« Քառակուսի եռանդամի արմատներիդասավորությունը պարամետրով

խնդիրների լուծման ժամանակ»

. №4 Գավառի Ա Իսահակյանի անվան հիմնական դպրոց

, Մաթեմատիկայի ինֆորմատիկայի ուսուցիչ Նարինե Սերյոժայի Գևորգյան

`Հետազոտական աշխատանքի թեման

f(x)=ах²+bx+c քառակուսի եռանդամի արմատների դասավորությունը

կոորդինատային հարթության վրա у

х

f(x)

у

х

f(x)у

х

f(x)

у

х

f(x)

у

х

f(x)у

х

f(x)

a>0

D>0D=0D<0

a<0

Քառակուսի եռանդամի արմատների դասավորության 7 խնդիր

Քառակուսի եռանդամի արմատները :մեծ են տրված որոշակի թվից

Քառակուսի եռանդամի արմատները :փոքր են տրված որոշակի թվից

Արմատները գտնվում են տրված :թվի տարբեր կողմերում

Արմատները չեն գտնվում տրված :հատվածի վրա

Քառակուսի եռանդամի արմատները տարբեր են և դրանցից միայն մեկն

:է գտնվում տրված հատվածի վրա , Արմատները տարբեր են և մեկը

, ` գտնվում է հատվածի վրա մյուսը:միջակայքի

1-2. Քառակուսի եռանդամի արմատները մեծ են( փոքր են) :տրված որոշակի թվից

,0 )( >⋅ пfа

,042 ≥− асb

( ) ,0 2 >++ сbпапа

0)( >⋅ пfа

,2

па

b >−

n

n f(x)

f(x)

f(n)

f(n)

у

х

у

х

а>0; f(n)<0;

,0≥хD

а<0;f(n)>0;

.2

па

b >−,2

па

b <− ,2

па

b <−

Օրինակ 1-2. Գտնել а , պարամետրի բոլոր արժեքները որոնց դեպքում (2а - 1)х² + 2(а+2)х + а – 4 = 0

(հավասարումն ունի -2)- :ից մեծ երկու տարբեր արմատներ

( ) ( )( )

( )

−>−

+−

>−⋅−>

2122

22

,0212

,0

a

a

fa

D

-2

-2 f(x)

f(x)

f(-2)

f(-2)

у

х

у

х

,0)n(fа >⋅

,2

па

b >−

,0>хD

( ) ( )13;2,3;0a` 21 ∪∈ ä³ï³ë˳Ý

3. Արմատները գտնվում են տրված կետի տարբեր:կողմերում

0)( <⋅ пfа

( ) .0 2 <++ сbпапа

n

nf(x)

f(x)

f(n)

f(n)

х х

а>0; f(n)<0; а<0; f(n)>0;

⇓

D>0 :պայմանը կատարվում է ավտոմատ կերպով

Օրինակ 3. р պարամետրի ի՞ նչ արժեքների դեպքում х²+2(р-1)х+р(р-3)=0 :հավասարման արմատներն իրական են և տարբեր նշանի

0)( <⋅ пfа;0)0( <⋅ fа

;1=а

0 0f(x)

f(x)

f(0)

f(0)

х х

а>0; f(0)<0; а<0; f(0)>0;

)3()0( −= ррf 0)3( <−рр .30 << р

( )0;3 ä³ï³ëË³Ý ∈р

4. Արմատները գտնվում են տրված հատվածի վրա :

f(x)f(x)

f(n)

f(т)

х х

n

у

т

у

n

f(т)

т

f(n)

( ) ; 0≥⋅ mfа ( ) 0≥⋅ nfа

,0≥xD,0)( ≥⋅ nfa,0)( ≥⋅ тfa

,2

na

bт ≤−≤

,042 ≥− acba(an2+bn+c)≥

0, a(aт2+bт+c) ≥ 0,

,2

na

bт ≤−≤

Օրինակ 4. а պարամետրի ի՞ նչ արժեքների դեպքում են x²–2ax+2a²- 4a+3=0 հավասարման արմատները պատկանում [1;4]

:հատվածին

( )

42

21

,0342816

,034221

,03444

2

2

2

≥≤

≥+−+−

≥+−+−≥−+

а

ааа

ааа

аа

f(x)

f(1)

х41

f(4)

,0≥xD,0)( ≥⋅ nfa,0)( ≥⋅ тfa

,2

na

bт ≤−≤

{ } [ ]4;21а ∪∈ ä³ï³ë˳Ý

5. :Արմատները չեն գտնվում տրված հատվածի վրա

( )( ) ,0

,0

<⋅<⋅

mfa

nfa

f(x)

f(т) х

nт

f(n)

f(x)

f(n)

хnт

f(т)

( )( ) .0

,02

2

<++⋅<++⋅

cbmama

cbnana

Օրինակ 5. а պարամետրի ի՞ նչ արժեքների դեպքում է x²-2ax+2a²-4a+3=0 հավասարման արմատներից մեկը փոքր 1-ից, ` 2- :մյուսը մեծ ից

( )( ) ,02

,01

<<

f

f

.034244

,0342212

2

<+−+−

<+−+−

aaa

aaa

−∈ 2;

2

22а ` ä³ï³ë˳Ý

f(x)

f(1)х

21

f(2)

у

6. Քառակուսի եռանդամի արմատները տարբեր են և :դրանցից միայն մեկն է գտնվում տրված հատվածի վրա

Ý»ñëáõÙ. ÙÇç³Ï³ÛùÇ ¹Çï³ñÏíáÕ ¿ ·ïÝíáõÙ ³ñÙ³ïÁ

¹»åùáõÙ áñáÝó ³ñÅ»ùÝ»ñÁ, ³ÛÝ Çå³ñ³Ù»ïñ»ñ ·ïÝ»É ³)

.å³ÛÙ³ÝÝ»ñÁ µ³í³ñ³ñ

¨ ³ÝÑñ³Å»ßï ·ïÝí»Éáõ ÙÙÇç³Ï³Ûùáõ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ·ïÝ»É µ )

( ) ( ) 0nf 0mf == ¨

f(x)

f(т)

х

у

nт

f(n)f(x)

f(т)х

у

nт

f(n)

;0)()( <⋅ nfmf

:ÁÉáõÍáõÙÝ»ñ å³Ñ³ÝçíáÕ ÁÝïñ»É· )

Օրինակ 6. а պարամետրի ի՞ նչ արժեքների դեպքում տարբեր արմատներ ունեցող х²-4х+а=0 հավասարման արմատներից մեկը պատկանում է (1;4)

:միջակայքին

( ) ( ) 041 <⋅ ff ( );3;0а ∈.ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ÙÇç³Ï³ÛùÇ ëïáõ·»Ýù µ)

( ) 04 =f

( ) 01f =

»ñµ Ý»ñëáõÙ, ÙÇç³Ï³ÛùÇ (1;2)

¿ ·ïÝíáõÙ ³ñÙ³ïÁ ÙÇ »é³Ý¹³ÙÇ ù³é³ÏáõëÇ ³Û¹ ³ )

3=а

( ]3;0а ∈ ` ä³ï³ë˳Ý

f(x)

f(1)

х

у

41

f(4)

7. Արմատները տարբեր են և մեկը գտնվում է հատվածի, ` :վրա մյուսը միջակայքի

qpnm <<< .1

( ) ( )( ) ( )

≠<⋅<⋅

.0

,0

,0

a

qfpf

nfmf

Ý»ñëáõÙ. ÙÇç³Ï³ÛùÇ( ¨

ѳïí³ÍÇ ] [»Ý ·ïÝíáõÙ ²ñÙ³ïÝ»ñÁ ³

)q;p

n;m)

f(x)

f(т)

х

nт f(n)

р

f(р)q

f(q)

f(т)

х

n=pт f(n) q

f(q)f(x)

qpnm <=< .2

( ) ( )( ) .0

,0

<⋅<⋅

nfa

qfmf

:³ñÙ³ïÝ»ñÁ ³Ýѳٳå³ï³ëË ÁÝïñ»É

,ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ѳïí³ÍÇ êïáõ·»É µ )

Ý»ñëáõÙ. ÙÇç³Ï³ÛùÇ( ¨

ѳïí³ÍÇ ] [»Ý ·ïÝíáõÙ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ³

)q;p

n;m)

:³ñÙ³ïÝ»ñÁ ³Ýѳٳå³ï³ëË ÁÝïñ»É

,ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ѳïí³ÍÇ êïáõ·»É µ )

7. . Արմատները տարբեր են դրանցից մեկը գտնվում է, ` :հատվածի մյուսը միջակայքի վրա

Ý»ñëáõÙ. ÙÇç³Ï³ÛùÇ(

ѳïí³ÍÇ ] [»Ý ·ïÝíáõÙ ²ñÙ³ïÝ»ñÁ ³

)q;p

n;m)

:³ñÙ³ïÝ»ñÁ ³Ýѳٳå³ï³ëË ÁÝïñ»É,ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ѳïí³ÍÇ êïáõ·»É µ )

qnpm <<< .3

f(x)

f(т)

хn

т f(р)

р

f(п)

q

f(q)

( ) ( )( ) ( )

,0

0

,0

≠<⋅<⋅

a

qfnf

pfmf

Օրինակ 7. а պարամետրի ի՞ նչ արժեքների դեպքում տարբեր արմատներ ունեցող (a-1)x²-2ax+3a-1=0 հավասարման մի արմատը պատկանում է

[0;1] , ` հատվածին իսկ մյուսը (2;4) :միջակայքին

áñ ¿, ä³ñ½ ;1а ≠

»ñµ Ý»ñëáõÙ, ÇÙÇç³Ï³Ûù»ñ

ïñí³Í »Ý ·ïÝíáõÙ ³ñÙ³ïÝ»ñÁ ³ )

( ) ( )( ) ( )

<⋅<⋅

,042

,010

ff

ff

f(x)

f(0)

х02

f(4)

4f(1)

1

f(2)

y

:³ñÙ³ïÝ»ñÁ ³Ýѳٳå³ï³ëË ÁÝïñ»É

,ë³ÑÙ³ÝÝ»ñÁ ѳïí³ÍÇ êïáõ·»É µ )

( ) ( )³ÝÑñ³Å»ßï 3

1а01a30f =⇔=−=

( )µ³í³ñ³ñ -1 ϳ٠0 ==⇔=−− хх0х3

2х

3

2 2

( ) :áõÙ2;4 ·ïÝíáõÙ ãÇ ³ñÙ³ïÁ II Ý`лï¨áõÃÛáõ −

( ):ãÏ³Ý ³ñÙ³ïÝ»ñ ¹»åùáõÙ ³Ûë àõñ»ÙÝ,

´³Ûó : :1а1а01f ≠=⇔=

.1;17

11а

∈ ä³ï³ë˳Ý`