GÖSTERİYE BAŞLA

Aa b

∫=b

adxxfA )( ∫−=

b

adxxfA )(

a bA

a b

A1

A2

∫ ∫ −+=b

a

c

bdxxfdxxfA )()(

Rbaf →],[: tanımlı ve bu aralıkta sürekli olmak koşuluyla;

∫b

a

dxxf )(İntegralinin değerine x=a dan x=b ye kadar f(x) eğrisi ve x ekseni arasındaki alan denir.

TANIM:

f(x) in grafiği y-ekseni y=m ve y=n doğrularıyla sınırlı bölgenin alanı

m

n

A

∫=n

mxdyA

NOT:

∫−6

3)( dxxfa) Yukarıda verilen f(x) fonksiyonuna göre

integralinin değeri nedir? Denildiğinde alanların cebirsel toplamı yapılır.

∫−=+−=

6

3152059( dxxf

b)|-3,6| aralığında f(x) ve x ekseni arasındaki taralı alan nedir? denildiğinde ise mutlak değerce toplamı yapılır.

26

325205)( brdxxf =+−=∫−

-3 63br2

20br2

ÖRNEK1 :x+2 doğrusu x=-1, x=2 doğruları ve x-ekseni arasında kalan alankaç br2dir?

ÇÖZÜM: meydana gelen şekil yamuk olup integralsiz de çözülebilir.

22

2

1

2

1

2

1

2

2

152

2

12*2

2

2

22

)2()(

br

xx

dxxdxxfA

=

−−

+=

+=+== ∫ ∫− −−

y=x+2

x

-2

2

-1 2

y

ÖRNEK2: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz.

ÇÖZÜM:

-2 2

2

( ) ( )

2

33

2

2

2

2

32

3

16

3

44

3

44

6

22*2

6

22*2

3*

2

12

22

br

xxdx

xA

=−+−=

−−−−

−=

−=

−=

−−∫

Şekillerde görüldüğü gibi taralı alan;

[ ] dirdxxgxfAb

a')()(∫ −=

a b

f(x)

g(x)

1)f(x)

g(x)

a b

g(x)

f(x)

g(x)a

b

f(x)

2) İki eğri arasında kalan alan şekildeki gibi ise

f(x)

a b c

g(x)

∫ −=c

adxxgxfA )()(

[ ] [ ]∫ ∫ −+−=b

a

c

bdxxgxfdxxfxg )()()()(

ÖRNEK3: y=x2 eğrisi ile y=x+2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?

ÇÖZÜM: Önce kesim noktaları bulunup, grafik çizilir.

y=x2 , y=x+2

x2=x+2

x2-x-2=0

(x+1) (x+2)=0

x=-1 , x=2

y=x+2

y=x2

x

-2

2

2

-1

y

[ ]∫ −=b

adendxxgxfA ')()(

2

2

1

2

1

322

2

9

2

15

3

1

3

8

2

126

3

12

2

1

3

842

32

2)2(

br

xx

xdxxxA

=−=

−−−+=

+−−

−+=

−+=−+=−−∫

ÖRNEK4: y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?

ÇÖZÜM: y=x-6

y2=x

3

-2x

yy2=y+6

y2-y-6=0

(y+2) (y-3)=0

y=-2 , y=3

Şekilden de anlaşılacağı gibi y ekseni arasında kalan alanı bulmalıyız.

( )

dirbr

yy

ydyyyA

'6

125

6

1119

3

8

2

919

3

8109

2

9

3

812

2

4

3

2718

2

9

36

26

2

3

2

3

2

322

=+=−+=

−++=

+−−

−+=

−+=−+=−−∫

ÖRNEK5: f(x)=x2-x, g(x)=3x-x2 eğrileri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.

ÇÖZÜM: iki eğriyi ortak çözüp integral sınırlarını bulalım.

f(x)=g(x) x2-x=3x-x2 ise 2x2-4x=0 x=0, x=2 dir.

[ ] ( )∫ ∫ +−−=−=2

0

2

0

223)()( dxxxxxdxxfxgA

() ∫− = − =2

0

2

0

3 22

32

2

42 4

x xdx x x A

.'3

8

3

1680

3

8*24*2 2 dirbr=−=−

−=

ÖRNEK6: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki

gibidir. Buna göre; ve

ise

değeri nedir?

∫ =c

adxxf 10)(

∫ =c

adxxf 18)( ∫

c

bindxxf ')(

a bc

f(x)

ÇÖZÜM:

ise üstteki pozitif alan ile alttaki negatif alanın toplamıdır.

∫ =c

adxxf 18)( şekildeki taralı alanların toplamıdır.

∫ =c

adxxf 10)(

∫ =b

aAdxxf )( ∫ =

c

bBdxxf )( (B<0) dersek,

∫∫

=+=

=−=c

a

c

a

BAdxxf

BAdxxf

10)(

18)(

4

14

10

18

−==

=+=−

B

A

BA

BA

∫ −=c

bdxxf 4)(

Yani;

bulunur.

ÖRNEK7: Grafiği verilen f(x) fonksiyonu,

x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan taralı

alan kaç br2dir?

y=x2+2x

2-2

x

y

( ) ( ) ( )

2

2

0

23

0

2

23

2

2

2

0

20

2

22

2

2 21

83

24

3

20

3

404

3

84

3

80

33

222

)(

br

xx

xx

A

dxxxdxxxdxxx

AAdxxf

==+=

−

++

+−−=

++

+−=

+++−=+

+=

−

− −

−

∫ ∫∫∫

ÇÖZÜM:

Y=f(x) denklemi ile temsil edilen eğrinin [a,b] aralığına ait parçanın Ox ekseni etrafından döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmi :

∫∫ ==b

a

b

a

x dxydxxfV 22)( ππ

x

y=f(x)y

ba

1.

2.

Aynı şekilde y=f(x) denklemi ile temsil edilen [c,d] aralığına ait parçanın Oy ekseni etrafında döndürülmesi ile meydana getirilen cismin hacmi:

∫ ∫==c

c

d

c

y dyxdyyfV 22)( ππ

d

a b

c

x

y

y=f(x)

f(a)=c

f(b)=d

3.

ba

y

x

f(x)

g(x) İki eğri arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında 360 derece döndürülmesinden elde edilen şeklin hacmi:

∫ −=b

a

x dxxgxfV ])()([ 22π

Örnek 1:y=x2 eğrisi ile x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür?

3

2

0

5

2

0

4

2

0

2

5

32

5

br

x

dxx

dxyVx

π

π

π

π

=

=

=

=

∫

∫

dür.

x=2

x

y

y=x2

Çözüm:

Örnek 2: y=ex eğrisi ve x=1 doğrusu ve eksenler arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür?

Çözüm: y=ex

1 x

y

( )

( ) 32021

0

2

1

0

2

21

0

1

0

2

12222

breeee

dxe

dxe

dxyV

x

x

x

X

−=−==

=

=

=

∫∫

∫

ππππ

π

π

π

Örnek3:

Çözüm:

y=cosx eğrisinin x=0, x=л doğruları ve x ekseni arasında kalan alanın yine ox ekseni etrafında döndürülmesinden meydana gelen cismin hacmi kaç br3’tür?

y=cosx

π /2 π0

y

x

0 ve π/2arasındaki alan, π/2 ile π arasında kalan alana eşit olduğundan x ekseni etrafında dönmesinden oluşacak hacimlerde eşit olacağından;

( )∫ ∫

∫∫+=+=

==

2

0

2

0

2

0

22

0

2

12cos2

12cos2

cos22

π π

ππ

ππ

ππ

dxxdxx

xdxdxyVx

( )

32

20

22

022

1*

22sin

22

1*2sin

br

x

πππ

ππππππ

==

−

+=

+=

Örnek4:

Çözüm:

f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür?

Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir.

Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur.

-3/2 3/2x

y f(x)=-2x*2/x4 =-4/x3

m=f-1(x)=-4

x=1 için f(1)=2

A(1,2)

Teğetin denklemi:

y-y1=m(x-x1)

y-2=-4(x-1)

y=-4x+6

1. Yol: Şekil konidir. Koninin hacminden;

3

2

2

2

9

3*4

6*9*

3

6*23

*

3

**br

hrV

ππππ ==

==

2.Yol:

( )

( ) ( )3

3323

6

0

23

6

0

26

0

6

0

22

2

9

16

72*

667216

06*366*63

6

16

362

12

316

3612164

6

br

yyy

dyyydyy

dyxVy

ππ

ππ

π

πππ

==

+−=−

+−=

+−=

+−=

−−== ∫∫ ∫

Örnek5: İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz.

Çözüm: Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım.

A(0,r)

B(h,0)

y

x

A (0 , r) = (x1 , y1) , B = (h , 0) = (x2 , y2)

(x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1)

(x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r)

-x*r = h*(y-r) ise y=r-(x*r)/h

Buna göre;

( )

32

222

3

2

22

22

0

3

2

2222

0 2

2222

0

2

3

**

3

03

**

3*

2*

2*

***2

*

brhr

V

hrhrhr

h

h

rh

h

rhr

x

h

rx

h

rxr

dxh

rx

h

rxr

dxh

rxrV

x

h

h

h

x

π

π

π

π

π

π

=

+−=

−

+−=

+−=

+−=

−=

∫

∫

1 ) y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

E) 3/2 A ) 16/3 B) 8/3 C ) 4/3 D) 3

ÇÖZÜM: A=A1+A2

y=x2-2x

y

x

32

( ) ( )

2

3

2

232

0

23

2

0

3

2

22

3

8

3

40

3

4

43

89

3

2704

3

8

22

322

3

22

br

xxxx

dxxxdxxxA

=++=

−−

−+

−

−−=

−+

−−=

−+−−= ∫ ∫

CEVAP B

2) y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

E ) A ) 4 B) C ) D ) 2 3 43 43

4

43

ÇÖZÜM:

-1

y=3

y=x3-1

( )

( )

233 4

3 43 4

3

13 4

4

3

1

3

1

32

23

3

1

3

1

3

434*4

3

)11(134

3

14

3

43

33*

*31

1

br

yt

dttdtttA

dydttyt

dyyxdyA

==

+−−

+=

+==

==

=⇒+=

+==

−

− −

− −

∫ ∫

∫ ∫

CEVAP D

3) y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin alanı kaç br2’dir?

E) 5/2 A ) 1/2 B) 1 C ) 3/2 D) 2

e1

y=lnx

y

x

( ) ( )2

1

1

110)(

11ln*1ln*

ln*

**lnln

bree

eee

xxx

x

dxxxxxdxA

e

e

=+−−=−−−=

−=

−== ∫∫

xu ln= dxdv = xv =x

dxdu =∫=

exdxA

1ln

CEVAP B

ÇÖZÜM:

4) y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir?

E) 8/3 A ) 11/12 B) 5/6 C ) 4/3 D) 1/2

ÇÖZÜM:

-11

1

y=x2

y=2-x2

y=x2

y=2-x2

x2=2-x2

2x2=2 ise x2=1

x=1, x=-1

( )

( )

( ) ( )

2

33

1

1

1

1

32

1

1

221

1 21

3

8

3

4

3

4

3

4

3

4

3

22

3

22

3

1*21*2

3

1*21*2

32222

2)(

br

xxdxx

dxxxdxyyA

=+=

−−=

+−−−=

−−−−

−=

−=−=

−−=−=

−−

−−

∫

∫∫

CEVAP E

5 ) f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve

f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir?

E) (e-2)/2 A ) 2 B) 1 C ) e D) e/2

ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur.

f(x) = lnx A(e,1)

f´(x)=1/x ise m=1/e dir

y-y1=m(x-x1)

y-1=1/e(x-e)

y=x/e-1+1 y=x/e

T

y=lnx

01 e

1

2

21

2

1ln*ln

21**

2

1

1 1

−=−=

=−==

==

∫ee

A

xxxxdxS

eeA

e e

üçgen

CEVAP E

6 ) f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

E) π A ) π/15 B) 2π/15 C ) 1/15 D) 15/πA ) π/15 B) 2π/15 C ) 1/15 D) 15/π

ÇÖZÜM: f(x) =g(x) ⇒ x2=x ⇒ x=0 veya x=1

( ) ( )[ ]( )

3

1

0

53

1

0

42

1

0

22

15

2

5

1

3

1

5

1

3

1

*

br

xx

dxxx

dxxfxgV

ππ

π

π

π

=

−=

−=

−=

−=

∫∫

CEVAP B

1

f(x) =x2

g(x) = x

7 ) y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy eksen etrafında 360° döndürülmesi ile elde edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.

E) π/3 br3 A ) 2π br3 B) 3/2π br3 C ) π br3 D) π/2 br3

2 y=2

y=√ x

ÇÖZÜM: y = x2 ⇒ x = √y (x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:

32

0

2

2

0

22

0

2

4

2

****

bry

dyydyyV

ππ

ππ

==

== ∫∫

CEVAP A

8 ) x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?

E) π/2 br3 A ) 32/2π br3 B) 32/3π br3 C ) 16π /2br3 D) 5π/6 br3

3

1

5y=(√4-x2)+3

-2 2

ÇÖZÜM: M(0,3) r=2

Oluşacak şekil küre olduğundan

Kürenin hacmi ile de çözülebilir.

Vy=4/3π br3 =4/3π*8

32/3π br3

CEVAP B

9 ) y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmi kaç br3’tür?

E) π/256 br3 A ) 256/4π br3B) 128/5π br3C ) 64π /2br3 D) 256π/5 br3

ÇÖZÜM: x2=y x2=4 x=2 , x=-2

y2=x2

y1=4

-2 2

( )( ) 32

2

4

2

2

22

21

5

25616*

*

brdxx

dxyyVx

∫∫

−

−

=−=

−=

ππ

π

CEVAP D

İLK SLAYT