Grupos topologicos y grupos de Lie

Gema R. Quintana Portilla

16 de enero de 2007

Indice

Indice 1

1. Introduccion 2

2. Grupos topologicos 2

3. Grupos de Lie 4

4. Ejemplos 54.1. El grupo aditivo de los numeros reales: (R, +,Tu) . . . . . . . . . 54.2. El grupo multiplicativo de los numeros reales: (R∗, .,Tu) . . . . . 54.3. El producto de dos grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.4. La circunferencia S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.5. Los cuaterniones H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.6. La esfera S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.7. El grupo lineal general: GL(n;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.8. Grupo especial lineal: SL(n,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.9. Grupo ortogonal: O(n,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5. Un grupo topologico que no es grupo de Lie 11

Referencias 12

1

1. Introduccion

El objetivo de este trabajo fue, en un principio, definir las nociones de grupotopologico y grupo de Lie e ilustrarlas con ejemplos. En la busqueda de ejemplosnos dimos cuenta de que los ejemplos de grupos topologicos normalmente citadoseran todos grupos de Lie y que en casi ningun sitio se recogıan ejemplos de gruposque fuesen solamente topologicos. Eso fue lo que motivo que se incluyese la ultimaseccion del trabajo.

2. Grupos topologicos

Definicion 2.1. Se dice que (G, ∗, T ) es un grupo topologico, si:

1. (G, ∗) es un grupo1;

2. (G,T ) es un espacio topologico separable2;

3. Las aplicaciones f(a, b) = ab y s(a) = a−1 son continuas.

Nota 2.2. Consideremos las siguientes aclaraciones a la definicion:

La tercera condicion quiere decir que si a, b ∈ G entonces para todo entornoW del elemento c = ab ∃ entornos U 3 a y V 3 b tales que UV ⊂ W ;y ademas para todo entorno V 3 a−1 existe un entorno U 3 a tal queU−1 ⊂ V .

Ademas, equivale a exigir la continuidad de la aplicacion

g(a, b) = ab−1

Un grupo topologico se denomina conexo, simplemente conexo, compacto,etc., si lo es como espacio topologico.

Del mismo modo se denomina abeliano, normal, simple, semisimple, etc., silo es como grupo.

1Se denomina grupo al par (G, ∗) donde G es un conjunto y ∗ una operacion cumpliendo:(1) a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀a, b, c ∈ G,(2) ∃e ∈ G tal que a ∗ e = e ∗ a = a ∀a ∈ G,(3) ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G g ∈ G tal que a ∗ a−1 = a( − 1) ∗ a = e.

2Recordemos que un espacio topologico se dice separable si posee un subcojunto denso y nume-rable.

2

Cada grupo puede ser convertido trivialmente en un grupo topologico con-siderandolo con la topologıa discreta; en este sentido,la teorıa de los grupostopologicos subsume a la de los grupos ordinarios.

Todo grupo es un grupo topologico si lo dotamos de la topologıa trivial.

Seguramente, el lector ya se haya dado cuenta de que no es necesario exi-gir la segunda condicion3 en la definicion. Imponerla es lo analogo a pedir a lasvariedades diferenciables que sean Hausdorff. ¿Y esto por que? Pues porque, ade-lantandonos un poco, veremos que ser grupo de Lie implica ser grupo topologico.Y aquı hay dos opciones: la primera es no exigir en la definicion de grupo topologi-co la separabilidad ni en la de variedad diferenciable el ser Hausdorff; y la segunda,que se satisfagan ambas cosas.

El porque se ha de tomar una opcion u otra nos lo aclara el siguiente lema:

Lema 2.3. Si un espacio topologico es IIAN , entonces es separable.

Demostracion. Sea X un espacio topologico IIAN y sea B una base numerable.Para cada abierto basico Bi ∈ B, i ∈ {1, 2, 3, ...}, no vacıo, sea ai ∈ Bi. DefinimosA = {ai/i ∈ N}. A es numerable y denso, luego X es separable.

Nosotros, nos hemos decantado por la segunda de estas opciones ya que en elcurso de Topologıa Diferencial actualmente solo consideramos variedades diferen-ciables IIAN4.

A continuacion vamos a introducir la definicion de subgrupo topologico ya quela emplearemos a la hora de estudiar algunos de los ejemplos:

Definicion 2.4. Se dice que un subconjunto H ⊂ G es un subgrupo del grupotopologico G si:

1. H es subgrupo de G como grupo algebraico5;

2. H es un subconjunto cerrado del espacio topologico G.

Nota 2.5. Todo subgrupo de un grupo topologico es tambien un grupo topologicocon la topologıa inducida.

3La definicion la hemos tomado de [5], pero, por ejemplo, en [6] no se lo exigen.4Cabe senalar aquı que los ejemplos del curso que no eran IIAN , (la recta con origen doble y

la recta con infinitos orıgenes) sı son espacios topologicos separables (ambos poseen un subconjuntodenso y numerable: Q.

5Se dice que un conjunto H ⊂ G es subgrupo del grupo G si ∀a, b ∈ H se cumple ab−1 ∈ H .

3

3. Grupos de Lie

Definicion 3.1. Un grupo de Lie G es una variendad diferenciable dotada de unaesctuctura de grupo tal que las funciones f(a, b) = ab y f(a) = a−1 son C∞.

Nota 3.2. Algunos comentarios a la definicion anterior son:

Al igual que ocurrıa en el caso de los grupos topologicos en la definicionanterior podrıamos haber exigido unicamente que la funcion f(a, b) = ab−1

sea C∞.

Todo grupo de Lie es grupo topologico respecto a la topologıa inducida porsu estructura de variedad diferenciable.6.

Las propiedades topologicas de un grupo de Lie son las que tiene comovariedad diferenciable. Y las propiedades de algebraicas, las que tiene comogrupo algebraico.

Todo grupo de Lie es localmente euclıdeo (ya que es variedad diferencia-ble), es decir, hereda las propiedades topologicas locales7 deRn: localmenteconexo, IAN , localmente conexo por caminos8, localmente compacto9, etc.

Definicion 3.3. Se dice que (H, ϕ)10 es un subgrupo de Lie de un grupo de Lie Gsi:

1. H es un grupo de Lie;

2. H es subvariedad regular11 de G;

3. la aplicacion ϕ : H → G es un homomorfismo de grupos12.

Una vez que hemos introducido todas las definiciones, vamos a ilustrarlas conunos cuantos ejemplos. Cada ejemplo sera estudiado por separado, senalando al-gunas de sus propiedades topologicas mas importantes.

6El recıproco no es cierto. Una muestra de esto constituye la ultima parte de este trabajo. Sinembargo, es muy difıcil encontrar ejemplos grupos topologicos que no sean grupos de Lie a nuestronivel. Por eso, todos los ejemplos de la seccion siguiente son grupos de Lie.

7Por esto, al caracterizar las propiedades topologicas de los ejemplos no comentaremos laspropiedades locales que poseen trivialmente.

8Luego en una variedad las componentes conexas y las conexas por caminos coinciden y sonabiertas.

9Entendiendo la compacidad local como existencia de una base de entornos compactos.10Con (H, ϕ) queremos indicar que ϕ es la inyeccion natural de H en G.11Es decir, ϕ : H ↪→ G es una inmersion y la topologıa de H coincide con la restriccion de la de

G.12Esto es, ϕ(h1h2) = ϕ(h1)ϕ(h2) ∀h1, h2 ∈ H .

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4. Ejemplos

Todos los ejemplos que vamos a considerar a continuacion son grupos de Lie,lo que implica que son grupos topologicos.

4.1. El grupo aditivo de los numeros reales: (R, +,Tu)

El conjunto de los numeros reales es un grupo abeliano respecto de la suma.Es evidente que es grupo topologico ya que las aplicaciones f(a, b) = a − b yf(a) = −a son continuas considerando R dotado de la topologıa usual.

Tambien es un grupo de Lie: es variedad diferenciable (posee un atlas C∞formado por una sola carta, la identidad); las aplicaciones anteriores son C∞.

Por supuesto, podemos generalizar de manera natural a dimensiones superio-res (definiendo la operacion coordenada a coordenada) y se tiene que Rn con latopologıa natural es un grupo de Lie que denominaremos grupo vectorial n-dimen-sional real13.

Es simplemente conexo y no es compacto (un recubrimiento de R que no ad-mite subrecubrimiento finito es {(−n, n);n ∈ R}).

4.2. El grupo multiplicativo de los numeros reales: (R∗, .,Tu)

Si consideramos ahora R∗, es decir, el conjunto de los numeros reales distin-tos de cero; tenemos que este es un grupo abeliano respecto del producto. En latopologıa usual inducida por la de R, las aplicaciones f(a, b) = ab y s(a) = a−1

son continuas; de donde R∗, dotado de la topologıa usual, es un grupo topologico.No solo es grupo topologico sino que es grupo de Lie (por ser las aplicacionesanteriores diferenciables14).

En este caso el grupo no es conexo (basta considerar la separacion:R = (−∞, 0)∪(0,∞)).

Un subgrupo conexo de este grupo es (R+, .,Tu) donde con R+ denotamos alconjunto de los numeros reales positivos.

4.3. El producto de dos grupos de Lie

Teorema 4.1. El producto G×H de dos grupos de Lie es un grupo de Lie.

Demostracion. Sean G y H dos grupos de Lie. Sabemos que G × H es una va-riedad diferenciable por ser producto de dos variedades diferenciables.

13En este trabajo solo vamos a considerar el caso real, analogamente se definirıan el grupo aditivode los numeros complejos, el grupo de las matrices regulares complejas de orden n, etc.

14De ahora en adelante diferenciable significara para nosotros diferenciable C∞.

5

Lema 4.2. El producto de dos grupos es un grupo.

Demostracion. Sean (G, ∗) y (H,♦) dos grupos. Entonces su producto G×H esun grupo con la operacion definida componente a componente:

(g1, h1)(g2, h2) = (g1 ∗ g2, h1♦h2) ∀(g1, h1), (g2, h2) ∈ G×H

La operacion esta bien definida porque G y H son grupos. Veamos que dota aG×H de estructura de grupo:

Es asociativa:((g1, h1)(g2, h2))(g3, h3) = (g1∗g2, h1♦h2)(g3, h3) = (g1∗g2∗g3, h1♦h2♦h3) =(g1 ∗ (g2 ∗ g3), h1♦(h2♦h3)) = (g1, h1)((g2, h2)(g3, h3)).

Elemento neutro: (eG, eH), con eG y eH los elemento neutros de G y H ,respectivamente.

Elemento inverso: para cada (g, h) ∈ G×H el elemento inverso viene dadopor (g−1, h−1). Cada elemento de este par es el inverso de g en G y de h enH , respectivamente.

Por el lema anterior, solo nos resta ver que la operacion del grupo G × H esdiferenciable, y esto se tiene trivialmente ya que lo es en cada componente porqueG y H son grupos de Lie.

Es claro que lo anterior se puede generalizar al producto finito de grupos deLie:

Corolario 4.3. El producto finito de grupos de Lie es un grupo de Lie.

4.4. La circunferencia S1

Definimos S1 = {(a, b) ∈ R2 : a2 + b2 = 1}. Sabemos que es una variedaddiferenciable: basta dotarla de un atlas formado por las dos proyecciones estereo-graficas, una desde el (0, 1) y otra desde el (0,−1), por ejemplo.

Ademas, recordemos que S1 ≈ C, es decir, podemos definir S1 = {z ∈ C : |z| = 1}.Ası,para dotarla de estructura de grupo emplearemos el producto usual de C: sean(a, b), (c, d) ∈ S1, se define (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad + bc).

Lema 4.4. S1 con el producto ası definido es un grupo de Lie.

6

Demostracion. Basta probar que la aplicacion f(z1, z2) = z1z−12 es diferenciable.

Y la manera mas facil de hacerlo es considerar la notacion exponencial para losnumeros complejos, es decir, z1 = eiϕ1 , z2 = eiϕ2 con lo que la aplicacion anteriorqueda f(eiϕ1 , eiϕ2) = eiϕ1e−iϕ2 = ei(ϕ1−ϕ2) que, trivialmente, es diferenciable.

Se trata de un grupo de Lie conexo y compacto.

4.5. Los cuaterniones H

El cuerpo de los cuaterniones, H, es el primer ejemplo (historicamente) deun cuerpo no conmutativo y consiste en un espacio vectorial real de dimension 4con una base {1, i, j, k} cuyos elementos son de la forma a + bi + cj + dk cona, b, c, d ∈ R que se suman y se multiplican de manera natural,15 teniendo encuenta para el producto que i2 = j2 = k2 = −1; ij = −ji = k; jk = −kj = i;ki = −ik = j.

Lema 4.5. Los cuaterniones son una variedad diferenciable.

Demostracion. Basta considerar como carta la identidad de H en R4 para dotarlode estructura de variedad diferenciable.

Teorema 4.6. (H∗, .) es un grupo de Lie16.

Demostracion. Por el lema anterior, solo nos resta probar que el producto y lainversion son diferenciables:

(x1 + x2i + x3j + x4k)(y1 + y2i + y3j + y4k) = x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4+

+i(x1y2+x2y1+x3y4−x4y3)+j(x1y3−x2y4+x3y1+x4y2)+k(x1y4+x2y3−x3y2+x4y1)

(x1 + x2i + x3j + x4k)−1 =x1 − x2i− x3j − x4k

x21 + x2

2 + x23 + x2

4

La primera expresion es polinomica y la segunda racional con denominador distin-to de cero.

Podemos identificar H con las matrices complejas de dimension dos17:{(

a + bi −c− dic− di a− bi

): a, b, c, d ∈ R

}

15Es decir, como polinomios.16Excluimos el 0, para que sea grupo multiplicativo, claro.17Al igual que se identifica C con las matrices reales de dimension dos:��

a b−b a

�: a, b ∈ R

�

7

Si considerasemos la suma en vez del producto tendrıamos otra estructura degrupo de Lie para los cuaterniones, que no nos interesa tanto como la del productodebido al ejemplo siguiente:

4.6. La esfera S3

Es un grupo de Lie, veamoslo:

Lema 4.7. La esfera S3 es un subgrupo de (H∗, .).

Demostracion. Podemos identificar S3 con los cuaterniones de modulo uno:

S3 = {x1 + x2i + x3j + x4k : x21 + x2

2 + x23 + x2

4 = 1}

Para ver que es un subgrupo basta tener en cuenta que si h ∈ H entonces ‖h‖2 =√hh, y si h ∈ S3 lo anterior implica que h−1 = h ∈ S3. Ademas si h1, h2 ∈ S3,

h1h2 ∈ S3 porque h1h2h1h2 = h1h2h2h1 = 1.

Lema 4.8. La esfera S3 es subvariedad regular de H.

Demostracion. Basta usar que toda hipersuperficie deRn dada por los ceros de unafuncion F : Rn → R cuya matriz jacobiana no se anula en la hipersuperficie essubvariedad regular de Rn. En nuestro caso, tenemos que S3 es una hipersuperficiedeR4(recordemos que existe un isomorfismo entre los cuaterniones yR4) dada porlos ceros de la funcion F : R4 → R F (x, y, z, t) = x2 + y2 + z2 + t2 − 1; cuyojacobiano es (2x 2y 2z 2t) que no se anula ∀p ∈ S3.

Corolario 4.9. La esfera S3 es un subgrupo de Lie de H.

4.7. El grupo lineal general: GL(n;R)

Se define

GL(n;R) =

A =

a11 ... a1n...

. . ....

an1 ... ann

: det(A) 6= 0

Es decir, el conjunto de todas las matrices reales regulares de orden n. Es ungrupo con el producto de matrices. El elemento neutro es la matriz identidad, I , yel elemento inverso de una matriz, A, es la matriz inversa, A−1. Para n ≥ 2 resultaque dicho grupo es no abeliano.

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Dado que cualquier matriz A =

a11 ... a1n...

. . ....

an1 ... ann

puede considerarse co-

mo un punto de coordenadas (a11, . . . , a1n, . . . , an1, . . . , ann) del espacio Rn2, re-

sulta que GL(n;R) es el subconjunto deRn2definido por la condicion det(A) 6= 0.

Ası, la topologıa natural de este grupo es la inducida por la topologıa natural deRn2

. Esta es separable y en ella las aplicaciones f(A,B) = AB y f(A) = A−1

son diferenciables por ser polinomios (y porque det(A) 6= 0, claro). Por esto, setrata de un grupo de Lie de dimension n2.

Proposicion 4.10. GL(n;R) no es conexo.

Demostracion. Basta considerar la separacion definida por los abiertos de GL(n;R){A ∈ GL(n;R) : det(A < 0)} y {A ∈ GL(n;R) : det(A > 0)}, que son abiertospor ser la imagen inversa de dos abiertos de R por la aplicacion determinante quees continua.

Proposicion 4.11. GL(n;R) no es compacto.

Demostracion. Sea {A ∈ GL(n;R) : det(A) ∈ (−n, n)} un recubrimiento porabiertos de GL(n;R). Este no admite subrecubrimiento finito.

4.8. Grupo especial lineal: SL(n,R).

Se define SL(n,R) = {A ∈ GL(n,R) : det(A) = 1}.

Proposicion 4.12. SL(n,R) es un subgrupo cerrado del grupo lineal general18.

Demostracion. Sea A ∈ SL(n,R), como det(AA−1) = det(A)det(A−1) = 1se tiene det(A−1) = 1 ⇒ A−1 ∈ SL(n,R). Si ahora consideramos A,B ∈SL(n,R), det(AB) = det(A)det(B) = 1 ⇒ AB ∈ SL(n,R).Es cerrado por ser la imagen inversa del {1} por la aplicacion determinante que escontinua.

Proposicion 4.13. SL(n,R) es una subvariedad regular de GL(n,R).

Demostracion. Basta considerar que es una hipersuperfice de Rn2dada por los

ceros de la funcion F : Rn2 → R, F (A) = det(A) − 1, donde consideramos eldesarrollo del determinante por los adjuntos de la primera columna de A, es decir,

18Serıa trivial ver que es un grupo de Lie si empleasemos el teorema de Cartan, que establece quetodo subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un subgrupo de Lie. Pero lo haremos directamente,usando la definicion.

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det(A) =n∑

i=1(−1)i+1a1iA1i. La matriz jacobiana de F es de la forma J(F ) =

(A11, A12, ..., A1n, ...) y no se anula en SL(n,R): supongamos por reduccion alabsurdo que J(F )B ≡ 0 para algun B ∈ SL(n,R), esto implicarıa que B11 =B12 = ... = B1n = 0, lo que nos da la contradiccion19.

Corolario 4.14. SL(n,R) es un subgrupo de Lie de GL(n,R) cuya dimension esn2 − 1.

Teorema 4.15. SL(n,R) es un grupo de Lie conexo y no compacto.

Demostracion. La conexion se sigue de que es la imagen inversa de un conexopor la aplicacion determinante, que es continua. Y no es compacto porque no esacotado: contiene, por ejemplo, a las matrices triangulares superiores con todossus terminos diagonales iguales a uno que definen un subconjunto no acotado enRn2

.

4.9. Grupo ortogonal: O(n,R).

Se define como O(n,R) = {A ∈ GL(n,R) : AT A = I}.

Teorema 4.16. O(n,R) es un subgrupo de Lie de GL(n,R) de dimension(n2

).

Demostracion. La condicion de ortogonalidad, AT A = I , implica, puesto quedet(A) = det(AT ) que si A ∈ O(n,R), det(A) = 1 o det(A = −1). De aquı sesigue que es cerrado: es la imagen inversa por una aplicacion continua, el determi-nante, del cerrado {−1, 1}.Veamos ahora que es subgrupo: sean A,B ∈ O(n,R) ⇒ (AB−1)T AB−1 =(ABT )T ABT = BAT ABT = BIBT = BT B = I .Ası que ya tenemos probado que es un subgupo cerrado de GL(n,R) y estamos enlas condiciones de aplicarle el teorema de Cartan, que afirma que todo subgrupocerrado de un grupo de Lie es subgrupo de Lie, y concluir que es subgrupo de Lie.Por otra parte, recordemos que de imponer la condicion de ortogonalidad20, sesigue que las columnas de las matrices de O(n,R) han de ser ortonormales, es de-cir de norma uno y ortogonales dos a dos lo que nos da un total de

(n2

)condiciones

a imponer. Esto es, O(n) vendra dado por(n2

)= n(n−1)

2 ecuaciones, lo que nos dala dimension.

Teorema 4.17. O(n,R) es no conexo y compacto.

19Partimos de la hipotesis que det(B) = 120Podemos definir O(n,R) = {L : Rn → Rn} donde L es una aplicacion lineal que preserva el

producto escalar.

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Demostracion. La no conexion se sigue de que tiene una separacion formada porlos abiertos {A ∈ O(n,R) : det(A) = 1} y {A ∈ O(n,R) : det(A) = −1},que son abiertos por ser la interseccion de los dos abiertos de GL(n,R), {A ∈GL(n,R) : det(A) > 1} y {A ∈ GL(n,R) : det(A) < −1} con O(n,R).La compacidad se sigue de que es cerrado y acotado, puesto que las columnas delas matrices de O(n,R) tienen norma 1.

5. Un grupo topologico que no es grupo de Lie

Todos los ejemplos que hemos visto en la seccion anterior eran grupos topologi-cos que a la vez eran grupos de Lie. Esto sugiere la pregunta de si existira ,ono, un grupo topologico que no sea grupo de Lie (y que este a nuestro nivel deconocimiento, claro).

Teorema 5.1. Todo grupo topologico localmente euclıdeo es un grupo de Lie.

Demostracion. La condicion suficiente es trivial y la condicion necesaria es elquinto problema de Hilbert que ya ha sido resuelto21.

Teorema 5.2. Q, con la topologıa heredada de R, es un grupo topologico que noes grupo de Lie.

Demostracion. Es grupo topologico con la suma de numeros racionales: la sumade racionales es operacion binaria interna, es asociativa, el elemeto neutro es el 0,y el elemento inverso de q ∈ Q es−q. Esta operacion es continua, yQ es separableporque es numerable.

Por el teorema anterior, basta probar que Q no es localmente euclıdeo. Eso setiene trivialmente ya que no es localmente conexo. Es totalmente disconexo, esdecir, dados dos elementos cuales quiera encuentro una separacion de Q formadapor dos abiertos de tal manera que cada uno de ellos esta contenido en uno delos abiertos que constituyen la separacion. Esto es posible por la densidad de losirracionales en Q. Ya que si a, b ∈ Q, a < b, ∃c ∈ R \ Q y podemos tomar laseparacion (−∞, c)∪ (c,∞) tal que a ∈ (−∞, c) y b ∈ (c,∞). De donde se sigueque Q con la topologıa heredada de R no es localmente euclıdeo.

21El problema consistıa en eso, es decir, en determinar si todo grupo topologico localmente eu-clıdeo era un grupo de lie. El problema fue resuelto afirmantivamente en 1952 por Montgomery,Zippin y Gleason. Otra demostacion fue publicada en 1962 por Kaplansky. Sin embargo, en 1976se celebro un congreso sobe los problemas de Hilbert en el que un especialista de cada rama debıaexplicarla solucion de los que ya habıan sido resueltos, pero el correspondiente a este problema dijoque las demostraciones conocidas eran tan tecnicas y complejar que no podıa siquiera esbozarlas. En1990 Hirschfeld publico una prueba no estandar mucho mas simple y cuanto menos esbozable.

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Hemos encontrado ası un grupo topologico que no es grupo de Lie22 y quequeda completamente dentro de nuestro alcance (salvo por la demostracion delquinto problema de Hilbert que es claro que no).

Referencias

[1] FERNANDO ETAYO, Apuntes de Topologıa Diferencial, Universidad deCantabria(2006-2007).

[2] RICARDO FARO, Apuntes de grupos de Lie,http://kolmogorov.unex.es/∼ricarfr/GruposLie/LibroGLie.pdf.

[3] ROBERT GILMORE, Lie groups, Lie algebras and some of their applica-tions, John Wiley & Sons, New York [etc.] (1974).

[4] E. MACIAS-VIRGOS, Apuntes de grupos de Lie,http://web.usc.es/∼xtquique/Curso Grupos Lie/Tema 1A v0.pdf

[5] B.N. SHAPUKOV, Grupos y algebras de Lie en ejercicios y problemas,URSS, Moscu (2001).

[6] FRANK W. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Liegroups, Springer-Verlag, New York [etc.] (1983).

[7] http://www.answers.com/topic/topological-group.

22En realidad son dos: si consideramos Q∗ = Q − {0} con el producto de numeros racionales,tendrıamos otro grupo topologico que tampoco es grupo de Lie.

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