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Pietro Di Martino
Dipartimento di Matematica – Università di Pisa
Il problema dei problemi
ATTIVITÀ 1 Con quale obiettivo insegnate (insegnare)
matematica al vostro livello scolare?
Ragionare
...ma poi raggiungiamo questi obiettivi?
E chiediamo a loro di risolvere problemi, di capire, ragionare e argomentare?
Appassionare Problem solving
E almeno di decidere qualcosa?
Rendere elastica la mente
Importanza di condividere obiettivi, giudicare coerenza di ciò che si fa e valutare risultati
• Curricolo intenzionale, espresso dalle Indicazioni
Intended
Curriculum
• Ciò che è di fatto realizzato nella scuola
Implemented
Curriculum
• Ciò che è appreso dagli studenti
Attained
Curriculum
Non è solo una questione di coerenza...
Livello 6
È cruciale dunque dare occasioni agli allievi di prendere decisioni e
argomentarle, ma non basta...
Proporre domande tratte da prove INVALSI ma trasformate da
domande a risposta chiusa univoca a domande a risposta aperta con
richiesta di procedimento, spiegazione o argomentazione
Privilegiato Ambito Numeri (per tradizione didattica è quello su cui
si concentrano le maggiori attenzioni a
livello di scuola dell’obbligo)
Scelto prevalentemente domande di livello 8 (3a media) per proporre contenuti maggiormente accessibili a tutti
Scelte
Fase 1: costruzione della prova
Le difficoltà argomentative alla fine della scuola dell’obbligo
Fase 2: somministrazione della prova
Prova proposta ad un totale di 444 studenti di 23 classi differenti (2 prime e 21 seconde) provenienti da
6 istituti di istruzione secondaria differenti: 49% da un liceo scientifico o delle scienze applicate
32% da un istituto tecnico o professionale 19% da altri licei
Modalità di somministrazione della prova: • in orario scolastico in presenza mia e
dell’insegnante • (come detto) un’ora di tempo
• non abbiamo permesso di utilizzare la calcolatrice • abbiamo fornito chiarimenti sul testo se richiesti
Le difficoltà argomentative alla fine della scuola dell’obbligo
La richiesta di argomentare
È vero o falso che un numero pari maggiore di due si può sempre scrivere come somma di due
numeri dispari diversi tra loro? Perché?
Item Risp.
Manc.
Opzioni
A B C D
E12 1,5 44,0 6,4 34,0 14,0
“mi aspetto che rispondano abbastanza bene, tranne la motivazione”
“l’argomentazione potrebbe creare
qualche difficoltà”
“non sono abituati a risolvere problemi di questo tipo [in cui si
chiede il perché]”
La richiesta di argomentare
La tipologia di risposte “corrette” ma senza
giustificazione
L’importanza del processo al di là della risposta corretta o
incorretta!
“Vero ma non lo so spiegare!”
ATTIVITÀ 2 Fare un esempio di problema di vita quotidiana
Analizzare se esistono caratteristiche comuni a tutti gli esempi di problema riconosciuti
come tali nella fase precedente
A partire dalle caratteristiche comuni riconosciute, proporre una definizione di
problema
Una possibile definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945
Quale meta? Esempio di Von Neumann
Prendere decisioni Problem solving
Una possibile definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma
non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945
problema / esercizio Nella pratica
scolastica si tende a far fare ai ragazzi tanti problemi o
tanti esercizi?
I LIBRI DI TESTO LA PRATICA IN CASSE
Tipologia di problemi:
- si risolvono applicando
regole o schemi
risolutivi spiegati in
precedenza
- Son del tipo “tutto o
niente"
- spesso raggruppati per
capitoli
- spesso con il risultato
problemi o esercizi?
Modalità d’uso:
-si fa vedere su esempi come si
procede poi si propongono
compiti dello stesso tipo
-Si devono combinare con
operazioni tutti e soli i dati
presenti
-C’è una e una sola soluzione
-Poco tempo
Problem solving VS libri di testo e pratica tradizionale
Nella pratica scolastica si tende a far fare ai ragazzi tanti problemi o tanti esercizi?
L’impressione è che tendenzialmente si facciano solo esercizi, e ci si concentri sul prodotto
(risultato) piuttosto che sul processo (come si arriva ad un determinato risultato)
“non sono abituati a risolvere problemi di questo tipo [in cui si chiede il perché]”
Attività 3b Secondo voi quali sono i motivi?
Questa scelta (più o meno consapevole) ha molte conseguenze...
Problem solving e argomentazione
E il senso dell’educazione matematica?
“Ora me la cavicchio, ma non perché riesco a ragionare sulle formule, ma perché le applico e basta. Sono sicura che se
dovessi fare un compito con dei “perché” sulle formule, non sarei in grado nemmeno di scrivere una parola.
Andando avanti per la mia strada, le equazioni di primo grado, quelle di secondo grado e i radicali nel campo del turismo non servono, ma queste cose le facciamo per imparare a
ragionare giusto…?
Ma se io le faccio perché so le regole ma non le capisco, a cosa mi servono? …
Problem solving e argomentazione
… Ci sono persone che passano la loro vita a studiare la matematica, ma io mi chiedo come facciano. Se potessi, la
matematica sarebbe una materia che smetterei di studiare, visto che la odio.
Penso che questo “sentimento” dipenda dal fatto che il mio studio è stato sempre di tipo mnemonico, meccanico senza la preoccupazione di capire veramente l’esercizio
che dovevo svolgere.
Colpa mia o degli insegnanti?” Dania, 2S
E il senso dell’educazione matematica?
Problem solving e argomentazione
Alcuni nemici
La paura dell’errore
Studenti
La matematica non mi piace: mi mette un po’ di paura ed
ansia perché ho sempre il terrore di sbagliare
Sara, 5a primaria
Insegnanti
Ma se non facciamo vedere come si fa, poi non riescono a farlo,
sbagliano
Problem solving e argomentazione
Alcuni nemici
La paura dell’errore
Una delle caratteristiche della matematica è di essere
una materia scientifica, questo comporta molti
aspetti positivi, ma anche negativi. Ad esempio non vengono accettati errori
Insegnanti
Ma se non facciamo vedere come si fa, poi non riescono a farlo,
sbagliano
Non vengono accettati da chi?
Esercizi ripetitivi e guidati e non problemi...
Perché?
Per dare strumenti agli allievi
Se davvero fossero strumenti gli allievi dovrebbero poi essere
messi in situazione nuove (problemi) dove può essere utile usarli e comunque essere loro a
scegliere se e quando usarli
Perché è più facile ottenere la risposta giusta
Siamo veramente convinti della significatività di questi risultati? Esempio: quando siete davanti ad un problema di matematica scrivete 5. 3xˆ2-75=0
Perché permette di riuscire anche a chi
ha difficoltà
• Trovando i numeri e sommando • Cercando di indovinare l’operazione • Guardando i numeri e da quelli
risalire all’operazione ‘giusta’ • Provando tutte le operazioni e
scegliere in base al risultato • Cercando ‘parole chiave’ • Decidendo se il risultato deve
essere maggiore o minore dei numeri dati, e scegliendo l’operazione di conseguenza
• A caso
Comportamenti “tipici” degli allievi di fronte ad un problema scolastico
Larry Sowder
COMPORTAMENTI
‘PATOLOGICI’
STATI UNITI
45.000 studenti "31 col resto di 12" (29%) "31" (18%)
Un camion dell’esercito può portare 36 soldati. Se bisogna trasportare 1128 soldati alla loro base, quanti camion servono?
ISRAELE
10° + 40° = 50°
Quale sarà la temperatura dell’acqua in un recipiente se metto insieme una caraffa d’acqua a 10° gradi ed una a 40° ?
GERMANIA
I bambini delle ultime classi ‘rispondono’...
Il signor Lorenz e tre colleghi partono per Bielefeld alle 9 e viaggiano per 360km fino a Francoforte, con una sosta di 30 minuti.
Il miglior tempo di John nel correre i 100 m è di 17 secondi.
Quanto tempo impiegherà a correre 1 chilometro?
BELGIO
Più del 95% delle risposte: 17x10=170 secondi
3% sono risposte ‘realistiche’:
-È impossibile rispondere con precisione -Circa 3 minuti e mezzo
-Sicuramente più di 170 secondi
FRANCIA …i bambini ‘rispondono’!!!!
Su un battello ci sono 36 pecore. 10 muoiono affogate. Quanti anni ha il capitano?
Sembra mancare: • controllo sulle strategie
• controllo sui risultati
• un’effettiva ricostruzione della situazione problematica
COMPORTAMENTI ‘PATOLOGICI’
DATI
OPERAZIONI
Si sta veramente suggerendo di leggere al bambino? O in realtà si suggerisce una lettura
selettiva del testo e un procedimento automatico e non strategico?
COMPORTAMENTI ‘PATOLOGICI’ o COERENTI?
PROBLEMA = CONTESTO DOMANDA +
CONTENITORE DI DATI
STRUTTURA DEL PROBLEMA
COMPORTAMENTO VINCENTE
PROBLEMA CERCARE I DATI NEL TESTO
CERCARE LA PAROLA CHIAVE NELLA DOMANDA
INDOVINARE L’OPERAZIONE ED EFFETTUARLA PER TROVARE IL RISULTATO
SONO PROBLEMI? QUALI DECISIONI? QUALI STRATEGIE?
Su un battello ci sono 36 pecore.
10 muoiono affogate.
Quanti anni ha il capitano?
PROBLEMA
CONTESTO
DOMANDA +
CONTENITORE DI DATI
…i bambini rispondono!
UN ESEMPIO
Problema: In un prato ci sono 20 pecore, 7 capre, e 2 cani.
Quanti anni ha il pastore?
20+7+2=29
‘’Forse ad ogni compleanno gli hanno regalato un animale…’’
"Ho fatto un ragionamento particolare: il pastore se
ha due cani per così poche bestie uno dei due cani forse gli serve perché è
non vedente.
Quindi deduco che abbia sui 70-76 anni"
70-76
Il capitano/pastore italiano
Si evita di richiedere di argomentare...soprattutto a chi risponde bene
Perché?
Idea di successo in matematica
Perché è difficile
Perché “accontentiamoci del fatto che abbiano dato il risultato giusto che chiedendo il perché chissà che esce da quella bocca”
(abbiamo bisogno di certezze anche noi insegnanti...)
Deresponsabilizzazione
Conseguenze
Gli allievi intuiscono che l’insegnante soffre se
loro sbagliano
Diagnosi allarmanti su falsi positivi, ma anche
pericolose illusioni
Scarse occasioni di far lavorare su competenze di
problem solving e soprattutto argomentative
Problem solving e argomentazione
Alcuni nemici La visione della matematica
La matematica non è un’opinione
Per risolvere un’equazione, non hai certo bisogno di creatività, non serve la tua interpretazione, oppure idre
quello che senti; la matematica è priva di sentimento, basta pensare al famoso detto: “la matematica no è
un’opinione”. Proprio in quella frase è racchiusa la mia ripugnanza nei
confronti di essa, non è come un tema nel quale si può avere interpretazioni diverse, c’è un solo modo di riuscire, un unico metodo Rachele 5a superiore
Problem solving e argomentazione
La mia 'non simpatia' per la matematica è dovuta al fatto che in questo tipo di disciplina manca la possibilità di
esprimere un pensiero, un parere, un'opinione da parte di colui che la svolge (Carlo, 3a sup)
Perché?
...a “in matematica le opinioni sono importanti”...
Passare da “la matematica non è un’opinione”...
Problem solving e argomentazione
...ed è importante imparare a raccontarle, giustificarle, argomentarle, difenderle...assumersene la responsabilità
...a “in matematica le opinioni sono importanti”...
Passare da “la matematica non è un’opinione”...
Problem solving e argomentazione A volte c’è qualche timore tra gli insegnanti, ma usualmente
chi prova si accorge di una certa “potenzialità”...
Però...
Mi avete convinta con questa storia dell'argomentazione, che è importante. Sperimentando le attività nella pratica ho visto
che escono fuori cose belle, che i bambini chiedono di fare ancora questi problemi...
Però, l'anno prossimo avrò le prime...a volte guardo in mensa le prime di quest'anno, vedo come si comportano...e allora penso che non so se riuscirò a fare anche queste attività, magari non
avrò il tempo di fare nemmeno quello che devo...
Ma cosa è “quello che dobbiamo”?
Però, l'anno prossimo avrò le prime...a volte guardo in mensa le prime di quest'anno, vedo come si comportano...e allora penso che non so se riuscirò a fare anche queste attività, magari non
avrò il tempo di fare nemmeno quello che devo...
I contenuti? Gli esercizi? Alcune attività in particolare?
Forse val la pena dare un’occhiata a cosa richiedono le Indicazioni Nazionali...
PRIMO CICLO
ARGOMENTAZIONE SECONDO CICLO
LICEI
DIMOSTRAZIONE
Competenze in continuità
PROBLEM SOLVING
“Predisposizione di ambienti sociali di apprendimento idonei al dialogo, all'interazione, alla ricerca e alla costruzione di significati, alla condivisione di conoscenze, al riconoscimento di
punti di vista e alla loro negoziazione”
Competenze trasversali: Italiano
Obiettivi “Argomentare la propria tesi su un tema
affrontato nello studio e nel dialogo in classe con dati pertinenti e motivazioni valide”
REGOLE TECNICHE MEMORIA
PORSI, AFFRONTARE E RISOLVERE PROBLEMI
DA PENSIERO RIPRODUTTIVO A PRODUTTIVO
ATTENZIONE A PROMUOVERE UNA CERTA VISIONE DELLA MATEMATICA
GIUSTIFICARE E ARGOMENTARE QUEL CHE SI FA
DA ADEGUARSI AD ASSUMERSI LA RESPONSABILITÀ DEI PROPRI PROCESSI DI PENSIERO
PORSI, AFFRONTARE E RISOLVERE PROBLEMI
DA PENSIERO RIPRODUTTIVO A PRODUTTIVO
L’alunno imparerà
ad affrontare con
fiducia e
determinazione
situazioni
problematiche
Di estrema importanza è lo
sviluppo di un’adeguata
visione della matematica, non
ridotta a un insieme di regole
da memorizzare e applicare,
ma riconosciuta e apprezzata
come contesto per affrontare
e porsi problemi significativi
Caratteristica
della pratica
matematica è
la risoluzione
di problemi
Di estrema importanza è lo
sviluppo di un’adeguata
visione della matematica, non
ridotta a un insieme di regole
da memorizzare e applicare,
ma riconosciuta e apprezzata
come contesto per affrontare
e porsi problemi significativi
PORSI, AFFRONTARE E RISOLVERE PROBLEMI
DA PENSIERO RIPRODUTTIVO A PRODUTTIVO
E. De Giorgi
“Un bel problema, anche se non lo
risolvi, ti fa compagnia se ci
pensi ogni tanto”
Il bello della matematica
PORSI, AFFRONTARE E RISOLVERE PROBLEMI
DA PENSIERO RIPRODUTTIVO A PRODUTTIVO
Due parole sui problemi. Ve ne sono molti, e solo un studente eccezionale potrebbe risolverli tutti. Alcuni servono solo a completare dimostrazioni del testo,
altri hanno lo scopo di illustrare i risultati ottenuti e far pratica su di essi.
Molti non vengono proposti tanto per essere risolti, quanto per essere affrontati. Il valore di
un problema non sta tanto nel trovarne la soluzione, quanto nelle idee che fa sorgere in chi la affronta e
nei tentativi messi in atto”
“Quale è il modo migliore per imparare a risolvere problemi?
Affrontare problemi”
Alcune necessità per lavorare su
problem solving e argomentazione
Necessità di trovare “buoni” problemi
Necessità di ripensare la pratica didattica
TEMPO
ERRORE
PROBLEMI
OBIETTIVI
ARGOMENTAZIONE PROCESSI
ALCUNE NECESSITÀ
PORSI, AFFRONTARE E RISOLVERE PROBLEMI
DA PENSIERO RIPRODUTTIVO A PRODUTTIVO
GIUSTIFICARE E ARGOMENTARE QUEL CHE SI FA
DA ADEGUARSI AD ASSUMERSI LA RESPONSABILITÀ DEI PROPRI PROCESSI DI PENSIERO
COOPERAZIONE VS COMPETIZIONE
ATTIVITÀ 4 Quali sono secondo voi le caratteristiche
di un buon problema?
Non si sa a priori quali conoscenze vanno utilizzate
Ci possono essere più soluzioni o nessuna
I dati sono di varia natura (non solo numerici) e non è detto che
per risolvere il problema si debba fare operazioni
È possibile l’esplorazione
Le fonti possibili sono molte, tra queste sicuramente anche le Prove INVALSI
Le strategie possibile sono molteplici
Esempio La geometria come contesto “ricco” per le diverse
esplorazioni e i diversi approcci
C’è chi scompone e ricompone come un rettangolo di base di misura 8cm e altezza di misura 4cm
Chi vede il doppio di un triangolo di base che misura 8cm e altezza che misura 4cm
Chi vede quattro triangoli rettangoli isosceli di cateti di misura 3cm
C’è chi conta i quadretti
Ma anche con la stessa
strategia di fondo (contare
in questo caso), possono
emergere processi diversi...
Le prove INVALSI come possibile antologia di problemi
Aspetti positivi
A differenza della maggior
parte dei problemi dei libri
di testo, sono:
• coerenti con gli obiettivi e
i traguardi di competenza
delle Indicazioni Nazionali
• effettivamente spesso
“problemi” e non esercizi
per gli allievi
Sono un archivio pubblico e
facilmente reperibili
Offrono dati statistici che possono fornire
spunti di riflessione interessanti
Aspetti critici
I tempi
Il fatto che siano per lo più a risposta
chiusa
Talvolta la scelta dei distrattori, che
“indirizza” le risposte dei bambini
L’attenzione al prodotto (risposta) più
che al processo e lo stabilire a priori
cosa è giusto e cosa è sbagliato
Son tutti aspetti legati alle modalità
d’uso. L’insegnante può modificarle!
Laboratorio al Convegno UMI-CIIM 2014 (L. Maffei, P. Maggi, L. Stelli):
http://www.umi-ciim.it/attivita-della-ciim/convegni/xxxii-convegno/
Esperienza di ricerca-azione condotta presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Pisa:
- oggetto della ricerca: Prove INVALSI 2012-2013 del primo ciclo;
- sperimentazione di alcune prove con modifiche del testo, senza limiti di tempo, con richiesta di descrivere il ragionamento;
- alcune riflessioni di carattere didattico.
Materiale disponibile http://fox.dm.unipi.it/invalsi
Le prove INVALSI come risorsa nella pratica didattica dell’insegnante
Il far lavorare su problemi significativi e richiedere di argomentare è non solo...
...Ma anche un’occasione di formazione per
l’insegnante... minare le proprie certezze,
ampliare il proprio bagaglio interpretativo
Un’occasione di formazione per gli allievi... Per lavorare in maniera significativa sui contenuti, per
lavorare sulla fondamentale competenza argomentativa, per confrontarsi con gli altri e avere anche più strumenti per
auto-valutarsi
...E uno strumento per raccogliere feedback
significativi sull’apprendimento dei propri
allievi Per poter intervenire in maniera
mirata su eventuali difficoltà
Esempio I L’analisi di difficoltà in
verticale
Quinta primaria
Tipicamente dato anche in prima secondaria di
primo grado
Perché così tanti rispondono D? Sicuramente ci possono
essere difficoltà con i decimali ma...
Importanza di chiedere di argomentare...l’attenzione
ai processi!
L’analisi di difficoltà in verticale
Quinta primaria
Tipicamente dato anche in prima secondaria di
primo grado
Emerge una difficoltà di “dizionario”
Molti bambini, anche bravi solutori, hanno dichiarato “non abbiamo considerato i
numeri successivi a cento”, “il più vicino a cento” significa
che “non sono ancora arrivato a cento”. Risulta che
per i bambini “vicino a X” significa “prima di X, che non supera X, che lo deve
ancora raggiungere”
Esempio I
L’eventuale intervento didattico dell’insegnante sarà
diverso e avrà una diversa efficacia!
Molti bambini, anche bravi solutori, hanno dichiarato “non abbiamo considerato i numeri successivi a cento”, “il più vicino a
cento” significa che “non sono ancora arrivato a cento”. Risulta che per i bambini “vicino a X” significa “prima di X, che non supera X,
che lo deve ancora raggiungere”
È stato anche chiesto agli allievi di riformulare il quesito per cercare di evitare questa
difficoltà testuale e la proposta fatta dai bambini è
stata la seguente
“Quali di questi numeri, andando avanti e indietro sulla retta dei numeri, si
avvicina di più a 100”
Esempio II L’importanza del processo: le diverse “risposte giuste”
Dal dato quantitativo a quello qualitativo: “spiega
perché”
La lettura selettiva del testo
Dati numerici
Parola chiave
Risposta: 9+10=19!
Tanti modi di arrivare ad una risposta
Difficoltà a trasformare in dato numerico la
informazione sulle maestre
Difficoltà sul significato di “viaggiatori”, “posti a
sedere” e rapporto tra le due cose
Non vengono sommati i posti liberi perché i
viaggiatori sono coloro che stanno viaggiando
in quel momento
Tanti modi di arrivare ad una risposta
Difficoltà a trasformare in dato numerico la
informazione sulle maestre
Difficoltà sul significato di “viaggiatori”, “posti a
sedere” e rapporto tra le due cose
Oppure...
...i bambini usano la loro conoscenza enciclopedica
per rispondere 21 pur riuscendo benissimo a
trovare tutti i dati numerici
