Universidad Fermín ToroFacultad de IngenieríaEscuela de Ingeniería

Integral Definida

Hasney GonzálezC.I.: 25.178.022

Prof.: Domingo MendezSección: SAIA-A

Integral definida: dada una función f(x) y un intervalo [a,b] la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica f(x), el eje de las abscisas y las rectas verticales x=a y x=b. Cabe destacar que otro de concepto de la integral definida es que la función F que este limitada desde a hasta b por donde “a” represente el límite inferior y “b” el límite superior de la integral.

 Teorema fundamental del cálculo:Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y f(x) es una antiderivada de f(a). Entonces:  = F(x) ]b

a = f(b) – f(a)

Usos de la integral indefinida en la ingenieríaEjemplo 1: En el odómetro del carro integra la velocidad del carro y obtiene entonces la distancia recorrida x= int(0,t, v dt).Ejemplo 2: En el campo de las construcciones, los arquitectos, ingenieros y profesionales de estas áreas usualmente emplean la integral para obtener el área de superficies irregulares. Ejemplo 3: También la utilizan los administradores cuando trabajan con los costos de una empresa. Al tener el costo marginal de producción de un producto, pueden obtener la fórmula de costo total a través de integrales.Notación sigma:Definición: dado un conjunto de los números reales {a1,a2,a3,….an}. se define la suma o sumatoria como:

 K: llama índice de la sumatoria y recorre los enteros desde “1” hasta “n”.La letra griega sigma simboliza la sumatoria.Ejemplo:Exprese cada suma en notación sigma: (a)  53 + 63 + 73+ 83 + 93 + 103

Solución: 53 + 63 + 73+ 83 + 93 + 103 =

Propiedades de la sumatoria: Dados dos conjuntos de números reales {a1,a2,a3,….an} y {b1,b2,b3,…..bn}Las propiedades son la asociativa y conmutativa.Si una suma contiene demasiados términos, no resulta práctico escribirlos a todos individualmente, así que se usan tres puntos suspensivos para indicar los términos que faltan. Ejemplo:La suma de los primeros naturales del 1 al 50 es:

Encontrar el área de la región plana mediante el desarrollo de suma inferior y superiorLa suma superior e inferior es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático Alemán Bernhard Riemann.La suma superior o inferior o suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.Ejemplo:una función donde D es un subconjunto de los números reales I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.•Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2... < xn = b

Crean una partición de IP = {[x0, x1), [x1, x2),... [xn-1, xn]}Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como S =   Donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Ejemplo

Establecer integral definida de una función estableciendo como límite de la suma Riemann

Una función f acotada definida en un intervalo [a, b] se dice que es Riemann integrable en [a, b] si existe un número I en los reales tal que, para todo número real positivo ε existe una δ positiva tal que si P es una partición de [a, b] con ||P|| < δ y S(P,f) es cualquier suma de Riemann entonces |S(P, f) - I| < ε.

Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los tk como alguno de los puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor tk que tomáramos en cada intervalo [xk - 1, xk] la suma de Riemann menos algún número real I es menor en valor absoluto que cualquier ε que hubiéramos tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrable según Riemann en [a, b] y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como por ejemplo las continuas, podemos demostrar que toda función que es continua en un intervalo [a, b], es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral, por supuesto si ya estamos familiarizados con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función F(x) (denominada "una primitiva" de f(x)) cuya derivada nos dé nuestra función original f(x) y entonces el valor de la integral es F(b)-F(a). No siempre podemos hallar una función primitiva de la que estamos integrando, en esos casos se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación.

Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de Riemann En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un intervalo cerrado [a,b] (igual que en los apartados anteriores).Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables. El siguiente teorema establece que una función es integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de RiemannSea f una función definida y acotada en [a,b] y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en [a,b]. Entonces f (con el conjunto de las funciones Riemann integrables) en [a,b] si, y solo si, D tiene medida cero

De este modo, cualquier función continua o con un conjunto numerable de discontinuidades es integrable.Como ejemplo de función con un conjunto no numerable de discontinuidades e integrable tenemos por ejemplo:

Siendo C el conjunto de Cantor

Ejemplo

Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas geométricamente a) Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

b) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

c) La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

d) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad).

e) Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

Aplicando el T.V.M para integrales

Aplicando el teorema fundamental del cálculo mediante los métodos de sustitución y cabio de variable