Trasformar los siguientes coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

A) (2,8) primero lo hacemos por definición

θ=¿ tan−1( yx) R2=X2+Y 2

θ=tan−1¿¿) R2= (2 )²+ (8 ) ²

θ=tan−1(4¿)¿ R2=4+64

θ=75.96R=√68

R=2√17

Luego transformando a radiaciones se tiene que

π−180

×−75 ∙9 6

×=75 ∙9 6π

180

¿96π ¿

180

B) (5 ,−6 )

θ=tan−1(−6−5

¿)¿

θ=50.19° R2= (−5 ) ²+(−6 ) ² R2=25+36 R=√61

√61 ,50.19 π180

C) (√2 , 15

) R2=(√2 ) ²+( 1

5) ²

θ=tan−1(15√2

¿)¿ R2=2+ 1

25

θ=tan−1( −15√2

¿)¿ R2=51

25

θ=8. 04 ° R=√5125

=R=√515

Tenemos que entonces transformando a radiales π−180×∙8.04×=8.04 π180¿)180

Calcular el área que encierra la curva de ecuación polar r ¿+senθ

R=1+senθ (2,π2

¿

sir=01+senθ=0senθ=−1 (0,0)

θ=sen−1 (−1 )

θ=−π2

sen θ=yπ2

=−π2

A ¿ 2Z∫0

π2

(1+senθ )2do

Producto notable

A¿∫0

π2

(1+2 senθθ+se n2 0 )do

Luego por identidad trigonométrica

sen2θ=1−cos2θ2

A¿∫¿¿) do

Por

A=∫( 1+4 senθ+1−cos2θ2

¿)do ¿

Se reducen términos semejantes

A=12∫0

π2

(3+4 senθ−cos2θ )do¿

¿

A=12

[3θ−Acosθ−sen2θ ]∫0¿¿

π2❑

2

A=12 [3( π2 )−4cos( π2 )°−sent 2( π2 )° ]+4cos (0 )

2

A=12 [ π 3

2+4 ]

A=12 [ 3 π+8

2 ]A=3 π+8

A

Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares

A ¿(2 , π4

)

×=rcosθ×=2́¿

×=2 cosπ4y=2 sen(π4 ) y=2√2

2y=√2 (√2 ,√2 )

b¿ (−8 ,3 π2 )

×=−8cos ( 3π2 )

y=−8 sen (3 π2 )×=0 y=8 (0,8 )

C ¿ (−12,5 π4 )

×=−12

cos ( 5π4 );×=−1

2 (−√22 )=×=√2

4

y=−12sen( 5 π

4 ); y=−12 (−√2

2)= y=√24 (√2

4,√2

4) Calcular el área que encierra la curva de ecuación polar r¿4 cos (200 )

R=4 cos (2θ ) Cambio de variable

4 cos (2θ )=0 u=2θθ=u2

cos2θ=0 c osuθ=0 u=cos−¹ (0 )

m= π2θ=5

4π θ=7

4π θ=π

4θ=3

4π

3π4π4

5π4

7 π4

A=0( 12 )∫

−π4

π4

[ 4 cos (2θ ) ]2do

A=08∫−π

4

π4

cos ²2θdo

A=2 ( 8 )∫0

π4

cos ² 2θ do

Por identidad trigonométrica

A=16∫0

π4

[ 1+cos2θ2 ]do

A=8∫0

π4

(1+cos+2θ )do

A=8[ 0+sen (2θθ )2 ]

π40

A=8[ π4 +sen[2( π4 )]− (0 )]A=2πu ² A=8πu ²

Transformar a coordenadas rectangulares

R=2cos= (3θ )R=2 cos (2θ+θ )R=2 [ cos2θcosθ−sen2θseno ]

Por identidad trigonométrica

r=−2 [(2 cos ²θ−1 ) ] cosθ−2 cos0 sen ²θ

r=[ (2cos ²θ−1 )cosθ−2 cos0 sen ²θ ]

r=2 [ (2 cos ²θ−1 ) cosθ−2cosθ (1−cos²θ ) ]

Propiedad distributiva

r=2 [2cos ³θ−cosθ−2cosθ+2 cos³θ ]

r=2 [ 4 cos ³θ−3cosθ ]

R2=8cos3θ−6cosθ

R ²=2cosθ [ 4 cos ²θ−3 ]

R=2(×y ) [ 4ײ−3r2 ]

R4=2× [ 4ײ−3 r ² ]

(× ²+4² )²=2× [ 4ײ−3 (ײ+4² ) ]

(× ²+ y ² ) ²=2× [A× ²−3×2−3 y ² ]

(× ²+ y ² ) ²=2× [× ²−3 y ² ]

Transformar las siguientes ecuación de variable × ²−2 y ²=4 (×+ y ) ²×=cosθ , y=rsenθ(rcosθ )²−2 (rsenθ )²=4 [rcosθ+rsenθ ] ²

R2 cosθ−2 r2 sen2θ=4 [r (×y )+r ( y× )]2

R ² [ cos²θ−2 sen ²θ ]=4 (×+ y ) ²

R ² [(×r ) ²−2( y× ) ²]=4 (×+ y )²

R ² [ײ−2 y ²r2 ]=4 (×+ y )²× ²−2 y ²=4 (×+ y ) ²

×2−2 y2=4 (×2+2× y+ y2 )×2−2 y2=4×2+8× y+4 y 2

3ײ+8× y+64²=0