Guía de matemáticas Bloque 1 segundo garado

1

MATEMÁTICAS 2

GUÍA DE CLASEEDUCACIÓN SECUNDARIA

Esta guía pertenece a ___________________________________________________

Escuela Secundaria _____________________________________________________

Respetables alumnos y padres de familia:

Esta guía de clase se ha elaborado con las sugerencias de los Profesores de Matemáticas de la Región Centro de Chihuahua, con el fin de apoyar en el estudio a nuestros alumnos, de tal manera, que puedan utilizarla como la base de los conocimientos y habilidades que en clase deben adquirir.

Es importante que en el trabajo de iniciación se promueva el esfuerzo individual de los alumnos, así como el trabajo colaborativo para llegar al conocimiento, en ocasiones con explicaciones sencillas del profesor y promoviendo que todos los alumnos hagan aportaciones para la solución de los problemas, ya que el aprendizaje solamente es adquirido de manera individual. Recordemos que no es el médico el que sana, es el paciente, así mismo, no es el maestro el que aprende, es el alumno, con su muy particular aptitud, interés, dedicación, esfuerzo, responsabilidad, participación, etcétera.

Una catedrática de la Universidad decía a sus alumnos:

“Nada se aprende, nada se enseña, si no es por la repetición y el ejercicio. Son necesarios cientos, miles de ensayos para aprender verdaderamente lo que se estudia. Si por orgullo o pereza nos olvidamos de esta necesidad, nuestra ineptitud nos hará aprender duramente que la naturaleza no se deja violentar o apresurar”.

¡ÉXITO!

SUGERENCIAS PARA EL USO DE LA GUÍA

Lee y comprende

los conceptos que vienen encerrados

en los recuadros.

Escribe un

resumen de lo

que leas.

Memoriza los conocimientos

que se necesiten

memorizar.

Resuelve las actividades de clase de

la guía.

Comparte los conocimientos

con tus compañeros.

1

ÍNDICE

BLOQUE 1 CONOCIMIENTOS Y HABILIDADES PÁGINA

Problemas multiplicativos

• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

410

Figuras y cuerpos

• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.• Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

15

23

Medida • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

26

Proporcionalidad y funciones

• Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.• Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto.

30

34

Nociones de probabilidad

• Comparación de dos o más eventos de azar a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…” “es menos…”

36

Análisis y representación

de datos

• Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

38


Problemas aditivos

• Resolución de problemas que impliquen suma de monomios y polinomios.• Resolución de problemas que impliquen resta de monomios y polinomios.

41

45


• Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir de empleo de modelos geométricos.

48

Medida

• Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.• Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

51

55


• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

59

Nociones de probabilidad

• Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

62



• Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.• Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

65

68

Figuras y cuerpos• Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. • Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

74

76

1

Medida • Relación entre el decímetro cúbico y el litro 80Proporcionalidad

y funciones• Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

81


de datos

• Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.• Análisis de propiedades de la media y mediana.

89

92


Patrones y ecuaciones

• Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general en lenguaje algebraico de una sucesión.• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.

97

103

Medida • Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones.

112


• Análisis de las características de una gráfica que representa una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.• Análisis de situaciones problemáticas asociados a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma y = ax + b

116

123


de datos

• Resolución de situaciones de medias ponderadas. 126


Patrones y ecuaciones

• Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente. Suma y resta, igualación o sustitución.• Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas con la solución del problema.

129

137

Figuras y cuerpos• Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

144

Medida • Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

150


• Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.• Análisis de los efectos al cambiar la función y = mx + b en la gráfica.

155

157Nociones de probabilidad

• Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

160

Hay dos clases de persona - me dijo en cierta ocasión mi abuelo – los que trabajan y los que se adjudican el mérito. Él me aconsejó que tratara de estar en el primer grupo, ya que es ahí donde hay menos competencia.

1

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS• Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.

CONOCIMIENTOS

MULTIPLICACIÓN DE NÚMERO ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS

PROBLEMA: Observa las siguientes tablas de multiplicación, en donde el producto va disminuyendo en la primera tabla y aumentando en la segunda. Deduce las leyes de los signos de la multiplicación.

POR +3 +2 +1 0 -1 -2 -3+5 15 10 5 0 -5 -10 -15

POR +5 +4 +3 +2 +1 0 -1 -2 -3-3 -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9

Con base en las multiplicaciones anteriores completa lo siguiente:

Si multiplicamos dos números del mismo signo el resultado tiene signo ____________

Si multiplicamos dos números de diferente signo el resultado tiene signo ___________

Las leyes de los signos de la multiplicación son las siguientes:

a) Un número entero positivo por otro positivo, el resultado es positivo: (+5)(+3) = +15b) Un número entero positivo por otro negativo, el resultado es negativo: (+5)(-3) = -15c) Un número entero negativo por otro positivo, el resultado es negativo: (-3)(+5) = -15d) Un número entero negativo por otro negativo, el resultado es positivo: (-3)(-3) = + 9

FORMAS DE REPRESENTAR UNA MULTIPLICACIÓN

Con el signo por: 5 x -3 = Con un punto: 5 • -3 = Con paréntesis: (5) (-3) =

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Completa las tablas de multiplicar y escribe enseguida las leyes de los signos.

POR 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -57

POR 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3-5

Leyes de los signos de la multiplicación

( + )( + ) = ____ ( + )( - ) = ____ ( - )( - ) = ____ ( - )( + ) = ____

BLOQUE 1

1

2.- Calcula los siguientes productos aplicando las leyes de los signos.

(+4)(+2) = ______

(+4)(+1) = ______

(+4)(0) = ______

(+4)(-1) = ______

(+4)(-2) = ______

3.- Usa números positivos y negativos para representar cada situación con multiplicación.

En el futbol americano, 5 fauls de 4 yardas cada uno: (5)( ) = -20

Sueldo de 2 días de trabajo por $250 cada uno:…..._______________________

3 pérdidas de $50 cada una:……………….………..._______________________

4 fauls de 15 yardas cada uno:………………………._______________________

Aumento de 5 veces la temperatura 4°C:………….._______________________

4.- Resuelve los siguientes problemas y escribe el resultado correcto.

(-3)(+4) = ______

(-3)(+3) = ______

(-3)(+2) = ______

(-3)(1) = ______

(-3)(0) = ______

(4)(-20) = ______

(-10)(+3) = ______

(3)(-1) = ______

(-4.5)(3) = ______

(-8)(0) = ______

1.- En un juego de azar, una persona perdió $90 cuatro veces seguidas y en siete ocasiones ganó $60 cada vez.¿Cuál es el estado de sus cuentas?_______

2.- En una mina, una calesa baja a razón de 7 metros por segundo. ¿Dónde se hallará a los 10 segundos con respecto al nivel de la estación?_____________

3.- El producto de dos números es -25. Si esos dos números son multiplicados por -8, ¿cuál será el nuevo producto?___________

4.- Pensé un número. Al multiplicarlo por -6 y enseguida restarle 42 obtuve 0. ¿Qué número pensé?__________

5.- ¿Qué números multiplicados da +16 y sumados resulta +8?

_____ y _____

6.- ¿Qué números multiplicados da 10 y sumados resulta +7?

_____ y ______

7.- ¿Qué números multiplicados da 6 y sumados resulta -5?

_____ y _____

8.- ¿Qué números multiplicados da -20 y sumados resulta 1?

_____ y _____

1

5.- Resuelve las siguientes multiplicaciones indicadas. Primero multiplica los signos.

9 x 2 = ______ (+8)(-3 ) = ______ ( -5)(-3) = ______

(-5)(-8) = ______ (+2)(+1) = ______ (a)(-b) = ______

(-4.2)(+3) = ________ (-7)(-7) = ______ (0.40)(- 0.75) = ______

(-2)(+ 5)(- 8) = ______ (-5)² = __________ (+3)(+4)(-1) = ______

(4)(-1)(- 2) = ______ (35)(1)(- 2) = _______ (-3)² = ______

(-4)² = ______ (+40)(-40) = _______ (-20)(-20)(-20) = ______

6.- Escribe en las líneas el número correcto que falta.

(-7)(3) = ______ (___)(___) = 14 (-7)(6) = ______

(-2)(___) = 12 (___)(___) = -40 (-7)(4) = ______(____)(-8) = -16 (___)(___) = 25 (-2)(___) = 20

(____)(____) = -21 (___)(___)= -15 (-2)(8) = _____

7.- Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones, si n = 3. Ejemplo:

20 - 4n = 20 - 4(3) = 20 - 12 = 8

3n = _________________________ 2n - 1 = ______________________________

2n = _________________________ -2n = _____________________________

2n + 6 = _________________________ -5n + 8 = _____________________________

3n + 1 = _________________________ -3n - 50 = _____________________________

6n – 3n = ________________________ -4n = ________________________________

5n – 20 = ________________________ -3n + 60 = ____________________________

9.- Rosa compró 4 kilos de manzanas y 5 kilos de naranjas. El kilo de manzana cuesta $18 y el kilo de naranja cuesta $12. Si pagó con un billete de $500, ¿cuánto recibió de cambio?_______________

10.- Si una deuda se considera como un número negativo. Martha adeuda $500 a cada una de las cinco tiendas donde le fían. ¿Cuánto adeuda a las cinco tiendas?........ (__)

a) $500b) $2 500c) -$2 500d) -$500

1

8.- Las personas que fueron al súper de compras, observaron en la entrada una lista de precios que se encontraban en oferta. Observa las ofertas y resuelve los problemas que enseguida se plantean.

¡OFERTAS!

ARTÍCULO PRECIO POR UNIDADJabón para baño $6.00

Nescafé $34.00Jugo de piña $12.00

Crema $27.00Rastrillo $23.00

1.- Mario compró 2 rastrillos y 4 jabones para baño. ¿Cuánto pagó en total?___________

2.- Rosa compró 3 jabones para baño, 1 nescafé y 7 jugos de piña.¿Cuánto pagó en total?___________

3.- Iván compró 4 rastrillos, 9 jabones para baño y 3 cremas.¿Cuánto pagó en total?___________

4.- Elena compró 10 jabones, 3 nescafés y 20 jugos de piña.¿Cuánto pagó en total?___________

5.- Amada compró 5 jabones para baño, 5 jugos de piña y 1 crema. Si pagó con un billete de $200.00¿Cuánto le dieron de cambio?________

6.- La mamá de Mario compró 8 jabones para baño, 2 nescafés, 7 jugos de piña, 2 cremas y 4 rastrillos. Si pagó con un billete de $500.00¿Cuánto le dieron de cambio?________

1

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. POSITIVOS Y NEGATIVOS

PROBLEMA: Completa las siguientes tablas de división, en donde se puede observar que el cociente o resultado va disminuyendo y deduce las leyes de los signos de la división. Deduce las leyes de los signos de la división.

ENTRE 15 10 5 0 -5 -10 -155 3 2

÷ -15 -12 -9 -6 -3 0 3 6 9-3 5 4

La multiplicación y la división son dos operaciones inversas, por lo tanto, las leyes de los signos de la división serán inversos a los de la multiplicación.

( + )( + ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( + ) = +( + )( - ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( - ) = +( - )( - ) = + Su inverso es ( + ) ÷ ( - ) = -( - )( + ) = - Su inverso es ( - ) ÷ ( + ) = -


1.- Resuelve las siguientes divisiones. Primero divide los signos.

35 ÷ 7 = 100 ÷ (-25) = -25 ÷ (-1) = 18 ÷ (-2) =

-20 ÷ (-1) = 65 ÷ (-13) = -15 ÷ (-1) = 24 ÷ 4 =

-35 ÷ 7 = -100 ÷ 25 = -20 ÷ (-4) = -8 ÷ 4 =

-36 ÷ (-9) = -33 ÷ 11 = 28 ÷ (-7) = -4 ÷ 4 =

35 ÷ (-7) = -100 ÷ (-25) = - 8 ÷ (-2) = 20 ÷ (-1) =

-40 ÷ (-5) = -63 ÷ (-7) = -76 ÷ (-19) = 156 ÷ (-12) =

-35 ÷ (-7) = -25 ÷ 1 = -54 ÷ 9 = -112 ÷ (-8) =

2.- Encuentra el número que falta.

_____ ÷ 5 = 4 9 ÷ _____ = 3 - 4 ÷ ____ = - 2

_____ ÷ - 7 = 2 -15 ÷ _____ = 5 ____ ÷ 7 = - 7

_____ ÷ - 3 = 5 - 6 ÷ _____ = 3 - 18 ÷ _____ = 6

_____ ÷ 18 = - 5 -9 ÷ _____ = - 3 - 65 ÷ _____ = - 13

En la multiplicación y en la división, cuando son dos signos iguales con los que se opera, el resultado es positivo.

Cuando son dos signos diferentes el resultado es negativo.

1

3.- Resuelve los siguientes problemas.1.- Un submarino se sumerge hacia el fondo del agua a -2 metros por segundo. ¿Cuánto tiempo tardará para llegar a los -100 metros de profundidad? ____________________

2.- Las ventas de una tienda cambiaron -18 puntos en 3 días. ¿Cuál fue el promedio del cambio cada día? ____________________

3.- Un avión cambia de altitud -5025 metros en 15 minutos. ¿Cuánto bajó en cada minuto? ____________

4.- Un minero desciende en una mina -48 metros en 16 minutos. ¿Cuál es el promedio del descenso por minuto? _______________

5.- Una familia reporta en su balance mensual los siguientes movimientos: Enero $170, Febrero $-30, Marzo $80 y Abril $-20. ¿Cuál es el promedio en el balance mensual por los cuatro meses? ____________________

6.- Una persona hizo en el banco los siguientes movimientos mensuales entre depósitos y retiros: Enero $7350, Febrero $-850, Marzo $-1450, y abril $ 6150. ¿Cuál es el promedio en el balance mensual? _________________________

7.- Iván gana $8 200 al mes y Fernando gana $3 600. Por cuánto tiene que multiplicar Fernando su dinero para ganar lo mismo que Iván?_______

8.- El área de una recámara es de 30 m² y el área de otra es de 12 m².¿Por cuánto se tiene que multiplicar el área de la recámara chica para tener un área igual que la recámara mayor?___________________

9.- El papá de Fernando les reparte a sus tres hijos $5 274.00 y le toca $1 758.00 a cada uno. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno si lo que tiene para repartir son $10 548?___________

10.- El papá de Mario les reparte a sus 5 hijas $8 270.00¿Cuánto dinero recibe cada hija? __________

¿Cuánto dinero deberá tener el papá de Mario para que a cada una de sus hijas le reparta$3 600.00?______________

1

5

5

2 + 3 5

6

6

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS• Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

POTENCIACIÓN

PROBLEMA: Encuentra el área del cuadrado y el volumen del cubo.

La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo tantas veces como lo indique el exponente. A = 4² = (4)(4) = 16 V = 4³ = (4)(4)(4) = 64

Recuerda que una multiplicación se puede expresar de las siguientes maneras: Con el signo por solo cuando sean números, con paréntesis y con un punto, y si son letras, una enseguida de otra.

5 x 5 (5)(5) 5 • 5 Esto es 5 por 5(a)(b) a • b ab Esto es a por b

PRODUCTOS DE POTENCIAS ENTERAS CON UNA MISMA BASE

PROBLEMA: Multiplica las siguientes potencias que tienen una misma base.

(4²)(4³) = (4)(4)•(4)(4)(4) = 4

(a²)(a³) = (a)(a)•(a)(a)(a) = a

(b)(b²)(b³) = (b)•(b)(b)•(b)(b)(b) = b

De esta manera podemos generalizar que: “Para multiplicar dos potencias que tengan la misma base, los exponentes se suman”.

(4² x 4³) = 4 = 4

¿Cuáles serán los resultados de los siguientes productos que tienen la misma base?

(y³)(y²) = ______

(b²)(b³)(b ) = _______

4

44

4

4

BASE

EXPONENTE

POTENCIA4 ³ = 64

1

5

5

5

5 5


1.- Multiplica como en el ejemplo.

(3²)(3³) = (3)(3)(3)(3)(3) = 3

(2³)(2²) = __________________________ (2²)(2²) = ________________________

(a³)(a²) = _________________________ (x)(x) = _________________________

(10²)(10³)= _______________________ (y²)(y²) = ________________________

(8²)(8²) = _________________________ (4²)(4) = ________________________

(x³)(-x²) = _________________________ (-y³)(y) = ________________________

(-6)² (-6)³ = ______________________ (10³)(10³) = ______________________

2.- Multiplica directamente. Ejemplos: (a²) (a³) = a (2y)² (2y)³ = (2y) = 32y

(8²)(8³) = ________ (2³)(2³) = _______ (3²)(3²) = ________

(m³)(m²) = ________ (x³)(x²) = ________ (10²)(10²) = ________

(a²) (a²) = ________ (x)(x) = ________ 10³)(10²) = ________

(x²)(x) = _______ (y)(y³) = ________ (y²)(y²) = ________

(-y²)(-y²) = _______ (-a³)(a²) = ________ (m³)(-m²) = ________

(2x)² (2x)³ = _______ (2m)³ (2m)² = ________ (2x)³(2x)³ = ________

(x³)(x³) = _______ (a²)(a) = ________ (20²)(20²) = ________

3.- Multiplica como en el ejemplo: (2²)(2³) = 2 = 32

(3²)(3³) = ________ (x³)(x²) = _________ (2²)(2²) = ________ (a²)(a²) = ________

(9³)(9²) = ________ (x²)(x³) = __________

(10)(10³) = _______ (-y²)(-y²) = ________

(8²)(8) = _________ (x²)(x²) = _________

(4³)(4³) = _________ (y³)(y²) = _________

1

5

(6²)(6) = ________ (x²)(x³)(x³) = ________

4.- Multiplica directamente. Ejemplo: (-2a²) (+5a³) = - 10a

(5a²)(8a³) = ________ (7x³)(2x³) = _______ (3x²)(3x²) = ________

(4m³)(5m²) = ________ (3x³)(4x²) = ________ (3x²)(7x³) = ________

(3a²)(5a²) = ________ (4x³)(2x) = ________ (5x)(6x) = ________

(-9x²)(-3x) = _________ (-2y)(-4y³) = ________ (-1y²)(-8y²) = _______

(-7y²)(-4y²) = ________ (-6x³)(-2 x²) = ________ (-3m³)(-2m²) = _______

(3x²)(+3x³) = _________ (-2m³)(-2m²) = ________ (9x³)(9x³) = ________

(4x³)(-x) = _________ (+6a)(-a) = ________ (+5x³)(+4x²) = ________

5.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2²)(2²)?______________a) 8 b) 16 c) 32 d) 4

6.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (4²)(4³)?______________a) 64 b) 1 024 c) 256 d) 4 096

7.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3)?______________a) 27 b) 9 c) 243 d) 81

8.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3²)?______________a) 27 b) 9 c) 243 d) 81

9.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2³)(2³)?______________a) 32 b) 128 c) 64 d) 36

10.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²)(3³)?______________a) 27 b) 9 c) 243 d) 81

11.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (5²)(5²)?______________a) 100 b) 625 c) 125 d) 3 125

12.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10²)(10)?______________a) 20 b) 100 c) 10 000 d) 1 000

12.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10²)(10³)?______________a) 100 000 b) 1 000 c) 10 000 d) 1 000 000

13.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (10³)(10³)?______________a) 1 000 b) 100 c) 100 000 d) 1 000 000

14.- Resuelve los siguientes problemas.

1.- En la central de abastos, una bodega vendió 8³ pedidos de 8² cajas cada uno y en cada caja hay 8¹ botellas con 1 litro de aceite. ¿Cuántas botellas vendió?_____________

2.- Una librería envió 5³ cajas con 5² libros cada una para una biblioteca. ¿Cuántos libros envió en total?_________

1

6

6 18 18

15 15

2 x 3

3 x 2 6

4

5

6

4

4 4 x 2 8

5

4 5 7

4 12 8 4

5 6 7

7 21 14

POTENCIA DE UNA POTENCIA

PROBLEMA: El profesor de matemáticas nos pidió que encontráramos el resultado de las siguientes operaciones, y que estableciéramos la regla general para obtenerlo.

(3²)³ Aquí el exponente ³ nos indica que 3² los vamos a tomar como factor tres veces. Esto es: (3²)(3²)(3²) = 3

Por lo tanto, podemos deducir que para elevar una potencia a otra potencia, los exponentes se multiplican. (3²)³ = 3 Ejemplos:

(5³) = 5 Porque: (5³)(5³)(5³)(5³)(5³)(5³) = 5

(x³ x² )³ = x Porque: x³ x³ x³ x² x² x² = x

(x³ y²) = x y Porque se multiplican los exponentes


1- Resuelve las siguientes expresiones como en el ejemplo.

(x²)³ = (x²)(x²)(x²) = x = x (x³)² = ______________________________

(x²)² = __________________________ (b²) = _____________________________

(y³)² = __________________________ (m )³ = ____________________________

2.- Resuelve las siguientes potencias de potencias y obtén el resultado final. Ejemplo.

(2²)³ = 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 (2³)³ = __________________________

(2²)² = ____________________________ (2²) = _________________________

(10²)³ = ___________________________ (10³)³ = _________________________

3.- Encuentra el resultado de las siguientes potencias de potencias. Ejemplo

(x²) = x = x (b³)² = ____________________

(a²)² = ___________________ (y³) = ____________________

(x ) = __________________ (b²) = ____________________

4.- Encuentra las potencias resultantes. Ejemplo.

(x³ y²) = x y (x² y³)³ = _______________ (b³ c )² = ____________

(a³ b ) = ___________ (x³ y² ) = _______________ (a² b)³ = _____________

1

= =

= =

= =

=

5 10

= 3 - 2 4=

7 = 10 3 - 7 = 10 - 4 =1

10 4

- 1 - 2 - 3 - 4 0

1

= 4

SISTEMADECIMAL

1 8

= x

=

=

=

8

5 =

=

=

1 4

1 6

6

7

4

22

8 =

=6

7 6

1

6 4

9

=

=

=

=

(a³ b³ ) = ____________ (x³ y² )² = _______________ (a² b³) = __________DIVISIÓN DE POTENCIAS DE UNA MISMA BASE

PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base y establece la regla para efectuarla.

4³ (4)(4)(4)4² (4)(4)

PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias con una misma base en donde el exponente del numerador es mayor que el del denominador.

10³10

Cuando en una división nos resulta una potencia negativa, la convertimos en positiva dejando como denominador el 1 y pasándola como potencia positiva al denominador.Esto se explica por lo siguiente: (NOTA: Todo término a la 0 potencia es igual a 1)

10³ 10² 10 10 10 10 10 10

1000

100 10 1110

_1_100

1_ 1000

1__ 1_10000 10


1.- Divide como en el ejemplo. 4³ (4)(4)(4)4² (4)(4)

8³ 3³8² 3¹

x³ y_x² y²

2.- Encuentra el resultado de calcular las siguientes divisiones. Ejemplo: xx

y³ a² y³ x_y² a¹ y² x

x³ y³ b _ w_x¹ y² b w

x³ y³ c x_xº y³ c x

2.- Encuentra el resultado de calcular los siguientes cocientes. Indica todo en positivo.

10³ _ w²_ y³_ 10 w y

x²_ a_ x_ x a x

= = 4³ˉ² = 4¹ = 4

== =

= =

4 REGLA: Para dividir potencias que tengan la misma base, restamos los exponentes.

6

1

FIGURAS Y CUERPOS• Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

PROBLEMA: Demuestra que “los ángulos opuestos por el vértice, a y b, son iguales”Si recortamos el ángulo b opuestos y lo sobreponemos en su opuesto a, comprobamos que las medidas de ambos ángulos coinciden exactamente.

< a = < b Por ser opuestos por el vértice.

Cuando se cruzan dos rectas de un lado a otro se forman rectas transversales, originando ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.

d a c b


1.- Encuentra la medida de los ángulos que se indican.

a ________

b ________

x ______

y ______

155°

Calca y recorta lo que corresponde al ángulo b y sobreponlo en el ángulo a.

b

a

GF

E49°

y

x

99°

36°a

25°b

c

b

a

51°

a y c son ángulos opuestos por el vértice. Y también b y d.a y d son ángulos adyacentes porque comparten el mismo vértice y un lado. Y también d y c, c y b, a y b.Los ángulos adyacentes son suplementarios porque suman 180° (a + d = 180°)

E ________

F ________

G ________

a ________

b ________

c ________

1

2.- En el siguiente dibujo se presentan dos rectas que al cortarse forman ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes suplementarios porque suman 180°. Observa el dibujo y contesta las preguntas.

3.- En Santa Bárbara, Chihuahua, para ir del pueblo a la Mina Clarines, hay un camino que al cruzarse con la carretera de terracería forman ángulos como los que se representan en el siguiente dibujo. Observa el dibujo y contesta las preguntas.

4.- El profesor Vicente les planteó a sus alumnos el siguiente:

PROBLEMA: El siguiente dibujo representa el cruce de dos vías del ferrocarril.

¿Cuál es el valor del ángulo representado por la letra x?_______________

5.- La sombra que proyecta la antena de la televisión de una casa, forma con el marco de una puerta ángulos como se muestran en el siguiente dibujo. Observa y contesta las preguntas.

c

b

a135°

132°

x

c

ba

100°

c b

a 40°

¿Cuál es la medida del ángulo c?______

¿Cuál es la medida del ángulo a?______

¿Cuál es la medida del ángulo b?______

MINACLARINES ¿Cuál es la medida del ángulo c?______

¿Cuál es la medida del ángulo a?______

¿Cuál es la medida del ángulo b?______

¿Hasta cuántos ángulos identificas que se forman en el dibujo?.............. ________

¿Cuál es la medida del ángulo c?..........______

¿Cuál es la medida del ángulo a?..........______

¿Cuál es la medida del ángulo b?...........______

1

RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES, ALTERNOS INTERNOS Y ALTERNOS EXTERNOS

PROBLEMA: Calca y recorta la circunferencia dibujada abajo y colócala exactamente sobre la otra circunferencia. Observa que la medida de los ángulos coincide. Compara la medida de los ángulos y demuestra que:

a b

c d

e f

g h

a = e b = f c = g d = h Por ser correspondientes.

c = f d = e Por ser alternos internos.

a = h b = g Por ser alternos externos.

ACTIVIDADES DE CLASE1.- En las siguientes rectas paralelas, escribe parejas de ángulos que cumplen con lo que se indica enseguida, compara la medida de los ángulos que se forman y contesta las preguntas que se te hacen.

Opuestos por el vértice: ________, ________, ________, ________.

Suplementarios: _________, _________, _________, _________,

_________, _________, _________, __________.

Alternos internos: __________, __________

Alternos externos: __________, __________

Si en el dibujo anterior, el ángulo a mide 45°:

¿Cuánto mide el ángulo b? _______ ¿Cuánto mide el ángulo f? _______

¿Cuánto mide el ángulo c? _______ ¿Cuánto mide el ángulo g? _______

¿Cuánto mide el ángulo d? ________ ¿Cuánto mide el ángulo h? _______

b a

c d

f e

g h

1

¿Cuánto mide el ángulo e? _______

2.- Observa el siguiente dibujo en donde P y Q son paralelas.

3.- Escribe la medida de los ángulos formados en las siguientes rectas si 3x + 2x = 180°

5.- Corta las siguientes rectas paralelas con una transversal, mide con el transportador uno de los ángulos que se forman y escribe a los otros su medida.

6.- Encuentra la medida del ángulo x, sabiendo que M y N son paralelas.

e f

c d

a b

3x 2x

Q

P

M

x

49°

dc

g h

a

123° f

b

¿Cuánto mide cada uno de los siguientes ángulos?

c = _________ b = _________

a = _________ d = _________

f = _________ g = _________

h = _________

a = _______ b = _______

c = _______ d = _______

e = _______ f = ______

1

ÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO

PROBLEMA: Demuestra que los ángulos internos de un triángulo suman 180°.Con el papel doblado, a partir del dibujo de un triángulo podemos ver de manera informal que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. b

a c a + b + c = 180° Porque forman un ángulo llano.

Un ángulo es la porción indefinida de plano limitada por dos líneas. Para medir un ángulo se coloca el transportador de tal manera que los grados señalados en él, nos den la medida del ángulo.

Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano


1.- Mide con el transportador los ángulos internos de cada triángulo y suma sus medidas.

180°145°90°25°

150°N

1

2.- Encuentra la medida de los ángulos que faltan en cada uno de los triángulos que aparecen en las figuras y escríbela en el ángulo interno que señala cada flecha.

5.- Encuentra la medida del ángulo a del siguiente triángulo, y enseguida mide con transportador los ángulos internos del cuadrado, para que demuestres que la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360°.

90 + 45 + _____ = 180° a + b + c + d = _________________

a

y

69°

31°

36°

cd

ba

45°

90°

90°

23°

15°

60°

90°45°

32°

4.- Observa la siguiente figura:¿Cuánto mide el ángulo y?........................ (____)a) y = 111° b) y = 30°c) y = 90° d) y = 21°

3.- En un triángulo, dos de sus ángulos internos miden 25° y 50°. ¿Cuánto mide el otro ángulo?... (___)

a) 75°b) 105°c) 130°d) 285°

1

(180)(2) = 360°6.- Encuentra el valor de la medida de los ángulos faltantes en los siguientes triángulos o cuadriláteros.

b = ______

a = ______

b = ______

x = ______

x = ______

y = ______

x = ______

b = ______

a = ______

a = ______

b = ______

135°

106°

a

b58°

a

52°

b

32°

36°

ab 72°

46°a

38°

b

90°

90°

90°x

a b

d c

90° 45°

x

y

90°45°

125°

88° 88°

x

a = ______

a = ______

b = ______

c = ______

d = ______

1

7.- En el patio de la escuela los maestros dibujaron un triángulo como el siguiente:

8.- En la prueba de matemáticas la maestra nos planteó el siguiente:PROBLEMA: Encuentra la medida de los ángulos internos del siguiente triángulo si sabemos que el ángulo R mide 145° y el ángulo A mide 55°.

9.- La siguiente figura representa un terreno triangular en el que pasan tres calles por cada uno de sus lados. Encuentra la medida de los ángulos a y b que se forman en el terreno.

10.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 30° y 90°.¿Cuál es la medida del tercer ángulo?.................................._______




14.- Encuentra la medida del ángulo Ω del triángulo que se forma en las siguientes rectas.

a) 50°b) 45°c) 60°d) 55°

Ω

80°

135°

b

a

150°

CB

A

R

b 132°40°

a¿Cuánto mide el ángulo b?__________

¿Cuánto mide el ángulo a?__________

¿Cuánto mide el ángulo B?__________

¿Cuánto mide el ángulo C?__________

¿Cuánto mide el ángulo b?__________

¿Cuánto mide el ángulo a?__________

1

Ω = ___________

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Guía de matemáticas Bloque 1 segundo garado