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Fabián Antonio Arias AmayaProfesor TC
Universidad Tecnológica de BolívarCartagena, septiembre 30 de 2010
Hacia el concepto de Límite
Preliminares
Valor absoluto de un número real
Definición. Sea un número real.Llamamos valor absoluto de alnúmero real dado por
ObservaciónEl valor absoluto de un número es el mismo númerosi éste es no negativo, o el inverso aditivo si elnúmero es negativo, por consiguiente, el valorabsoluto siempre es no negativo. Esto se escribe así
Ejemplo
El valor absoluto de -1/2 es ½, y el ½ también es ½. El valor absoluto de 0 es 0. Esto es,
Distancia entre dos números
Llamamos distancia entre dos números reales
e a la distancia entre los puntos que
ellos representan en la recta real. Estadistancia está dada por el valor absoluto de ladiferencia entre dichos números, es decir,
Comentarios
La distancia entre dos puntos nos permite resolver algunos problemas. Entre estos están:
1. Determinar cuán distante está un punto de otro.
2. Decidir cuál número dentro de un conjunto dado, está más próximo a un número dado.
3. Determinar si un número dado está o no dentro de un intervalo dado.
Vecindad de un número real
Definición. Dados un número real y un real positivo . Llamamos vecindad con centro en y radio , al conjunto
Observación
Según la definición tenemos que:
Por tanto,
Lo anterior nos indica que una vecindad abierta no es más que un intervalo abierto con el mismo centro y radio.
Ejemplos:
a. La vecindad B(-1;1/2) se corresponde con
el intervalo (-3/2, -1/2).
b. El intervalo (1,3) corresponde a la vecindad
B(2;1).
c. El elemento ¼ pertenece a la vecindad
B(1/2;1/2) porque la distancia entre 1/4 y
½ es ¼, la cual es menor que ½.
Definición de Límite
Definición. Sean c un número real dado y f una
función definida en un intervalo de la forma (c-r, c+r) para algún r>o. Decimos que un número real L, si existe es un límite de f(x)cuando x tiende a c, si para cualquier vecindad
B(L; ϵ) de L, existe una vecindad B(c;δ) tal que para todo x en el dominio de f se cumple
Esto es equivalente a la siguiente implicación
Teorema. Si una función f tiene límite L en x=c. entonces este límite es único. En tal caso escribimos