UNIVERSIDAD FERMÍN TOROVICERECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

Luisana CorderoProf. Adriana

BarretoSaia A

Estructuras Discretas II

Dado el siguiente grafo, encontrar:A) Matriz de adyacenciaB) Matriz de incidenciaC) ¿Es conexo? Justifique su respuestaD) ¿Es simple? Justifique su respuestaE) ¿Es regular? Justifique su respuestaF) ¿Es completo? Justifique su respuestaG) Una cadena simple no elemental de

grado 6H) Un ciclo no simple de grado 5I) Demostrar si es hamiltonianoJ) Subgrafo parcial K) Árbol generador aplicando el algoritmo

constructor

GrafosV1 V2

V8V4

V3

V6

V5 V7

A1A2 A3

A4 A 5

A6A7

A8 A9

A10

A11

A1 2

A13

A14

A15

A16

A17

A18

A19

A20

A) Matriz de adyacencia: para desarrollar esta matriz, se debe encontrar la multiplicidad entre los vértices. La multiplicidad es el numero de aristas que existen entre cada par de vértices. Por ejemplo, de V1 a V2 solo existe una arista, por lo tanto se coloca 1.

Ma(G)= (011110101010011111011101101011001011011001111011110 0110101100110

)

B) Matriz de incidencia: es el número de veces que la arista incide en el vértice. Por ejemplo: la arista A1 incide en los vértices V1 y V2, pero no incide en el resto de los vértices .

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V

1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 ¿Mi(G)=

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 A

1A2A3A4A5A6

A7A8A9A10A11A12

A13A14A15A16A17A18

A19

A20

C) ¿Es conexo? Por definición, se dice que un grafo es conexo si y solo sí, se cumple que para todo par de vértices u,v se tiene que u y v están conectados. En caso contrario, diremos que el grafo es disconexo.

Por ejemplo:

a) Se cumple que V1 y V2 están conectados, ya que existe una cadena de V1 a V2 b) El grafo es conexo ya que todos sus vértices están conectados entre sí, es decir,

existe una cadena para todos los vértices.

V1 V2

V3

V6

V5 V7

A1A2 A3

A4 A 5

A6

A7

A8 A9

A10

A11

A1 2

A13A14

A15

A16

A17

A18

A19

A20

D) ¿Es simple?

Según la definición, un grafo se denomina simple si y solo sí, no tiene lazos y entre cada par de vértices distintos no hay más de una arista. Si se observa el grafo planteado, se puede notar que no existen lazos y tampoco hay mas de una arista entre cada par de vértices, por lo tanto es un grafo simple. Por ejemplo, de V1 a V2 hay una arista, y de V1 a V4 también hay solo una arista.

E) ¿Es regular?

Un grafo es regular cuando cada vértice tiene el mismo grado. El grado presentado no es regular, ya que hay vértices que tienen grados diferentes.

F) ¿Es completo?

Un grafo se denomina completo si es un grafo simple y solo existe exactamente una arista entre cada par de vértices. Observando el grafo dado, se puede ver que entre cada par de

vértices solo hay una arista. Por ejemplo, de V3 a V6 esta A13, y de V3 a V2 solo existe

A3

G) Una cadena simple no elemental de grado 6

Una cadena simple es la que no repite aristas, y una cadena elemental es la que no repite vértices, por lo tanto una cadena NO elemental es la que repite vértices, y el grado indica la cantidad de aristas que la cadena debe contener. A continuación, se presenta dicha cadena:

A10

V2

V3

V6

V5 V7

A1A2 A3

A4 A 5

A6

A7A8 A9

A10

A11

A1 2

A13

A14

A15

A16

A17

A18

A19

A20

V1

V4 V8

C1= [V1, A1, V2, A3, V3, A2, V1, A5, V5, A17, V6, A8, V2]

H) Un ciclo no simple de grado 5

Un ciclo simple es aquel en donde no se repiten aristas, solo la del inicio y final, por lo tanto, en un ciclo no simple si se pueden repetir las aristas sin importar cuantas veces pase por el vértice.

V2

V3

V6

V5 V7

V1

V4 V8

C1= [V5, A17, V6, A19, V7, A18, V5, A15, V4]

I) Demostrar si es hamiltonianoUn grafo es hamiltoniano si la cadena contiene tos los vértices sin repetirse. Este grafo es hamiltoniano ya que:

C1= [V1, A1, V2, A3, V3, A7, V8, A20, V7, A19, V6, A17, V5, A15, V4, A4, V1]

J) Subgrafo parcial

V1

V4

Vn

A12

A4

A15

V2

V6

V7

V5

A10

A20

A19

1er paso: Seleccionar un vértice S1, hacer H1={S1}2do paso: Seleccionamos una arista a1que tenga un extremo en H1y el otro extremo en un vértice S2 H1. Hacer H1 {S2}∉ ∪3er paso: Seleccionamos una arista a2 que tenga un extremo en H2, y el otro extremo en un vértice S3 H2. Hacer H2 ∉ ∪{S3}

K) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor.

Seleccionamos el vértice v1 H1={v1}⇒Seleccionamos la arista a4 H2={v1,v4}⇒

A15 ⇒ H3={v1,v4, v5}A12 ⇒ H4={v1,v4, v5, v3}A13 ⇒ H5={v1,v4, v5, v3, v6}

A8 ⇒ H6={v1,v4, v5, v3, v6, v2}A10 ⇒ H7={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8}A20 ⇒ H8={v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}

Acá se puede comprobar con el árbol generador, que hay dos vértices unidos por un solo camino. Este grafo es conexo, ya que posee árbol generador, y como G es un árbol entonces el número de aristas es igual al número de vértices menos 1.

A = {a4, a15, a12, a3, a8, a10, a20}V = {v1,v4, v5, v3, v6, v2, v8, v7}Numero de vértices = 8 - 1 = 7Numero de aristas = 7

DígrafosDado el siguiente grafo, encontrar:A) Matriz de conexiónB) ¿Es simple? Justifique su respuestaC) Encontrar una cadena no simple no

elemental de grado 5D) Encontrar un ciclo simpleE) Demostrar si es fuertemente conexo

utilizando la matriz de accesibilidad F) Encontrar la distancia de v2 a los

demás vértices usando el algoritmo Dijkstra

V1 V2

V5 V6

V3V4

a1a2

a3

a4

a5

a6

a7 a10a11

a8

a9

a12

a13

a14

A) Matriz de conexión: la matriz de conexión se realiza con la multiplicidad de todos los pares de vértices, de la siguiente forma:

(011110101001110111101011101101011110

¿)

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V1

V2V3

V4 V5V6

B) ¿Es simple? Por definición, un dígrafo es simple si no contiene lazos ni arcos paralelos. Los arcos paralelos se identifican cuando el origen de a1=a2 y final de a1= a2. Es decir, el inicio y final de dos aristas coinciden.

Por ejemplo:a) El ejemplo del dígrafo presentado es simple, ya que no contiene lazos ni arcos paralelos, solo una pareja de arcos opuestos, que son a13 y a14

C) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5Una cadena no simple es cualquier trayectoria que repita arcos y una cadena no elemental es cualquier trayectoria que repita vértices. A continuación, se presenta la siguiente cadena:

V2

V5

V3V4

a1a2

a3

a4

a5

a6

a7 a10a11

a8

a9

a12

a13

a14

V1

V6

C1=[V5, A10, V2, A4, V6, A14, V5, A13, V6, A14, V5]

C) Encontrar un ciclo simple Un ciclo es simple cuando una trayectoria no repite arcos. Por ejemplo:

V1 V2

V5 V6

V3V4

a1a2

a3

a4

a5

a6

a7 a10a11

a8

a9

a12

a13

a14

C1=[V1, A1, V2, A3, V4, A9, V1]

D) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad

McD=

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 0 1 1 0 1 0

v2 0 0 1 1 0 1

v3 0 0 0 1 1 0

v4 1 0 0 0 0 1

v5 0 1 0 1 0 1

v6 0 0 0 0 1 0

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 0 1 1 1 1 1

v2 1 0 0 1 1 1

v3 1 1 0 1 0 1

v4 0 1 1 0 1 0

v5 1 0 1 1 1 1

v6 0 1 0 1 0 1

M2=

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 1 1 1 1 1 1v2 1 1 1 1 1 1

v3 1 1 1 0 1 1

v4 0 1 1 1 1 1

v5 0 1 1 1 1 1

v6 1 0 1 1 0 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 1 1 1 1 1 1v2 1 0 1 1 1 1

v3 0 1 1 1 1 1

v4 1 1 0 1 1 1

v5 1 1 1 1 1 1

v6 1 1 1 1 0 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 1 1 1 1 1 1v2 1 1 1 1 1 1

v3 1 1 1 1 1 1

v4 1 1 1 1 1 1

v5 1 1 1 1 1 1

v6 1 1 1 1 0 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6v1 1 1 1 1 1 1v2 1 1 1 1 1 1

v3 1 1 1 1 1 1

v4 1 1 1 1 1 1

v5 1 1 1 1 1 1

v6 1 1 1 1 1 1

M3=

M5=

M4=

M6=

Mi=

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 31 40 33 65 62 79

v2 22 33 24 47 47 58

v3 20 26 22 39 43 49

v4 16 29 21 42 38 48

v5 23 34 25 49 53 60

v6 11 14 12 23 23 30

Para concluir : Acc(D)=bin= [I7 + M+M2+M3+M4+M5+M6]

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 1 0 0 0 0 0

v2 0 1 0 0 0 0

v3 0 0 1 0 0 0

v4 0 0 0 1 0 0

v5 0 0 0 0 1 0

v6 0 0 0 0 0 1

v1 v2 v3 v4 v5 v6

v1 1 1 1 1 1 1

v2 1 1 1 1 1 1

v3 1 1 1 1 1 1

v4 1 1 1 1 1 1

v5 1 1 1 1 1 1

v6 1 1 1 1 1 1

 Como la matriz de accesibilidad no

tiene componentes nulos se puede afirmar que el

dígrafo es fuertemente

conexo

=

V1 V2

V5 V6

V3

F) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices usando el algoritmo Dijkstra

3

3

En esta diapositiva se puede ver como quedó el cálculo de la distancia mas cortaentre V2 y V5

(6,1)

V4

(8,1)

(3,1)

(3,1)

(4,1)

34

De V2 a V1: 8 De V2 a V3: 3De V2 a V4: 4De V2 a V5: 6De V2 a V6: 3