ðỀ THI KIMC 2014

(Senior 14 −−−− 16 tuổi. Thời gian làm bài: 120 phút)

Bài 1(Canada). Một số x có 2 chữ số bằng 2 lần số y có 2 chữ số. Tổng các chữ số của

x bằng một chữ số của y và hiệu các chữ số của x bằng chữ số còn lại của y. Tìm giá trị

lớn nhất của y?

Bài 2(Hà Lan). Tính hiệu của tích 1234567899 × 1234567894 × 1234567892

trừ ñi tích 1234567891 × 1234567896 × 1234567898

Bài 3(Brunây).

Cho tam giác ABC, ∠CAB =18° và ∠BCA = 24°.

Gọi E là ñiểm thuộc CA sao cho ∠CEB = 60°

và F là ñiểm thuộc AB sao cho ∠AEF = 60°.

Tính số ño theo ñộ của ∠BFC?

Bài 4(Ghana). Cho các số thực x, y và z thoả mãn x − 7y + 8z = 4 và 8x + 4y − z = 7.

Tìm giá trị lớn nhất của x2 − y2 + z2 ?

Bài 5(Bungari).

Cho tam giác ABC, ∠CAB = ∠BCA = 45°. Gọi L là trung ñiểm BC và P là ñiểm thuộc

CA sao cho BP vuông góc với AL. Nếu CP = 2 cm, tính ñộ dài theo cm của AB?

Bài 6(Hồng Kông). Nếu x, y và z là 3 số nguyên dương liên tiếp sao cho

y yx xz zy z x x z y

+ + + + + là một số nguyên, tính giá trị của x + y + z ?

Bài 7(Thái Lan). Cho các số thực x và y sao cho x3 + y3 =1957 và

(x + y)(x + 1)(y + 1) = 2014. Tính giá trị của x + y ?

Bài 8(Hà Lan). Cho hình bình hành ABCD, ∠BAD = 60° . Gọi E là trung ñiểm BC và F

là trung ñiểm CD. ðoạn thẳng BD cắt ñoạn thẳng AE tại M và cắt ñoạn thẳng AF tại N.

Nếu AB = 15 cm và AD = 8 cm, tính ñộ dài theo cm của MN ?

Bài 9(Rumani). Có bao nhiêu cách xếp 8 trẻ (bao gồm cả Anna, Bert and Cody) quanh

một cái bàn tròn, nếu Anna phải ngồi cạnh Bert và Anna không ñược ngồi cạnh Cody?

Các cách xếp ñược tính là như nhau nếu chúng nhận ñược từ nhau bằng phép quay theo

chiều kim ñồng hồ.

Bài 10(Bungari). Tìm số nguyên n lớn nhất sao cho ( ) ( )221 212 2 2 42nn n

− − − = + ?

Bài 11(Hồng Kông). Xét tất cả các số nguyên dương không vượt quá 10000000000

trong ñó mỗi chữ số chỉ có thể là 0 hoặc 2. Hỏi tổng số chữ số 0 là bao nhiêu?

Bài 12(Canada). A, B, C và D là 4 ñiểm nằm trên ñường tròn. Cho AD = BD = 50 3cm,

AC = 106.8 cm và ∠CAD = 30°, tính ñộ dài theo cm của BC ?

Bài 13(Trung Quốc). Trên bảng ñen có viết các số nghịch ñảo của 2014 số nguyên

dương ñầu tiên. Mỗi lượt ñi ta ñược xoá hai số và viết thay bằng một số khác, số này

bằng tổng của tổng và tích của hai số vừa xoá. Cuối cùng trên bảng chỉ còn lại một số.

Tính giá trị lớn nhất của số này?

Bài 14(Rumani). Cho tam giác ABC, ∠ABC = ∠ACB = 30°. Gọi O là ñiểm sao cho

OA = OC = 1 cm và OB = 2 cm. Ngoài ra, ∠CAB = ∠CAO + ∠OAB . Tính ñộ dài theo cm

của BC?

Bài 15(Hàn Quốc). Trò chơi Tháp Daejeon gồm 7 cái ñĩa có kích thước khác nhau, xếp

theo thứ tự kích thước tăng dần từ trên xuống dưới vào cái cột ñầu tiên trong số 3 cái

cột. Cần chuyển toàn bộ tháp này sang cái cột thứ ba. Mỗi nước ñi ñược chuyển cái ñĩa

trên cùng của một cột sang cột liền kề, và không ñược phép chuyển trực tiếp các ñĩa từ

cột ñầu tiên sang cột thứ ba hay ngược lại. Các ñĩa có kích thước lớn hơn không ñược

xếp lên trên các ñĩa có kích thước nhỏ hơn. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu nước ñi?