Upload
bart-habraken
View
160
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Bespreken: §6.1: 23, 29 en 51, lesuur 1, les 6
Welkom terug!!!
Bespreken huiswerkopgaven
§6.1: 23 (blz. 427)
Gegeven zijn de formules y = cos(x), y = sin (2x), x = 0 en x = . Teken de formules in één figuur en bereken de ingesloten oppervlakte.
π2
cos(x) = sin(2x)
y = cos(x) y = sin(2x)x = π
2x = 0
cos(x) = 2sin(x)cos(x)cos(x)− 2sin(x)cos(x) = 0cos(x)(1− 2sin(x)) = 0cos(x) = 0∨ sin(x) = 1
2x = 1
2π + k ⋅π ∨ x = 16π + k ⋅2π ∨ x = 5
6π + k ⋅2π
cos(x)− (sin(2x))dx0
16π
∫ + sin(2x)− (cos(x))dx =16π
12π
∫
§6.1: 23 (blz. 427)
cos(x)− (sin(2x))dx0
16π
∫ + sin(2x)− (cos(x))dx =16π
12π
∫
sin(x)+ 12 cos(2x)[ ]0
16π + − 1
2 cos(2x)− sin(x)[ ]16π
12π =
sin( 16π )+ 12 cos(13π )− (sin(0)+ 1
2 cos(0))+ − 12 cos(π )− sin( 12π )− (− 1
2 cos(13π )− sin( 16π )) =
12 + 1
4 − 0 − 12 + 1
2 −1+ 14 + 1
2 = 12
§6.1: 29 (blz. 414)
Bereken met behulp van integralen de oppervlakte van de driehoek waarvan de hoekpunten de coördinaten (0,0), (3,1) en (1,2) hebben.
Bepaal eerst de formules.
y = 2x
y = 13 x
y = 52 − 1
2 x
2x − (13 x)dx0
1
∫ + 52 − 1
2 x − (13 x)dx1
3
∫ =
53 xdx
0
1
∫ + 52 − 5
6 xdx1
3
∫ =
56 x
2⎡⎣ ⎤⎦01+ 5
2 x − 512 x
2⎡⎣ ⎤⎦13= 5
6 − 0 + 152 − 45
12 − 52 + 5
12 = 52
§6.1: 51 (blz. 428)
Vind de waarde b, zodat y = b de oppervlakte tussen y = x2 en
y = 4 verdeeld wordt in twee gelijke delen.
Vanwege symmetrie:
x2 = 4x = −2∨ x = 2
y = x2
y = 4
4 − x20
2
∫ dx =
23 x x⎡⎣ ⎤⎦0
4=x dx
0
4
∫ = 23 ⋅4 4 − 0 = 16
3
§6.1: 51 (blz. 428)
y = x2
y = 4x dx
0
b
∫ = 12 ⋅ 163
23 b b = 8
3
b b = 4b3 = 16
b = 163
lesuur 2, les 6
§6.1 met een (veel) moeilijkere functie…Extra oefening
Voorbeeld 1
De functies , en sluiten een oppervlakte A in.
Bereken de oppervlakte als je weet dat f en h elkaar snijden in x = 1 en f en g elkaar snijden in x ≈ 1,9.Rond je eindantwoord af op één decimaal.
f (x) = x ⋅22x2
− 2 g(x) = 2−2x+12 h(x) = 2
Voorbeeld 1
Dus:
2−2x+12 = 2−2x +12 = 1−2x = −11x = 11
2
A ≈ x ⋅22x2
− 2 − 2dx1
1,9
∫ + 2−2x+12 − 2dx1,9
5,5
∫
Voorbeeld 1
stel: u = x2, dan: dudx
= 2x, dus: dx = du2x
x ⋅22x2
− 2 − 2dx1
1,9
∫ + 2−2x+12 − 2dx1,9
5,5
∫ =
x ⋅4 x2
− 4dx1
1,9
∫ + 4− x ⋅46 − 2dx1,9
5,5
∫ =
x ⋅4 x2
dx1
1,9
∫ − 4dx1
1,9
∫ + 4096 4− x dx1,9
5,5
∫ − 2dx1,9
5,5
∫ =
12 4u du
1
3,61
∫ − 4dx1
1,9
∫ + 4096 4− x dx1,9
5,5
∫ − 2dx1,9
5,5
∫ =
Voorbeeld 1
12 4u du
1
3,61
∫ − 4dx1
1,9
∫ + 4096 4− x dx1,9
5,5
∫ − 2dx1,9
5,5
∫ =
12
4u
ln(4)⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1
3,61
− 4x[ ]11,9 + 4096 −4− x
ln(4)⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥1,9
5,5
− 2x[ ]1,95,5 =
12 107,54...− 2,88...( )− (7,6 − 4)+ 4096(−0,000352...− −10,047...)− (11− 3,8) =
52,32...− 3,6 + 210,68...− 7,2 ≈ 252,2
lesuur 2, 3, les 6
§6.2 VolumesChapter 6 Applications of Integration
Als we een gedeelte van een grafiek om een as wentelen krijgen we een drie dimensionaal figuur.
Hiernaast wentelde we een sinusoïde om de y-as. Wij gaan nu beginnen met een functie om de x-as te wentelen.
Volumes
Gegeven is de lijn y = 2 op het interval [1, 5].
Wanneer we deze lijn om de x-as gaan wentelen krijgen we een cilinder.
De inhoud van de cilinder is gelijk aan:
Waar zien we die y = 2 terug in deformule?
Volumes
Icilinder = π ⋅r2 ⋅h = π ⋅22 ⋅4 = 16π
y = 2
y
x510
Als we van een omwentelingslichaam L de inhoud willen berekenen, dan gaan we eerst de oppervlakte onder de functie bepalen.
Jullie weten dat deze oppervlakte eigenlijk uit oneindig veel rechthoekjes bestaat.
Als we deze rechthoekjes nu om de x-as wentelen krijgen we oneindig veel kleine cilinders.
Volumes
Volumes
Deze cilinders hebben een straal van f(xa) en een hoogte van Δx.
De formule van de inhoud van één cilinder is: .
Ofwel nu:
De totale inhoud L van hetomwentelingslichaam is te benaderen met een Riemannsom.
Icilinder = π ⋅r2 ⋅h
Icilinder = π ⋅( f (xa ))2 ⋅ Δx
Volumes
Die Riemannsom is:
Echter willen we deze inhoud ook exact kunnen berekenen en daarvoor laten we Δx naar 0 gaan:
Maar dat is een integraal:
I(L) ≈ π ⋅( f (xk ))2 ⋅ Δx
k=1
n
∑
I(L) = limΔx→0
π ⋅( f (xk ))2 ⋅ Δx
k=1
n
∑
I(L) = π ⋅( f (x))2a
b
∫ dx
Voorbeeld 2
Het vlakdeel V dat ingesloten wordt door de lijnen x = 1, x = 3, de x-as en de functie , wordt om de x-as gewenteld.
Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam L.
f (x) = − 12 x
2 + 3x − 2
Voorbeeld 2
f (x) = − 12 x
2 + 3x − 2
π ⋅(− 12 x
2 + 3x − 2)2 dx =1
3
∫
π 14 x
4 − 3x3 +11x2 −12x + 4dx =1
3
∫π 1
20 x5 − 3
4 x4 + 11
3 x3 − 6x2 + 4x⎡⎣ ⎤⎦1
3=
π 425 − 29
30( ) = 22330 π
Volumes
Op deze manier kunnen we ook de inhoudsfunctie van figuren met een ’ronde’ vorm bewijzen.
Gegeven is de lijn y = ax op het interval [0, h].
Als we deze formule om de x-as gaan wentelen, dan krijgen we een kegel.
De inhoud hiervan berekenen we door de volgende integraal op te lossen:
y = axy
xh
Ikegel = π ⋅(y)20
h
∫ dx = π ⋅(ax)20
h
∫ dx
Volumes
y = axy
xh
Ikegel = π ⋅(y)20
h
∫ dx = π ⋅(ax)20
h
∫ dx
Ikegel = πa2x20
h
∫ dx
Ikegel = 13πa
2x3⎡⎣ ⎤⎦0h
Ikegel = 13πa
2h3 − 13πa
2 03 = 13πa
2h3
r = ah dus r2 = a2h2
Ikegel = 13πa
2h2h = 13πr
2h
Voorbeeld 3
Gegeven is een bol met straal 10. Bepaal met behulp van een middensom en Δx = 4 de inhoud van de bol in één decimaal.
De formule van de cirkel is: dus
Ibol ≈ π ⋅ f (−10 + 12 Δx + i ⋅ Δx)
2 ⋅ Δxi=0
4
∑x2 + y2 = 100
Ibol ≈ π ⋅ f (−10 + 2 + 4i)2 ⋅4i=0
4
∑Ibol ≈ 4π ⋅( f (−8)2 + f (−4)2 + f (0)2 + f (4)2 + f (8)2 )
y = 100 − x2
Ibol ≈ 4π ⋅(36 + 84 +100 + 84 + 36) = 1360π ≈ 4272,6
Voorbeeld 4
Een groot cognacglas heeft bij benadering de vorm van een bol met een diameter van 10 cm. Een goed gevuld cognacglas dient zo gevuld te worden dat wanneer je het op zijn kant legt de cognac er net niet uit mag stromen.
Hoeveel cognac zit er exact in het glas?
Voorbeeld 4
De cognac staat 2 cm hoog.
We kunnen dus voor ons gemak de bol draaien en het stuk van x = 3 tot x = 5 wentelen om de x-as.x2 + y2 = 25y = 25 − x2
5-53
10 − 62
=
π (25 − x2 )dx3
5
∫ = π 25x − 13 x
3⎡⎣ ⎤⎦35= π 125 − 125
3 − (75 − 9)( ) = 523 π
Even herhalen
Als je de oppervlakte S tussen twee functies f en g moet berekenen op een interval [a, b], waarbij f en g continu zijn en f(x) ≧ g(x) op het hele interval, dan geldt:
(Het is dus altijd de ’bovenste’ functie minus de ’onderste’ functie.)
(Tip: maak altijd een schets voor jezelf!)
S = f (x)− g(x)dxa
b
∫ = f (x)dxa
b
∫ − g(x)dxa
b
∫
Volumes
Ook voor ruimtefiguren geldt dit zo. Bij wentelen om de x-as zul je altijd de inhoud van de grootste figuur (de bovenste / de buitenste) de inhoud van de kleinste figuur (de onderste / de binnenste) afhalen. I = π (( f (x))2 − (g(x))2 )dx
a
b
∫ = π ( f (x))2 dxa
b
∫ − π (g(x))2 dxa
b
∫
Voorbeeld 5
Gegeven is de cirkel en de lijn y = 2.
Bereken exact de inhoud van het lichaam dat ontstaat wanneer we het deel van de cirkel dat boven de lijn y = 2 ligt omwentelen om de x-as.
Dus de grenzen van de integraal zijn -2 en 2.
x2 + 22 = 8 dus x2 = 4 dus x = −2∨ x = 2
x2 + y2 = 8
43
y
x
0
y = 2
x2 + y2 = 8π 8 − x2 − (22 )( )dx =
−2
2
∫ π 4 − x2 dx =−2
2
∫π 4x − 1
3 x3⎡⎣ ⎤⎦−2
2= π (8 − 8
3 − (−8 − − 83 )) = 32
3 π
Wentelen om de y-as kan door in plaats van naar x te integreren naar y te integreren:
Of je spiegelt de functie eerst in de lijn y = x en integreert dan gewoon naar x.
Wentelen om de y-as
I(L) = π x2 dy∫
Wanneer een parabool om de y-as wordt gewenteld ontstaat een paraboloïde.
Gegeven is op het interval [0, 2]. Wentel dit deel van de grafiek van f om de y-as en bepaal de inhoud van dit deel van de paraboloïde.
Wentelen om de y-as
f (x) = 12x2
f (2) = 12 ⋅22 = 48y = 12x2
f (0) = 12 ⋅02 = 0
x2 = y12 0
x2
y
48
Wentelen om de y-as
0x
2
y
48
x2 = y12
I(paraboloïde) = π x2 dya
b
∫ = π y12dy
0
48
∫ = π y2
24⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
48
= π ⋅482
24− π ⋅02
24= 96π
Wentelen om de y-as
0
x2
y48
0x
2
y
48
0
y2
x48
Gegeven is op het interval [0, 2]. Wentel dit deel van de grafiek van f om de y-as en bepaal de inhoud van dit deel van de paraboloïde.
f (x) = 12x2
y = 12x2 x = 12y2 y2 = x12
y = x12
= f *(x)
I(paraboloïde) = π ( f *(x))2 dxa
b
∫
= π x12dx
0
48
∫ =π x2
24⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥0
48
= π ⋅482
24− π ⋅02
24= 96π
f *(48) = 4812
= 2f *(0) = 012
= 0
Voorbeeld 6
Gegeven zijn de functies en Wentel de oppervlakte die de functies insluiten om de y-as.
f (x) = x4 g(x) = x
sin(x) = cos(x)+1
2
f (x) =
g(x) = x
y = x4
x = y4
y = x4
π (x2 − x8 )dx =0
1
∫ π 13 x
3 − 19 x
9⎡⎣ ⎤⎦01=
π 13 − 1
9( ) = 29π
sin(x)=cos(x)+1
2
y = x4
y = x
Wanneer de figuur geen ronde vormen heeft, dan kunnen we niet meer wentelen met de eerder genoemde integraal. Het opdelen in oneindig veel cilinders heeft dan geen zin.
Maar hoe berekenen we dan met behulp van een integraal de inhoud van deze piramide?
Volumes
We gaan nu de formule nog algemener maken.
We hadden:
Waarin de formule van een cirkel te zien is. Laten we deze oppervlakte eens A(x) noemen, dan krijgen we:
Volumes
I(L) = π ⋅( f (x))2a
b
∫ dx
I(L) = A(x)dxa
b
∫
Wat betekent dat voor onze piramide als we het assenstelsel zo centreren dat de top in de oorsprong ligt en de ’hoogte’ van de piramide h is.
Nu moeten we de oppervlakte van A(x) gaan berekenen.
En dat is heel lastig…
Volumes
x
A(x) is de oppervlakte op een bepaald punt x.
Laten we eens een dwarsdoorsnede maken.
Vanwege gelijkvormigheid geldt:
dus
De oppervlakte op punt x is:
Volumes
x-as
y-as
s
h
0x
12 a 3s
12 a 3
= xh
A(x) = 12 ⋅ 2s3 ⋅ s =
s2
3
s = x ⋅ 12 a 3h
=
x ⋅ 12 a 3h
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
3= x2 ⋅a2 ⋅3h2 ⋅4 3
= a2 3x2
4h2
Volumes
A(x) = a2 3x2
4h2
I piramide = A(x)dxa
b
∫
I piramide =a2 3x2
4h2dx
0
h
∫ = a2 34h2
x2 dx0
h
∫ = a2 34h2
13 x
3⎡⎣ ⎤⎦0h
= a2 34h2
⋅ 13 h3 =
13 h3a2 34h2
= 112 a
2 3h
Gegeven is een ruimtefiguur waarvan het grondvlak een cirkel is met straal 4. De hoogte op een bepaald punt x is gelijk aan de lengte van de doorsnede van de cirkel op dat punt. Dat bekent dat loodrecht op het grondvlak allemaal vierkanten ’staan’.
Bereken met behulp van integreren de inhoud van het ruimtefiguur.
Tip 1: plaatje!
Tip 2: hoe breed is die doorsnede s?
Voorbeeld 7
Vanuit het bovenaanzicht zien we:
De basis van ieder vierkant is gelijk aan de doorsnede van de cirkel, dus:
Voorbeeld 7
s = 16 − x2 − − 16 − x2 = 2 16 − x2
y = 16 − x2
y = − 16 − x2
s
A(x) = s2 = 2 16 − x2( )2= 4 16 − x2( ) = 64 − 4x2
Ilichaam = A(x)dxa
b
∫ = 64 − 4x2 dx−4
4
∫= 64x − 4
3 x3⎡⎣ ⎤⎦−4
4= 512
3 − − 5123 = 1024
3
Einde les 6
Huiswerk: §6.2§6.2: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 21, 47, 49 en 51