hinh khong gian

1

CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN L ỚP 11

BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN

PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUY ẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG

Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai giao điểm đó

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác ABCD các cạnh đối ,AB CD không song

song với nhau.

a) Tìm giao tuyến của ( )SAC và ( )SBD

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SAB và ( )SCD

Giải:

Hình vẽ:

a) Ta có ( ) ( )SAC SBD S∩ =

Vì ( ), ( )AC SAC BD SBD∈ ∈ mà ( ) ( )AC BD O SAC SBD SO∩ = ⇒ ∩ =

Vậy SO là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )SAC và ( )SBD

b) Ta có ( ) ( )SAB SBD S∩ =

Vì ( ), ( )CD SCD AB SAB∈ ∈ mà ,AB CD không song song với nhau nên AB CD M∩ =

M

O

D

CB

A

S

2

( ) ( )SAB SBD SM⇒ ∩ =

Vậy SM là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ), ( )SAB SCD

• Chú ý: Trong bài toán này ta đã dùng kết quả: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng mà chúng không song song với nhau thì phải cắt nhau tại một điểm

Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh ,AB CD lần lượt lấy các điểm ,M N sao cho MN

không song song với BC . Gọi I là một điểm bên trong tam giác BCD . Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( )MNI với các mặt phẳng ( ), ( ), ( )BCD ABD ACD

Giải:

Hình vẽ

• Tìm giao tuyến của ( )MNI và ( )BCD

Ta thấy ( ) ( )MNI BCD I∩ =

Vì MN không song song với BC nên MN BC J∩ =

Vậy giao tuyến của ( )MNI và ( )BCD là IJ

• Tìm giao tuyến của ( )MNI và ( )ABD

FE

K

J

IN

A

D

C

B

3

Ta thấy ( ) ( )MNI ABD M∩ =

( ), ( ) ( )IJ MNI IJ BD K MNI ABD MK∈ ∩ = ⇒ ∩ =

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng ( )MNI và ( )ABD là MK

• Tìm giao tuyến của ( )MNI và ( )ACD

Ta thấy ( ) ( )MNI ACD N∩ =

Mà ( ), ( ) ( )IJ MNI IJ CD F MNI ACD NF∈ ∩ = ⇒ ∩ =

Vậy giao tuyến của ( )MNI và ( )ACD là NF

Trong bài toán này các em hs cần chú ý:

- Để việc hình dung điểm I được rõ ràng trong mặt phẳng ( )BCD ta đã dựng một đường

thẳng DE nằm trong ( )BCD sau đó xác định một điểm I thuộc DE

- Khi ta đã tìm được một điểm J thuộc mặt phẳng ( )MNI thì ta có ( ) ( )MNI MIJ≡ điều

đã này giúp ta giải quyết câu hỏi sau được dễ dàng hơn.

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Trên cạnh SD ta lấy điểm

M sao cho 1

3SM SD= . N là điểm thay đổi trên cạnh BC . Tìm giao tuyến của các mặt phẳng

a) ( )SBC và ( )SAD

b) ( )AMN và ( )SCD

c) ( )AMN và ( )SBC

Giải:

a) Ta thấy ( ) ( )SBC SAD S∩ =

Qua điểm S ta kẻ đường thẳng Sx song song với BC thì

Mặt phẳng ( )SBC cũng là mặt phẳng chứa Sx và BC

Mặt phẳng ( )SAD cũng chính là mặt phẳng chứa Sx và AD

Từ đó suy ra ( ) ( )SBC SAD Sx∩ =

b) Giao tuyến của ( )AMN và ( )SCD

Ta thấy ( ) ( )AMN SCD M∩ = .

4

Mặt khác AN không song song với CD nên AN CD E∩ =

Vậy iao tuyến của ( )AMN và ( )SCD là ME

c) Giao tuyến của ( )AMN và ( )SBC

Ta thấy ( ) ( )AMN AME≡

Vì ( ) ( )AMN SBC N∩ = ; ( ) ( )ME SC F AMN SBC NF∩ = ⇒ ∩ =

Vậy giao tuyến của ( )AMN và ( )SBC là NF

Hình vẽ:

Trong bài toán này học sinh cần chú ý: Hai đường thẳng song song luôn xác định một mặt phẳng

VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, XÁC ĐỊNH THI ẾT DIỆN KHI C ẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC

• Để tìm giao tuyến của đường thẳng ( )∆ và mặt phẳng ( )P ta làm như sau:

+ Tìm mặt phẳng ( )Q chứa đường thẳng ∆

+ Tìm giao tuyến ( )d của mặt phẳng ( )P và mặt phẳng ( )Q

F

E

x

N

M

D

CB

A

S

5

+ Giao điểm của đường thẳng ( )d và đường thẳng ∆ chính là giao điểm của đường thẳng ( )∆

và mặt phẳng ( )P .

• Để xác định thiết diện của một khối chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( )P ta tìm giao

tuyến của mặt phẳng ( )P với các mặt của hình chóp ( nếu có). Khi đó các đoạn thẳng có được từ

giao của ( )P với các mặt của hình chóp sẽ tạo thành một đa giác được gọi là thiết diện của hình

chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng ( ).P

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD . Gọi M là trung điểm của SA , N là một điểm thuộc cạnh bên SC ( N không phải là trung điểm của SC )

a) Tìm giao tuyến của ( )ABN và ( )CDM

b) Xác định giao điểm của MN với ( )SBD

c) P là một điểm thuộc cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )MNP

Giải: Ta có ( ) ( )AB CD O

ABN CDM OQAN CM Q

∩ =⇒ ∩ = ∩ =

a) Tìm giao điểm của MN và ( )SBD

Q

O

M

N

D

CB

A

S

6

Ta có

+ ( )MN SAC∈ ,

+ ( ) ( )SAC SBD SO∩ =

+ ( )MN SO K MN SBD K∩ = ⇒ ∩ =

b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )PMN

+ Ta có ( ) ( )MN AC R MNP MPR∩ = ⇒ ≡

+ Nối ,P R cắt ,BC AD lần lượt ở ,U T

+ Nối ,T M cắt SD ở V

Thiết diện là ngũ giác PMVNU

O

K

M

S

A

B C

D

N

7

Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của ,AC BC . Ttên cạnh BD ta lấy

điểm K sao cho 2BK KD=

a) Tìm giao điểm E của CD và ( )IJK . Chứng minh DE DC=

b) Tìm giao điểm F của AD và ( )IJK . Chứng minh 2FA FD=

c) Gọi ,M N là hai điểm bất kỳ thuộc ,AB CD . Tìm giao điểm của MN và ( )IJK

Giải:


Ta thấy ( )CD BCD∈ mà ( ) ( )BCD IJK JK∩ =

Kéo dài JK cắt CD tại E thì ( )CD IJK E∩ =

Ta có K là trọng tâm của tam giác BCE nên BD chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B , do đó D là trung điểm của EC hay DE DC=

b) Ta thấy rằng ( ) ( )IJK IJE≡

Vì ( )AD ACD∈ mà ( ) ( )ACD IJK IE∩ =

Ta có ( )IE AD F AD IJK F∩ = ⇒ ∩ = .

V

T

U

P

R

M

S

A

B C

D

N

8

Dễ thấy F là trọng tâm tam giác ACE nên 2FA FD=

c) Ta có ( )MN MCD∈

Vì , ( ) ( )MC IJ U MD FK T MCD IJK UT∩ = ∩ = ⇒ ∩ =

( )UT MN P MN IJK P∩ = ⇒ ∩ =

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD , M là trung điểm của SB , N là điểm thuộc SC sao cho 2

3SN SC=

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng ( )AMN

b) P là một điểm thuộc mặt phẳng ( )SAD . Xác định giao tuyến của ( )AMN và ( )PBD

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )MNP

Giải:

a) Xác định giao điểm của CD với mặt phẳng ( )AMN

Xét ( )CD ABCD∈ . Ta có ( ) ( ) ;MN BC H AMN ABCD AH AH CD K∩ = ⇒ ∩ = ∩ =

Suy ra giao điểm của CD với mặt phẳng ( )AMN là điểm K

b) P là một điểm thuộc mặt phẳng ( )SAD . Xác định giao tuyến của ( )AMN và ( )PBD

P

T

U

N

MF

E

K

J

I

D

C

B

A

9

Kẻ một đường thẳng DL thuộc mặt phẳng ( )SAD . Trên DL ta lấy một điểm P

Như vậy ( ) ( )BPD BDL≡ , theo câu a ta có ( ) ( )AMN AMH≡

Giả sử , ( ) ( )AM BL I AH BD J BDL AMH IJ∩ = ∩ = ⇒ ∩ =

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )MNP

Trong mặt phẳng ( )SAD , ,SP AD E∩ =

Trong mặt phẳng ( )ABCD , HE CD F∩ =

Trong mặt phẳng ( )SEH , SF HP G∩ =

Ta có hai trường hơp sau:

Trường hợp 1: Trong mặt phẳng ( )SCD , NG SD Q∩ = ( điểm Q có thể trùng vào )D

Khi đó trong mặt phẳng ( )SAD có QP SA R∩ = ( QP không thể cắt AD ở giao điểm bên trong

đoạn AD vì nếu QP cắt AD ở giao điểm O bên trong thì ( )HO CD MNP CD∩ ⇒ ∩ tại một

điểm bên trong. Điều này vô lý vì ( )MNP đã cắt ,SB SC tại , )N Q

Ta thấy ( ) ( )Q HP MNP Q SD MNP∈ ⊂ ⇒ = ∩ ; ( ) ( )R QP MNP R SA MNP∈ ⊂ ⇒ = ∩

I

J

H

L

P

ND

CB

A

S

M

10

Thiết diện là tứ giác MNQR

Trường hợp 2: Trong mặt phẳng ( )SCD , NG CD T HT AD U∩ = ⇒ ∩ =

Trong mặt phẳng ( )SAD , UP SA V∩ = (UP không thể cắt SD vì ( )MNP đã cắt ,SC CD tại

, )N T

R

QG

F

E

K

H

L

P

N D

CB

A

S

M

V

U

TGN

M

P

F

E

HC

D

B

A

S

11

Ta có ( ) ( ), ( ) ( )T NG MNP T CD MNP U HT MNP U AD MNP∈ ⊂ ⇒ = ∩ ∈ ⊂ ⇒ = ∩

( ) ( )V HT MNP V SA MNP∈ ⊂ ⇒ = ∩

Vậy thiết diện chính là ngũ giác MNTUV

Chú ý: Đây là bài toán khó .

1) Điểm mấu chốt trong bài toán là sự cố định của các điểm , ,M N H và như vậy hình dạng

thiết diện phụ thuộc vào giao điểm G của HP và mặt bên ( )SCD . Rõ ràng việc biện

luận theo NG là tự nhiên nhất vì điểm G là giao điểm dễ phát hiện nhất. 2) Khi xác định một điểm ( )P SAD∈ ta phải dựng một đường thẳng ( )SE SAD∈ sau đó

chọn điểm P SE∈ điều này giúp ta dễ hình dung điểm P và phát hiện ra các giao điểm khác

VẤN ĐỀ 3.

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, HOẶC 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐÔI MỘT SONG SONG

Ki ến thức cần nhớ:

1) Điều kiện để 3 điểm , ,A B C thẳng hàng là tồn tại số 0k ≠ sao cho AB k AC=��

Hoặc tồn tại hai số ,m n thỏa mãn OA mOB nOC= +��

sao cho 1,m n O+ = là điểm bất kỳ

2) Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( 1)k ≠ nếu MA kMB=��

• Khi đó với mọi điểm O bất kỳ ta có: 1

OA kOBOM

k

−=−

��

��

• Cho tam giác ABC . Các điểm , ,M N P lần lượt chia các đoạn , ,AB BC CA theo tỷ số

, ,m n p đều khác 1

a) , ,M N P thẳng hàng khi và chỉ khi . . 1m n p = ( Định lý Menelauyt)

b) , ,AN CM BP đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi . . 1m n p = − (Định lý Ceva)

3) Nếu ba mặt phẳng ( ), ( ), ( )P Q R đôi một cắt nhau theo giao tuyến là 3 đường thẳng , ,a b c

thì , ,a b c hoặc đôi một song song hoặc cắt nhau tại một điểm ( đồng quy).

12

4) Nếu các điểm 1 2; ;...., nA A A thuộc đồng thời hai mặt phẳng ( ), ( )P Q thì 1 2; ;...., nA A A

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Tức là 1 2; ;...., nA A A thẳng hàng.

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABC . Một mặt phẳng ( )α cắt , ,SA SB SC lần lượt tại ', ', 'A B C . Giả

sử ' ' , ' ' , ' 'B C BC M C A AC N A B AB P∩ = ∩ = ∩ = .

a) Chứng minh , ,M N P thẳng hàng.

b) Giả sử ', ', 'A B C lần lượt là trung điểm của , ,SA SB SC . Gọi , 'G G lần lượt là trọng tâm

của các tam giác , ' ' 'ABC A B C . Chứng minh , , 'S G G thẳng hàng

Giải:

a) Vì , ,M N P cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt là ( )α và ( )ABC nên , ,M N P thuộc

giao tuyến của hai mặt phẳng ( )α và ( )ABC . Do đó , ,M N P thẳng hàng.

b) Gọi , , ', 'E F E F lần lượt là trung điểm của các cạnh , , ' ', ' 'AB BC A B B C .

Dễ thấy các điểm , , 'S E E và , , 'S F F thẳng hàng và ( ) ( )SAF SEC SG∩ =

Mặt khác ' ' ', ' ' ' ' ( ), ' ( )G A F G C E G SAF G SEN∈ ∈ ⇒ ∈ ∈ . Suy ra 'G SG∈ . Hay , , 'S G G thẳng

hàng.

Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Hai điểm ,M N lần lượt thuộc ,BC CD sao cho MN không song

song với BD . Mặt phẳng ( )α thay đổi qua ,M N cắt ,AB CD lần lượt tại ,P Q . Giả sử

,MQ NP I MP NQ J∩ = ∩ =

a) Chứng minh J thuộc đường thẳng cố định b) Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định

E

G'

GF

E'F'

C'

B'

A'

C

B

A

S

P

N

M

C'

B'

A'

C

B

A

S

13

c) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.

Giải:

a) Ta có ba mặt phẳng ( ), ( ), ( )ABC BCD α đôi một cắt nhau theo các giao tuyến

, ,AC MP NQ nên theo tính chất về giao tuyến ta suy ra , ,AC MP NQ cắt nhau tại một điểm. Suy

ra J AC∈

b) Vì I MQ NP= ∩ mà ( ), ( ) ( ) ( )MQ MAD NP NAB I d MAD NAB∈ ∈ ⇒ ∈ = ∩

c) Giả sử MN BD K∩ = . Khi đó , ,K P Q cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt ( ), ( )ABDα

Nên , ,K P Q thẳng hàng. Hay PQ đi qua điểm K cố định

Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của ,AB N AC∈ sao cho 2NA NC= . Mặt

phẳng ( )α thay đổi đi qua ,M N cắt các cạnh ,BD CD ở ,P Q

a) Chứng minh , ,MN PQ BC đồng quy

b) Gọi K là giao điểm của ,MQ NP . Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định

K

I

J

QN

MP

A

D

C

B

14

c) Gọi I là giao điểm của ,MP NQ . Biết ID AD= . Tính các tỷ số ;PB QC

PD QD

Giải:

a) Kéo dài MN BC H∩ = . Nối HQ BD P∩ = .

Ta thấy ba mặt phẳng ( ), ( ), ( )ABC BCD MNQP đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là

, ,MN PQ BC . Suy ra , ,MN PQ BC đồng quy tại H

b) Ta có điểm ( )K MQ MCD∈ ∈ ; ( )K NP NBD∈ ∈ suy ra điểm K thuộc giao tuyến của 2

mặt phẳng cố định ( ), ( )MCD NBD

c) Ta thấy ba mặt phẳng ( ), ( ), ( )ABC ACD MNQP đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là

, ,MP NQ AD nên ba giao tuyến này đồng quy tại .I

Ta có 1

; ;2

MA MB HB k HC NC NA= − = = −��

I

K

Q

P

H

N

M

D

C

B

A

15

Vì , ,M N H thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt ta có: ( ) 11 . . 1 2

2k k − − = ⇒ =

Vậy 2HB HC=

Trong tam giác ACD ta có: 2NA NC= −��

, QC kQD=��

, 1

2ID IA=��

. Mà , ,N Q I thẳng hàng nên

theo định lý Menelauyt ta có: ( ) 12 . . 1 1 1

2

QCk k

QD− = ⇒ = − ⇔ =

Xét tam giác BCD ta có 2HB HC=��

, QC QD= −��

, 1

2.( 1). 12

PD k PB k k= ⇒ − = ⇒ = −��

Suy ra 2 .PB PD=

PHẦN II: QUAN H Ệ SONG SONG

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, MỘT ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG, HAI M ẶT PHẲNG SONG SONG

Phương pháp:

• Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể dùng các cách:

* Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3

* Hai đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ 3

* Dùng định lý Talet

* Dựa vào tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến nếu có sẽ song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

• Để chứng minh đường thẳng ( )d song song với mặt phẳng ( )Q ta có thể làm theo các cách

sau:

* Chứng minh / / '; ' ( )d d d P∈

* Tìm mặt phẳng ( )Q chứa d sao cho ( ) / /( )Q P dựa vào tính chất nếu hai mặt phẳng song

song song thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. Suy ra

/ /( )d P

* Tìm mặt phẳng ( )Q chứa (d). Tìm giao tuyến ∆ của ( ),( )P Q . Chứng minh đường thẳng ( )d

song song với giao tuyến ∆ của ( ),( )P Q

16

• Chứng minh hai mặt phẳng song song.

* Tìm trong mặt phẳng ( )P hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với ( )Q

* Tìm trong mặt phẳng ( )P hai đường thẳng cắt nhau ,a b tìm trong ( )Q hai đường thẳng cắt

nhau ,c d sao cho / / ; / /a c b d

* Dựa vào tính chất bắc cầu: ( ) / /( );( ) / /( ) ( ) / /( )P R Q R P Q⇒

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang ( / / )AD BC . Gọi M là trọng tâm

tam giác SAD . N là điểm thuộc AC sao cho 1

2NA NC= , P là điểm thuộc CD sao cho

1

2PD PC=

a) Chứng minh / /( )MN SBC

b) Chứng minh ( ) / /( )MNP SBC

Giải:

a) Gọi I là trung điểm của AD thì ( )MN SIN∈

Kéo dài IN cắt BC tại K thì ( ) ( )SIN SBC SK∩ =

Ta có 1

/ / / /( )3

IN AN IMMN SK MN SBC

IK AC IS= = = ⇒ ⇒

P

K

N

I

M

D

CB

A

S

17

b) Ta có 2 / / / /NC PC

NP AD BCNA PD

= = ⇒ . Kết hợp với câu a) ta có ( ) / /( )MNP SBC

Ví dụ 2) Cho hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D . Gọi I là trung điểm của 'AB

a) Chứng minh ' / /( ')C I ACD

b) M là một điểm thuộc cạnh 'DD . Xác định giao tuyến các mặt phẳng ( ' ), ( ')C IM ACD .

Tìm vị trí của điểm M để giao tuyến này đi qua trung điểm của 'AD

c) N là một điểm thuộc ' 'C D . Xác định giao điểm của ,AB AD với mặt phẳng ( )IMN

Giải:

a) Ta có ' ( ' ')C I ADC B∈ . Gọi J là giao điểm của ', 'DC D C

Ta có ( ' ') ( ')ADC B ACD AJ∩ = . Vì / / ' ' / /( ')AJ C I C J ACD⇒

b) Vì hai mặt phẳng ( ' )C MI và ( ')ACD chứa hai đường thẳng ' / /C I AJ nên giao tuyến

của nó là đường thẳng song song với AJ . Giả sử ' 'C M CD H∩ = . Trong mặt phẳng ( ')ACD

qua H kẻ đường thẳng / /HK AJ thì HK chính là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ' )C MI và

( ')ACD .

Do ' 'KD HD

KA HJ= nên K là trung điểm của 'AD khi H là trung điểm của 'D J .

ER

Q

P

N

K

H

MJ

I

C'

D'

D

C

A'

B'

B

A

18

Suy ra ' ' ' 1

' ' 3

MD MD HD

DD CC HC= = =

c) Do hai mặt phẳng ( ' ')ABB A và ( ' ')DCC D song song với nhau nên hai mặt phẳng đó sẽ

cắt mặt phẳng ( )MNI theo hai giao tuyến song song với nhau.

Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt , 'AB AA tại ,P R thì PR là giao tuyến của

( )IMN với ( ' ')ABB A , P là giao điểm của AB và ( )IMN

Trong mặt phẳng ( ' ')ADD A đường thẳng ( )RM AD Q AD IMN Q∩ = ⇒ ∩ =

Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi

trên các đoạn thẳng ,SB AC sao cho ( )0 1BM NC

x xMS NA

= = < ≠ . Gọi G là trọng tâm tam giác

SCD .

a) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định khi x thay đổi.

b) Tìm x để ( ) ( )/ /GMN SAD

c) Tìm x để ( )/ /NG SAB .

Giải:

a) Gọi P là giao điểm của BN với AD . Ta có : BM NC BN

MS NA NP= =

P

H

T

N

Q

G

M

D

C

A

B

S

19

Do đó / /MN SP . Vậy MN song song với mặt phẳng ( )SAD cố định.

b) Do / /MN SP nên hai mặt phẳng ( )GMN và ( )SAD song song với nhau khi và chỉ khi

( )/ /NG SAD . Gọi Q là trung điểm của DC . Suy ra ba điểm , ,S G Q thẳng hàng.

Đường thẳng NQ lần lượt cắt AD và AB tại T và H .

Ta có: ( ) 1/ / / /

2

NQ GQNG SAD NG ST

NT GS⇔ ⇔ = = ⇔ N là trọng tâm tam giác TCD .

2NC

xNA

⇔ = =

c) ( ) 1 1 1/ / / /

2 2 2

NQ GQ NCNG SAB NG SH x

NH GS NA⇔ ⇔ = = ⇔ = ⇔ = .

Ví dụ 4) Cho lăng trụ ' ' 'ABCA B C . Gọi , ,I K G lần lượt là trọng tâm các tam giác

, ' ' ', ' 'ABC A B C A CC . Chứng minh rằng

a) ( ) / /( ' ')IKG BCC B

b) Gọi H là trung điểm của 'BB . Chứng minh ( ) / /( ' )AIH A KG

Giải:

L

N

MG

K

I

H

C'

B'

A'

C

B

A

20

a) Gọi , ,M N L lần lượt là trung điểm của ', ' ',CC B C BC

Mặt phẳng ( ' )A MN có / /KG MN mà ( ' ') / /( ' ')MN BCC B KG BCC B∈ ⇒

Trong mặt phẳng ( ' )AA NL có / /KI NL mà ( ' ') / /( ' ')NL BCC B IK BCC B∈ ⇒

Mặt phẳng ( )IKG chứa hai đường thẳng ,KG IK cùng song song với

( ' ') ( ) / /( ' ')BCC B IKG BCC B⇒

b) Ta thấy ( ) ( )AIH AIL≡ .

Nhưng ta có / / ' , / / ( ) / /( ' ) ( ) / /( ' )AL A K HL NM AHL A KM AHI A KG⇒ ⇔

VẤN ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH THI ẾT DIỆN KHI C ẮT HÌNH CHÓP, L ĂNG TRỤ BỞI MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC

Khi xác định thiết diện ta cần nắm chắc các tính chất.

- Hai đường thẳng song song thì luôn xác định một mặt phẳng - Nếu mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ( )d thì mặt phẳng ( )P sẽ cắt các mặt

phẳng chứa ( )d (nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với ( )d

- Hai mặt phẳng ( ), ( )P Q song song với nhau khi mặt phẳng ( )P chứa hai đường thẳng cắt

nhau cùng song song với ( )Q

Để tính diện tích thiết diện ta cần nhớ:

- 1 1

sin2 2 4ABC

abcS ah ab C pr

R∆ = = = = ( Tương tự ta có công thức theo các cạnh còn lại)

- 2; ;hv hcnS a S ab= =

- Diện tích hình thang 1

( )2

S a b h= + (trong đó , ,a b h lần lượt là độ dài hai cạnh đáy,

đường cao). - Nếu ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau có độ dài

1,

2m n S mn⇒ =

- Nếu đáy là hình đa giác bất kỳ ta cần khéo léo chia nhỏ để tạo các hình đặc biệt rồi cộng hoặc trừ các diện tích.

- Khi giải các bài toán liên quan đến ,GTLN GTNN ta cần nhớ các bất đẳng thức cơ bản: 32 ; 3a b ab a b c abc+ ≥ + + ≥ ; 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )( )ax by cz a b c x y z+ + ≤ + + + +

sin ,cos [ 1;1]x x ∈ − ….

21

- Định lý cosin: 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −

- Công thức tính đường trung tuyến 2 2 2

2 2( )

4a

b c am

+ −= , ……

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , ,M N I là trung điểm

các cạnh , ,AB CD SA .

a) Chứng minh ( )/ /SC MNI

b) P là một điểm thuộc cạnh SB . Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( )CIM và

( )APN .

c) Q là một điểm thuộc mặt bên ( )SAD . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt

phẳng ( )CPQ .

Giải:

a) Gọi J là trung điểm của SD . Ta có / /IJ MN nên , , ,I J M N cùng thuộc một mặt

phẳng. Mặt khác / / ,SC JN suy ra ( )/ /SC IMN hoặc có thể thấy ( ) ( )/ /SBC IMN nên

( )/ /SC IMN

Ta cũng có thể chứng minh theo cách: ( )SC SAC∈ , ( ) ( )SAC MNI IO∩ =

Mà / / / /( )IO SC SC MNI⇒

J

H

O

I

NM

D

CB

A

S

22

b) Trong mặt phẳng ( ) ,SAB IM cắt AP tại K . Vì hai mặt phẳng ( )CIM và ( )APN .

Chứa hai đường thẳng / /CM AN nên giao tuyến của nó là đường thẳng song song với CM .

Trong mặt phẳng ( )CIM kẻ đường thẳng đi qua K và song song với CM cắt CI tại H thì

đường thẳng HK là giao tuyến cần tìm.

c) Dựa vào tính chất.

+ Nếu mặt phẳng ( )P song song với đường thẳng ( )d thì ( )P cắt tất cả các mặt phẳng chứa ( )d

theo giao tuyến song song hoặc trùng với ( )d

+ Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì 3 giao tuyến sẽ song song hoặc đồng quy với nhau.

• Ta thấy rằng hai mặt phẳng ( ), ( )SBC SAD cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng qua S

song song với BC

• Kéo dài CP cắt giao tuyến nói trên tại điểm T

Ta có 2 khả năng sau:

+ Trong mp( ) ,SAD TQ cắt các cạnh ,SA AD tại ,U V . Thiết diện là tứ giác CPUV .

S

A

B C

D

M N

I

O

P

HK

23

+ Trong mp( ) ,SAD TQ cắt các cạnh ,SA SD tại ,U V . Thiết diện là tứ giác CPUV .

Ví dụ 2) Cho lăng trụ ' ' 'ABCA B C . Gọi I là trung điểm cạnh AB và ( )α là mặt phẳng đi qua

I và song song với ', 'AB BC .

a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( )α . Chứng minh ( )α là trung điểm của 'AC .

R

U

QP

T

O N

D

CB

A

S

Q

RU

T S

A

B C

D

N

P

24

b) J là điểm trên đoạn 'AC sao cho 4'

AJ

C J= . Kí hiệu ( )β là mặt phẳng đi qua J và

song song với ' , 'A I BC . Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ( )β .

Giải:

a) Hình vẽ

Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( )α . Chứng minh ( )α là trung điểm của 'AC .

Do ( )'/ /AB α nên trong mp( )' 'ABB A , đường thẳng qua I và song song với 'AB và ', 'AA BB

tại ,M K thì ,M K là giao điểm của ', 'AA BB với ( )α

Do ( )'/ /BC α nên trong mp( )' 'BB CC , đường thẳng qua K và song song với 'BC cắt 'CC tại

N thì đường thẳng qua KN là giao tuyến của ( )α và ( )' 'BB CC

N

M

I

KC'

B'

A'

C

B

A

25

Để ý ,I K là trung điểm , 'AB BB nên '

'2

BBAM BK C N= = = , do đó tứ giác 'AMC N là hình

bình hành; mà MN lại là giao tuyến của ( )α và ( )' 'AA C C suy ra ( )α đi qua trung điểm của

'AC .

b) Hình vẽ

Trong mp ( )'ABC , qua J kẻ đường thẳng song song với 'BC cắt AB tại P thì P

là giao điểm của AB với ( )β .

Trong mp ( )' 'ABB A , qua P kẻ đường thẳng song song với 'A I cắt ' 'A B tại Q ,cắt ', 'AA BB

tại ,R S .

Trong mặt phẳng ( ' ')ACC A ta có RJ cắt ' ', 'A C CC tại ,T U .

Trong mp( )' ' ,BB C C SU cắt BC tại V .

Ta có ngũ giác PQTUV là thiết diện cần tìm.

Chú ý: Nếu gọi O là trung điểm 'AC thì / / 'IO BC và ( )α có thể xem là mặt phẳng đi qua J

và song song với ( )'A IC và yêu cầu trở thành xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng ( )β đi qua

J và song song với ( )'A IC .

V

R

Q T

S

P

J

I

A

B

C

A'

B'

C'

26

Ví dụ 3) . Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh a, , 3SA SB a SC SD a= = = = . Gọi

,E F lần lượt là trung điểm ,SA SB . Điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC , đặt ( )0BM x x a= ≤ ≤

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( )MEF . Thiết diện là hình gì? b) Tính FM và diện tích thiết diện theo a và x .

Giải:

a) Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại N , khi đó thiết diện cần tìm là

tứ giác MNEF và / / / /MN EF AB

Ta có SAD SBC∆ = ∆ (do , ,SA SB SC SD AD BC= = = ) � �SAD SBC⇒ =

AEN BFM⇒ ∆ = ∆ (do � �, ,2

aAE BF AN BM EAN FBM= = = = ) EN FM⇒ = ⇒ tứ giác

EFMN là hình thang cân.

b) Áp dụng định lý hàm số coossin trong tam giác SBC ta có:

�2 2 2 2 2 2

2

3 1cos

2 . 2 2

SB BC SC a a aSBC

SB BC a

+ − + −= = = −

E

H

F

N M

C

BA

D

S

27

� ( )2 22 2 22 2 2 2 3. 2 4

2 . .cos4 2 4 4

a x xa a x a ax xFM FB BM FB BM SBC x

+ ++ += + − = + + = =

22 2 4

aaMN EF a

HM−−= = = ( )2 2 2 2 2

2 2 2 3 3 8 16

4 16 16

a x x a a ax xFH FM HM

+ + + +⇒ = − = − =

( )2 2

2 21 1 3 3 8 16 3. . 3 8 16

2 2 2 16 16MNEF

a a ax x aS MN EF FH a ax x

+ +⇒ = + = = + +

Ví dụ 4)

Trong ( )α , cho tam giác ABC vuông tại A , � 060 ,ACB AB a= = . Gọi O là trung điểm của BC .

Lấy S ngoài mp( )α sao cho SB a= và SB OA⊥ . Gọi M là điểm trên AB , mp( )β qua M

song song với SB và OA , cắt , ,BC SC SA lần lượt tại , ,N P Q . Đặt ( )0x BM x a= < < .

a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang vuông. b) Tính theo ,a x diện tích hình thang này. Tìm x để diện tích hình thang lớn nhất.

Giải:

a) Do ( )β song song với OA và SB nên giao tuyến của ( )β với ( )ABC song song với OA . Giao tuyến của ( )β với ( ), ( )SAB SBC song song với SB . Suy ra cách xác định thiết diện:

a

a

xO

N

M

Q

P

C B

A

S

28

Qua M kẻ [ ]/ / ,MN OA N BC∈ ; qua M kẻ [ ]/ / ,MQ SB Q SA∈ ; qua N kẻ [ ]/ / ,NP SB P SC∈

Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ có / /MQ NP

Do OA SB⊥ nên ,MQ MN NP MN⊥ ⊥

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang vuông.

b) Ta có 2

BCOA =

0

2 3 3 3 3; . .

sin 60 2 3 3 332

AB a a a MN BM BM x a xBC OA MN OA

OA BA BA a= = = ⇒ = = ⇒ = = =

3 3. ; .

3 3

MQ AM a x NB MB x a xMQ a a x NB

SB AB a BO AB a

−= ⇒ = = − = ⇒ = =

( ) ( )3 2 3 22 3 3 3 2.

3 3 3 3 22 3

a x a xa x CN a xCN

CB aa

− − −⇒ = − = ⇒ = =

2 2

2 2

NP a x a xNP

SB a

− −⇒ = ⇒ =

( ) ( )1 1 2 3 3. . 4 3

2 2 2 3 12MNPQ

a x xS MQ NP MN a x a x x

− ⇒ = + = − + = −

Theo bất đẳng thức cô-si ta có: ( ) ( ) ( )2 24 3 31 1 44 3 4 3 .3

3 3 4 3

a x x aa x x a x x

− +− = − ≤ = .

Suy ra 2 23 4 3

.12 3 9MNPQ

a aS ≤ =

Vậy thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất bằng 23

9

a khi

2

3

ax = .

Ví dụ 5) Cho hình chóp SABCD đáy là nửa lục giác đều với 2 ,BC a AB AD CD a= = = = . Mặt

bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của ,AC BD . Biết SD vuông góc với AC

a) Tính SD b) Mặt phẳng ( )α qua điểm M thuộc đoạn BD và song song với SD và AC .

29

Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt ( )α theo a và 3

BMx = . Tính x để diện tích

thiết diện là lớn nhất. Giải:

a) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại T do AC SD⊥ nên DT SD⊥

Ta có CT CD a= = . Áp dụng định lý coossin trong tam giác DTC ta có:

2 2 2 0 2 2 2 22 . .cos120 2 3 3DT DC CT DC CT DT a a a DT a= + − ⇒ = + = ⇒ =

2 2 2 0 2 2 2 22 . .cos120 4 2 7 7ST SC CT SC CT a a a a ST a= + − = + + = ⇒ =

Trong tam giác vuông SDT ta có: 2 2 2 2 2 27 3 4 2SD ST DT a a a SD a= − = − = ⇒ = Ta có 2SA SD a= =

a) Ta có 2SA SD a= =

Trường hợp 1: M thuộc đoạn thẳng BO . Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt ,AB AC lần lượt tại E và F . Qua M kẻ đường thẳng song song SD cắt SB tại G

Khi đó thiết diện cần tìm là tam giác ( )EGF GM EF⊥ do đó 1

.2EGFS EF GM=

Ta có

N M

PO

Q

K

JG

F

E M

T

D

CB

A

S

30

2 3 33,

3 32

a aAC BD aBO DO

BO OD

= = ⇒ = =

= ;

. 3. 3 3 3

22 33

EF BM BM AC x a xEF

AC BO BD a= ⇒ = = =

. 2 32

3

GM BM BM SD axGM x

SD BD BD a= ⇒ = = = . Suy ra

21 3 3 3 3.2 .

2 2 3EFG

x xS x= = .

Do đó 2 3 2

0 3 33 3

a ax BO x x≤ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤

Suy ra diện tích tam giác EFG đạt giá trị lớn nhất bằng 2 23 3 4 2 3

.2 9 3

a a= khi 2

3

ax = .

Trường hợp 2:

M thuộc đoạn thẳng OD .

Qua M kẻ đường thẳng song song AC cắt ,AD DC lần lượt tại N và P .

Qua , ,M N P kẻ các đường thẳng song song SD cắt , ,SA SB SC lần lượt tại , ,J Q K . Khi đó

thiết diện cần tìm là ngũ giác NPQKJ

Do ; ;JN NP KM NP PQ NP⊥ ⊥ ⊥

( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2NPQKJ MNKJ MKPQS S S NJ MK MN MK PQ MP NJ MK NP⇒ = + = + + + = +

(do )JN PQ=

Vì 3BM x= nên ( ) 33 3 3 ,

3

aMD a x a x OD= − = − =

( ) ( )3 . 3.3 3

33

a x aNP DM DM ACN a x

AC DO DO a

−= ⇒ = = = −

( ) ( )3 3 2 3 21 1 1 .2 2 3 2

a xNJ AN ND MD x a x aNJ a x a

SD AD AD DO a a a

− − −= = − = − = − = ⇒ = = −

. 3.22

3

KM BM BM SD x aKM x

SD BD BD a= ⇒ = = =

31

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 16 4 2 .3 3 8 4 3 3 6 3 2

2 2NPQKJS x a x a x x a a x x a a x⇒ = − + − = − − = − −

Do ( )( )2 2 21 2 2 2 3 3 3

22 2 8 4 4NPQKJ

x a a a a a ax a a x S x

− + − − − ≤ = ⇒ = ⇔ =

Kết luận: Khi M thuộc đoạn thẳng BO diện tích thiết diện bằng 23 3

2

x, diện tích thiết diện đạt

giá trị lớn nhất bằng 22 3

3

a khi

2

3

ax =

Khi M thuộc đoạn thẳng OD diện tích thiết diện bằng ( )( )6 3 2x a a x− − , diện tích thiết diện

đạt giá trị lớn nhất bằng 23 3

4a khi

3

4

ax = .Vậy diện tích thiết diện lớn nhất bằng 23 3

4a khi

3

4

ax =

.

Ví dụ 6) Cho hình lăng trụ ' ' 'ABCA B C . Gọi I là trung điểm của cạnh ' 'B C .

a) Chứng minh ( )'/ / 'AB A IC

b) M là một điểm thuộc cạnh ' ',A C AM cắt 'A C tại , 'P B M cắt 'A I tại Q .

Chứng minh / / 'PQ AB . Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác 'A PQ bằng 2

9 diện tích tam

giác ACI .

c) J là diểm thuộc cạnh , 3AC JA JC= . Kí hiệu ( )α là mặt phẳng đi qua J và song song

với ',AB IC . Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng ( )α .

Lời giải:

a) Gọi O là trung điểm của 'A C thì ' / /A B IO , do đó ( )'/ / 'AB A IC

b) Ta có PQ là giao tuyến của ( )'AB M và ( )'A IC nên / / ' / /PQ A B IO

' ' '

2 4

9 9A PQ A CI A OIS S S= = khi và chỉ khi ' 2

' 3

A Q

A I= . Vậy Q là trọng tâm tam giác ' ' 'A B C , suy ra

M là trung điểm ' 'A C .

32

c) Do ( )'/ / 'AB A IC nên ( )α chính là mp qua J và song song với ( )'A IC .

Trong mp ( )' 'ACC A , kẻ đường thẳng qua J và song song với 'AC cắt 'AA tại N , cắt

' ', 'A C C C tại ,R S .

Trong mp( )' 'BCC B , kẻ đường thẳng qua S và song song với IC cắt , ' 'BC B C tại ,K H .

Trong mp ( ' ')AC B , RH cắt ' 'A B tại L .

Ta có ngũ giác JKHLM là thiết diện cần dựng.

Chú ý: Có thể “bắt đầu” bằng cách kẻ trong mặt phẳng ( )'ACB đường thẳng qua J và song

song với 'AB cắt 'CB tại điểm D thì D là giao điểm của ( )'CB với ( )α . (Tương tự như đã

làm với việc xác định điểm P trong mặt phẳng ( )'ABC ở câu b bài 3 trên). Sau đó trong mp

( )' 'BCC B kẻ đường thẳng qua D và song song với IC để tìm các giao điểm , ,S K H của

', , ' 'CC BC B C với ( )α …

P

Q

M

O

C'

B'

A'

C

B

A

33

VẤN ĐỀ 3: CHỨNG MINH M ỘT HỆ THỨC HÌNH H ỌC

Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Một mặt phẳng ( )P

cắt các cạnh , , ,SA SB SC SD lần lượt ở , , ,M N E F .

Chứng minh SA SC SB SD

SM SE SN SF+ = +

Giải:

K

HL

N

S

R

J

I

A

B

C

A'

B'

C'

I

K

H

O

E

CA

M

S

I

O

D

CB

A

F

EN

M

S

34

Trước hết ta cần chứng minh tính chất: ‘’Cho tam giác SAC có O là trung điểm của AC . Một

đường thẳng bất kỳ cắt các cạnh , ,SA SO SC tại , ,M I E . Khi đó ta có: 2SA SC SO

SM SE SI+ = ’’

Thật vậy ta kẻ các đường thẳng qua ,A C song song với ME cắt SO lần lượt ở ,H K thì

OH OK= do hai tam giác AHO CKO∆ = ∆

Bây giờ ta có: SA SH SO OH SO OH

AM SI SI SI SI

−= = = − và SC SK SO OK SO OK

SE SI SI SI SI

+= = = +

Cộng hai đẳng thức với nhau và chú ý: OH OK= ta thu được: 2SA SC SO

SM SE SI+ =

Quay trở lại bài toán: Áp dụng tính chất trên ta có: 2SA SC SO

SM SE SI+ = và 2

SB SD SO

SN SF SI+ =

Từ đó suy ra SA SC SB SD

SM SE SN SF+ = + .

Ví dụ 2) Cho tứ diện ABCD . Điểm O nằm trong tam giác BCD . Qua O kẻ các đường thẳng song song với , ,AB AC AD cắt các mặt phẳng ( ), ( ), ( )ACD ABD ABC lần lượt tại , ,M N P .

a) Chứng minh: OM ON OP

AB AC AD+ + là hằng số

b) Tìm giá trị lớn nhất của . .OM ON OP

Giải:

QH

O

E

K F

D C

B

P

N M

K

F EO

D

C

B

A

35

a)

• Qua O nối các đường thẳng , ,BO CO DO cắt các cạnh , ,CD BC BD của tam giác BDC lần

lượt ở , ,E F K .

• Trong các mặt phẳng ( ), ( ), ( )ABE AKC ADF ta kẻ các đường thẳng qua O song song với

, ,AB AC AD cắt , ,AE AK AF tại , ,M N P thì , ,M N P là giao điểm của các đường thẳng song

song với , ,AB AC AD và các mặt phẳng ( ), ( ), ( )ACD ABD ABC .

• Ta có OCD

BCD

SOM OE OQ

AB EB BH S∆

∆

= = = (1) với ,Q H là chân đường cao hạ từ ,O B lên CD

Hoàn toàn tương tự ta cũng có: OBD

BCD

SON

AC S∆

∆

= (2) ; OBC

BCD

SOP

AD S∆

∆

= (3)

Cộng ba đẳng thức (1), (2), (3) ta thu được:

1OCD OBD OBC BCD

BCD BCD BCD BCD

S S S SOM ON OP

AB AC AD S S S S∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

+ + = + + = =

b) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 3. .

3. .

OM ON OP OM ON OP

AB AC AD AB AC AD+ + ≥

3. . 1

1 3 . . . .. . 27

OM ON OPOM ON OP AB AC AD

AB AC AD⇔ ≥ ⇔ ≤

Vậy giá trị lớn nhất của . .OM ON OP là 1

. .27

AB AC AD .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 1

3 3

OM ON OP OK OF OE

AB AC AD CK DF BE= = = ⇔ = = =

Hay O là trọng tâm của tam giác BCD

BÀI T ẬP RÈN LUYỆN

Câu 1) Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của cạnh AB , N là điểm trên cạnh BC sao cho 2BN CN=

a) Tìm giao điểm của MN với ( )mp ACD

b) P là một điểm thuộc cạnh CD . Xác định giao tuyến của ( )MCD và ( )ANP

c) Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( )MNP

36

Câu 2) Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm cạnh BD và J

thuộc CD sao cho 2JC

JD=

a) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng ( )GIJ

b) M là điểm thuộc đoạn AJ . Xác định giao điểm của GM với ( )ABD

Câu 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm của cạnh SA , N là điểm thuộc cạnh BC

a) Xác định giao điểm của SC với ( )MND

b) P là một điểm thuộc cạnh CD .Xác định giao tuyến của ( )MND và ( )SBP

c) Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( )MNP

Câu 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD , M là trung điểm của cạnh SA , N là điểm thuộc cạnh SC ( N không là trung điểm của SC )

a) Xác định giao tuyến của ( ), ( )ABN CDM

b) Tìm giao điểm của MN với ( )SBD

c) P là một điểm thuộc cạnh AB . Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng ( )MNP

Câu 5) Cho hình chóp SABCD , M là điểm thuộc mặt bên ( )SCD

a) Xác định giao tuyến của ( ), ( )SAC SBM

b) Xác định giao điểm của AM với ( )SBD

Câu 6) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là điểm thuộc SD sao cho 1

3SM SD=

a) Xác định giao điểm của BM với ( )SAC

b) N là điểm thay đổi trên BC . Xác định giao tuyến của ( ), ( )AMN SBC . Chứng minh giao

tuyến này luôn đi qua một điểm cố định. c) G là trọng tâm tam giác SAB . Xác định thiết diện của hình chop khi cắt bởi mặt phẳng

( )MNG

Câu 7) Cho tứ diện ABCD gọi ,I J lần lượt là trung điểm của ,AC BC . Trên cạnh BD lấy

điểm K sao cho 2BK KD=


b) Tìm giao điểm F của AD và ( )IJK . Chứng minh 2FA FD=

37

c) Chứng minh / /FK IJ d) Gọi ,M N là hai điểm bất kỳ nằm trên hai cạnh ,AB CD . Tìm giao điểm của MN và

( )IJK

Câu 8) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SB , G là trọng tâm tam giác SAD

a. Tìm giao điểm I của GM với ( )ABCD b. Chứng minh rằng I ở trên đường thẳng CD và 2IC ID=

c. Tìm giao điểm K của ( )OMG với SA . Tính KA

KS

Câu 9) Cho hình chóp SABCD , Gọi ,I J là 2 điểm trên ,AD SB a. Tìm các giao điểm ,K L của IJ và DJ với mặt phẳng ( )SAC b. AD cắt BC tại O , OJ cắt SC tại M . Chứng minh rằng , , ,A K L M thẳng hàng

Câu 10) Cho hình chóp SABCD , M là một điểm trên cạnh BC , N là một điểm trên cạnh SD

a. Tìm giao điểm I của BN và ( )SAC và giao điểm J của MN và ( )SAC , DM cắt ACtại K . Chứng minh , ,S K J thẳng hàng

b. Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng ( )BCN Câu 11) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi , ,M N P là trung

điểm của , ,BC CD SO . Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( )MNP với các mặt phẳng

( ), ( ), ( ), ( )SAB SAD SBC SCD

Câu 12) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AB . Trên ,SA SB lấy

,M N sao cho MN không song song với AB . Gọi O AC BD= ∩

a) Tìm giao điểm của AB và ( )MNO

b) Tìm giao tuyến của ( )MNO với ( ), ( )SBC SAD

c) Gọi I là giao điểm của hai giao tuyến nói trên, J là giao điểm của ,AD BC . Chứng minh

, ,S I J thẳng hàng.

Câu 13) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm của SC

a) Tìm giao điểm I của AM với ( )SBD . Tính IA

IM

b) Tìm giao điểm F của SD và ( )ABM . Suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

( )ABM

38

c) Gọi N là điểm tùy ý thuộc AB . Tìm giao điểm K của MN với SBD

Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , ,M N P lần lượt là

trung điểm của , ,SA BC CD . Xác định thiết diện của

a) Hình chóp SABCD với mặt phẳng ( )MNP

b) Hình chóp SABC với mặt phẳng ( )MNP

c) Hình chóp SABD với mặt phẳng ( )MNP

Câu 15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là AD . Gọi ,M N là

trung điểm của ,SA SB

a) Tìm giao điểm của SC với ( )DMN

b) Xác định thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng ( )MND

Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi ,M N là trung

điểm của ,SB SD . P là một điểm trên SC sao cho SP PC> . Tìm giao tuyến của mặt phẳng

( )MNP với các mặt phẳng ( ), ( ), ( ), ( )SAC SAB SAD ABCD

Câu 17) Cho lăng trụ ' ' 'ABCA B C . Gọi M là trung điểm của ' 'A B . Điểm N thay đổi trên đoạn 'BB . Gọi P là trung điểm của đoạn 'C N

a) Chứng minh rằng ( )/ / ' 'MP AA C C

b) Chứng minh rằng MP luôn thuộc mặt phẳng cố định khi N thay đổi. c) Tìm vị trí của N thuộc 'BB sao cho MP song song với 'A C

ĐS: c) N B≡

Câu 18) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ( )/ /AD BC . Gọi M là trọng tâm tam

giác SAD , N là điểm thuộc đoạn AC sao cho 1

2NA NC= , P là điểm thuộc đoạn CD sao cho

1

2PD PC= . Chứng minh rằng:

a) ( )/ /MN SBC

b) ( ) ( )/ /MNP SBC

39

Câu 19) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Hai điểm ,M N lần lượt thay đổi

trên các đoạn thẳng ,SB AC sao cho ( )0 1BM NC

x xMS NA

= = < ≠ . Gọi G là trọng tâm tam giác

SCD

a) Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định khi x thay đổi b) Tìm x để ( ) ( )/ /GMN SAD

c) Tìm x để ( )/ /NG SAB

ĐS: 1

2;2

x x= =

Câu 20) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp

khi cắt bởi mặt phẳng ( )α qua trung điểm M của BC và song song với ,BD SC

Câu 21) Cho hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D . Các điểm ,M N lần lượt thuộc đoạn , 'AD A C sao

cho ( )/ / 'MN BC D . Biết 1

5

AM

AD= . Tính

'

CN

CA.

ĐS: 3

5

Câu 22) Trong mp( )α , cho tam giác ABC vuông tại A , 0ˆ 60 ,ACB AB a= = . Gọi O là trung

điểm của BC . Lấy S ngoài mp( )α sao cho SB a= và SB OA⊥ . Gọi M là điểm trên AB , mp

( )β qua M song song với SB và OA , cắt , ,BC SC SA lần lượt tại , ,N P Q . Đặt

( )0x BM x a= < < .

c) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang vuông. d) Tính theo ,a x diện tích hình thang này. Tìm x để diện tích hình thang lớn nhất.

ĐS: 3

(4 3 )12

S a x x= −

Câu 23) Cho tứ diện ABCD trong đó AB CD⊥ và AB AC CD a= = = , M là một điểm trên

cạnh AC với ( )0AM x x a= < < . Mặt phẳng ( )α qua M , song song với AB và CD .

a) Xác định thiết diện của ABCD cắt bởi ( )α . Thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x . Tìm x để diện tích thiết diện là lớn nhất. ĐS: ( )S x a x= −

40

Câu 24) Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Điểm M di động trên SC , ( )αlà mp qua AM và song song với BD .

a) Chứng minh rằng ( )α luôn chứa một đường thẳng cố định.

b) Tìm các giao điểm H và K của ( )α với SB và SD ( ),H SB K SD∈ ∈ . Chứng minh

rằng SB SD SC

kSH SK SM

= + − có giá trị không đổi.

ĐS: 1k =

Câu 25) Cho hình chóp SABCD với đáy là hình thang có / /AD BC . Điểm M nằm trong hình thang ABCD . Từ M kẻ các đường thẳng song song với ,SA SB lần lượt cắt các mặt

( ), ( )SBC SAD tại ,N P .

a) Chứng minh rằng MN MP

SA SB+ là hằng số

b) Tìm vị trí M để diện tích tam giác MNP lớn nhất. ĐS: a) 1

Câu 26) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành tâm O

a) Từ một điểm M di động trên đoạn SA dựng đường thẳng song song với AD cắt SD tại ,N NB cắt SO tại P . Chứng minh MP đi qua một điểm cố định

b) Trên cạnh CD lấy điểm Q sao cho CQ SM

CD SA= . Tìm vị trí của M trên SA để tam giác

MNQ có diện tích lớn nhất. ĐS: b) M là trung điểm của SA .

Câu 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , ,M N I là trung điểm

của các cạnh , ,AB CD SA

a) Chứng minh / /( )SC MNI b) P là một điểm thuộc SB . Xác định giao tuyến của ( ), ( )CIM APN c) Q là một điểm thuộc ( )SAD , Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

( )CPQ Câu 28) Cho hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D . Gọi I là trung điểm của 'AB

a) Chứng minh ' / /( ')C I ACD b) M là một điểm thuộc 'DD . Xác định giao tuyến của các mặt phẳng ( ' ), ( ')C IM ACD .

Tìm vị trí của M để giao tuyến này đi qua trung điểm của 'AD c) N là một điểm thuộc ' 'C D . Xác định các giao điểm của ,AB AD với mặt phẳng ( )IMN

Câu 29) Cho lăng trụ tam giác ' ' 'ABCA B C . Gọi , ,I K G lần lượt là trọng tâm của các tam giác

, ' ' ', ' 'ABC A B C A CC

41

a) Chứng minh ( ) / / ( ' ')mp IKG mp BB CC b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng ( )IKG c) Gọi H là trung điểm của 'BB . Chứng minh ( ) / /( ' )AHI A KG

Câu 30) Cho lăng trụ tam giác ' ' 'ABCA B C .Gọi , ,I J K là tâm các hình bình hành

' ', ' ', ' 'ACC A BCC B ABB A

a) Chứng minh / /( ' '), / /( ' '), / /( ' ')IJ ABB A JK ACC A IK BCC B b) Chứng minh ba đường thẳng , ,AJ CK BI đồng quy tại một điểm O c) Mặt phẳng ( )IJK song song với đáy lăng trụ d) Gọi , 'G G là trọng tâm của hai mặt đáy. Chứng minh , , 'G O G thẳng hàng.

Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của ( );SC P là

mặt phẳng qua AM và song song với BD .

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )P .

b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của ( )P với các cạnh SB và SD . Hãy tìm tỉ số diện tích

của tam giác SBC và tỉ số diện tích của tam giác SMF với tam giác SCD .

c) Gọi K là giao điểm của ME với ,CB J là giao điểm của MF và CD . Hãy chứng minh ba

điểm , ,K A J nằm trên một đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số EF

KJ.

Câu 32) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi. M là trung điểm của cạnh bên ,SA N là

trung điểm của cạnh bên SC .

a) Xác định các thiết diện của hình chóp khi cắt bởi các mặt phẳng lần lượt qua ,M N và song

song với mp( )SBD .

b) Gọi ,I J là giao của hai mặt phẳng nói trên với AC . Chứng minh rằng 1

2IJ AC= .

Câu 33) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ( )P cắt các cạnh bên

, , ,SA SB SC SD lần lượt tại ', ', ', 'A B C D . Chứng minh rẳng tứ giác ' ' ' 'A B C D là hình bình hành

khi và chỉ khi mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( )ABCD .

Câu 34) Cho hình chóp SABC . Các điểm , ,I J K lần lượt là trọng tâm các tam giác

, ,SAB SBC SCA .

a) Chứng minh rằng ( ) ( )/ /IJK ABC

42

b) Tìm tập hợp các điểm M nằm trong hình chóp SABC sao cho KM song song với mp( )ABC

Câu 35) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ( )/ /AB CD . Điểm M thuộc cạnh BC

không trùng với B và C .

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng ( )P qua M và song song với mp

( )SAB . Thiết diện là hình gì?

b) Gọi E và F lần lượt là giao điểm của mp( )P với SD và SC . Chứng minh rằng giao điểm I

của NE và MF chạy trên một đường thẳng cố định.

Câu 36) Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Một mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M .

a) Cho trước điểm M , nêu cách dựng điểm N .

b) Gọi K là giao điểm của MN và IJ . Chứng minh rằng K là trung điểm của MN .

Câu 37) Cho hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh bằng a . Các

điểm M , N lần lượt nằm trên ',AD DB sao cho ( )0 2AM DN x x a= = < <

a) Chứng minh rằng khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

b) Chứng minh rằng khi 2

3

ax = thì / / 'MN A C .

Câu 38) Cho hình hộp 1 1 1 1ABCDA B C D . Gọi 1O là tâm của hình bình hành 1 1 1 1;A B C D K là trung

điểm của ;CD E là trung điểm của 1BO .

a) Chứng minh rằng E nằm trên mp( )1ACB

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp( )P qua điểm K và song song với mp( )EAC

Câu 39) Cho lăng trụ tam giác ' ' 'ABCA B C . Trên đường thẳng BA lấy một điểm M sao cho A

nằm giữa B và 1

,2

M MA AB= .

a) Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp( )P qua , 'M B và trung điểm E của AC .

b) Tính tỉ số ( )( )'BD

D BC MB ECD

= ∩ .

43

Câu 40) Cho lăng trụ tam giác ' ' 'ABCA B C . Gọi , ,I J K lần lượt là tâm của các hình bình hành

' , ' ', ' 'ACC A BCC B ABB A .

a) Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( )/ / ' ' , / / ' ' , / / ' 'IJ ABB A JK ACC A IK BCC B .

b) Ba đường thẳng , ,AJ CK BI đồng quy tại một điểm O .

c) Mặt phẳng ( )IJK song song với mặt đáy của hình lăng trụ.

d) Gọi , 'G G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và ' ' 'A B C . Chứng minh rằng ba

điểm , , 'G O G thẳng hàng.

Câu 41) Cho hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D . Điểm M thuộc cạnh AD , điểm N thuộc cạnh ' 'D C sao cho : ' : 'AM MD D N NC= .

a) Chứng minh rằng MN song song với ( )'C BD

b) Xác định thiết diện của hình hình hộp khi cắt bởi mp( )P qua MN và song song với mp

( )'C BD .

Câu 42) Cho hình hộp ' ' ' 'ABCDA B C D . Gọi , , ,P Q R S lần lượt là tâm các mặt bên ' ',ABB A

' ', ' ', ' 'BCC B CDD C DAA D .

a) Chứng minh rằng RQ song song với mp( ) ( ),ABCD PQRS song song với ( )ABCD .

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp( )AQR

c) Gọi M là giao điểm của cạnh 'CC với mp( )AQR . Tính tỉ số '

MC

MC.

Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy là tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và ;BD M là trung điểm của cạnh SA .

a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp( )P qua M , song song với SO và BC .

b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp( )Q qua O , song song với BM và SD .

Câu 44) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang ( )/ / ,AD BC AD BC> . Gọi , ,M N E lần

lượt là trung điểm của , ,AB CD SA .

44

a) Chứng minh rằng ( ) ( ) ( )/ / ; / /MN SBC MEN SBC .

b) Trong tam giác SAD vẽ ( )/ /EF AD F SD∈ . Chứng minh rằng F là giao điểm của mặt

phẳng ( )MNE với SD . Từ đó suy ra thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp( )MNE là hình gì?

c) Chứng minh rằng ( )/ /SC MNE . Đường thẳng AF có song song với mp( )SBC không?

d) Cho ,M N là hai điểm cố định nằm trên các cạnh ,AB CD sao cho / /MN AD và ,E F là hai

điểm di động lần lượt trên các cạnh ,SA SD sao cho / /EF AD . Gọi I là giao điểm của ME và

NF thì I di động trên đường nào?

Câu 45) Cho hình hộp 1 1 1 1ABCDA B C D

a) Chứng minh rằng đường chéo 1B D cắt mp( )1 1A BC tại G sao cho 1

1

2B G GD= và G là trọng

tâm tam giác 1 1A BC .

b) Chứng minh rằng ( ) ( )1 1 1/ /D AC BAC và 'G là trọng tâm tam giác 1D AC cũng nằm trên 1B D

và 1 1

2'

3B G B D= .

c) Gọi , ,P Q R lần lượt là các điểm đối xứng của điểm 1B qua 1,A D và C . Chứng minh rằng

( ) ( )1 1/ /PQR BAC

d) Chứng minh rằng D là trọng tâm tứ diện 1B PQR

Trong quá trình biên soạn mặc dù rất cố gắng nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi các sai sót. Rất mong sự góp ý của bạn đọc để tài liệu được hoàn thiện.

Mọi đóng góp xin gửi về: [email protected]

Education

hinh khong gian