UFFUniversidade Federal Fluminense

Instituto de Matemática / Laboratório de Novas Tecnologias do Ensino - LANTE.

Curso: Pós-Graduação Lato Sensu - Especialização à distância em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática.

Trabalho Final de Curso – Práticas – Parte 2.

Informática Educativa: história das funções com a Web 2.0

Carmelita F. dos Santos RibeiroClaudio Teixeira Miguel

Helio Pinho GutterresJalline Berriel

Rafael Alves de Araújo

Orientadora: Alessandreia Marta de Oliveira

Campos dos Goytacazes, 19 de abril de 2011

Informática Educativa: história das funções com a Web 2.0

Este trabalho é destinado à alunos e professores do 1º ano do Ensino Médio.

Vemos e sentimos a necessidade de reavaliação contínua e mudanças nas práticas docentes para o ensino – aprendizagem de matemática, em particular, as que envolvem o tema funções. Propõe-se aqui uma reavaliação dos professores sobre suas práticas docentes atuais.

Seja pelas práticas tradicionais de alguns professores ou pela falta de recursos metodológicos convenientes, estudos apontam que a maioria dos alunos se mostra insatisfeita em relação à aprendizagem de matemática sobre o tema funções.

A Informática Educativa surge como uma alternativa atual e contém infinitos recursos que se aproximam da realidade vivida pelos alunos de hoje como, por exemplo, ferramentas virtuais de aprendizagem, softwares, ambientes virtuais de aprendizagem, Blogs (ferramentas da Web 2.0), etc. Todos estes recursos podem ser acrescidos e motivados pela contextualização da história da matemática, metodologia útil para fomentar o trabalho pautado num aspecto investigativo, aproximando o trabalho dos alunos aos contextos sociais e culturais .

Neste trabalho os alunos terão a oportunidade de aprender os temas Funções do 1º e 2º Graus de maneira dinâmica, interativa e colaborativa, usando softwares educativos de aprendizagem matemática e um blog. Espera-se que os alunos sejam capazes de construir os seus próprios saberes através da mediação dos professores, tornando-se cidadãos mais críticos e construtivos.

Objetivos:

• Ensinar funções do 1º e 2º graus por meio de ferramentas da Web 2.0, utlizando recursos dos softwares educativos, história da matemática e modelagem matemática.

Parte 2: Funções do 2º grau:

O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. Este conceito teve uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que o método analítico na definição de função (séculos XVI e XVII) veio revolucionar a Matemática.

O que você responderia se alguém lhe perguntasse: Qual é a medida do lado de um terreno quadrado em que a área menos o lado dá 870? Você sabe calcular isto, mas está em dúvidas?

Perguntas como estas foram feitas antigamente na mesopotâmia, uma dessas perguntas foi: “Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870?” (RPM 43, 2000, página 21).

Antigamente, os matemáticos não usavam símbologia e tudo era escrito e representado por extenso mesmo, conforme mostra a pergunta acima. Os métodos de resolução de problemas como estes também eram exaustivos e enormes. Vamos poder responder a estas perguntas em breve, mais adiante, de maneira bem mais simples.

Anteriormente, vimos como se comporta uma função do 1º grau, os seus gráficos lineares, enfim. Mas, será que existe outro tipo de função?

O Clube da Seleção Brasileira de Futebol dispõe de um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com x (metros) de largura.

a) Qual é a área A(x) do terreno limitado pela cerca? (Dica: Procure a lei que expressa A(x)).

b) Em particular, se o clube brasileiro necessitar de uma área cercada de 8056 m2, qual deve ser a largura da pista entre o campo e o muro?

Figura 2.1: Ilustração do problema do campo de futebol

Fonte: Livro Matemática Volume Único dos autores Iezzi, et al (1998)

Vamos responder a estas questões:

a) Chamando de x a distância entre o campo e a cerca e A(x) a sua área, teremos:

A(x) = (100 + 2x).(70 + 2x)

A(x) = 7000 + 200x + 140x + 4x²

A(x) = 4x² + 340x + 7000

b) Se a área total cercada for de 8056 m², teremos:

4x² + 340x + 7000 = 8056

4x² + 340X - 1056 = 0

x² + 85x – 264 = 0

Usando a fórmula de bhaskara e o método para resolver equações do 2º grau, temos:

Delta = 7225 + 1056 = 8281

x = (-85 +/- 91)/2

x = 3 m. A largura da pista entre o campo e a cerca será de 3 m.

Se quiséssemos variar a largura da cerca para outro valor, o que aconteceria com a área encontrada?

Façam suas anotações segundo observação na Figura 2.1.

Considere agora a área A(x) como uma função de variável A (chamaremos de y) dependente da variável x.

Usando o software geogebra, vamos construir o gráfico do modelo (y = 4x² + 340x + 7000) proposto e observar algumas variações da área:

O que vocês observam?

Qual é o formato do gráfico obtido, é linear ou não-linear?

Esta curva obtida recebe o nome de parábola!

Funções como estas estudadas por este tipo de modelo recebem o nome de Função do 2º Grau ou Função Quadrática. 

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a 0.

Portanto, o gráfico de uma função quadrática sempre será uma parábola.

Podemos visualizar uma parábola em um parque de diversões, simplesmente olhando para a montanha russa.

Sua representação gráfica é dada em torno de eixos:

Figura 2.2: Parábola

Neste caso diz-se parábola côncava para cima!

Discutir concavidade e valores do coeficiente a que acompanha a variável x.

Concavidade da parábola

Explicaremos esta parte através do exercício feito acima, por meio do geogebra.

Espera-se o seguinte entendimento:

Se a > 0, concavidade para cima;

Se a < 0, concavidade para baixo.

Exemplo:

Construa o gráfico da função que representa a área y de um terreno quadrado em relação ao seu lado x, isto é: y = x²:

Solução: Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

x y = f(x) = x²-2 4-1 10 01 12 43 9

Notem que os pontos: A e A’, B e B’, C e C’ são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Observação:

Notem que quando dizemos que x é o lado de um quadrado, queremos dizer que x é o tamanho do lado de quadrado de área x2. Logo, a raiz (lado que deu origem) de um quadrado de área x2 é x. Daí surgiu o termo raiz quadrada de um número! Explicar melhor por meio do quadro negro e giz, representando a raiz (lado de um quadrado) e desenhando o quadrado. Dar exemplos numéricos!

Diante desta observação, podemos entender porque a função que estudamos neste momento recebe o nome de função quadrática, pois esta se origina de uma equação quadrática, cujo maior grau é 2, por exemplo, x 2.

Não é nosso interesse no momento demonstrar todas as propriedades deste tipo de funções, mas vamos expor algumas delas e trabalhar com estas propriedades. Vejamos:

Coordenadas do vértice

O que você faria se lhe propusessem o seguinte problema: "A trajetória de uma bola, num chute a gol, descreve uma parábola. Supondo sua altura h , em metros, t segundos após o chute, seja dado por h = -t² + 6t". Determine:

a) em que instante a bolo atinge a altura máxima?

b) a altura máxima atingida pela bola.

Podemos responder estas perguntas rapidamente se usarmos o gráfico pelo geogebra e observarmos o vértice da parábola por meio das seguintes propriedades das coordenadas do vértice:

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por . Mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. Isto gera muito trabalho! Resumindo, teremos:

yvértice da parábola = = - (delta)/4a = -(b2 - 4ac)/4a.

Logo, as coordenadas do vértice V são Vvértice = (-b/2a, -(b2 - 4ac)/4a).

Bem, então, uma resposta para o problema acima seria:

A bola atinge a sua altura máxima no ponto de máximo da parábola V(tv, hv), onde:

tv = -b/2a = -6/2(-1) = 3s

hv = (b2 - 4ac)/4a = 36/4(-1) = 9m

Logo, a bola atinge a altura máxima de 9m em um tempo de 3s.

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula, o mesmo caso que acontecia com as funções do 1º grau, lembra?

y = f(x) = 0

a

bx

2

a4

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y = x² + 5x + 6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x² + 5x + 6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara:

Teremos:

x² + 5x + 6=0

Acharemos que x = -2 e x’ = -3.

O que nos importa agora é que quando a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e quando a < 0, a parábola está voltada para baixo.

Exemplo:

Um ônibus de 40 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa exigiu de cada passageiro R$ 20,00 mais R$2,00 por lugar vago. Qual o número de passageiros para que a rentabilidade da empresa seja máxima?

Resolver e verificar usando o geogebra! Algebricamente, temos:

Seja x = número de lugares ocupados;

y = lucro.

Como cada ocupante paga os seus 20 reais pelo lugar ocupado (20x) e também ainda cada ocupante paga mais 2 reais por um lugar não ocupado [2(40-x)]x, temos abaixo a lei que descreve o lucro:

y = 20x + [2(40-x)]x => y = 20x + [80-2x]x => y = 20x + 80x - 2x2 =>

(*) y = -2x2 + 100x (equação que descreve o lucro).

Esta equação descreve o movimento correspondente à uma curva parábola côncava para baixo. Logo, o lucro máximo será representado pelo yvétice avaliado pelo xvértice, onde x torna y máximo, temos as coordenadas do ponto máximo:

(xv, yv) = (-b/2a, -(b2 - 4ac)/4a).

Portanto, xv = (-100)/(-4), então 

xv = 25 (número de ocupantes para que o lucro seja máximo).

A saber, substituindo (25) em (*), temos y = yv = R$1250,00 (lucro máximo).

Para que valores de x (número de ocupantes), o lucro é zero ou não há lucro?

Nota: Quando a concavidade está voltada para cima (a > 0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a < 0), o vértice representa o valor máximo.

Verificações:

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de = b2 - 4ac = 0, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y = f(x) = x² + 2x + 1

x² + 2x+1 = 0

Assim, = b2 - 4ac = (2)² - 4.1.1 = 0.

Logo, x = x’= -b/2a = -1.

As coordenadas do vértice serão V = (-1,0).

Gráfico:

Quando o discriminante é maior que zero

Quando o valor de = b2 - 4ac > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. Como para estes pontos y = 0, logo estes pontos são as raízes ou zeros da função vistos anteriormente.

Exemplo: y = f(x) = x² + 4x + 3

x² + 4x + 3 = 0

Assim, = b2 - 4ac = (4)² - 4.1.3 = 16 – 12 = 4 > 0.

Logo, x = 1 e x’= 3.

Gráfico:

Quando o discriminante é maior que zero

Quando o valor de = b2 - 4ac < 0, a parábola não intercepta o eixo x. Neste caso não há raízes ou zeros da função, ou seja, não há valores reais que tornam y = 0.

Exemplo: y = f(x) = x² - x + 2

x² - x + 2 = 0

Assim, = b2 - 4ac = (-1)² - 4.1.2 = 1 – 8 = -7 < 0.

Gráfico:

Resumo de como esboçar o gráfico manualmente:

Para finalizarmos, vamos modelar o problema apresentado no início do nosso estudo: “Qual é o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870?” (RPM 43, 2000, página 21).

Um modelo para este problema será: x2 – x = 870, isto é, x2 – x – 870 = 0.

Isto quer dizer que para uma função do tipo y = x2 – x – 870, basta tomarmos o valor de y = 0 e para nossa felicidade, este tipo de equação já sabemos resolver:

Resolva você mesmo!

O valor de x positivo encontrado responde também a seguinte pergunta:

Qual é a medida do lado de um terreno quadrado em que a área menos o lado dá 870?

Desenhe o gráfico da função y = x2 – x – 870 com a ajuda do geogebra e também manualmente seguindo as seguintes etapas:

1ª etapa: Raízes ou zeros da função:Escreva aqui os valores de x encontrados;

2ª etapa: Coordenadas do vértice:Calcule as coordenadas do vértice e compare com o gráfico do geogebra;Portanto, V=(-2,1)

3ª etapa: Concavidade da parábolaComo a = 1 > 0, a concavidade estará voltada para cima.

Feito isso, esboce o gráfico!

“A sabedoria do homem faz brilhar a luz do seu rosto, e a dureza do seu rosto se muda” (Eclesiastes 8.1).

Referências Bibliográficas

AMSON, Glenn A. J. et al. Coleção Anglo - Livro 1 – Matemática: Álgebra 1 - Livros - textos, Ensino Médio. - São Paulo: Anglo, 1990 - 1991.

FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma Abordagem Histórica das Equações do Segundo Grau. Revista do Professor de Matemática 43 – 04. Santa Maria, RS, 2000.

IEZZI, Gelson; ET al. Matemática: volume único. – São Paulo: Atual, 1997.

KATZ, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. Reading, Massachusetts ; Menlo Park, California; New York; Harlow, England Don Mills, Ontario; Sydney; Mexico City; Madrid ; Amsterdam . Addison – Wesley, Segunda Edição, 1998.

TEIXEIRA, Margarida P. Funções na História. Disponível em: <http://matematicanacidadela.blogspot.com/2007/11/funes-na-histria.html>. Acesso: 18 jan. 2011.

VARGAS, Ghisiane Spinelli. Queda dos Corpos. Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20041/Ghisiane/queda_dos_corpos.htm>. Acesso: 19 jan. 2011.