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Guía jornadasPrimer semestre
Orden de las operaciones
Operaciones con fraccionesSuma y resta División
Multiplicación
Proporcionalidad
Directa
Inversa
Proporcionalidad compuestaMagnitud A Magnitud B Magnitud C
ab
cd
ex
𝑎𝑏=
𝑐𝑑=
𝑒𝑥
𝑎𝑏 ∙
𝑐𝑑=
𝑒𝑥 𝑥=
𝑒 ∙𝑏𝑑𝑎𝑐
Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan?
A más obreros, menos días Inversa.A más horas, menos días Inversa.A más metros, más días Directa.
Se acomodan las magnitudes dependiendo de si es directa o inversa
Sucesiones
Donde:= término buscado= primer término de la sucesión=posición del término= diferencia =suma de los términos
Donde:= término buscado= primer término de la sucesión=posición del término= razón =suma de los términos
Sucesión aritmética - ejemplo• Dada la sucesión 1, 4, 7, 10,… encuentra y
Sucesión geométrica - ejemplo• Dada la sucesión 3, 6, 12, 24,… encuentra y
Sucesión geométrica infinita - ejemplo• Dada la sucesión 32, 24, 18,… encuentra
Leyes de los exponentes
Ejemplo usando diferentes leyes
Polinomios• Un monomio el producto de números y
variables. Al número se le llama coeficiente y a las variables con sus exponentes se le llama la parte literal.
• Un polinomio es la suma de monomios.6 𝐱𝟐𝐲𝟑
Coeficiente Parte literal
Términos semejantes
Suma y resta de monomios
Multiplicación y división de monomios
Suma y resta de polinomios• Agrupación de términos semejantes(4+ 7 -12) + (-9 - 6 + 2)
+(7 𝑎 + 2𝑎)+
[ + (7+ 2) 𝑎 + (
-5+ 9 𝑎 -
• Por columnas 4 + 7 -12 (+) - 9 + 2 - 6
-5+ 9 𝑎 -
Multiplicación de polinomios
División de polinomios• División larga • División sintética (solo para
divisiones entre )
Productos notables
Triángulo de Pascal
Binomio de Newton
( 𝑛𝑚)= 𝑛 !𝑚 ! (𝑛−𝑚 )!
(50)= 5 !0 ! (5−0 ) !
= 5 !(0 !)(5 !)
=1 (51)= 5 !1! (5−1 )!
= 5 !(1 !)(4 !)
=5 (52)= 5 !2! (5−2 )!
= 5 !(2 !)(3 !)
=10
(53)= 5!3 ! (5−3 )!
= 5 !(3 !)(2!)
=10 (54)= 5 !4 ! (5−4 ) !
=5 !4 !
=5 (55)= 5 !5 ! (5−5 ) !
= 5 !(5 !)(0 !)
=1
Donde Ejemplo:
FactorizaciónFactorización
1. Factor común 2. Binomio
3. Diferencia de cuadrados
3. Binomio al cubo
2.Trinomio
3. Trinomio cuadrado perfecto
3. 3.
Factor común
𝑎(𝑎−𝑎𝑥+𝑥2)
𝑚2(𝑚4−3𝑚2+8𝑚−4 )
5 𝑥(3𝑥2+4 𝑥−1)
8 𝑥2 𝑦 (2 𝑥𝑦−1−3𝑥2 𝑦 )
Diferencia de cuadrados
Ejemplos:
Suma y diferencia de cubos
Ejemplos:
Trinomio cuadrado perfecto
4 𝑥2−12 𝑥𝑦+9 𝑦 2=(2𝑥−3 𝑦 )2
25𝑚6+30𝑚3𝑛2+9𝑛4=(5𝑚3+3𝑛2)2
Ejemplos
𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎±𝑏)2
Trinomio de la forma 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐
Se buscan 2 números que multiplicados den “c”
Pero sumados o restados den “b”
(𝑥+7)(𝑥+3)
(𝑥−20)(𝑥−1)
(𝑥−5)(𝑥+12)
(𝑥+10)(𝑥−3 0)
Si el signo del tercer término es “+”, los números se suman y se pone el signo del segundo término.
Si el signo del tercer término es “-”, los números se restan y se pone el signo del segundo término al mayor.
Trinomio de la forma 𝑎𝑥 2+𝑏𝑥+𝑐Pasos
1. Se multiplica (a)(c)2. Con ese número se buscan 2 números que sumados o restados den b3. Se escriben el primer término, los 2 números encontrados y el tercer término.4. Se factorizan por agrupación.
3 𝑥2+8 𝑥+5(𝑎 ) (𝑐 )=(3 ) (5 )=15
3 𝑥2+3𝑥+5 𝑥+5
+3 𝑥+5 𝑥
3 𝑥2+3𝑥+5 𝑥+5
)
(3 𝑥+5)(𝑥+1)
Factorización por agrupación1. Se divide el problema en 2 partes factorizables (factor común/TCP)2. Después de factorizar por separado se juntan los resultados para
factorizarlos (Factor común/binomios conjugados)Ejemplo:
5 𝑥2−30 𝑥−𝑥+6
) )
)
𝑥2+6 𝑥+9− 𝑦2
(𝒙+𝟑)𝟐 −𝒚𝟐
[ (𝒙+𝟑 )+𝒚 ] [ (𝒙+𝟑 )−𝒚 ]
Simplificación de fracciones algebraicas1. Se factoriza todo lo que sea posible en numerador y denominador 2. Se elimina lo que esté repetido arriba y abajo.
Ej:
Operaciones con fracciones algebraicas
Multiplicación:
División:
Suma y resta:
*Si al factorizar los denominadores b y d se observa que hay factores iguales, solo se multiplican por los términos que no estén presentes para conseguir que las 2 fracciones tengan denominadores iguales.
Después de realizar estos pasos, se factoriza y se simplifica.
¿(𝑥−4 )(𝑥+2)(2𝑥+5)(2 𝑥−5)(𝑥2)(2 𝑥−5)(6 𝑥−1)(𝑥+2)
=(𝑥−4 )(2 𝑥+5)(𝑥2)(6𝑥−1)
¿ 4(𝑥−5)(𝑥+5)
∙ (𝑥+3)(𝑥+3)
+(𝑥+2)
(𝑥−5)(𝑥+3)∙ (𝑥+5)(𝑥+5)
¿4 (𝑥+3 )+(𝑥+2)(𝑥+5)(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)
=4 𝑥+12+𝑥2+7 𝑥+10(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)
𝑥2+11𝑥+22(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)
=𝑥2+11𝑥+22
(𝑥−5)(𝑥+5)(𝑥+3)
Reglas de la igualdad
Ecuaciones lineales1. Se reducen los términos
semejantes, cuando es posible.2. Se dejan los términos con x a la
izquierda y se pasan los términos numéricos a la derecha.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, pasando dividiendo al lado derecho el número que multiplicaba a la x.
5. Se resuelve la división.
3 𝑥−1=2 𝑥+53 𝑥−2𝑥=5+1
𝑥=6
Ecuaciones con 2 incógnitas: Gráfico①②Pasos:1. Tabular las dos
ecuaciones para los mismos puntos en x
2. Dibujar la gráfica usando los puntos.
3. El punto donde cruzan las dos líneas es la solución (x , y)
Ecuaciones con 2 incógnitas: Reducción①②1. Multiplicar ① y ② por los valores
de y contrario y cambiar signo de la segunda
2. Eliminar y ; sumar los otros valores
3. Encontrar el valor de x
4. Sustituir x en ① para encontrar el valor de y
Ecuaciones con 2 incógnitas: Sustitución①②1. Despejar ① en y
2. Sustituir en ②
3. Multiplicar toda la ecuación por el denominador para eliminarlo
3. Encontrar el valor de x
4. Sustituir x en ① para encontrar el valor de y
Ecuaciones con 2 incógnitas: Igualación①②1. Despejar ① y ② en y
2. Igualar ① y ②
3. Multiplicar toda la ecuación por el denominador para eliminarlo
3. Encontrar el valor de x
4. Sustituir x en ① para encontrar el valor de y
Determinantes①②1. Tomar los números y signos de las “x” y “y”, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
2. Cambiar las “x” por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
3. Cambiar las “y” por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
4. Dividir el resultado del paso 2 entre el resultado del paso 1.
5. Dividir el resultado del paso 3 entre el resultado del paso 1.
Ecuaciones con 3 incógnitas: Reducción①②48③
1. Multiplicar ① y ② por los valores de z contrario y cambiar signo de la segunda (solo si los signos son iguales)
2. Eliminar y ; sumar los otros valores
④
3. Hacer lo mismo con ② y ③
⑤
4. Hacer lo mismo para ④ y ⑤ eliminando la y
Ecuaciones con 3 incógnitas: Reducción①②48③
5. Sustituir x en ④ para encontrar el valor de y
6. Sustituir x y y en ① para encontrar el valor de z
Determinantes (CRAMER)①②48③1. Tomar los números y signos de las x , y, z multiplicarlos
cruzados y restar los resultados.
2. Cambiar las x por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
Determinantes①②48③3. Cambiar las y por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
4. Cambiar las z por los valores de resultado de las ecuaciones, multiplicarlos cruzados y restar los resultados.
Determinantes①②48③5. Dividir el resultado del paso 2 entre el resultado del paso 1.
6. Dividir el resultado del paso 3 entre el resultado del paso 1. 7. Dividir el resultado del paso 4 entre el resultado del paso 1.
Ecuaciones cuadráticas
Ejemplo
Ecuaciones cuadráticas: caso 1
Ejemplo
Esto quiere decir que
Ecuaciones cuadráticas: caso 2
Ejemplo
Esto quiere decir que
Ecuaciones cuadráticas: caso 3
Fórmula general
Discriminante
Reglas:Si raíces igualesSi raíces imaginariasSi raíces diferentes de números enterosSi raíces diferentes de números decimales
Ecuaciones cuadráticas: caso 3
Fórmula general
Ejemplo
Ecuaciones cuadráticas: raíces imaginarias
Fórmula general
Ejemplo
Ecuaciones cuadráticas: método gráfico
Pasos:1. Tabular la ecuación para
algunos valores en x2. Dibujar la gráfica usando los
puntos.3. Los puntos donde cruzan el eje
x son la solución.