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En esta sección se sugieren tres tipos de acciones que se podríanadelantar a partir del análisis de los resultados de las pruebascensales; que si bien no son descritas de manera exhaustiva, sípueden servir para orientar propuestas de mejoramiento de losprocesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.

2.1 Indagación sobre concepciones de losestudiantes

Si respecto a las respuestas dadas por los estudiantes la mirada deldocente no se centra exclusivamente en la opción consideradacorrecta, ni tampoco en los porcentajes de acierto y error, es posibleque surja un interés por indagar sobre las razones que llevan a losestudiantes a seleccionar opciones que aparentemente resultan“inexplicables” o que incluso podrían ser consideradas como“ilógicas”, en tanto las preguntas se relacionan con temáticas quehan sido suficientemente tratadas en diferentes cursos y, porconsiguiente, se esperaría que casi la totalidad de los estudiantesrespondieran la opción correcta. Sin embargo, un análisis sobrelos procesos y estrategias utilizadas por los niños y jóvenes,contribuiría no sólo a encontrar algunas explicaciones sobre ladiversidad de respuestas dadas a una misma pregunta, sino queaportaría elementos importantes en el proceso de cualificacióndel docente. Por ejemplo (Preguntas 11 -nivel B- y 12 –nivel C-para grado tercero,-):

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“El preguntón” es un juego en el cual el profesor le hace preguntasa los estudiantes. Por cada respuesta correcta se gana un punto. Acontinuación se muestra la forma de representar los puntos y lacantidad de puntos que han acumulado Margarita y Santiago.

11.

Después de un mes, Santiago ha acumulado 199 puntos. Sicontesta correctamente otra pregunta, completará

A. 100 puntos

B. 190 puntos

C. 200 puntos

D. 1.910 puntos

La opción A fue seleccionada aproximadamente por el 15% delos estudiantes, la B por el 9%, la C por el 63% y la D por el10%.¿Qué puede inferirse de estos resultados?.

Si bien el 63% respondió adecuadamente, es importantepreguntarse por qué, frente a una pregunta en apariencia simple(en tanto podía responderse siguiendo una secuencia de conteo),

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cerca del 36% seleccionó otra de las opciones. Por una parte, reflejacierta dificultad en la comprensión del algoritmo clásico de lasuma. En las opciones A y B (24%), posiblemente suman lasunidades (9 y 1) pero, en uno de los pasos, olvidan la unidad deorden superior que han obtenido; en la opción D, realizan la sumade 9 y 1 y componen los dos resultados parciales, obtenidos demanera desagregada (19 y 10), sin reconocer en el resultado finalsu valor posicional.

Adicionalmente, debería preguntarse por el sentido numérico queescolarmente se ha potenciado en los niños que seleccionarondichas opciones, pues se esperaría que pudieran controlar opredecir sobre el posible resultado, en tanto reconozcan que ésteno puede ser menor que uno de los sumandos ni puede alcanzarlas unidades de mil.

12.

Un tendero necesita poner su nevera a una temperatura de 3 gradoscentígrados, para conservar sus jugos. La nevera que registra estatemperatura es

42

La opción A fue seleccionada por aproximadamente el 44%, la Bpor el 17%, la C por el 24% y la D por el 14%; es decir, cerca del56% seleccionó la opción equivocada. Esto puede obedecer a variasrazones. Por una parte, podría ser una manifestación sobredificultades con la interpretación de escalas, o de una decisióntomada sólo con base en una primera percepción de las figuras,centrada en el conteo de las marcas sobre la línea numerada(opciones B y D); o posiblemente, frente a la no presencia delsímbolo numérico 3, optó por uno de los símbolos presentes enlas figuras dadas, inmediatamente anterior a 3 y que apareceseñalado (opción C). Por otra parte, permite cuestionarse sobre laresponsabilidad de la escuela en la formación de ciudadanoscapaces de interpretar información y utilizar instrumentos demedida de uso frecuente en el contexto social.

En relación con las posibles inferencias obtenidas, a partir de lasexplicaciones mencionadas en los ejemplos anteriores, resultaimportante resaltar que éstas sólo son opciones, que si bien sefundamentan en resultados de investigaciones realizadas en elámbito nacional e internacional, pueden diferir de lo que realmentesucede en contextos concretos de aula, por las condicionesparticulares de las regiones, de las escuelas, de los estudiantes o delos docentes, en cuanto variedad de formas de trabajo, énfasiscurriculares, diversidad de interpretaciones, procedimientosutilizados o posibles dificultades y que, si bien las pruebas escritasson un instrumento útil, el análisis general realizado requiere sercomplementado con otros instrumentos, como se mencionó enpárrafos anteriores (entrevistas, estudios de caso o del análisis deprocesos de interacción en el aula entre estudiantes y de estos conel profesor).

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2.2 Evaluación del currículo dematemáticas desarrollado en la institución

Un primer uso que pueden tener los resultados de las pruebassería el de posibilitar una valoración de fortalezas y debilidades dealgunos aspectos de la propuesta curricular que se desarrolla en lainstitución, a través de un análisis comparativo entre el desempeñode los estudiantes de la institución y los desempeños a nivel regionalo nacional, en los diversos tópicos evaluados. Dicha valoraciónpermitiría, en particular, reconsiderar la pertinencia de ciertosénfasis en los tópicos que son motivo de estudio en los diversosgrados en el trabajo escolar a nivel institucional.

De manera similar, los porcentajes de rendimiento asociados conlos niveles de complejidad exigidos para abordar las diferentespreguntas, serían un indicador sobre los niveles logrados por losestudiantes mediante las situaciones que usualmente se abordanen el trabajo de aula y aportarían elementos para que el docentedecida sobre la conveniencia de mantener o incrementar el gradode complejidad exigido para aboradar las actividades quecotidianamente propone a sus estudiantes.

2.3 Diseño de situaciones problema

Para el diseño de situaciones problema, apropiadas para el desarrollocurricular en el aula, si bien pueden considerarse las propuestas enlas pruebas como un referente, no deberían tomarse como preguntascerradas de selección múltiple, pues las abiertas son más adecuadaspara analizar procesos y, además, permiten descartar ciertas variablesque pueden estar asociadas al tipo de opciones propuestas.

2.3.1 Hacia un trabajo interdisciplinario. Ahora bien, en relacióncon las posibilidades de trabajo en el aula a partir de situaciones

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tomadas de las pruebas, por ejemplo, la relacionada con laspreguntas 20, 21 y 22 para quinto grado, podría favorecer untrabajo interdisciplinario, en el que el conocimiento matemáticoque se pone en uso, puede ser útil en la organización de lainformación para interpretar y comprender problemasrelacionados con el medio ambiente y el contexto sociocultural;lo cual posibilita además que el conocimiento matemático seareconocido como interdependiente del contexto sociocultural. Unapretensión similar podría tenerse a partir de la situacióncorrespondiente a las preguntas 18 a 21 de la prueba de gradonoveno, que propiciaría un trabajo sobre indicadores económicos,comportamiento de la producción y precio de productos agrícolase industriales de importancia para la economía colombiana.

2.3.2 Ubicación espacial y representaciones planas. Así mismo, eltrabajo sobre croquis, planos o mapas, propuesto en las preguntas4 a 6 de la prueba de noveno, o, 12 y 13 de la prueba de quinto,pueden vincularse con la posibilidad de diseño de mapas de lalocalidad o de la ciudad, como herramienta de ubicación,propiciando un contexto para reflexionar sobre la necesidad deluso de escalas que permitan representaciones de grandeslongitudes, superficies o volúmenes en espacios reducidos. Paralos niños más pequeños, las actividades relacionadas conrepresentaciones de la cancha de fútbol, de baloncesto o de voleibol,o de las zonas verdes del colegio, potencian el desarrollo delpensamiento numérico, del métrico y, en particular, del espacial.

2.3.3 Concepto de área. La revisión de grupos de preguntas acercade conceptos y procedimientos relacionados con la medida, enparticular el concepto de área, ofrecería al docente, a manera deilustración, un conjunto de situaciones para el trabajo en el aulaque pueden potenciar tanto un análisis cualitativo medianteprocesos de comparación, aproximación y estimación, como eltratamiento cuantitativo a través de la medición y el cálculo.

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Como punto de partida se pueden considerar actividades comolas propuestas en las preguntas 5ª de la prueba de tercero y la 19ªde la prueba de séptimo, en las cuales el estudiante debe aplicarsobre las figuras transformaciones de romper y rehacer, a través delas cuales es posible avanzar en los procesos de conservación delárea, que son imprescindibles en la discriminación de la magnitud,diferenciándola, por ejemplo, de la longitud.

Observa la superficie del siguiente triángulo

¿en cuál de las siguientes figuras el área de la parte sombreada NOes equivalente a la del triángulo anterior?

Cuando los procesos de conservación del área han sidoinsuficientemente desarrollados, los estudiantes no reconocen quelas figuras de las opciones A, B y D son equivalentes, en área, conel triángulo propuesto en la pregunta y por tanto el mayorporcentaje de ellos (58%) escogen como respuesta la figura de laopción B, cuya parte sombreada corresponde precisamente a unafigura no triangular, es decir, realizan la escogencia tomando comoreferencia la forma y no el área.

Una vez se ha avanzado en los procesos de conservación del área,se cuenta con una base para abordar actividades relacionadas conel establecimiento de relaciones de orden y de equivalencia entre

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figuras, de acuerdo con su área; a través de actividades como laspropuestas en las preguntas 17ª de grado tercero y 15ª de gradoséptimo, orientadas a establecer relaciones de orden entre figuras,el estudiante puede reconocer que una figura tiene mayor áreaque otra, inicialmente a partir de la percepción, o de la aplicaciónde transformaciones de deshacer y rehacer (no necesariamentemediante acciones físicas); y cuando en su experiencia verifica laimposibilidad de encontrar entre dos figuras la de mayor o menorárea, decide que son equivalentes.

17.

El par de figuras cuya superficie tiene el mismo tamaño es

A. la 1 y la 2

B. la 2 y la 4

C. la 3 y la 4

D. la 1 y la 3

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A continuación se muestran cuatro modelos de portones metálicosque tienen en la parte superior, ventanas con vidrio.

15.

El modelo de portón para el cual se necesita mayor cantidad devidrio es

A. el modelo 1, porque las ventanas no tienen divisionesB. el modelo 2, porque hay tres vidrios largos en cada ventanaC. el modelo 3, porque los vidrios son másaltosD. el modelo 4, porque hay 4 vidrios en cada ventana

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Al buscar argumentos para explicar por qué una figura tiene mayoro menor área que otra, en muchos casos, los estudiantes recurrena un patrón o a utilizar una parte de la figura como unidad comúncon la cual miden las áreas de las figuras que están comparando;así, los procesos de comparación posibilitan el reconocimiento dela necesidad de tomar una unidad de medida, lo cual es básico enlos procesos de medición.

La medición directa de la magnitud, mediante acciones físicas,como las que podrían realizarse a partir de las actividadespropuestas en las preguntas 8ª de grado tercero y 23ª de gradoquinto, tampoco puede ser omitida pues ella permite centrar laatención inicialmente en la iteración de una unidad-patrón sobrefiguras que pueden ser recubiertas con cantidades enteras de dichaunidad (en el sentido no sólo de cubrir completamente la figuracon cierta cantidad de unidades-patrón, sino que la superficierecubierta no exceda a la superficie de la figura).

8.

Para realizar un trabajo de su escuela Pedro utiliza figuras comolas siguientes:

Pedro utilizó 12 triángulos para cubrir una figura. Si quiere cubrirla misma figura con paralelogramos necesitará

49

A. 2 paralelogramosB. 6 paralelogramosC. 12 paralelogramosD. 24 paralelogramos

A continuación se presenta un plano en el que están ubicados 4triángulos:

23.

¿Cuántas unidades cuadradas ocupan en el plano los 4 triángulosjuntos?

A. 2B. 8C. 4D. 12

Posteriormente, con miras a lograr una mayor comprensión delos procesos relacionados con la medición, se puede considerarfiguras en las cuales es necesario romper la unidad para asignarcomo medida no sólo cierta cantidad de unidades enteras sino

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también algunas partes de la unidad. El tipo de medición aquímencionado es requerido para responder preguntas como:

25.

¿Cuántos cuadrados como éste se necesitan para cubrir cada unade las siguientes figuras, respectivamente?

A. 4, 8, 9

B. 16, 24, 24

C. 4, 6, 4½

D. 16, 24, 18

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Pero la medición directa del área de ciertas figuras también puedeser utilizada en el trabajo de aula como una acción que potenciela generalización de procedimientos para el cálculo de su área,pues al asignar un número a la medida de su superficie, y establecerrelaciones entre tal valor y los valores de las dimensiones linealesasociadas (por lo menos para el caso de rectángulos y triángulos),se posibilita que el estudiante reconozca la importancia de loscálculos numéricos, en tanto no se hace indispensable la medicióndirecta del área; es decir, las fórmulas para calcular el área sonproducto de la optimización de procedimientos de cálculo,expresados de manera sintética, por tanto resultaría pocosignificativo el uso de fórmulas sin la realización de actividadesque permitan al estudiante construir sentido para los símbolos ylas relaciones establecidas en tales fórmulas.

Una actividad como la propuesta en la pregunta 10 de grado séptimopermite la asignación numérica al área de las figuras, ya sea medianteel conteo de unidades de superficie que recubren dichas figuras, orealizando la descomposición de cada figura (en rectángulos otriángulos) y calculando sus áreas a partir de fórmulas ya construidas.

Para embaldosar una sala se necesitan 46 m2 de baldosa. Se solicitael pedido al depósito de donde envían inicialmente 15 cajas quecontienen 1 ½ m2 de baldosa cada una.

10.

¿Cuál de las siguientes figuras tiene un área equivalente al área dela superficie de la sala que se desea embaldosar?

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53

En la sección anterior se ha propuesto formas de uso de estaspruebas, no sólo para evaluar los aprendizajes de los estudiantessino también para posibilitar reflexiones sobre el papel del profesoren la orientación de estos procesos al interior del aula. Por lotanto, no se trata de entrenar a los estudiantes hasta lograr ciertaexperticia en el desarrollo de pruebas de este tipo, sino de sacarprovecho de las discusiones y los análisis que se pueden generar apartir de ellas.

3.1. Una metodología para el análisis: Una estrategia consistiría enel análisis y utilización de las pruebas agrupadas de distintasmaneras, estableciendo focos de interés específicos en cadaaplicación (con un número reducido de situaciones o preguntas)y propiciando espacios para que los estudiantes compartan susinterpretaciones y los procesos realizados para abordar lassituaciones y responder las preguntas formuladas.

Para desarrollar esta estrategia, podrían tenerse en cuenta lassiguientes recomendaciones:

En primer lugar, decidir sobre cuáles aspectos de la competenciamatemática de sus estudiantes quiere indagar. Por ejemplo,con las preguntas de la prueba de grado tercero, se podríaindagar si los niños privilegian estrategias de tipo aditivo omultiplicativo cuando resuelven problemas aritméticos comolos presentados en las preguntas 15, 16, 18,19 y 20.

Para realizar tal indagación, se propondría a los estudiantes laspreguntas seleccionadas, solicitándoles explicitar los procesosrealizados o procedimientos utilizados y justificar la validez de

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la respuesta obtenida, para lo cual sería inconveniente presentarla pregunta con opciones de respuesta.

Durante el desarrollo de esta actividad, es importante tomarnota acerca de las inquietudes planteadas por los estudiantesy de ciertas manifestaciones que dan cuenta de posiblesdificultades, no sólo para estudiar la frecuencia con que sepresentan ciertas inquietudes o dificultades, sino tambiénpara contar con registros y evidencias que suelen ser degran utilidad para el análisis de dificultades en los procesosde enseñanza y aprendizaje, en tanto permiten, por ejemplo,reconocer relaciones entre determinadas interpretaciones ylos procedimientos utilizados, las cuales además de ofrecerposibles explicaciones a las dificultades encontradas tambiénserían necesarias para orientar el diseño de propuestasespecíficas de trabajo tendientes a superarlas.

Aplicado un grupo de preguntas, se puede determinar elporcentaje de estudiantes que privilegian ciertas estrategias,por ejemplo, de tipo aditiva, en tanto acuden a sumar orestar cantidades cuando están resolviendo problemasespecíficos; también podría establecerse, de acuerdo alnúmero de estudiantes que utilicen estrategias aditivas omultiplicativas en cada pregunta, cuáles de estas situacionespromueven más lo multiplicativo que lo aditivo y viceversa.

Por otra parte, sería conveniente analizar si las situacionesque se proponen regularmente en el aula, cuando se estudianlos problemas multiplicativos, corresponden a sumasreiteradas (en tanto pueden resolverse mediante estrategiasaditivas) o si también se proponen otro tipo de situaciones,como las relacionadas con combinaciones, con el cálculode ciertas áreas, o con modelos de crecimiento exponencial,en los cuales el proceso de resolución exige trascender lassumas reiteradas.

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De este modo, se podrían llevar a cabo varias experiencias quearrojen información sobre diversos aspectos. A continuación sesugiere algunos grupos de preguntas de las pruebas aplicadas enoctubre de 2003, que podrían ser utilizados, en cada grado, pararealizar indagaciones con base en un criterio específico (ver anexo):

Grado Tercero

Grado Quinto

Grado Séptimo

Grado Noveno

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3.2 Sugerencias metodológicas para eltrabajo en el aula

En el documento Matemáticas escolares: Aportes para orientarprocesos de innovaciòn, se plantearon algunas recomendaciones parael trabajo en temas acerca del tópico de aritmética. Allí se presentanalgunas sugerencias relacionadas con temas asociados a los tópicosde estadística, álgebra, geometría y medición, y además se refiereuna bibliografía básica que podría complementar lo aquí expuestoy aportar elementos para cualificar el conocimiento profesionaldel profesor en relación con los procesos de enseñanza y aprendizajede las matemáticas.

3.2.1 Tópico de estadística. Las posibilidades de los ciudadanos departicipar activamente en la sociedad contemporánea están cadavez más determinadas por su capacidad no sólo para interpretar yanalizar la información proveniente de distintas fuentes, sinotambién para recopilar, organizar y presentar información relevantetendiente, por ejemplo, a sustentar propuestas relacionadas connecesidades e intereses tanto de carácter individual como de losgrupos sociales de los cuales se hace parte. En tal sentido, en elambiente escolar es necesario ofrecer espacios en los cuales ladiscusión se centre en los aspectos mencionados.

El desarrollo de la competencia matemática de los estudiantes através del trabajo estadístico en los primeros años, puede ser llevadoa cabo a través de actividades en las que el estudiante requieraorganizar datos, clasificar información y representarla de distintasmaneras, relacionar las diversas formas de representar y organizardicha información, para obtener conclusiones y realizar inferenciasa partir del análisis de situaciones específicas. El grado de dificultadde las actividades debe estar acorde con la edad y las condicionesparticulares de los niños, pero puede incrementarse a medida queaborden nuevas situaciones y desarrollen cierta competencia.

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Si bien en los primeros grados, las explicaciones dadas por losestudiantes pueden ser insuficientes para justificar sus maneras deproceder, así como las ideas o hechos matemáticos que sustentanlos procedimientos, es en estos primeros años cuando se debepropiciar en el aula una comunicación permanente entre losestudiantes, para explicar lo realizado, además del por qué y cómose hizo, ya que este trabajo posibilita el desarrollo de procesos deargumentación; en tal sentido, sería deseable que el docenteregistrara sus observaciones para reconocer elementos delrazonamiento combinatorio y probabilístico de sus estudiantes, apartir de:

Las posibles ocurrencias que de un evento reconocen losestudiantes.Las estrategias de los niños en situaciones que implican larealización de combinaciones y permutaciones.Las aproximaciones y razonamientos de los niños ensituaciones que involucran la noción de probabilidadcondicionada.

Algunas actividades con intencionalidades cercanas a las de laspreguntas presentadas en estas pruebas, que podrían serconsideradas y que contribuirían al desarrollo de temáticasvinculadas con el tópico de estadística, estarían relacionadas con:

La recolección de datos o de información acerca de un hechoo suceso específico; a partir del cual el trabajo estaríaorientado a que el estudiante realice el conteo y establezcauna primera organización a través de trazos o rayas que lepermitan determinar dónde hay más o quién tiene más,dónde hay menos o quién tiene menos y cuántos necesitaríacualquiera para tener tantos como otro. Es importante queel docente propicie, en primera instancia, la construcciónpor parte de los estudiantes de maneras propias de organizar

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y representar la información y que, a partir de estas primerasrepresentaciones, genere en los estudiantes la necesidadtanto de construir otras formas de representar como deconocer las diferentes formas de organización usadas, comolas tablas, y los diagramas de barras. Algunos ejemplospueden apreciarse en las preguntas 1, 2, 6, 7, 9,10 y 11.

Posteriormente, el trabajo se centraría en que los niñosorganicen en distintas tablas o mediante diagramas de barras(horizontales o verticales), una cierta información, yreconozcan que a pesar de la diversidad de representacioneselaboradas en el grupo, éstas corresponden a una mismainformación, es decir, que puedan realizar conversiones deuna forma de representación a otra (por ejemplo, de losdatos recolectados a la tabla y de ésta a los diagramas debarras).

La clasificación de información de diversas maneras,haciendo explícitos los criterios tenidos en cuenta, ypresentación en plenaria de las distintas clasificacionesobtenidas. Estas clasificaciones podrían generar nuevastablas y diagramas en donde, con los mismos datos, fueseposible presentar la información en una forma máselaborada.

La recolección y organización de datos acerca de la vidafamiliar de los estudiantes, en cuanto a: edad, número dehermanos, número de tíos y aficiones. En particular, lasactividades propuestas en las preguntas 1, 10 y 20 del gradoquinto o 29 y 30 en noveno grado, podrían conducir a laobtención de información interesante para la comunidadescolar y a que los estudiantes reconocieran este tratamientode la información como útil en contextos dondeinteractúan.

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La interpretación de pictogramas, buscando que elestudiante logre reconocer cómo, mediante ciertos íconos,se pueden representar cantidades determinadas de objetos(estableciendo equivalencias o relaciones proporcionales)y, además, observe que en un solo pictograma se puedencombinar varios de estos símbolos, lo cual podría favorecerel desarrollo de un pensamiento variacional.

La integración de actividades de tipo estadístico, a travésde las cuales se posibilite reconocer la estadística comoherramienta útil en otras áreas, proponiendo a los niños(organizados en equipos) que analicen y clasifiqueninformación relacionada, por ejemplo, con ecosistemas ocon economía, haciendo explícitos los criterios para dichaclasificación. Además, al presentar las distintasclasificaciones, se podrían generar nuevas tablas y diagramascon información más elaborada, que facilitaría la realizaciónde diversos tipos de análisis.

La realización de acciones sobre diversos arreglos quepongan en consideración la existencia de múltiplesposibilidades. Por ejemplo, elaboración de distintos trajespara un muñeco: con papel de distintos colores -inicialmente tres, luego cuatro- para encontrar cómoaumenta el número de posibilidades de confección del traje,si aumenta el número de colores utilizados.

3.2.2 Tópico de álgebra. Uno de los propósitos fundamentales de laeducación matemática se refiere a la búsqueda de regularidades enfenómenos del mundo natural y social y a su representación mediantemodelos matemáticos. Sin embargo las dificultades en la resoluciónde problemas que exigen comprender la variación y la función,observadas en estudiantes que finalizan la educación básica, permitencuestionar la eficiencia de la organización curricular actual del álgebra

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en relación con el mencionado propósito, en este sentido, algunaspropuestas curriculares ya han modificado contenidos y estrategiasmetodológicas para posibilitar el avance del estudiante en elconocimiento del álgebra desde el inicio de su formación, sinrestringir su estudio a los grados octavo y noveno.

En algunos estudios5 se muestra que a pesar de la escasa variaciónque el currículo de álgebra escolar ha presentado en los últimoscien años, las investigaciones sobre su aprendizaje sugieren que si sepretende que los estudiantes alcancen comprensión de la estructuradel álgebra serían necesarios tiempos mas prolongados de trabajosobre procesos de generalización, operaciones y transformacionessobre la igualdad conservando sus propiedades como relación deequivalencia, justificación de simplificaciones en cálculos numéricosa partir de las propiedades de las operaciones, resolución deproblemas que contengan sólo datos literales, generación deprogramas de computador para la realización de cálculos –porejemplo, con Excel- y análisis de los diversos tipos de variación encontextos significativos para los estudiantes.

En propuestas como los Lineamientos Curriculares del MEN olos Estándares Curriculares del NCTM en cuanto al pensamientovariacional se recomienda que desde los primeros grados de básicaprimaria los niños exploren patrones, a partir del diseño de trabajosartísticos que contengan ciertas secuencias (trenes o serpientes conmateriales didácticos como los bloques lógicos, que respeten unaregla de formación, o dibujos y frisos donde haya regularidad enel número de elementos o en las figuras trazadas), o tambiénreconociendo la regularidad presente en diferentes arreglos comocintas decorativas, tapetes o textiles.

5 KIERAN, C. (1992). The Learning and Teaching of School Algebra. In: Grows,D. (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. NewYork: MacMillan [Traducido por el Grupo Pretexto de la Universidad Distrital,1993).

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Complemento a las tareas de creación de patrones por parte delos niños serían las actividades tendientes a colocar o dibujaralgunas piezas más en cada patrón, así como a descubrir el patróny expresarlo con palabras, es probable que las primeras relacionesestablecidas por los niños sean de orden cualitativo y con algunaambigüedad en ellas, y aunque este es un hecho normal en elinicio del reconocimiento de patrones, si es necesario que ante lasambigüedades el docente formule preguntas para que los niños,por una parte, reconozcan las interpretaciones distintas a las cualespodrían conducir ciertas palabras, y por otra, encuentrenexpresiones que describan en forma más precisa los elementos ysus relaciones.

En grados posteriores se podría considerar patrones en secuenciasmás amplias y el énfasis se trasladaría, por ejemplo, a laconstrucción de tablas de datos, a la representación de los valoresde las tablas en gráficas cartesianas y posteriormente a la conversióndesde tales representaciones al lenguaje algebraico. Es convenienteque el docente tenga en cuenta que, si bien, es necesario que losestudiantes al organizar los datos en una tabla acudan a larecurrencia para obtener cada renglón a partir del anterior, es

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necesario superar la recurrencia por estrategias más potentes degeneralización si se requiere encontrar reglas que describanapropiadamente la variación para cualquier valor arbitrario.

CONTANDO CERILLAS

En los primeros grados los niños ya han desarrollado unconocimiento sobre los números naturales y las operaciones, queles sirve de base para iniciar la construcción de significado paralas ecuaciones con juegos como la Ficha Tapada6 donde debendescubrir el valor de una ficha, la tapada, en presencia de otrasdos fichas, una que por su color señala cuanto se agrega o se quitay otra que indica el resultado. Al comienzo la ficha tapada se hallapor cálculo mental, luego se pasa a la escritura donde cada jugada

6 La Ficha Tapada es un juego propuesto por el profesor Jorge Castaño enlas Hojas Pedagógicas del MEN Serie lo numérico Nº 2. Enero-marzo de1996, p. 7

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se representa con una ecuación asociando a la tapada alguna figurao símbolo; es conveniente que desde este momento los niñosjustifiquen la manera de obtener la nueva igualdad a partir de laanterior y a través de las transformaciones que apliquen sobre lasigualdades el docente buscará que reconozcan la reflexividad,simetría y transitividad de la igualdad.

Con el avance en el conocimiento de los sistemas numéricos y enla resolución de problemas aritméticos se tiene la posibilidad deabordar trabajos que articulan aritmética y álgebra, como losrelativos a la descripción de procedimientos para resolver familiasde problemas y a la generalización de propiedades de lasoperaciones. Cuando los estudiantes han encontrado una estrategiaque les permite resolver un problema particular, pueden serorientados por el profesor a describir el procedimiento sin hacerreferencia a los resultados específicos de las operaciones. En formasimilar es posible hacer discusiones acerca de la equivalencia entreexpresiones numéricas con operaciones indicadas, sin necesidadde efectuar cálculos sino aplicando propiedades de las operaciones.

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Otra temática que es necesario considerar en el trabajo algebraicoescolar son las diferentes interpretaciones de las letras, inicialmentelos estudiantes realizarían actividades en las cuales la interpretaciónrequerida corresponde a los primeros niveles donde se evalúan lasletras, continuando con actividades donde las letras puedan servistas como objetos e incógnitas, y avanzado a problemas dondelas letras deban ser interpretadas como números generalizados ocomo variables.

Para evaluar las letras es posible hacer cálculos reemplazando enuna fórmula conocida el valor de la letra por los números que serequiera, teniendo en cuenta que los contextos deben sersignificativos para los estudiantes, por ejemplo, hallar el valor dela cuota mensual para pagar un artículo en cierto número de meses,o calcular el valor que se obtiene en una moneda extranjera alcambiar cierta cantidad de dinero en pesos.

En problemas de cálculo de perímetros, áreas y volúmenes a partirde fórmulas conocidas se pueden evaluar las letras que refieren lasdimensiones lineales de la figura, pero también es posibleconsiderar las unidades de medida y operar con ellas desde lainterpretación de letra como objeto. Por ejemplo, en una piscinacon forma de prisma rectangular, si la base mide de largo 25 metrosy de ancho 12 metros, y la profundidad de la piscina es de 2metros, entonces,

El perímetro sería: 2 l m + 2 a m = 2 x 25 m + 2 x 12 m = 50 m + 24 m = 74 mEl área de la base sería: l m x a m = 25 m x 12 m = 300 m2

El volumen de la piscina sería: l m x a m x h m = 25 m x 12 m x 2 m = 600 m3.

Para interpretar las letras como incógnitas es pertinente simbolizarlas acciones realizadas en juegos como la ficha tapada, donde seprivilegia el tanteo y la comprobación del valor “adivinado”reemplazándolo en la ecuación. La ejecución y simbolización deotros juegos como los de descubrir una cantidad desconocida en

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balanzas en equilibrio, al quitar o agregar simultáneamentepaquetes iguales a los dos platillos de la balanza, permite ubicar elénfasis en la aplicación de una misma transformación sobre losdos miembros de la ecuación hasta encontrar el valor de laincógnita.

La interpretación de las letras como números generalizados serequiere, por ejemplo, al buscar una regularidad respecto apropiedades geométricas (como la determinación del número dediagonales de un polígono convexo o de la medida de los ángulosinternos de los polígonos regulares, a partir de su número de lados),o cuando se trata de hallar una expresión para el término enésimoen una sucesión, (como en los problemas de encontrar el númerode cerillas). Cuando los estudiantes aun no interpretan las letrascomo números generalizados, proponen una relación que es válidasólo para uno o algunos casos, entonces el docente puede ayudarlesa encontrar la inconsistencia si les pide verificarla para algún valorque ella no satisfaga; de este modo los estudiantes se acercan a estainterpretación de las letras al comprender que la relación es válidasólo si se cumple para cualquier valor escogido arbitrariamente.

Diferentes situaciones en contextos numéricos, geométricos y demedida, en las cuales se enfatiza en la determinación de la formaen que los cambios en un conjunto de valores son determinadospor los cambios en otro, podrían favorecer la interpretación de lasletras como variables, por ejemplo ante un problema como: Todoslos rectángulos de un conjunto tienen 1 cm2 de área, encontrar laforma como se relacionan sus dimensiones. Los estudiantes que hanalcanzado ésta interpretación observan que si una de los lados delrectángulo mide a cms, entonces el otro lado mide 1/a cms.

Conseguir que los estudiantes construyan las relaciones que lespermitan asociar de manera fluida a enunciados literales, las tablas,las gráficas cartesianas y las expresiones algebraicas

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correspondientes, y en general que partiendo de alguna de lasmencionadas representaciones puedan realizar conversiones hacialas restantes, demanda de un trabajo de aula donde seanconsiderados, por una parte, problemas relativos a distintos tiposde funciones (constante, lineal, exponencial, logarítmica, etc.) ypor otra parte, problemas en los cuales se analice la forma comolas modificaciones sobre los valores que intervienen en la expresiónalgebraica, por ejemplo, generan cambios en su respectiva gráficacartesiana.

En gran medida las sugerencias aquí planteadas se refieren a ubicardistintos aspectos del trabajo en aritmética que permitan establecerconexiones con la iniciación del álgebra, pero la comprensión dela estructura del álgebra por parte de los estudiantes requiere nosólo que puedan llegar al álgebra a partir de la generalización delas propiedades de los números y las operaciones aritméticas, sinotambién que usen sus conocimientos en álgebra para explicar laaritmética, partiendo de las propiedades de las expresionesalgebraicas lleguen a justificar propiedades y relaciones aritméticas

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3.2.3 Tópico de geometría y medición. En los LineamientosCurriculares se plantea que los sistemas geométricos estánvinculados con el desarrollo de pensamiento espacial quecomprende el conjunto de procesos cognitivos mediante los cualesse construyen y se manipulan las representaciones mentales de losobjetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformacionesy sus diversas traducciones a representaciones materiales.

Las investigaciones sobre el aprendizaje de nociones y conceptosrelacionados con el espacio concluyen que inicialmente seconstruye un espacio intuitivo o sensoriomotor y luego un espacioconceptual o abstracto, así sugieren que en la enseñanza elementallos niños realicen una exploración activa de los objetos del espacioy al actuar sobre ellos establezcan relaciones, reconozcan losresultados obtenidos al aplicarles transformaciones, describan otracen rutas para determinar su posición y construyan diversosmodelos que los representen.

Las primeras actividades escolares acerca del espacio puedenacompañar y potenciar los procesos de construcción del esquemacorporal propio y de organización de los objetos exteriores conrespecto al yo, por tanto pueden centrarse en la realización dejuegos en los cuales las acciones de los niños les permitanfamiliarizarse con las nociones de orientación (delante, detrás,derecha, izquierda), proximidad (cerca, lejos, acercar, alejar),interioridad (dentro, fuera, interior, exterior, abierto, cerrado) ydireccionalidad (ir hacia, pasar por).

Si bien se acepta la actividad e incluso el juego como estrategiaadecuada para los niños más pequeños, hay una tendencia a centraren forma prematura la actividad del estudiante en el desarrollo detareas de “lápiz y papel”, como la trascripción de definiciones ylistados de sus propiedades; ante tal tendencia es necesario resaltarque para el aprendizaje de conceptos o procedimientos geométricos

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los estudiantes de cualquier edad requieren realizar exploracionesa partir de su propia actividad, y sólo es a través de sus accionescomo construyen de las imágenes mentales que luego les permitiránrazonar sobre objetos, relaciones y transformaciones sin recurrir arepresentaciones materiales.

Una propuesta para la enseñanza de la geometría que aporta aldocente una mirada sobre la forma como evoluciona elrazonamiento geométrico de los estudiantes y sugiere unas fasessecuenciales para orientar el aprendizaje es el modelo de Van Hiele.De los niveles de razonamiento de éste modelo, los que seríanalcanzables en la educación básica son: reconocimiento: en el cuallos objetos geométricos se perciben como totalidades aisladas,análisis: en este nivel se tiene conciencia de los elementos queconforman los objetos geométricos y de algunas de sus propiedades,y clasificación: en el cual se establecen conexiones lógicas entrepropiedades permitiendo determinar cadenas de implicaciones queson la base para la separación en clases.

Las fases de enseñanza del modelo de Van Hiele, son unas etapasen la graduación y organización de las actividades que debe realizarun estudiante para adquirir las experiencias que le permitan superarsu nivel actual de razonamiento, así inicialmente se indaga por elnivel de razonamiento en el cual se ubica el estudiante con respectoal tema que es objeto de estudio y después se diseña actividadespara que pueda usar explícitamente habilidades que en el nivelprecedente sólo usaba en forma implícita. Con base en este modeloel docente podría realizar investigaciones en el aula que lepermitieran tanto reconocer el nivel de razonamiento de susestudiantes, como valorar la pertinencia de secuencias deenseñanza.

Al mismo tiempo que el estudiante se apropia de elementos parala organización y comprensión del espacio, las actividades

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geométricas que realiza en el aula le deben propiciar el desarrollotanto de diferentes tipos de habilidades visuales, verbales, de dibujoy construcción, lógicas y aplicadas, así como de la apreciaciónestética. Las tareas de percepción de distintos objetos geométricosy de descripción de sus elementos y propiedades, y las primerasconstrucciones a partir de plegado de papel o de armar modeloscon piezas prediseñadas, anteceden a tareas que requieren de unmayor desarrollo de la motricidad fina o un refinamiento de losprocesos de medida, como las relacionadas con el trazo de figurasen el plano usando instrumentos o la construcción de modelostridimensionales de sólidos geométricos a partir de sus desarrollosplanos o del plegado de papel.

Como en el espacio real donde interactúan los estudiantes, lasformas tridimensionales como totalidades, son percibidas antesque las figuras planas, las líneas o los puntos, conviene que elestudio de la geometría en lugar de partir de la definición de punto,línea, etc., se inicie con nociones sobre objetos del espacio a partirdel concepto intuitivo de frontera. Al tocar los poliedros y loscuerpos redondos los estudiantes percibirán superficies planas ysuperficies curvas respectivamente y concluirán que la superficiesepara interior y exterior del sólido, así las superficies se considerancomo fronteras de los cuerpos; al desplazar las manos por lasuperficie de una esfera no se encuentra frontera alguna, pero aldesplazarse por la superficie de un prisma se llega hasta fronterasque son líneas, y entonces las líneas son fronteras de las superficies;cuando se desliza el dedo a través de una arista del prisma, se llegahasta un punto, que será la frontera de la línea.

Se ha hecho más énfasis en el estudio de figuras que de los cuerposgeométricos, pero las habilidades para comprender formas yrelaciones tridimensionales son tanto o más necesarias que lasrelacionadas con el plano. Los niños pequeños reconocen ydenominan los cuerpos geométricos de acuerdo con objetos de su

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entorno que tienen formas parecidas, pero su conocimiento acercade ellos se profundiza a medida que los perciben, describen,discriminan sus elementos y encuentran propiedades que lespermiten clasificar cuerpos redondos y poliedros; prismas,pirámides, antiprismas y bipirámides; poliedros regulares oplatónicos y poliedros semirregulares o arquimedianos. Ademásde estudiar los cuerpos con modelos tridimensionales, el que granparte de la información se encuentre en formatos planos exige elestudio de la representación plana de los cuerpos, inicialmentepor ejemplo, los cubos y prismas rectos se representan fácilmenteen papel isométrico, luego se puede profundizar enrepresentaciones isométricas de otros sólidos, así como en el dibujode cuerpos a través de sus proyecciones ortogonales.

Estudiar la ubicación en el plano y el espacio, llegando a lossistemas de coordenadas podría incluir la ubicación de elementosen los planos del salón de clase y de las áreas recreativas del colegio,el diseño de planos del aula o del colegio y la lectura deinstrucciones para orientarse en sitios de interés como parques,centros comunitarios o centros comerciales, además elreconocimiento y trazo de planos del barrio y del sector donde seubica el colegio así como la ubicación de sitios de interés para lacomunidad en el plano de la ciudad. También son pertinentesjuegos como la “Batalla Naval” en los cuales se inicia el uso decoordenadas asignando valores numéricos en uno de los ejes y enel otro eje valores literales.

Las transformaciones geométricas podrían considerarse en el aula,partiendo del análisis de las propiedades de las figuras que seconservan cuando se les aplica un determinado grupo detransformaciones; así ante las dilataciones y los estiramientos sobrefiguras trazadas en superficies elásticas como las bombas de inflaro los modelos de plastilina (geometría del caucho o topología) losestudiantes podrán observar que puntos próximos en la figura

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inicial también son cercanos en la figura transformada e igualmenteque la condición de estar en el interior o el exterior de la figuratambién se conserva al aplicar este tipo de transformaciones. Antelas ampliaciones y las reducciones de la geometría proyectiva, losestudiantes encontrarán que se mantiene la forma, pero no eltamaño de las figuras. Con la aplicación de traslaciones, rotacionesy reflexiones en el plano, podrán observar que se conservan tantotaforma como el tamaño de las figuras.

Una vez comprendidos los diversos tipos de transformaciones sepodría adelantar trabajos de representación de transformacionesisométricas de figuras sobre el plano cartesiano, diseño de mosaicosa partir de transformaciones isométricas, diseño y graficación defiguras con ejes de simetría, determinación de los ejes de simetríaen distintas clases de polígonos, análisis de los grupos de simetríasdel cuadrado y del cubo, y construcción de ampliaciones yreducciones (homotecias) de un polígono, con factores dehomotecia enteros y fraccionarios.

En cuanto a la enseñanza de la medida conviene tener en cuentaestudios de investigación, basados en los trabajos de Piaget7, enlos cuales se reconoce un desarrollo evolutivo en la construcciónde conceptos asociados con la medida que comprende:Consideración y percepción de una magnitud, como propiedad deuna colección de objetos Conservación de una magnitud,reconocimiento que frente a determinados cambios de los objetosla magnitud puede conservarse. Ordenación respecto a una magnituddada, incluyendo inicialmente relaciones de orden para llegarposteriormente a la equivalencia y Relación entre la magnitud y elnúmero, que incluye la construcción de una unidad de medida,así como procesos de iteración y aproximación.

7 Ver, por ejemplo, Chamorro y Belmonte, 1991; Dickson y Otros, 1991; Vasco,1994.

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Así, el aprendizaje de una magnitud requiere del dominio inicialde relaciones cualitativas para ubicarse posteriormente en aspectosde orden cuantitativo, sin embargo, resulta inconveniente centrarla enseñanza en aspectos numéricos como equivalencias yconversiones entre unidades del sistema métrico decimal u otrossistemas, descuidando procesos que son fundamentales, como losrelacionados con: construcción de los conceptos de cada magnitud,comprensión de los procesos de conservación de las magnitudes,estimación de magnitudes y proceso de capturar lo continuo conlo discreto, apreciación del rango de las magnitudes, selección deunidades de medida, patrones e instrumentos, diferencia entreunidad y patrón de medición, y papel del trasfondo social de lamedición.

En la enseñanza también es importante reconocer la necesidad deun avance gradual, desde el trabajo con magnitudes que puedenser comprendidas hacia el inicio de la escolaridad (longitud,capacidad y masa), a otras de mayor complejidad (volumen yamplitud angular) cuya comprensión solo podría alcanzarse ensecundaria8. Por ejemplo, en tanto en los primeros años deescolaridad (grado 1° ó 2°) el estudiante puede reconocer lalongitud y capacidad como atributos de un cuerpo yposteriormente, en relación con éstos, utilizar unidades de medidaapropiadas (hacia grado 3°), mientras que en ese periodo es posibleque no conciba unidades de medida para el volumen o la amplitudangular, si aún no los reconoce como atributos.

Como parte del trabajo acerca de los sistemas métricos se requiereque la escuela contribuya al desarrollo de habilidades paraaproximar y hacer estimaciones de la medida, ya sea porque la

8 Según se concluye de algunas investigaciones (ver, por ejemplo, Chamorro,1991), la comprensión de las magnitudes longitud, capacidad y masa seubicaría entre los seis y los ocho años, mientras que superficie y tiempo hacialos siete u ocho y volumen y amplitud angular hasta los diez o doce años

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medición directa se convierta en un proceso dispendioso o porquelas condiciones del problema a resolver, como en el caso de estimarel costo de la baldosa para un salón, demandan una buenaaproximación antes que un valor exacto. Tales habilidades se basanen contar con imágenes mentales de las unidades y con una ampliaexperiencia que puede ganarse tanto a partir de la práctica conmediciones directas así como con la estimación y posteriorcomprobación del acierto o error al realizar la medición. Ademáscon respecto a la aproximación es necesario que los estudiantespuedan valorar los niveles de exactitud requeridos para las distintasmediciones y de acuerdo con ellos determinar los instrumentos ytécnicas apropiadas.

Los sistemas de medida tienen importantes conexiones con elsurgimiento y uso de dominios numéricos diferentes al de losnaturales, pues a través de modelos de área se tiene interpretacionespara la comprensión del número y sus operaciones (decimales,fracciones, razones y porcentajes); de manera similar los procesosde medida tienen relación con el pensamiento variacional puescon base en la tabulación de medidas específicas se generaliza yexpresa simbólicamente algoritmos para el cálculo de áreas,perímetros o volúmenes de figuras y cuerpos geométricos.

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POSIBLES RECORRIDOS PARA LAPRUEBA CENSAL APLICADA EN ABRILDE 2003

En las tablas que se presentan a continuación se sugieren algunasagrupaciones de las preguntas de las pruebas censales aplicadas enabril de 2003 en los diferentes grados, las cuales podrían serutilizadas para realizar miradas puntuales con base en un criterio.Cabe mencionar que en las diferentes instituciones se puedenrealizar otras agrupaciones, dependiendo del análisis y uso quequiera darse a las pruebas.

Grado Tercero

Grado Quinto

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Grado Séptimo

Grado Noveno