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Relación de OrdenInecuaciones en R
Inecuaciones con Valor Absoluto
Sistemas de Inecuaciones Lineales
Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.
TIPOS DE INTERVALOS
INTERVALO CERRADOSi a y b son números reales tales que , se denomina intervalo cerrado al conjunto de todos los reales x para los cuales . (están incluidos los extremos a y b). Se denota por .
[𝒂 ,𝒃 ]={𝒙∈ℝ /𝒂≤ 𝒙≤𝒃 }
Tipos de intervalos
INTERVALO ABIERTOSi a y b son números reales tales que , se denomina intervalo abierto al conjunto de todos los reales x para los cuales . (No están incluidos los extremos a y b). Se denota por .
⟨𝒂 ,𝒃 ⟩= {𝒙∈ℝ /𝒂<𝒙<𝒃}
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA.Si a y b son números reales tales que , se denomina intervalo semiabierto por la izquierda al conjunto de todos los reales x para los cuales se denota por .
⟨𝒂 ,𝒃 ]= {𝒙∈ℝ /𝒂<𝒙≤𝒃 }
Tipos de intervalos
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA.Si a y b son números reales tales que , se denomina intervalo semiabierto por la derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales se denota por
[𝒂 ,𝒃 ⟩= {𝒙∈ℝ /𝒂≤ 𝒙<𝒃 }
Tipos de intervalos
INTERVALOS INFINITOSPara indicar a los conjuntos de números reales que se extienden indefinidamente por la derecha o por la izquierda de un número “a”, existen los llamados intervalos infinitos, que tienen la forma de:
¿Qué es una inecuación?
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que hay al menos una variable cuyo valor se desconoce, y sus miembros se relacionan por algunos de estos signos
< > ≤ ≥
La solución de una inecuación, es el conjunto de valores de la variable que la verifica, hay dos formas de expresarla
Una representación graficaUn intervalo
Representaciones en Intervalos
Intervalo Abierto: “Los extremos no pertenecen al Intervalo”. Ej:
Intervalo Cerrado: “Ambos extremos pertenecen al intervalos”. Ej:
Intervalo Finito: “Son los que tiene principio y fin”. Ej:
Intervalo Infinito: “Son los que tienen principio y no fin o viceversa” Ej
Para comenzar
Primero propiedad distributiva
Se agrupan los términos semejantes
Se grafica
Se halla el intervalo solución
Gráfica
Cuando en una inecuación se pasa multiplicando o dividiendo por un número negativo, se debe invertir el signo de la desigualdad
Veamos un ejemplo
Empecemos a analizar:
El denominador NUNCA puede ser cero
Además tenemos un cociente que es menor a cero, es decir siempre será negativo. Por eso es necesario recurrir a la regla de signos.
Será necesario plantear dos posibilidades
¿Cuál es el conjunto solución?
Ya tenemos la solución de las intersecciones, ahora falta unir estos resultados.
En este caso es una unión porque viene de un “o”, de modo que son validas cualquiera de las dos ramas en las que dividimos el planteo, por lo tanto debemos unir los resultados obtenidos en cada una
La solución final
Veamos otro ejemplo
Lo primero que tenemos que hacer es llevarlo a la “estructura” que posee el ejercicio anterior
Empecemos a analizar: El denominador NUNCA puede ser cero
Además tenemos un cociente que es mayor a cero, es decir siempre será positivo. Por eso es necesario recurrir a la regla de signos.
Será necesario plantear dos posibilidades
Ahora analicemos cual será el conjunto solución
La solución final será la UNION DE TODO (incluyendo x=-3)
Observen que al incluir x = -3 ponemos corchetes en el intervalo
de manera que este lo contenga
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
PROPIEDADES
1ra. x < a ; si y sólo si a > 0 y a < x < a
a a
x a ; si y sólo si a > 0 y a x a
a a
Ejemplo.- Analizar: x < 2
2 2
Ejemplo.- Analizar: x 5
5 5
Dado que 2 > 0 entonces: 2 < x < 2
Dado que 5>0 entonces: 5 x 5
Ejemplo.- Analizar: x > 2
Ejemplo.- Analizar: x 6
– 2 2
– 6 6
Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que:
x < (2) ó x > 2 x < -2 ó x > 2
x 6 ó x 6
Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que:
Ejemplo N°5 Resolver 104x
Resolución:
104x x – 4 < – 10 ó x – 4 > 10
x < – 6 ó x > 14
– 6 14
x – ; – 6 14;
Sistema de Inecuaciones con una Incógnita
Se Resuelve cada inecuación del sistema por separado, obteniéndose como solución de cada una de ellas un subconjunto de la recta real. La solución del sistemas la intersección de todos estos subconjuntos. Ejemplos:
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Ejemplo: 3 𝑥−2 𝑦>6
2. La recta divide al plano en dossemiplanos. Discutimos cuál de lossemiplanos es solución utilizandoun puntoy estudiando si verifica o No la inecuación
La solución será el semiplano
3. No se incluye la recta ya que no verifica la desigualdad.
1. Representamos gráficamente la función afín o lineal:Para ello hacemos una tabla de valores: 3 𝑥−2 𝑦=6
𝑥 0 2 −2𝑦 −3 0 −6