1

lalu dicerminkan

terhadap g = x – 3y + 5 = 0. Tentukan hasilbayangannya !

Penyelesaian :

Diketahui : g = x – 3y + 5 = 0 A= 1, B = -3, C = 5

2−1

p = 2 dan q = -1

Kemudian Subsitusi x dan y ke persamaan y = x2 – 2x + 1, sehingga :

−8𝑦′′ + 6𝑥′′ + 40

10=

8𝑥′′ + 6𝑦′′ − 30

10

2

− 28𝑥′′ + 6𝑦′′ − 30

10+ 1

=64𝑥′′

2+ 96𝑥′′𝑦′′ − 240𝑥′′ + 36𝑦′′

2− 180𝑦′ − 160𝑥′′ − 120𝑦′′ + 150 + 100

100

↔64𝑥′′

2+36𝑦′′

2+96𝑥′′𝑦′′−360𝑥′′−220𝑦′

′−150

100= 0

Untuk x

𝑥 = 𝑥′′′ − 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥′′+𝐵𝑦′′′+𝑐

𝐴2+𝐵2

= 𝑥′′′ − 2 −2 𝑥′′−3𝑦′′′+5

10

=10𝑥′′−20−2𝑥′′+6𝑦′′−10

10

=8𝑥′′+6𝑦′′−30

10

Untuk y

𝑦 = 𝑦′′ − 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥′′+𝐵𝑦′′

′+𝑐

𝐴2+𝐵2

= 𝑦′′ + 1 +6 𝑥′′−3𝑦′′′+5

10

=10𝑦′′+10+6𝑥′′−18𝑦′′+30

10

=−8𝑦′′ + 6𝑥′′ + 40

10

Pencerminan ke Translasi

Titik

Titik A(x,y) dicerminkan oleh garis Ax +

By + c lalu ditranslasikan terhadap

vektor geser𝑝𝑞 , maka hasil

bayangannya A”(x”, y”).

𝐴 𝑥, 𝑦 →𝑔𝐴′ 𝑥′, 𝑦′

𝑝𝑞

𝐴′′(𝑥′′, 𝑦′′)

Pencerminan

𝑥′ = 𝑥 −2𝐴 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝑐

𝐴2+𝐵2

𝑦′ = 𝑦 −2𝐵 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝑐

𝐴2+𝐵2

Translasi

𝑥′′ = 𝑥′ + 𝑝

𝑦′′ = 𝑦′ + 𝑝

Pencerminan ke translasi

𝑥′′ = 𝑥 −2𝐴 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝑐

𝐴2+𝐵2+ 𝑝

𝒙′′ = 𝒙 + 𝒑 −𝟐𝑨 𝑨𝒙+𝑩𝒚+𝒄

𝑨𝟐+𝑩𝟐

𝑦′′ = 𝑦 −2𝐵 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝑐

𝐴2+𝐵2+ 𝑞

𝒚′′ = 𝒚 + 𝒒 −𝟐𝑩 𝑨𝒙+𝑩𝒚+𝒄

𝑨𝟐+𝑩𝟐

Contoh

Titik A(2, 1) dicerminkan terhadap garis

2x + y + 5 = 0 lalu ditranslasikan oleh

vektor geser3−2

!

Penyelesaian :

Diketahui : A(2, 1) x = 2 dan y = 1

2x + y + 5 = 0 A= 2, B = 1, C = 5

3−2

p = 3 dan q = -2

Untuk 𝑥′′

𝑥′′ = 𝑥 + 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝑐

𝐴2+𝐵2

𝑥′′ = 2 + 3 −2 2 { 2 2 + 1 1 + 5 }

22+12

𝑥′′ = 5 −4 4 + 1 + 5

4 +1

𝑥′′ = 5 −40

5

𝑥′′ = 5 − 8𝑥′′ = −3

Untuk 𝑦′′

𝑦′′ = 𝑦 + 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐

𝐴2 + 𝐵2

𝑦′′ = 1 + (−2) −2 1 { 2 2 + 1 1 + 5 }

22+12

𝑦′′ = −1 −2 4 + 1 + 5

4 +1

𝑦′′ = −1 −20

5

𝑦′′ = −1 − 4𝑦′′ = −5

(𝑥′′, 𝑦′′) = (−3,−5)

Garis

Misalkan garis Dx + Ey + F = 0 dicerminkanterhadap garis Ax + By + c = 0 lalu ditranslasikan

oleh vektor geser𝑝𝑞 , maka bayangannya adalah

𝐷𝑥′′ + 𝐸𝑦′′ + 𝐹 = 0

Pencerminan

𝑥 = 𝑥′ −2𝐴 𝐴𝑥′+𝐵𝑦′+𝑐

𝐴2+𝐵2

𝑦 = 𝑦′ −2𝐵 𝐴𝑥′+𝐵𝑦′+𝑐

𝐴2+𝐵2

Translasi

𝑥′′ = 𝑥′ + 𝑝

𝑥′ = 𝑥′′ − 𝑝

𝑦′′ = 𝑦′ + 𝑞

𝑦′ = 𝑦′′ − 𝑞

Pencerminan ke translasi

𝑥 = 𝑥′ −2𝐴 𝐴𝑥′+𝐵𝑦′+𝑐

𝐴2+𝐵2

𝑥 = 𝑥′′ − 𝑝 −2𝐴 𝐴(𝑥′′−𝑝) +𝐵(𝑦′′− 𝑞) + 𝑐

𝐴2+𝐵2

𝑥 = 𝑥′′ − 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥′′− 𝐴𝑝 + 𝐵𝑦′′− 𝐵𝑞 + 𝑐

𝐴2+𝐵2

𝒙 = 𝒙′′ − 𝒑 −𝟐𝑨 𝑨𝒙′′+𝑩𝒚′′+ 𝒄 –𝑨𝒑 − 𝑩𝒒

𝑨𝟐+𝑩𝟐

𝑦 = 𝑦′ −2𝐵 𝐴𝑥′+𝐵𝑦′+𝑐

𝐴2+𝐵2

𝑦 = 𝑦′′ − 𝑞 −2𝐵 𝐴(𝑥′′−𝑝) +𝐵(𝑦′′− 𝑞) + 𝑐

𝐴2+𝐵2

𝑦 = 𝑦′′ − 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥′′− 𝐴𝑝 + 𝐵𝑦′′− 𝐵𝑞 + 𝑐

𝐴2+𝐵2

𝒚 = 𝒚′′ − 𝒒 −𝟐𝑩 𝑨𝒙′′+ 𝑩𝒚′′+ 𝒄 –𝑨𝒑 − 𝑩𝒒

𝑨𝟐+𝑩𝟐

Contoh

Garis x – y + 2 = 0 dicerminkanterhadap x + 2y + 2 = 0 lalu

ditranslasikan oleh vektor geser12

.

Tentukan hasil bayangannya !

Penyelesaian :

Diketahui : x + 2y + 2 = 0 A= 1, B = 2, C = 2

12

p = 1 dan q = 2

Untuk x

𝑥 = 𝑥′′ − 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥′′+ 𝐵𝑦′′+ 𝑐 –𝐴𝑝 − 𝐵𝑞

𝐴2+𝐵2

𝑥 = 𝑥′′ − 1 −2(1) 1 𝑥′′+ 2 𝑦′′+ 2 – 1 (1) –(2)(2)

12+22

𝑥 = 𝑥′′ − 1 −2 𝑥′′+ 2𝑦′′− 3

5

𝑥 =5𝑥′′− 5− 2𝑥′′− 4𝑦′′+ 6

5

𝑥 =3𝑥′′− 4𝑦′′ + 1

5

Untuk y

𝑦 = 𝑦′′ − 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥′′+ 𝐵𝑦′′+ 𝑐 –𝐴𝑝 − 𝐵𝑞

𝐴2+𝐵2

𝑦 = 𝑦′′ − 2 −2(2) 1 𝑥′′+ 2 𝑦′′+ 2 – 1 (1) –(2)(2)

12+22

𝑦 = 𝑦′′ − 2 −4 𝑥′′+ 2𝑦′′− 3

5

𝑦 =5𝑦′′− 10− 4𝑥′′− 8𝑦′′+ 12

5

𝑦 =−3𝑦′′−4𝑥′′+ 2

5

Subsitusi ke persamaan x – y + 2 = 0

3𝑥′′− 4𝑦′′ + 1

5−

−3𝑦′′−4𝑥′′+ 2

5+ 2 = 0

3𝑥′′ − 4𝑦′′ + 1 + 3𝑦′′ + 4𝑥′′ − 2 + 10 =0

7𝑥′′ − 𝑦′′ + 9 = 0

Jadi, hasil bayangannya adalah 7𝑥 − 𝑦 +9 = 0.

Contoh

Kurva y = x2 – 2x + 1 dicerminkan terhadap

g = x – 3y + 5 = 0 lalu ditranslasikan oleh

vektor geser2−1

. Tentukan hasil

bayangannya !

Penyelesaian :

Diketahui : g = x – 3y + 5 = 0 A= 1, B =

-3, C = 5

2−1

p = 2 dan q = -1

Jawab :

Untuk x

𝑥 = 𝑥′′ − 𝑝 −2𝐴 𝐴𝑥′′+ 𝐵𝑦′′+ 𝑐 –𝐴𝑝 − 𝐵𝑞

𝐴2+𝐵2

𝑥 = 𝑥′′ − 2 −2(1) 1 𝑥′′+ −3 𝑦′′+ 5 – 1 (2) –(−3)(−1)

12+(−3)2

𝑥 = 𝑥′′ − 2 −2 𝑥′′− 3𝑦′′

10

𝑥 = 𝑥′′ − 2 −𝑥′′− 3𝑦′′

5

𝑥 =5𝑥′′− 10 − 𝑥′′+ 3𝑦′′

5

𝑥 =4𝑥′′+ 3𝑦′′ − 10

5

Untuk y

𝑦 = 𝑦′′ − 𝑞 −2𝐵 𝐴𝑥′′+ 𝐵𝑦′′+ 𝑐 –𝐴𝑝 − 𝐵𝑞

𝐴2+𝐵2

𝑦 = 𝑦′′ − (−1) −2(−3) 1 𝑥′′+ −3 𝑦′′+ 5 – 1 (2) –(−3)(−1)

12+(−3)2

𝑦 = 𝑦′′ + 1 −−6 𝑥′′− 3𝑦′′

10

𝑦 =10𝑦′′+ 10 + 6𝑥′′+ 18𝑦′′

10

𝑦 =28𝑦′′+ 6𝑥′′+ 10

10

Subsitusi ke persamaan y = x2 – 2x + 1

28𝑦′′+ 6𝑥′′+ 10

10=

4𝑥′′+ 3𝑦′′ − 10

5

2

− 24𝑥′′+ 3𝑦′′ − 10

5+ 1

28𝑦′′+ 6𝑥′′+ 10

10=

16𝑥′′2+ 9𝑦′′2+ 24𝑥′′𝑦′′−40𝑥′′−30𝑦′′− 100−40𝑥′′−60𝑦′′+100+25

2528𝑦′′ + 6𝑥′′ + 10

10

=16𝑥′′2 + 9𝑦′′2 + 24𝑥′′𝑦′′ − 80𝑥′′ − 90𝑦′′ + 25

25

↔32𝑥′′2 + 18𝑦′′2 + 48𝑥′′𝑦′′ − 110𝑥′′ − 230𝑦′′ − 25

50= 0

Selesai

Terima Kasih atas perhatian teman-

teman semoga bermanfaat.