KATI CİSİMLERİN KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİALAN VE HACİMLERİ

KATI CİSİMLERKATI CİSİMLER

1.1. DİK PRİZMALARDİK PRİZMALAR

2.2. PİRAMİTPİRAMİT

3.3. DİK KONİDİK KONİ

4.4. KÜREKÜRE

5. 5. SİLİNDİRSİLİNDİR

1.DİK PRİZMALAR1.DİK PRİZMALAR

DİK PRİZMALARIN ÖZELİKLERİDİK PRİZMALARIN ÖZELİKLERİDİK PRİZMALARIN ALAN VE HACMİDİK PRİZMALARIN ALAN VE HACMİDİKDÖRTGENLER PRİZMASIDİKDÖRTGENLER PRİZMASIKÜPKÜPKARE DİK PRİZMAKARE DİK PRİZMADİK ÜÇGEN PRİZMADİK ÜÇGEN PRİZMA

DİK PRİZMALARIN ÖZELİKLERİDİK PRİZMALARIN ÖZELİKLERİ

Tabanları herhangi bir çokgensel Tabanları herhangi bir çokgensel bölge olan ve yan yüzleri bölge olan ve yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden dikdörtgensel bölgelerden meydana meydana gelen cisimlere gelen cisimlere dik prizmadik prizma denir denir..

Prizmalar tabanlarına göre; Prizmalar tabanlarına göre; dikdörtgenler prizması,kare dik dikdörtgenler prizması,kare dik prizma, üçgen dik prizma , yamuk dik prizma, üçgen dik prizma , yamuk dik prizma …. olarak adlandırılırlarprizma …. olarak adlandırılırlar..

Üst tabanÜst taban

Yükseklik(h)Yükseklik(h)

Cisim köşegeniCisim köşegeni

Yanal ayrıtYanal ayrıt

Alt tabanAlt taban

Dik prizmaların özelikleri; Dik prizmaların özelikleri; 1.Tabanları eş ve paraleldir. 1.Tabanları eş ve paraleldir.

2.Yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir. 2.Yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir.

3.Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir. 3.Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir.

4.Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir.4.Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir.

5.Tabanları düzgün çokgensel olan dik prizmalara 5.Tabanları düzgün çokgensel olan dik prizmalara düzgün dik prizma denir. düzgün dik prizma denir.

6. Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. 6. Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait köşegene o yüze ait yüzey köşegeni yüzey köşegeni denir. denir.

DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACMİDİK PRİZMALARIN ALAN VE HACMİ

Dik prizmanın taban Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi olsun, yanal yüzeyi daima bir daima bir dikdörtgen olur. dikdörtgen olur. Yanal yüzü Yanal yüzü oluşturan oluşturan dikdörtgenin alt dikdörtgenin alt kenarı tabanın kenarı tabanın çevresi kadardır. çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar yüksekliği kadar olur. olur.

Yanal Alan = Taban çevresi x Yanal Alan = Taban çevresi x YükseklikYükseklik

Bütün dik prizmaların yanal alanı taban Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır.

Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır.alanının toplamıdır.

Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban Tüm Alan = Yanal Alan + 2. Taban AlanıAlanı

Dik prizmanın hacmi;Dik prizmanın hacmi;

Hacim=Taban Alanı x YükseklikHacim=Taban Alanı x Yükseklik Bir daha hatırlayacak olursak:Bir daha hatırlayacak olursak:

Yanal Alan =Taban çevresi x YükseklikYanal Alan =Taban çevresi x Yükseklik

Tüm Alan =Yanal Alan + 2.Taban AlanıTüm Alan =Yanal Alan + 2.Taban Alanı

DİKDÖRTGENLER PRİZMASIDİKDÖRTGENLER PRİZMASI Dikdörtgenler prizması Dikdörtgenler prizması

yan yüzeyleri karşılıklı yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan ikişer ikişer eş olan altı adet altı adet dikdörtgenden oluşan dikdörtgenden oluşan prizmadır . prizmadır . Dikdörtgenler Dikdörtgenler prizmasında birbirine prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi en uzak iki köşeyi birleştiren doğru birleştiren doğru parçasına parçasına cisimcisim köşegeniköşegeni (e) (e) denir.denir.

Taban alanı= a.bTaban alanı= a.b

Tüm alan=2.(a.b+b.c+a.c)Tüm alan=2.(a.b+b.c+a.c) Hacim: V=a.b.cHacim: V=a.b.c

Yüzey Köşegeni: fYüzey Köşegeni: f²² = a = a²² + b + b²²

Cisim Köşegeni: eCisim Köşegeni: e²² =a =a²²+b+b²²+ c+ c²²

KÜPKÜP

Bütün ayrıtları Bütün ayrıtları birbirine eşit olan birbirine eşit olan dik prizmaya dik prizmaya küp küp denir. Tüm denir. Tüm yüzeyleri karedir. yüzeyleri karedir. Kübün yüzey Kübün yüzey köşegenleri köşegenleri birbirine eşittir.birbirine eşittir.

Hacim = aHacim = a³³

Alan = 6aAlan = 6a²²

Köşegen=kKöşegen=k²² =e =e²² +a +a²²

KARE DİK PRİZMAKARE DİK PRİZMA

Tabanı kare olan Tabanı kare olan prizmalara prizmalara kare kare prizma prizma denir. Yan denir. Yan yüzü dört adet eş yüzü dört adet eş dikdörtgenden dikdörtgenden oluşur.oluşur.

Yanal Alan = 4 . a . h Yanal Alan = 4 . a . h

Alan = 4.ah + 2.aAlan = 4.ah + 2.a²²

Hacim = aHacim = a²² . h . h

DİK ÜÇGEN PRİZMADİK ÜÇGEN PRİZMA

Dik üçgen Dik üçgen prizmanın tabanı prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç yüzeyleri ise üç tane tane dikdörtgenden dikdörtgenden oluşur.oluşur.

Taban alanı = b.c/2Taban alanı = b.c/2

Yanal alan = (a + b + c) . h Yanal alan = (a + b + c) . h

Tüm Alan = b . c + (a + b + c) . HTüm Alan = b . c + (a + b + c) . H

Hacim= b.c/2.hHacim= b.c/2.h

PİRAMİTPİRAMİT Bir düzlemde kapalı Bir düzlemde kapalı

bir bölge ile bu bir bölge ile bu düzlemin dışında bir düzlemin dışında bir T noktası alalım. T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktalarının T noktası ile noktası ile birleştirilmesi birleştirilmesi sonucunda oluşan sonucunda oluşan cisme cisme piramit piramit denir.denir.

Taban kare ise, kare piramit; taban Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi.altıgense altıgen piramit gibi.Eğer piramidin tabanı düzgün Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere çokgense bu tip piramitlere düzgün düzgün piramitpiramit denir.denir.

Kare PiramitKare Piramit

Kare piramidin tabanı Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar adet ikizkenar üçgenden oluşur.üçgenden oluşur.İkizkenar üçgenlerin İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları taban uzunlukları piramidin tabanının piramidin tabanının bir kenarına eşittir.bir kenarına eşittir.

Buradan yan yüz Buradan yan yüz yüksekliğiyüksekliği|PK||PK|²² = h = h²² + (a/2 ) + (a/2 )²²

Y.alan=4.a Y.alan=4.a ×× hh²² + (a/2 ) + (a/2 )²²

Tüm alan= yanal alan +taban alan Tüm alan= yanal alan +taban alan olduğundan;olduğundan;

Tüm alan=4.a Tüm alan=4.a ×× hh²² + (a/2 ) + (a/2 )²² + a + a²²

Hacim= 1/3.aHacim= 1/3.a²².h.h

DİK KONİDİK KONİ

Tabanı daire Tabanı daire biçiminde olan biçiminde olan piramide dik koni piramide dik koni adı verilir. adı verilir.

Burada;Burada;Taban yarıçapı |OB| = rTaban yarıçapı |OB| = rCisim yüksekliği |PO| = h Cisim yüksekliği |PO| = h olur.olur.|PA| = |PB| = l |PA| = |PB| = l uzunluğuna ana doğru uzunluğuna ana doğru denir.denir.POB dik üçgeninde,POB dik üçgeninde,hh²²+ r+ r²² = l = l²² bağıntısı vardır. bağıntısı vardır.Koninin yanal alanı bir Koninin yanal alanı bir daire dilimidir. daire dilimidir.

Daire diliminin alanı, yay Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan,eşit olduğundan,

Yanal alan= Yanal alan= ππrlrlTüm alan bulunurken, taban Tüm alan bulunurken, taban

alanı da ilave edilir.alanı da ilave edilir.

Tüm alan =Tüm alan =ππrl + rl + πrπr²²

V=1/3V=1/3πrπr²²hh

KÜREKÜRE Uzayda bir noktadan Uzayda bir noktadan

eşit uzaklıktaki eşit uzaklıktaki noktaların geometrik noktaların geometrik yerine küre yüzeyi yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit adı verilir. Sabit noktaya kürenin noktaya kürenin merkezi, merkezin merkezi, merkezin küre yüzeyine küre yüzeyine uzaklığına da kürenin uzaklığına da kürenin yarı çapı deniryarı çapı denir

Yüzey alanı ;

O merkezli R yarıçaplı kürede;

SİLİNDİRSİLİNDİR

Tabanı daire olan Tabanı daire olan prizmalara prizmalara silindir silindir denir. Silindirin yan denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen yüzü dikdörtgen biçimindedir. biçimindedir. Dikdörtgenin bir Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin ise taban dairesinin çevresi kadardır.çevresi kadardır.

Taban alanı= Taban alanı= πrπr²²

Taban çevresi= Taban çevresi= 22πrπr olduğundan;olduğundan;

Yanal alanYanal alan= = 22πrhπrh

Tüm alanTüm alan= 2πr = 2πr ((h+rh+r))

HacimHacim= = πrπr²²hh